DEUXIÈME CAHIER

MÉTHODE DES TRANSVERSALES APPLIQUÉE A LA RE- CHERCHE ET A LA DÉMONSTRATION DES PROPRIÉTÉS DES LIGNES ET SURFACES GÉOMÉTRIQUES (*).

DES ÉQUATIONS A DEUX TERMES ENTRE LES SEGMENTS DÉTERMINÉS PAR UNE COURBE GÉOMÉTRIQUE PLANE, SUR LES COTÉS d'uN TRIANGLE ARBITRAIRE.

Atin de marcher du simple au composé, du particulier au général, selon l'ordre logique des idées, qui offre aussi le plus de facilité pour l'étude et de chance de réussite dans la recherche des vérités nouvelles, nous débutons ici par des considérations géométriques tout à fait élémentaires.

{* ) Lorsque, dans l'hiver de i8i5 à 1816, après la funeste catastrophe de Waterloo, profitant des tristes loisirs de la paix, j'essayai d'appliquer la théorie des transversales aux courbes géométriques décrites sur un plan, quelques savants bien connus avaient déjà mis en usage, mais transitoirement, les relations à deux termes de cette théorie pour démontrer diverses propositions isolées sur les lignes ou surfaces du second degré. Je me proposais dès lors d'ouvrir une voie beaucoup plus large et toute nouvelle d'investigations relatives à des courbes géométriques d'ordre quelconque, voie dans laquelle personne n'est entré si je ne me trompe, même depuis la présentation à l'Institut de mon Mémoire de i83o, sur \ Analyse des Transversales. En effet, ce n'est qu'incidemment dans une courte Note au bas de la p. lyS du t. XVII des Annales de Montpellier^ que Sturm indique comment le théorème de Carnot peut servir à démontrer la propriété de l'hexagramme de Pascal, relative aux coniques; le surplus de son intéressante étude, postérieure de dix ans à l'époque où ce Cahier a été écrit, est fondé sur de tout autres considérations géométriques ou analytiques; notamment sur la méthode des Multiplicateurs indéterminés de M. Lamé, que Sturm a eu, comme tant d'autres, le grand tort de ne pas citer, et dont j'ai dit quelques mots à la p. 489 du précédent vo-

Exposé préliminaire, relatif aux simples coniques, du procédé général d'élimination et de réduction des éléments géométriques divers d'une figure coupée par des transversales.

Théorème fondamental. — Si les côtés d'un triangle abc [fig. ^i), rencontrent une section conique quelconque en

Fig. 42.

trois couples de points p et p' , q et q' , r et r', on aura, entre les segments formés par la courbe, sur les côtés prolongés du triangle abc, la relation

ap . ap' . br. br' . cq . cq' = ar. ar' . bq . bq' . cp . cp'

que nous écrirons simplement ainsi

[a) {ap){br){cq) = {ar){bq){cp).

lume. Ceci n'ôte rien d'ailleurs au mérite de sa belle découverte relative aux intersections, par une transversale arbitraire, de trois sections coniques ayant en commun les mêmes quatre points; découverte qui est l'extension de celles dont les Anciens, Desargues, Pascal vers 1640, et en dernier lieu Rrianchon en 1817, s'étaient déjà occupés, pour le cas simple il est vrai, du quadrilatère inscrit à une section conique.

En effet, celle relation est projective (*). Donc, si l'on prouve qu'elle est vraie pour le cas du cercle, elle aura lieu pour les coniques en général. Or, elle est évidente par la propriété connue des sécantes intérieures ou extérieures au cercle, dans lequel on a

ap.ap' on {ap)={ar), {br) — {bq], [cq) = {cp);

car en multipliant ces équations membre à membre, on obtient la relation {a) énoncée.

11 est visible d'ailleurs que si, au triangle transversal ci-dessus, on substitue un polygone quelconque, la proposition sera susceptible de s'étendre à ce cas général.

Premières conséquences. — Tracez les cordes pq et p'q' jusqu'à leurs rencontres en /r et h' avec le côté ab du triangle, qui est indépendant de ces cordes et peut être regardé comme une transversale quelconque ab, coupant les prolongements des côtés du quadrilatère inscr il pqq' p' en /r, k', a, b et la courbe en r et r'; puisque les droites pqk et p'q' h' sont aussi transversales du triangle abc, on aura

cp.bq. ah = ap . cq . bk, cp' . bq' . ak' = ap' . cq' . bk' ;

mais on a, d'autre part, l'équation [a) ou

{ap){br){cq) = (ar){bq){cp);

(*) Ceci suppose la démonstration des théorèmes ou principes fondamentaux des pages 6 et suivantes du Traité des Propriétés projectives, publié seulement en 1822, démonstration dont je ne possède plus les notes originales, mais qui doit remonter au printemps de 1814, où, à Saratoff, je m'occupais des conditions générales de projectivité des^relations métriques et descriptives des figures. 11 me suffira ici de rappeler, d'après les n°' 9 et suiv., que cette démonstration résulte d'une considération aussi simple qu'élémentaire, relative au triangle qui a pour base l'un quelconque des segments à projeter, et pour côtés adjacents les projetantes des deux extrémités de cette base. Toutefois, il se peut que je me fusse contenté, en 1814, de la preuve, à posteriori, résultant de ce que la relation fondamentale [a] conduit à des constructions linéaires elles-mêmes essentiellement projectives.

multipliant par ordre ces trois équations entre elles, il viendra, en supprimant les facteurs communs aux deux membres,

br. br' . ak . ah' = ar. ar' . bh . bk' , ou'

{b) ibr){ak) = {ar){bk).

En traçant {Jig. 4^) les diagonales p'q et pq', nommant 0, 0' leurs intersections avec ab et prenant leur système pour transversal du triangle abc, on obtiendrait de même la relation

(c) {br){aO} = {ar){bO),

analogue à la précédente ; puis, en multipliant en croix ces deux dernières équations, on en déduit sur-le-champ cette troisième non moins remarquable

{aO)ibk) = {bO){ak);

relation connue pour le quadrilatère simple à deux diagonales, mais qui s'étend, comme les précédentes, au cas où les couples de côtés opposés et des diagonales sont remplacés par des coniques quelconques passant par les sommets p,p', q' , q de ce quadrilatère simple {*).

Si l'on considère le triangle X/r/r' au lieu de abc, et qu'on regarde pp' et qq' comme des transversales , la relation analogue à {b) et (c) deviendra

{d) {kr)k'a.k'b = {Ii'r)ka.kb.

Celle-ci, combinée avec [b), donne les suivantes :

{kr){br)ak'' ={k' r) {ar)bk\ {kr){ar]bk'' = {h'r){br)'d(';

(*) On reconnaît dans (b), (c), {d), trois des relations nommées imolutions de six points d'après Desargues, complétées au nombre de sept par Brianchon, et dont j'ai rappelé le nom original et véritable dans le Traité des Propriétés projectives. Mais on remarquera que, à l'époque de i8i6 où j'écrivais, le Mémoire de Brianchon sur les lignes du a* ordre n'avait point encore paru, et que déjà j'avais étendu ce genre de relations métriques aux lignes géométriques d'ordre quelconque, comme on le. verra d'ailleurs ci-après.

d'où l'on déduirait, par voie de mulliplicalion ou de division, beaucoup d'autres qui ont, je le répète, leurs analogues quand on remplace le système des diagonales, ou ceux des couples de côtés opposés du quadrilatère, par de nouvelles sections coniques transversales de la première.

Mais je ne m'étendrai pas davantage sur ce sujet.

Hexagramme de Pascal. — D'après le théorème fondamental, nous avons {Jig. 43)

[ap) [br) {cq) — [ar) {hq){cp);

or, les transversales /?gA^, p'Or, Lq'i'^, donnent, pour le triangle quelconque abc,

{pq ) cp . bq . ak = ap . cq . bk,

ip'r) cp' .ar.bO = ap' .br.cO,

iq'r) bq' .ai^ .cL = cq' .br' .aL.

Multipliant ces quatre équations membre à membre et sup-

Fig. 43.

primant les facteurs égaux («/>)( ôr)(e^) ei {ar){bq){cp), il

viendra la relation très-simple,

ah.b0.cL== bk .cO.aL.

Donc les trois points k, 0, L, situés en nombre impair sur les prolongements des côtés du triangle transversal abc, sont en ligne droite; or, ce sont là précisément les trois points de concours respectifs des côtés opposés de Vhexagone pqq' r' rp' p; ce qui constitue le théorème de Pascal.

Remarque générale. — Si l'on remplace la section conique par le système de deux droites, la démonstration est la même mot pour mot.

Le théorème d'où nous sommes partis, et qui, d'après Carnot, peut s'étendre à toutes les courbes géométriques décrites sur un plan, caractérise très-bien, comme on le voit, la section conique en particulier, puisqu'on retombe, sans effort, sur le théorème de Pascal relatif à V hexagone inscrit, le plus général que l'on connaisse sur ces courbes. On va voir que la relation métrique elle-même suffit pour décrire une section conique par points, quand on en a cinq de donnés à priori.

Tracé des coniques par points. — Soit abc [Jig. 44 ) un triangle transversal quelconque d'une section conique ; on a, d'après l'équation fondamentale (a),

ie) {ap){br) cq' .cQ = {ar).bq' .bQ.{cp),

ou, ce qui revient au même,

ap . ap' bq' .bQ.cp. cp'

ar.ar' cq' , cQ.br.br'

Supposons que les cinq points p, p', r, /•' et Q étant don-

Fig. 44-

nés, on trace pp', rr' et qu'autour du point Q on fasse tourner

Qq' ou bc, on connaîtra pour chaque position de celte droite, les valeurs de cp.cp' , br.br', 6Q et cQ, et la relation ci-dessus donnera bq' par une équation du premieV degré, puisque cq' = bq' — bc, par conséquent le point de la conique, situé sur la direction de bc, qui pivote autour de Q comme pôle, sera lui-même donné par une construction linéaire.

On déterminera plus facilement le point générateur q' , si l'on construit la position correspondante de la sécante indéfinie pq'; il suffira, en effet, de trouver pour chacune des positions de Ç)q', celle du point tel que k, où pq' rencontre la direction rr' du côté fixe ba du triangle abc; or, ce triangle, coupé par la transversale rectiligne )9^7f, donne

cp . bq' . ak = ap . cq' . bk ;

multipliant cette équation par celle ci-dessus [e), il viendra simplement

ap'.cQ.{ br) . ak = {ar).cp' .bQ.bk,

d'où l'on tirera ak et bk, puisque bk = ak -\-bk.

Cette équation ne change pas de forme quand la droite Q^' vient à passer par /> ; on a alors

ap'.pQ.{br).ak = {ar).pp'. bQ.bk;

ce qui permet de construire, de déterminer la position de la tangente au point ^.

Cette même équation peut se simplifier davantage encore en considérant la direction indéfinie de rQO comme transversale du triangle abc, ce qui donne

bQ.ar.cO = cQ.6r.aO,

équation qui, multipliée par la précédente, devient

ap' .br^.c0.ak = pp' .ar' .aO. bk,

et qu'on pourrait simplifier à son tour.

Cas particulier de tangence. — Quand l'un des côtés du triangle transversal abc, ac par exemple {Jig. 4^)» 6st tangent à la conique, l'équation [a] devient

Vp\br){cQ)={ar){b(i)Tp\

Par conséquent, si l'on connaît les quatre points Q, r, /, Q' et la position de la tangente ac, on trouvera par l'équation cidessus la position du point de contact p ; cette équation du 2* degré, indique qu'il y a deux coniques qui remplissent la

condition. Le point de contact p une fois obtenu, on pourra trouver autant de points Q' de la courbe que l'on voudra, en faisant varier QQ' autour de Q ; on déterminera très-facilement ensuite et à priori la tangente en l'un quelconque de ces points, Q', par exemple.

Pour cela, il suffît de tracer la transversale Q'r, et de supposer que la droite rr' tourne autour de r' jusqu'à se confondre avec r'Ç^ . On aura en effet, par le procédé ci-dessus, h étant le point oir la tangente en Q' rencontre ac, et A celui où r'Q' rencontre la même droite,

et, comme kc = kk — Ac, on obtiendra la valeur de kk par une équation du i*'" degré seulement.

Cas particuliers où, des sommets du triangle transversal sont sur la conique. — Premièrement, si le sommet c du triangle abc [fig. 46) se trouve seul sur la conique, les points c, p, Q' se confondent tous trois en Q', pQ" devient tangent à la courbe en ce même point, et alors on a, en remplaçant les notations de \^Jig- 44 par celles de la fig. 46,

ap' .Ç)Q' .{hr) aYi. = {ar).p' Q' .hQ.bK.

En second lieu, qu'on prolonge rQ jusqu'en O, sur aQ',

Fig. 46.

Qr transversale par rapport au triangle abc donne incontinent,

bQ.ar.OQ'=QQ'.rb.Oa; multipliant par la précédente équation, on obtient

ap' .br' .aK.OQ' = ar' .p' Q' .bK.Oa; et si, en outre, Qr devient tangent à la conique en Q {Jîg. 47),

Fig. 47.

le sommet b s'y confondra aussi, de sorte qu'on aura

a/.Qr'.aK.OQ'=«/'./Q'.QK.Oa; relation à remarquer en passant.

Considérons enfin la droite p' r' de la^g-. 47, comme transversale du triangle aQQ', qui coupe QQ' en L, on aura

Qy.QL ar'=ap'.Q'L.Qr',

et, en multipliant avec l'équation précédente,

aK.QL.OQ'i=«O.QK.Q'L;

par conséquent, si p' r' devient à son tour tangent en P à la conique [Jig. 48), c'est-à-dire quand le sommet a du triangle

transversal primitif s'y confond avec p' et /', on a la nouvelle

relation

PK.QL.OQ'=PO.QK.Q'L,

qui prouve que les trois points K, 0, L sont en ligne droite (théorème connu).

Avant de quitter ce sujet, je donnerai deux exemples de l'application du théorème fondamental (p. 68) aux propriétés des systèmes de coniques, qu'il serait facile d'étendre aux courbes de degré pair en général.

Théorème. — Si l'on fait varier une conique quelconque, en l'assujettissant à passer toujours {Jig. 49) P^f" quatre points fixes P', Q', R, U', la corde PQ, déterminée par ses nouvelles rencontres avec les droites également fixes Wba, Q'Qbc, pivotera sans cesse autour d'un dernier point invariable K, de la direction R'R.

Ce théorème est une conséquence évidente de ce qui précède; mais on peut ie démontrer directement. Ainsi, qu'on

prolonge la corde P'Q' jusqu'à sa rencontre K' avec RR', il en résultera un quadrilatère inscrit PQ Q'P' coupé par la Irans-

Fig- 49-

versale K'R'Rac, et, d'après ce qui a été tout d'abord démontré, on a la relation

aR.«R'.cK.cK'=:cR.6'R' «K.«K'.

Or, dans cette équation tout est constant, excepté aK et cK; de plus cK = aK-h ac, et comme ac est aussi constant, on en conclut que aK conserve la même valeur pour toutes les coniques qui passent par P', Q', R', R.

La proposition analogue a lieu pour le cas d'une courbe géométrique quelconque de degré pair.

Problème. — Trois points p, q, q' {Jig- 5o), communs à deux coniques, étant donnés, trouver le quatrième [p' ), en supposant connues les intersections r' , R, R' de ces coniques, par une transversale arbitraire bcr'.

La direction de cbr', celle de qq' et de pp' formeront, par leurs rencontres mutuelles, un triangle abc qui, étant considéré comme transversal par rapport aux deux courbes, donnera respectivement

{ap){cr)[bq) = {aq){br){cp), {aq){bR){cp) = {ap){cY{)[bq);

multipliant ces équations par ordre, on obtient la relation très-simple, déjà remarquée ci-dessus (p. 70),

on trouvera le point c, seul inconnu sur br', avec une simple règle, en formant à volonté un quadrilatère dont les côtés

opposés s'appuient respectivement sur les couples de points r et r', R et IV; tandis que l'une de ses diagonales passe par le sommet b, l'autre ira déterminer c sur br', ce qui fera connaître p' sur la direction de cp.

application de la méthode aux courbes géométriques d'ordre quelconque, coupées par trois droites arbitraires; construction de l'une des intersections par les autres successivement réduites à trois points en ligne droite.

Procédé général d'élimination des segments, applicable aux cas de tangence (p. 78 à 76). — Soient une courbe géométrique plane de degré quelconque w {/ig. 5r); «ôc un triangle dont les côtés rencontrent les diverses branches de cette courbe en 3 m points : on aura, d'après le théorème général de Carnot,

{ap)[br){cq) = {ar){bq){cp).

Au moyen de celte équation, 3m— i points de la courbe.

p, p', p",.. , q, q', q",..., /■, r', r",..., étant connus, on déterminera linéairement le dernier, r" par exemple. A cet

Fig. 5i.

effet, soit tracée la droite indéfinie r"q" qui rencontre le prolongement du côté ac du triangle abc en A"; en la considérant comme transversale de ce même triangle, on aura

ar" . bq" . ck = br" . cq" . ah.

Multipliant la précédente équation par celle-ci, il viendra

[ap). br. br' . cq . cq' . ck = ar.ar' . bq . bq' .{cp). ak.

Cette équation ne renfermant plus bq" ni br", sert à déterminer la position de k linéairement, comme on le verra ci-après.

Supposez maintenant que la ligne droite cq" vienne à tourner autour du sommet c jusqu'à passer par /•"; dans ce cas les points b et q" se confondront avec r" , et la relation ci-dessus ne changeant point de forme, donnera encore la position du point k\ mais la droite q" r" devient évidemment tangente à la courbe ; donc ce procédé donnera la tangente en un point quelconque d'une ligne géométrique tracée dans un plan.

Cas des courbes de degré pair. — Pour éviter que la figure ne soit trop confuse, je suppose qu'une courbe du 4* degré soit décrite sur un plan ; ce que nous allons dire de cette courbe particulière s'appliquera à toutes celles de degré pair.

8o IP CAHIER. - MÉTHODE DES TRANSVERSALES

Soit tracé quelque part, sur le plan de la courbe non représentée [Jig. 52), un triangle transversal abc dont le côté cb passe par l'un des points donnés r'" de la courbe, auquel on veut mener une tangente, etc.; supposez d'ailleurs que chacun des

Fig. 52.

côtés de ce triangle rencontre la courbe en autant de points qu'il est marqué par son degré : le côté cb, par exemple, aux quatre points r, r', r", r'" , le côté ab en p, p' , p" , p'", enfin le côté ac aux quatre points^, q',q", q'". On pourra joindre ces points deux à deux, par plusieurs manières différentes, de façon à former autant de polygones distincts, chacun de douze côtés et tels notamment que le dodécagone, de forme toute particulière,

q"'r"'r"p"'pqq'rr'p'p"q"q"' ou i23 4 56789roiii2i,

inscrit dans la courbe, et dont tous les côtés de rang pair •2.3, 45, etc., se confondent en direction avec ceux du triangle abc, comme le montre la Jig. Sa ci-dessus.

APPLIQUÉE AUX COURBES GÉOMÉTRTQUES. 8r

Cela posé, on a l'équation

iap){br){cq) = {aq){hp) (cr);

le côté 1 .2, ou q"'r"', non confondu avec un côté du triangle, et qui joint deux points q'" et /'" situés l'un sur ac et l'autre sur bc, rencontrera le 3^ côté ab de ce triangle en un point P. Pareillement, le côté 3.4 ou r'^p'" coupera le côté ac en Q, êl en considérant de même tous les côlés de rang impair jusqu'au dernier 1 1 . 12 ou p"q'^, qui coupe cb en R', on obtiendra six nouveaux points, P et P', Q et Q', R et R', situés deux à deux sur les côtés prolongés du triangle «6c ; ces six points correspondent respectivement aux six côlés de rang impair du polygone en question, lesquels pris successivement pour transversales du triangle abc, donnent :

transversale {pqR), aq .bp.cR = cq.ap.bR,

» {p"q"W), aq".bp".cW = cq",ap".bW,

» [rq'V), aq'.cr.bV = cq'.br.aV',

» ( r'" q'" P ) , aq'" . cr'" .bP = cq"'. br'" . « P,

» ip'Q'f^h cr'.bp'.aQ' = br'.ap'.cQ',

» ip'"Qr"), cr".bp"'.aQ = bi^\ap"',cQ.

Multipliant ces équations entre elles dans l'ordre où elles se présentent, il viendra, toutes réductions faites,

cR.cR'.6P.6P'.«Q.«Q'= 6R.6R'.aP.aP'.cQ.cQ'.

Donc (p. 70) les points P, P', Q, Q', R, R', obtenus par la règle seule, sont situés sur une même courbe du 2* degré; c'est-à-dire, en général, sur une courbe d'un degré moitié ou sous-double de celui de la courbe primitive, puisque les raisonnements précédents sont applicables à une courbe quelconque d'un degré pair, dont les intersections avec les côtés du triangle transversal, satisfont aux conditions géométriques du principe de continuité (*).

(*) Foir, dans les premières parties du Cahier ci-après, ce qui concerne les équations à deux termes, dont les conséquences relatives au triangle transversal des courbes géométriques, particulièrement développées aux n°* 148, 149, 166 de VJnnlyse des Transversales T^whWéÇi dans .II. 6

8u H' CAHIER. - MÉTHODE DES TRANSVERSALES

Si, à leur tour, on traitait les six points ainsi obtenus, de la même manière et comme on l'a fait notamment p. 71, on trouverait trois derniers points qui appartiendraient à une même ligne droite.

En général, les points P, P', Q, 0', R, R' étant sur une ligne continue, il existe entre eux une dépendance telle que, tous moins un seul étant donnés, le dernier peut se déterminer avec la règle; ce qui suppose évidemment une dépendance analogue entre les 3m premiers points p, p', p",. . .. Concevons, en particulier, que le point r"' reste inconnu, tous les autres étant donnés, le point P sera ausi^i inconnu puisqu'il se trouve sur r"'q"'y mais les cinq autres P', Q, Q', R, R' étant donnés immédiatement, P pourra (p. 71) se déterminer par leur moyen avec la règle seule, puisqu'il est sur la même conique; donc aussi le point r" sera constructible avec la règle seule.

Remarque. — Dans le cas où le degré de la courbe décrite serait une puissance quelconque de 2, on trouverait par des opérations successives qui s'effectueraient avec la règle seule, sur les côtés du triangle, de nouveaux points appartenant à des courbes d'un degré successivement sous-double, et l'on parviendrait définitivement à assigner trois derniers points qui devraient être en ligne droite. Si donc l'un des 3m premiers points appartenant aux trois côtés du triangle abc était inconnu, il pourrait se déterminer par la connaissance des autres; car il est visible que les constructions précédentes, étant appliquées aux points connus, donneront deux derniers points aussi connus de position, lesquels en détermineront à leur tour un troisième, d'où dépendra, par des constructions absolument inverses, le point cherché de la courbe. On conçoit au reste, que, dès qu'à un point primitif, il ne correspond qu'un seul côté inconnu du premier polygonCr il n'y aura aussi, dans chacune des constructions successives, qu'un seul point

le tome VIII du Journal de Crelle, consistent en ce que les points d'intersection mutuelle doivent être en nombre pair ou zéro sur les prolongements des côtés du triangle ; la relation à deux termes entre les segments i>e comportant explicitement aucun signe algébrique.

qui reste inconnu; donc, quand la série des trois derniers points viendra à être déterminée, toutes les autres séries de points le seront simultanément.

D'ailleurs ces constructions faciles, quoique multiples, étant absolument indépendantes des sommets a, b, c du triangle,

Fig. 53.

-~~kr~-

elles ne cesseront pas d'être exécutables, c'est-à-dire qu'elles ne deviendront pas illusoires, quand abc s'évanouira; donc, par la loi de continuité, elles devront encore déterminer le dernier point demandé. Cette observation s'applique aussi à la recherche de la tangente en un point donné.

Cas des courbes de degré impair. — Passons maintenant aux lignes géométriques d'un degré quelconque impair, et, comme ci-dessus, supposons-les, pour plus de facilité, du troisième degré. Ce que nous dirons de celles-ci s'étendra facilement à toutes les courbes d'un degré donné impair (*).

(*) M. Mannheim me fait observer, avec raison, que l'on peut toujours ramener ce dernier cas au précédent par l'addition d'une droite quelconque transversale du triangle abc\ ce que j'ai fait en d'autres occasions,

Dans ce cas il se trouve trois points pp' p", qq' q", rr' r" sur chacun des côtés du triangle; joignez alternativement deux points p" et q" pris sur les côtés ah et hc, puis deux points q' €t r" pris sur les côtés bc et ac, et ainsi de suite, il ne vous restera plus à la fin qu'un seul point r, quelle que soit la courbe : en prenant successivement ces droites pour des transversales du triangle abc, il viendra comme ci-dessus,

transversale p" q"Vi' bp" .cq" .aW = ap" .bf .cW ,

» r" q' V ar".cq' .bV' = cr" bq'.aV,

» p'Q'r' bp'.ar'.cQ' =ap'.cr'.bQ',

» pq^ bp.cq.aR:^ ap.bq.c^,

d'ailleurs, on a par définition,

{ap){bq) (cr)={bp){cq){ar);

multipliant et réduisant, on obtient

cr.aW.bV'.cQ'.aR = ai.cR.cR'.aV'.bQ'.

Par le point restant r, soit menée à volonté une transversale rQP dans le triangle abc, elle donnera

ar.cQ.bV = cr.6Q.«P;

multipliant à son tour la précédente équation par celle-ci, il vient

aR.aR'.6P.6F.cQ.cQ'=cR.cR'.«P.«P'.6Q.6Q'.

Les six points P, Q, P', Q', R, R' sont donc sur une même

section conique, ou en général sur une courbe du degré

- [m-{-i), m elstnl impaur.

Remarque. — On voit, par cette discussion, qu'on pourrait prendre le point Q ou P à volonté; d'après cela, il semble qu'il n'y ait aucune liaison nécessaire entre les points P', R',

en la conduisant toutefois par l'une des intersections à considérer; mais cette addition constituerait une complication et un changement de méthode que j'ai voulu éviter dans ces premières tentatives de généralîeation.

R, Q' et r qui sont les derniers points obtenus; mais il est visible que le point r est déterminé avec la condition que, si par ce point on mène à volonté une droite rQP, les six points P>P'> Q>Q'» R> R' soient toujours sur une section conique. Or, cette seule condition suffit pour déterminer la position de r: en effet, qu'on prenne Q à volonté, on trouvera ensuite, avec la règle seule, le sixième point P qui, avec les cinq autres Q, P', Q', R, R', doit être sur une même conique; traçant enfin PQ, le point r où cette droite coupera le côté ac, sera le point demandé, etc. D'après ce qui précède, ce point restera le même, quel que soit le point Q qu'on ail choisi.

Pour compléter la solution du problème, on construira, à l'aide des 6 points dont on vient de parler et par la règle seule, 3 nouveaux points qui seront situés en ligne droite. Par conséquent l'un de ces points se déterminera au moyen de 2 autres: en remontant ensuite aux 6 points précédents, on obtiendra celui de ces points qui se trouve seul inconnu; ce dernier enfin fera connaître celui qu'on cherche parmi les 9 points, /?,... q,- • • r, dont 8 sont donnés à priori.

Si la courbe était du 7* degré, on aurait 21 points d'intersection sur les côtés du triangle aftc, 7 sur chacun d'eux; en laissant à part l'un de ces 21 points, on en conclurait d'abord, comme ci-dessus, 10 autres; si, par le point restant, on mène enfin une droite arbitraire qui coupe les deux côtés du triangle «6c distincts de ce point, en de nouveaux points, on aura en tout 12 points qui devront appartenir à une courbe du 4* degré; l'un des 21 premiers points étant donc inconnu, il y en existe un parmi les 12 nouveaux qui le sera aussi, et il n'y en aura qu'un seul. En traitant ces 12 nouveaux points appartenant à une courbe du 4' degré comme nous l'avons fait cidessus, on en trouvera 6 autres, situés sur une conique, puis en remontant, on arrivera au point censé inconnu.

On saura donc déterminer le dernier point d'intersection d'une courbe du degré m avec un système de trois droites données de position, quand on connaîtra les 3m— 1 autres intersections appartenant à ces droites.

Tracé des tangentes. — De ce qui précède et en se rappelant ce qui a été dit primitivement sur la manière de mener une

tangente en un point quelconque d'une courbe géométrique donnée, on en conclura facilement le moyen de tracer cette tangente avec la règle seule. Il suffira, pour cela, de décrire un triangle dont un des sommets soit en ce point, et dont chaque côté coupe du reste la courbe en autant de points qu'il y a d'unités dans son degré; de remarquer qu'alors il y a deux points sur les côtés adjacents à ce sommet, qui se sont confondus en un seul avec lui, en sorte que la droite qui les joint est une tangente à la courbe. Le point où cette tangente rencontre le côté opposé du triangle sera déterminé parles mêmes opérations que ci-dessus, et il n'y aura rien à changer ni aux constructions, ni aux raisonnements.

Si le point auquel on veut mener une tangente était à l'infini, auquel cas les côtés adjacents du triangle deviendraient parallèles entre eux, la construction serait encore applicable; car étant indépendante des sommets du triangle, elle donnerait ainsi la position même de l'asymptote correspondante de la courbe; mais on voit qu'il faudrait en connaître nécessairement la direction.

Remarque spéciale. — Une courbe géométrique plane étant du degré m, si l'on en connaît à priori un point multiple de l'ordre m — i, on pourra la décrire par points avec la règle seule, tracer ses tangentes, etc. (*).

Détermination et tracé des coniques osculatrices en un point donné d'une courbe géométrique.

Problème I. — Une courbe géométrique étant décrite sur uit plan, déterminer pour un point quelconque de son périmètre, la conique osculatrice du second ordre en ce point, assujettie à satisfaire, en outre, à d'autres conditions.

Considérons un triangle quelconque abc, situé sur le plan de la courbe pqp'... [fig. 54), comme transversal par rapport à

(*) Voir \ Analyse des Transversales, citée dans la précédente note (r* partie, § IV, n°' 198 et suivants); cette analyse contient le développement de ces premières idées.

celte courbe que nous supposerons, pour plus de simplicité, du 3* degré seulement; on a, comme on sait,

{ap){bq){cr) = {ar)icq){bp).

Menons par les trois points p', p" et q" une section conique quelconque : elle rencontrera les côtés du triangle abc prolon-

Fig. 54.

gés, en trois autres points R, R', Q, et l'on aura cette nouvelle relation métrique

aR . aR' . cq" . cQ . bp' bp" = ap' . ap" . bq" . 6Q . c R . cW. .

Multipliant ces deux équations membre à membre, il vient

(1) ap.bq.bq' .[cr).aVk.a^' .cQ = bp.cq.cq' .{ar).c^.c^' .bQ,

Supposons, en premier lieu, que la transversale abp" devienne tangente à la courbe donnée, c'est-à-dire que les points p' ei p" se réunissent en un seul : la conique deviendra elle-même tangente à la courbe en ce point, et la relation cidessus ne renfermant ni p' ni p", subsistera toujours et donnera

par là tout ce qui peut concerner le système de la courbe

proposée et de la conique tangente.

Nous ne nous arrêterons pas à rechercher les propriétés qui résultent de cet état particulier du système, et nous passerons tout de suite^u contact du second ordre.

Supposons donc, en second lieu, que la transversale bc se meuve en se rapprochant du point de contact ci-desSus représenté par ip' p"), le point q" se rapprochera pareillement de ce point et se confondra avec lui en même temps que le sommet b du triangle transversal a6c {/ig. 55). Mais alors, en appelant b le point de contact, la relation ci-dessus, conservant la même forme et demeurant toujours applicable, servira à décrire la section conique qui a au point b trois points réunis en un seul commun avec la proposée ; c'est-à-dire que la conique sera osculatrice à cette même courbe en ce point devenu le sommet du triangle abc, et de plus elle passera par dejix points R, R' donnés à volonté sur le plan de cette courbe.

Tracé de l' osculatrice à l'aide du calcul (*). — On trouvera, par la règle seule {Jig. 55), la tangente au point b de la courbe proposée, ce qui donnera le point p; on tracera la droite indéfinie RR'qui coupera la courbe proposée aux points r, r , r" dès lors connus; enfin, par le point b on mènera une transversale arbitraire bc, et l'on obtiendra les points q et q' . Tout ce qui entre dan^ la relation (i) sera donc entièrement connu, sauf les segments 6Q et cQ^, relatifs au point Q où la transversale arbitraire cb, rencontre la section conique. Cette relation

(*) Ce, titre de subdivision s'adresse aux ingénieurs divers qui ont besoin de tracer à l'échelle, des courbes et des figures quelconques de grandes dimensions soit sur le terrain, soit sur des épures ou patrons préparés à cet effet et pour lesquels les ressources graphiques manquent absolument. Officier du génie, je ne pouvais pas dédaigner l'utilité de l'application du calcul aux arts, beaucoup trop négligée de nos jours dans les Écoles d'enseignement préparatoire. Écrivant à la hâte ces notes manuscrites en vue du Traité des Propriétés projectiles, j'ai dû n'en pas oublier fe but essentiel, inspiré par les remarquables travaux des Lambert, des Mascheroni, des Servois, des Brianchon, des Prony, etc. Peut-être, cette tendance de mes idées géométriques a-t-elle pu me nuire, plus tard, dans l'esprit des savants de profession trop exclusifs?

pourra donc servir à déterminer le point Q, puisque d'ailleurs

cQ = bc — hQ.

On déduira facilement de l'équation (i) le rapport de cQ à bQ

Fig. 55.

par les tables de logarithmes, puis appelant Je le nombre correspondant, on posera

cQ = Jf.bQ=^bc — bQ, d'où bQ = -^.

Ainsi, rien n'est plus facile que de déterminer par points l'osculatrice à l'aide du calcul. Maintenant occupons-nous de la recherche d'une construction graphique qui n'exige que l'emploi de la règle ou d'alignements sur le terrain, etc.

On y parviendra sans peine en se rappelant le procédé employé ci-dessus pour trouver la tangente en un point donné de la courbe.

Tracé purement linéaire. — Qu'on décrive en effet les trois

sécantes r"q'K, r'K' q, prQ', et qu'on les prolonge jusqu'à leur nouvelle rencontre avec les côtés respectifs du triangle abc, elles donneront respectivement, en les considérant comme des transversales par rapport à ce triangle :

1" (r^q'K) cq'.ar".bK = bq'.cr".aK, 2° (prQ') bp.ar.cQ' = ap.cr bQ',

3° (K'r'q) cq.ar' bK' = bq.cr' .aK'.

On a d'ailleurs la relation (i) ci-dessus, c'est-à-dire :

ap.bq. bq' . (c/-) . aR . «R' . cQ = bp.cq. cq' . {ar).cR .cK' .bQ.

Multipliant ces quatre équations membre à membre, et effaçant les termes qui se détruisent, il viendra

bK.bK'xcQ.cQ'xa^.aK' = aK.aK'xbQ.bQ'XcK.cR',

relation qui prouve que les six points K, K', Q, Q', R, R', situés deux à deux sur les côtés du triangle abc, doivent appartenir à une seule et même conique. Or, cinq de ces points sont connus et donnés par la construction précédente, et il n'y a que le' point Q qui ne le soit pas; mais comme il doit se trouver sur une droite donnée bq'c passant par l'un Q' des cinq points appartenant à la section conique dont il s'agit, on le déduira sans peine, au moyen de l'hexagone de Pascal et avec la règle seule, des cinq autres points déjà obtenus.

Si la courbe donnée, au lieu d'être du 3^ degré, était d'un degré plus élevé, on ramènerait par le même procédé, et en ayant égard à ce qui a été dit précédemment, la recherche du point inconnu Q à celle du point d'intersection d'une section conique donnée par cinq points quelconques, avec une droite donnée également quelconque, passant par l'un de ces cinq points. Je pense, d'ailleurs, que, après tout ce qui a été dit (p. 86) du procédé pour mener une tangente en un point quelconque d'une courbe géométrique, il devient inutile d'examiner en détail les deux cas distincts où la courbe proposée est de degré pair ou impair.

Remarque l. — Dans le problème qui précède, au lieu de tracer la conique osculalrice par points à l'aide du procédé

d'abord indiqué, on pourra se borner à rechercher un seul de ses points; on tracera ensuite celte conique par les méthodes connues (l. I, p. i38 et i5o), puisque deux autres points R, R' de cette courbe, la tangente hp et son point de contact sont donnés.

On pourra d'ailleurs, en décrivant un seul cercle langent en b, trouver par nos procédés (*), le centre, l'es axes, etc., de l'osculalrice avec la règle seule, et ainsi le problème sera complètement résolu.

Remarque II. — Lorsque les points R et R' de l'osculalrice passent à l'infini, la courbe devient une hyperbole ou une parabole selon les cas; enfin les mêmes points R et R' pourront être pris sur la courbe proposée sans que les constructions en éprouvent de modifications essentielles.

Remarque III. — Si la conique osculatrice, au lieu de passer par deux points donnés sur le plan de la courbe, devait être simplement une circonférence de cercle, les deux points deviendraient superflus, car le cercle osculateur est entièrement déterminé par son point de contact; mais la construction qui vient de nous occuper cesserait d'être applicable, et il conviendrait d'avoir recours pour ce cas particulier à un procédé direct, par exemple à celui indiqué ci-après.

On peut cependant suivre une marche tout à fait simple en observant que, lorsque deux courbes sont osculatrices entre elles, elles ont nécessairement au point de tangence, même cercle osculateur, car il résulte de là qu'on pourrait déterminer comme ci-dessus, une conique quelconque osculatrice de la proposée, et tracer ensuite le cercle osculateur de cette conique ; ce qui s'exécutera facilement et avec la règle seule {Rem. I), en se servant d'un cercle auxiliaire quelconque tangent en b h hp [fig. 55).

{*) Voir l'art. II, p. 262 et suiv. du précédent volume où se trouvent exposées les propriétés générales du système de deux coniques par rapport au point de concours des tangentes communes, véritable centre de projection mutuelle des deux courbes, nommé centre d'Iiomologie dans le Traité des Propriétés projectivcs : les nombreuses conséquences de ces propriétés faisaient partie d'un Cahier manuscrit, que j'ai dû supprimer dans cette publication.

Remarque IF. — Sans sortir des considérations qui précèdent, on peut démontrer aisément et à posteriori, que la conique osculatrice et la courbe proposée ont même cercle osculateur en leur point de contact.

En effet, représentons par p la corde interceptée par la sécante arbitraire qhq' dans le cercle osculateur en 6 à la courbe géométrique proposée, et par p' celle qu'intercepte sur la même droite, le cercle osculateur de la conique osculatrice qui passe par les points R et R'.

On aura, pour déterminer p ( p. 68), la relation

ap.bq.bq' .{cr).ab = bp.cb.cq.cq' . {ar).p.

Mais on a aussi, pour déterminer le point Q de l'osculatrice, l'équation (i) ci-dessus,

bp.cq.cq' .{ar){cK). bQ = ap.bq.bq' . (ci ){al{).cQ.

Multipliant ces équations membre à membre et par ordre, il viendra finalement,

^!(cR).6Q = ^6-.(aR).cQ.p.

Maintenant on aurait évidemment aussi, pour déterminer le p' correspondant au cercle osculateur de la conique, celte se^ conde relation semblable à la précédente

'âb\icl{).bQ = bc.{al{).cQ.p',

donc p-=p'; et, comme il en serait de même de toute autre sécamte, il est visible que les points des deux cercles osculateurs se confondent deux à deux. Ainsi, comme il s'agissait de le démontrer, le cercle osculateur est le même pour la courbe et pour la conique osculatrice.

Cas des simples coniques. — Examinons en particulier le cas où la courbe à laquelle il s'agit de mener une osculatrice du second ordre, est elle-même une conique quelconque : on a alors, pour déterminer le point Q,

(ij cq.(ar){cK).bQ = bq.{cr){aR).cQ. ■ -

Pour déduire de cette équation une solution graphique,

tracez qr' [Jlg. 56), qui coupera la tangente ba en K, puis KR',

Fig, 56,

qui coupera bq en m, enfin mr qui coupera «& en X; en considérant chacune de ces droites comme transversale du triangle abc, on aura

pour ^r'K bq.cr' .aK:^ cq.ar' .bK,

pour KR'm mc.aW .bK = mb.cW aK,

pour mrX mb.cr.a\=: mc.ar.b\.

Multipliant ces équations par ordre et par l'équation (i) cidessus, il vient immédiatement ,

€R.bQ.aX = aR.cQ.b\,

nouvelle équation qui apprend que les trois points R, X et Q doivent être en ligne droite; mais le point R est donné et le point X est déterminé par la construction qui précède; donc le point Q est aussi connu.

Remarque I. — Si l'un des points donnés, R, par exemple, se trouvait sur la courbe à laquelle on veut mener l'osculatrice, la construction deviendrait encore plus simple, car alors le point Q serait le point m lui-même, et il suffirait de tracer bq, qr' et KR'. Ainsi, dans le mouvement de la figure gKmXQ et pour le cas général qui précède, le point m décrit aussi une osculatrice en b, passant par R' et r.

Remarque II. — Supposez qu'on trace bW jusqu'à sa ren-

contre en p avec la conique donnée et qu'on mène pq, je dis que cette droite ira rencontrer mW en un point de hr. En effet, la figure brr'qpb forme un pentagone inscrit à la conique donnée et ab est la tangente en l'un b de ses sommets; en regardant donc cette tangente comn/e un sixième côté nul, et se rappelant que les côtés opposés doivent se couper en trois points situés en ligne droite, on en conclura sans peine la proposition énoncée.

De cette remarque on peut aisément conclure aussi que, si l'on trace la corde QR' correspondant à qp, ces deux droites se rencontreront en un point a qui demeurera sans cesse sur une troisième passant par b, corde commune à la conique cherchée et à la conique donnée, conformément aux considérations générales ci-dessus rapportées. Mais nous n'insisterons pas davantage sur ce cas particulier, et nous allons passer à l'examen des contacts du 3^ ordre.

Problème II. — En un point donné b {Jig. 5'] ) d'une courbe géométrique quelconque, mener une conique osculatrice du 3* ordre, passant en outre par un autre point donné R.

Supposons que, dans le problème qui nous a précédemment occupé ifig. 55) et où il s'agissait de trouver l'osculalrice

Fig. 57.

en 6, passant par R et R', le point donné R' soit précisément un des points de la courbe géométrique proposée, et qu'il se confonde par conséquent avec l'un des points r, r', r",

APPLIQUÉE AUX COURBES GÉOMÉTRIQUES. gS

avec r" par exemple: l'équation (i) qui sert à déterminer le point Q deviendra alors, puisque ar" = aR', cr" = cW,

ap.bq.hq' .cr cr'.aR.cQ = bp.cq.cq' .ar.ar' .cR.bQ.

Pour déterminer graphiquement le point Q au moyen de cette équation, soit menée par les points R et Q la corde RQ qui rencontre en K le troisième côté ab du triangle abc; en la considérant comme transversale par rapport à ce triangle, on aura

CR.aK.6Q = aR.6K cQ;

multipliant ces deux équations par ordre, il viendra

ap.aK.bq. bq' . cr.cr' = bp.bK.cq . cq' . ar. ar' ,

relation qui apprend que les six points q, q', r, r' , /? et K sont situés sur une seule et même section conique. Or, parmi ces six points, un seul K est inconnu; de plus, ce point est situé sur une droite donnée ba passant par l'un p des cinq autres; donc on obtiendra ce point par la règle seule, au moyen de l'hexagramme mystique de Pascal. Traçant ensuite KR, cette droite coupera bq'c au point Q qui appartient à la conique osculatrice cherchée.

Nous avons supposé ici que la courbe donnée fût du 3* degré, mais, en se rappelant ce qui a été exposé (p. 86) dans la recherche de la tangente en un point donné d'une courbe géométrique, on voit sans peine comment il faudrait agir si le degré de cette courbe était plus élevé; car, en traçant toujours RQ, on obtiendrait en général 3 (m — i) points situés m — i à m — I sur chacun des côtés du triangle abc, et appartenant à une courbe d'un degré moindre d'une unité que celui de la proposée supposée du degré m: parmi ces 3(m — i) points, il y en aurait 3 [m — i) — i de connus et un seul K d'inconnu. On parviendrait donc sans peine, par nos procédés (p. 78 et suiv.), à assigner six points, dont K ferait partie, situés deux à deux sur les côtés du triangle abc et devant tous être placés sur une même section conique; ce qui ramènerait le problème à celui qui précède.

Cas où la courbe donnée est une conique. — Avant de

passer aux conséquences générales, examinons le cas parUculier où la courbe donnée est elle-même du second degré. Alors [fig' 58), la dernière des relations ci-dessus devient

aK.bq.cr= bK.cq.ar;

ce qui indique que les trois points K, g, r, doivent être en ligne droite. Or nous sommes déjà parvenus à ce résultat par

Fig. 58.

la méthode des pages 76 à 77, et nous savons d'ailleurs que le théorème de cet endroit conduit immédiatement aux propriétés connues du système de deux coniques qui ont un contact du 2^ ordre. D'autre part, en supposant que R' se confonde avec le point b, il donne immédiatement la conique osculatrice du 3^ ordre en ce point, qui contient R.

Passons maintenant au contact du 3^ ordre relatif aux courbes de degré quelconque et qui est une conséquence bien simple de ce qui précède.

Cas général. — Nous avons vu {fig. 57, p. 94) que les six points q, q' , r, r', ^ et K devaient, dans le cas d'une courbe du 3« degré, être situés sur une seule et même ligne du ?,* degré afin que la conique QR6 fût osculatrice du second ordre à la courbe donnée, et eût le point r" ou R' en commun avec elle. '

Supposons actuellement que la sécante ac (même figure) se rapproche sans cesse du point h en tournant autour du point donné R, les six points ci-dessus devront toujours appartenir à une même conique, pour qu'à son tour le point Q appartienne à la conique osculatrice en h. Si donc on suppose que la sécante dont il s'agit passe enfin par le point h, le point R' ou r" s'étant réuni au point 6, la courbe sera devenue osculatrice du 3^ ordre avec la première; or les cinq points q, q' , r, r' et p conservant leur existence géométrique, en recherchant le sixième point K d'après la condition qu'il soit avec eux, sur une même conique, on en déduira {fig' Sg) le point Q qui appartient à la section conique osculatrice du 3* ordre au point b avec la première.

Cette conséquence résulte immédiatement de la loi de continuité; car, puisque la construction de Q subsiste, elle doit

toujours donner des points qui appartiennent à une conique passant par R et par R', désormais confondu avec 6, tout en conservant un contact du 2* ordre au même point h avec la proposée, c'est-à-dire qu'elle doit avoir quatre points réunis en un seul en b.

Solution définitive. — Les six points q, q', r, r', p et K, étant, dans le cas actuel {fig. Sg), situés deux à deux sur trois droites qui passent par le même point, il est aisé de construire l'un II. 7

quelconque K d'entre eux au moyen des cinq autres, sans même recourir à l'hexagramme de Pascal.

En effet, soient {Jig. 60) q, r, p, q' , r' , k, six points quelconques d'une section conique, placés deux à deux sur trois droites qq', rr', pk passant par un même point h. Achevons le quadrilatère inscrit q'rqr' dont rr' et qq' sont les diago-

Fig, 60.

nales; les côtés opposés concourront respectivement en deux points L et P situés sur la polaire PL du point 6; or il en serait de même du quadrilatère pqkq' si l'on connaissait le point /r; donc si l'on détermine le point N où le côté connu pq de ce quadrilatère rencontre la polaire PL, et qu'on joigne le point N ainsi trouvé au point q' par la droite Nç', celle-ci coupera la direction de la diagonale pb au sixième point k demandé : ainsi la recherche de ce point n'exigera seulement que le tracé de sept lignes droites.

Remarque. — D'après la remarque déjà faite plus haut, la solution précédente s'étend à toutes les courbes géométriques possibles, décrites sur un plan : pour éviter les erreurs, il convient de s'occuper d'abord des constructions à effectuer dans le cas [fig' 54, p. 87, et 55, p. 89) où le point R' n'est pas censé confondu avec b, et où la conique doit être seulement osculalrice du 2^ ordre avec la proposée; puis de les appliquer au cas où le point R' est confondu avec b, et où par conséquent la sécante ac correspondante, passant par ce même point, le triangle abc s'évanouit: car toutes ces constructions

resteront applicables sans aucune modification au tracé de l'osculatrice du 3^ ordre.

La solution qui précède peut nous conduire encore à celle de cette autre question d'un ordre plus élevé, mais dépendant toujours de la géométrie de la règle :

Problème 111. — En un point donné b {Jig. 61) d'une courbe géométrique quelconque,' mener la conique osculatrice du 4^ ordre en ce point.

Supposons, dans le problème ci-dessus, que le point R, donné à priori, soit précisément sur la courbe proposée et se confonde par conséquent avec le point correspondant r' de cette courbe; la construction par laquelle on obtenait à vo-

Fig. 6

lonté un point Q de l'osculatrice du 3^ ordre en b passant par R subsistera toujours sans aucune modification; mais, si l'on veut, en outre, que ce point donné R se confonde avec b, et que par conséquent la conique cherchée y devienne osculatrice du 4* ordre, cette même construction deviendra complètement illusoire. C'est pourquoi il est nécessaire de recourir à une autre méthode pour parvenir à la solution du problème dont il s'agit, et qui semble difficile pour les courbes géométriques d'un degré supérieur au 3^.

Supposons que, dans les hypothèses du cas général [Jig. Sg) où R n'est pas confondu avec b, on veuille déterminer les positions du point Q pour lesquelles il se confond avec son

loo II* CAHIER. - MÉTHODE DES TRANSVERSALES

correspondant q' , ce qui revient à rechercher les autres points où l'osculatrice coupe la courbe proposée, et exige que les trois points K, R et q' soient en ligne droite. Or nous savons (p. 78 et suiv.) que les six points q, r, p, q' , R et K doivent, en général, appartenir à une même section conique; donc les trois points q, r, p doivent aussi être en ligne droite.

Si la courbe était par exemple du 4" degré, il y aurait trois nouveaux points, en sus des six qui précèdent, situés avec les premiers sur les droites hq, br, bp ; et, par les mêmes raisons, les trois points K, R, q' devant toujours être en ligne droite, les six derniers seraient sur une conique: des circonstances analogues auraient lieu pour les courbes de degré supérieur au 4*. Mais, sauf le cas des courbes du 3^ degré, la question de trouver une transversale qbq' [Jig. 61) qui remplisse les conditions exigées est très-difficile à résoudre, et on s'en rend compte en observant que le nombre des positions cherchées du point Q ou q' est nécessairement, et en général, 2 m — 5 pour une courbe du degré m. En conséquence nous ne nous occuperons d'abord que des courbes du 3^ degré.

Cas des courbes du 3' ordre. — Les trois points p, q, r [Jig. 61) doivent alors, comme on l'a vu, être en ligne droite, mais les points r e\. p sont donnés par les conditions du problème; traçant donc la droite /?r,'qui coupe de nouveau la courbe au point q, puis la droite qb, celle-ci donnera le point q' demandé, pour lequel K, R, q' sont en ligne droite, et, par suite, Q est confondu avec q' . Quand le point donné R est luimême confondu avec b, la construction subsiste, seulement la direction de pr devient tangente à la courbe.

On peut donc encore, pour les lignes du 3^ ordre, déterminer un point de l'osculatrice avec la règle seule. On en obtiendra ensuite autant d'autres que l'on voudra, en faisant attention que la conique osculatrice cherchée doit nécessairement avoir un contact du 3^ ordre avec toute autre section conique, ellemême osculatrice de cet ordre en b avec la courbe proposée; car en traçant cette conique par points avec la règle, on en déduira simultanément ceux de la section conique osculatrice du 4' ordre, dont un point est donné.

Sans passer par ces intermédiaires, on peut d'ailleurs con-

APPLIQUÉE AUX COURBES GÉOMÉTRIQUES. loi

struire l'osculairice immédiatement, en agissant comme dans la question précédente et prenant le point d'abord obtenu pour le point ci-dessus R ou r' .

Cas d'une courbe géométrique quf^lconque. — Si la courbe proposée est du degré m, on pourra encore construire l'osculatrice du 4' ordre comme on va le montrer.

Soient toujours r' br, bpp' [fig. 62) les deux droites don-, nées à prioii, et qq' celle dont on recherche la position; d'après ce qui précède, les trois points q' r'h devant être en ligne droite, ceux p, r, q,. . ., p', r", q", . . en nombre 3(w — 2),

devront être à une courbe de degré m — 2. Cette condition suffit pour déterminer la position de bq' : supposez, en effet, qu'on trace une droite arbitraire bqq", elle ira couper la courbe en m — i, points distincts de b, dont on choisira m — 3 à volonté; on regardera ces m — 3 points comme faisant partie de la courbe du degré m — 2 ci-dessus, avec les 2 (m — 2) autres points donnés sur les droites fixes bp et br; on aura ainsi 3 (m — 2) — i = 3m — 7 points de la même courbe, et on en déduira par la règle seule (p. 78 et suiv.),le S (m — t.)'"". Supposant donc qu'on exécute pour chaque sécante arbitraire bq la même construction, la suite des points ainsi obtenus formera une ligne continue, et les points où elle ira rencontrer la proposée seront tels, qu'en joignant le point b à l'un d'eux par une droite, elle remplira les conditions du problème; c'est-àdire que chacun des points où elle coupera la courbe donnée appartiendra à l'osculatrice demandée.

Nous n'en dirons pas davantage sur celte solution à cause de son extrême complication; je crois néanmoins/malgré les apparences contraires, qu'il doit exister, pour ce cas général de l'osculatrice conique du 4® ordre, une construction non moins simple que celle indiquée ci-dessus pour les osculations d'ordres inférieurs, et qui n'exige également que l'emploi de constructions purement linéaires (*).

APPLICATION DIRECTE DES MÊMES PROCÉDÉS d'ÉLIMINATION ET DE RÉDUCTION A DES CAS SPÉCIAUX.

Propriétés des lignes planes du troisième degré.

Théorème principal. — Soient p, p', q, q' , r, r' six points situés à la fois sur une conique et une courbe du 3*^ ordre ;

Fig. 63.

soienl tracées les droites pp', qq' , rr' , dont les rencontres mutuelles forment le triangle transversal abc, qui coupe la courbe aux nouveaux points P, Q, R; je dis que ces trois points doivent appartenir à une ligne droite.

(*) Ceci explique comment, après l'examen du cas particulier des lignes du 3' ordre et de la détermination du rayon de courbure en un point donné des courbes géométriques en général, j'en suis venu à changer de route et à me rapprocher de la méthode de Maclaurin que j'avais ignorée jusque-là (i8i6),;mais en cherchantà généraliser ou simplifier ses solutions, ce à quoi je suis parvenu en transformant une équation à deux termes, relative aux produits de segments et qui se rapporte à l'involution généralisée, en fonction de réciproques d'abscisses ou d'autres segments comptésd'une origine fixe, comme on le verra plus loin.

APPLIQUÉE AUX COURBES GÉOMÉTRIQUES. io3

En effet, on a pour la conique

(ap) {br) (cq) = (aq) (bp) {cr),

et pour la courbe du 3* degré

[ap) aP {br) bR {cq)cQ = {aq)aQ{bp) bV {cr) cR,

relations d'où l'on tire immédiatement

aV.bR.cQ = aQ.bP.cR;

ces trois points P, Q, R, doivent donc être en ligne droite. Par conséquent, si les cinq points p, p', q, q', r, communs à la conique et à la courbe du 3^ degré, étaient donnés, le sixième se trouverait facilement (p. 71) par des constructions linéaires.

Supposez que r se déplace sur la courbe du 3^ degré, Q et P étant immobiles; R restera fixe aussi, mais r' variera avec la droite rr', qui tournera par conséquent autour de R comme pôle et décrira la section conique.

Théorème réciproque. — Soit abc [fig. 64) un triangle transversal d'une ligne du 3^ ordre ; si trois quelconques des inter-

Fig. 64.

sections />", q" , r", appartenant à des côtés différents du triangle, sont sur une même droite, les six intersections restantes p, q, r, p', q', r', sont sur une conique.

io4 II* CAHIER. - MÉTHODE DES TRANSVERSALES

Donc si l'on fait tourner à volonté les trois transversales ab, ac, hc autour des ()oints p", q" et r" , les six intersections ne cesseront pas d'appartenir à une conique.

De cette seule remarque découlent une foule de conséquences curieuses et utiles; nous nous bornerons à quelques exemples.

Imaginons [fig. 65) que les trois points p, q, r se réunissent en un seul p, la conique passant par p' q' r' sera osculalrice

du second ordre en pqr', si donc on donnait le point de contact et deux autres points quelconques q' et r' sur la courbe, on obtiendrait aisément le point p' avec la règle, en traçant une transversale arbitraire p" q" r".

Remarquons d'ailleurs que si cette dernière droite passait par le point où la tangente commune rencontre de nouveau la courbe du 3^ degré, r' se confondant dès lors avec le point de contact commun p, la conique deviendrait osculatrice du 3« ordre en ce point avec celte même courbe censée décrite ou convenablement déterminée.

Si l'on veut que la conique, toujours osculatrice du 2^ ordre en p {/ig. 65 ), touche la courbe en un nouveau point p', il faudra tracer pp', qui donnera p", puis en p" mener la tangente p" g", qui donnera g"; tracer enfin pq", qui donnera un nouveau point ^'de l'osculatrice demandée; on construira ensuite facilement la conique avec la règle seule.

Si la conique osculatrice en p devait l'être en même temps en p', il faudrait que q' se réunît avec p' et q" avec p"; donc p" devrait être un point d'inflexion.

Dans les courbes du 3" degré, tout point d'inflexion est donc tel, que si par ce point on mène une sécante arbitraire, elle ira couper la courbe en deux autres points par lesquels pas-

APPLIQUÉE AUX COURBES GÉOMÉTRIQUES. io5

sera une conique doublement osculatrice en ces points à la ligne du 3^ degré.

Supposons, dans le cas général, que les quatre points p, q, p' , q' de la conique soient donnés, p" et q" seront donnés aussi et par suite r"; si la conique doit toucher la courbe, il faudra que les points r et r' se confondent en un seul ; on obtiendra donc le point de contact en menant de r" une tangente à la courbe autre que celle qui correspond au point r" même.

Supposons enfin {Jig. Q&) que d'un point d'inflexion d'une courbe du 3^ degré, on mène trois sécantes arbitraires, elles

donneront sur la courbe six nouveaux points appartenant à une même conique, selon ce qui précède. Ayant donc cinq des points de cette conique, on trouvera le sixième r' avec la règle seule, etc., etc.

En particulier, du point d'inflexion s d'une courbe du 3^ degré, menez les sécantes arbitraires sp, sq, sr, les six autres intersections p, q et r, p' , q' et r' étant à une simple conique, les droites opposées, qui, dans un ordre quelconque, joignent deux à deux ces six points, telles que, par exemple, qr et q' r', qr' et q' r, etc., iront concourir sur une même ligne droite, et il en sera ainsi encore des couples de tangentes aux extrémités de chaque sécante : on peut appeler cette droite unique la polaire du point d'inflexion s; or, cette polaire viendra couper la courbe aux trois points de contact des tangentes issues du pôle s.

D'un point d'inflexion, on ne peut donc mener que quatre tangentes à la courbe, y compris celle qui correspond à ce point et qui d'ailleurs compte pour trois réunies en une seule.

io6 IP CAHIER. - MÉTHODE DES TRANSVERSALES

Qu'en un point quelconque ï d'une courbe du 3^ degré il s'agisse de mener le cercle osculaleur à cette courbe, on y choisira, à volonté, trois autres points p' , q', r' en ligne droite, puis on tracera Tp', Tq', Tr', qui donneront trois derniers

points p, q, r, appartenant à une conique osculatrice en T, laquelle sera ainsi déterminée, puisque, outre quatre de ses points, l'on aura la tangente en l'un d'eux. On tracera ensuite facilement le cercle osculateur en T au moyen d'un seul cercle auxiliaire tangent en T, et en n'employant que la règle seule, d'après des procédés déjà mentionnés à la page 91, mais sur lesquels nous n'insisterons pas davantage ici.

Au lieu de poursuivre ces questions relatives au tracé du cercle osculateur dans le cas particulier des lignes du 3^ degré, et avant de reprendre celles qui concernent les problèmes analogues, relatifs aux coniques et aux cercles osculateurs des courbes en général, revenons aux propositions et aux hypothèses particulières des^g-. 63 et 64.

Supposons, plus particulièrement encore, que trois nouvelles intersections p', q', r' {fig. 64) soient en ligne droite, de même que p" , q" , r" , les trois dernières/?, q, r seront aussi en ligne droite, ce qu'on peut énoncer ainsi en observant [fig. 68) que la figure q q' r' r" p" p q forme un hexagone inscrit à la courbe:

Théorème. — 0 Si l'on inscrit à une ligne du 3^ ordre, un )) hexagone i 2 3 4 56 r, dont deux systèmes de côtés res- » pectivement opposés q' r' et pp" , qq' el p" r" , se rencon-

» ireni en des points p' et q" situés sur la courbe, les deux

Fig. 68.

» derniers côtés r' r", pq-, ou 3-4 et 1.6, iront aussi concoVirir » en un 3* point r de cette courbe (*). » ■ Si l'on suppose maintenant que p se confonde avec q, la

(*) On reconnaît ici, pour les lignes du 3^ ordre, le théorème analogue à celui de Xhexagrammum mysticum (a) découvert par Pascal pour les simples coniques. C'est seulement par le Mémoire de i83o sur \ Analyse des Transi>ersales, déjà cité dans une précédente Note, que les géomètres ont pu avoir une tardive connaissance des résultats ci-dessus et des suivants auxquels j'étais parvenu dès 1816 pour les lignes de cet ordre: quelques-uns des plus simples offrent une grande analogie avec ceux que Maclaurin a consignés dans son célèbre Traité d'Algèbre, sans pourtant s'y confondre ni dériver d'une même source; car ce n'est qu'après avoir communiqué, dans la même année, mes propres résultats tirés du théorème de Carnot, à feu Français, de l'École d'application de Metz, possesseur de la riche bibliothèque d'Arbogast, que j'ai pu moi-même prendre connaissance de l'ouvrage, fort rare, publié en 1768 par la veuve de Maclaurin, et dans lequel se trouvent consignées les belles recherches de ce grand géomètre sur les lignes géométriques en général, et plus particulièrement sur les lignes du 3' ordre. La partie la plus intéressante de ces recherches est, sans contredit, celle où l'on voit les propositions relatives aux quadrilatères inscrits, aux pôles et polaires des courbes du second degré, se reproduire dans celles du troisième : à ce point de vue, on peut dire qu'en 1816, on ne connaissait rien de plus original en France, où ces travaux du savant anglais étaient pour ainsi dire complètement ignorés ou oubliés.

Toutefois, je ne pense pas que l'illustre auteur ait jamais songé à rattacher cette singulière analogie ou correspondance aux énoncés généraux établis dans le texte ci -dessus, d'après lesquels une branche ou portion (le branche infinie d'une courbe du 3" degré peut être assimilée à une

(fl) Cette expression latinisée a été consacrée par Pascal et Leibnitz.

io8 II' CAHIER. - MÉTHODE DES TRANSVERSALES

direction de pq sera langenle au point correspondant, et l'hexagone se changera en un pentagone, le dernier côté pq étant devenu infiniment petit.

On arrive à des conséquences analogues relatives aux quadrilatères et aux triangles inscrits ou circonscrits à lu courbe, et l'on voit en particulier, comment on pourra tracer le pentagone ou la tangente dont il vient d'être parlé : prenez arbitrairement trois points p", q", r" en ligne droite sur la courbe, joignez ensuite le sommet double [pq) avec (f et p" , par d'autres droites qui vous donneront ^' et p'\ tracez l'indéfinie p' q' , qui vous donnera r'; tracez enfin la droite r' r" qui viendra couper la courbe au point r appartenant à la tangente en [pq] (*).

droite sans limite, [)ar rapport au restant de la courbe, lui-môme assimilé à une section conique ou au système de deux lii:i;nes droites indéfinies. En outr^ dans mon Mémoire de i83o, inséré au t. VHI de l'excellent /(wm*?/ Mathématique de Crelle, j'ai montré, comme dans mon ébauche de 1816, que, relativement aux quadrilatères, à Xhexagramme et à leurs principaux corollaires, la théorie était susceptible de s'étendre, par celte directe et facile application de l'analyse des transversales, à une infinité d'autres figures inscrites dans les lignes du 3* ordre; proposition remarquable et dont, à mon sens, on n'a pas jusqu'ici tiré un suffisant parti, malgré les beaux travaux de MM. Steiner et Plucker, dont les brillants imitateurs ou amplificateurs se sont, de plus en plus, attachés à un genre de spéculalions mal à propos nommé quelquefois Géométrie de position ou de situation,mà\s qu'il serait plus exact d'intituler: Monographie géométrique et combinatoire. En effet, on s'y livre à des énumérations de lemmes, de théorèmes, de problèmes et de corollaires oîi l'on épuise, pour ainsi dire, le nombre des combinaisons possibles relatives aux points, aux lignes, surfaces ou accidents géométriques inhérents à certaines figures, jusque-là compréhensibles dans leur élégante simplicité, et dont l'extrême et récente complication ne tend rien moins, qu'à détourner les jeunes adeptes du but véritablement utile, sérieux et philosophique de la science, par des exercices en quelque sorte gymnastiques, dont, je le répète ici à dessein, les algébristes de ce siècle et du précédent ont offert de trop fâcheux et ■ nombreux exemples.

(*) Ces conséquences deviennent bien évidentes si l'on se reporte aux p. 127 à 140 (Cah. III) du I" volume de ces Applications d'' Analyse et de Géométrie, et l'on comprend parfaitement que, dans cette rédaction rapide et écourtée relative aux lignes du 3" ordre, j'aie négligé d'entrer dans le développement de corollaires aussi simples et dont on trouvera les plus saillants dans X Analyse des Transversales déjà citée.

Problème. — Une section conique ahcd {fig. 69) ayant 5 points a, h, c, d, e communs avec une courbe du 3® ordre, trouver le sixième avec la règle seule.

Tracez ah et cd se coupant en M; si la troisième droite ex était connue, elle viendrait couper de nouveau la courbe en un certain point N, et celui-ci devrait être en ligne droite avec les points M et L connus, où les deux droites de et ba ren-

Fig 69 .

contrent respectivement, une troisième fois, la courbe. Donc, pour obtenir le point x, tracez ML qui vous donnera N, tracez enfin Ne qui vous donnera le point cherché par son intersection en X avec la courbe.

La démonstration directe de ce résultat est facile : car le triangle ABC formé par les rencontres mutuelles des cordes prolongées ab, cd et eA, étant regardé comme transversal, d'abord de la section conique, ensuite de la courbe, on aura

(AN.Aor.Ae) (Crf.Cc.CM) (B6.B«.BL)

= (Aa.A6.AL)(BM.Bc.Brf)(Ce C^.CN), (A«.A6)(Bc.Brf)(Ce.C^) = (Aar.Âe)(B6.Ba)(Cc?.Cc),

no ■ IP CAHIER. - MÉTHODE DES TRANSVERSALES

et en multipHanl membre à membre,