AN.BL.CM = AL.BM.CN
c'est-à-dire que les 3 points M, N, L sont en Hgne droite.
Théorèmes divers. — Soit abc un triangle dont les côtés ah, bc, ac rencontrent une courbe du 3^ ordre aux points respectifs p, />', p" ; q, q', q" ; r, r' et r" , . . . , on aura, en con-
Fig. 70.
sidérant la courbe comme transversale par rapport à ce triangle abc,
{ap){br){cq)={aq){bp){cr).
Si l'on suppose maintenant que les côtés du triangle deviennent tangents à la courbe, c'est-à-dire que les points d'intersection p' et p", q' et q" , r' et r" se réunissent, respectivement et en un seul, cette équation deviendra
ap.hr.cq.ap' -hr' 'cq' =zaq.bp.cr aq' bp' 'cr' .
Supposant, en outre, que les trois points de contact soient en ligne droite, on aura cette nouvelle relation
ap' br' .cq' = aq' .bp' .cr'
qui réduira la précédente à celle-ci
ap.br.cq = aq.bp.cr;
APPLIQUÉE AUX COURBES GÉOMÉTRIQUES. m
c'esl-à-dire que les trois points d'intersection des tangentes avec la courbe seront aussi en ligne droite (*), et l'on conçoit que la réciproque doit avoir également lieu dans certaines conditions. Cette proposition peut être généralisée ainsi : Les côtés d'un triangle rencontrant une courbe géométrique de l'ordre m, chacun en m points, tels qu'en les prenant 3 par 3 et sur des côtés différents, ces points soieqt rangés sur autant de lignes
droites, à l'exception d'un dernier groupe des trois points; ceux-ci seront par là même aussi en ligne droite; ainsi r"'q"'p"', r"q" p", r' q' p' (Jig. 71) étant respectivement en ligne droite, les intersections r, q, p avec la courbe seront aussi sur une même droite.
Dans le cas des lignes du 3' ordre, s'il n'y avait que trois des intersections qui fussent en ligne droite, les six intersections restantes seraient à une section conique, et réciproquement, la section conique pouvant d'ailleurs être remplacée par le système de deux droites.
Du cercle osculateur en un point donné d'une ligne géométrique plane de degré quelconque.
Problème. — Une courbe géométrique étant donnée sur un plan, déterminer pour un de ses points le rayon de courbure et le cercle osculateur.
(*) Cette élégante proposition est due à Maclaurin, qui l'a démontrée par d'autres procédés dont on prendra une idée un peu plus loin.
lia n« CAHIER. - MÉTHODE DES TRANSVERSALES
Considérons le triangle abc [Jig- 72) comme transversal par rapport à la courbe donnée, que nous supposerons néanmoins du 3^ degré pour plus de facilité dans les tracés et démonstrations; on aura
[ap)[bq){cr) = [ar){cq){bp).
Si l'on fait passer par les 3 points/»', p" et q' une circonférence de cercle, on aura aussi
bq'.bQ = bp'.bp".
Multipliant ces équations en croix il viendra, toutes réductions
faites
{ap).bq.bq"{cr) = bp.{ar).{cq).bq.
Supposons, en premier lieu, que la transversale abp, ou si l'on veut le côté ab du triangle abc, vienne à se déranger de sa position, alors le cercle Rp'p" variera aussi de grandeur en passant toujours par le point fixe q' , et la relation ci-dessus aura
Fig. 72,
encore lieu; si enfin l'on suppose que ce côté vienne à toucher la courbe en p' ou p" , alors les deux points/?' et p" se confondront et le cercle sera devenu tangent au même point à la courbe, comme on le voit /g-. 78; appelant P le point de réunion de p' et p", il faudra dans l'équation ci-dessus faire
ap'=ap"= a P.
APPLIQUÉE AUX COURBES GÉOMÉTRIQUES. ii3
En second lieu, si l'on suppose que la transversale bc {Jig. 72)
se meuve en se rapprochant de pp' ou P, le cercle qui touche
la courbe en ces points et qui passe par le point q' , changera
de grandeur en restant toujours tangent à cette courbe et il
FiR. 73.
arrivera un instant où q' se confondant avec le point P {Jîg. 73), b s'y confondra à son tour. Dans ce même cas, le cercle tan. gent coïncidera évidemment aussi avec le cercle osculateur en ce point; et, comme l'équation ci-dessus ne cesse pas d'exister, il s'ensuit qu'elle donnera la valeur de la corde PQ que ce dernier cercle intercepte sur la transversale qVc.
Les points b, p' et q' de la Jig. 72, s'étant ainsi confondus en un seul P de la fig, ']3r, on a, pour exprimer cette circonstance, outre les conditions ci-dessus, les relations suivantes
bp = Vp, bq = Vq, bq" = Vq', cq'=cV, bQ = VQ.
Substituant, il viendra
ap.aV\Vq.Vq".{cr) = Vp.VQ.cP.cq.cq'\{ar).
Cette relation qui n'est pas projective, ne saurait fournir un tracé exécutable avec la règle seule.
Si, au lieu de choisir la transversale PQ arbitrairement on la II. 8
ii4 II" CAHIER. - MÉTHODE DES TRANSVERSALES
prenait perpendiculaire à la tangente P/>, l'équation ci-dessus du i*"" degré, donnerait évidemment le double du rayon de courbure cherché.
La même méthode s'applique d'ailleurs à la recherche du rayon de courbure d'une courbe géométrique quelconque; mais on y peut remplacer les transversales auxiliaires par d'autres moins arbitraires et dépendantes de la courbe elle-même.
Soient tracées [fig. 73) les transversales prk et r"q"0 qui coupent respectivement les côtés du triangle «Pc en p, r, h et r", q", 0, on aura pour ce triangle,
ar . Pp. cJf = ap . cr.Pk, ar".cq''.VO = Vq".cr'\aO.
Multipliant entre elles, par ordre, ces deux équations et la dernière de celles ci-dessus, il viendra
'âp\Vq.cr'.Vk.VO = VQ.cV.cq.ai'.ck.aO.
Supposons actuellement que p et rse confondent ainsi que
Fig. 74.
q" et r", les transversales pr et q"r" deviendront {^/ig. 74) les tangentes pk, q'O, à la courbe, et l'on aura
aP = Vp, cV = q'Vj ar' = pr', cr'=q'r';
par conséquent
V}''Vq.q'r'.Pk.Vo = VQ.q'P.qq'.pr'.q'k.pO.
APPLIQUÉE AUX COURBES GÉOMÉTRIQUES. ti5
Exemples relatifs aiix lignes du 2.^ ordre. — Appliquons ce
qui précède à la détermination du rayon de courbure d'une
simple section conique.
En appelant toujours Q (Jîg, 75) le point où la transversale
Fig. 75.
cP rencontre le cercle osculateur au point P de la conique, on aura
aP .cr.cr* .Vq = ar.ar' .cq.c^.VQ.
Soit mené par le point a une parallèle à PQc, rencontrant la courbe en R et W, on aura, cotnme on sait,
cvy.cP «R.aR'
et l'équation précédente deviendra, en la multipliant par cette dernière relation.
rtP .?q
«R.aR
Si l'on fait attention que
aP»
[=VQ.
a\\.aW a/-
en désignant par b' et a' les demi-diamètres respectivement paraljèies à aP et à <zR ou P^, celte équation deviendra enfin
