C:F-|-C'ar= CR — R:c -h GV -h r:F = CR -i-C'r

ainsi la courbe que parcourt le point x est, dans ce cas, une ellipse dont C et C sont les foyers, et qui a pour grand axe la somme CR-f-C'r des rayons des deux cercles donnés. Pour l'autre centre x', on a pareillement

Cx'-f-C'^ = CR'— R'jr'-hro:' — C'r=CR' — CV;

ainsi la courbe que parcourt le centre x\ est aussi une ellipse qui a mêmes foyers que la première, mais dont le grand axe est égal à la différence des rayons des cercles donnés.

Fig. 35.

RI

Ri

Si le cercle (C) avait un ravon infmi et qu'il se réduisit par

5o I*' CÀHŒR. - LEMMES

conséquent à une ligne droite CR {Jig. 35)> le cercle tangent pourrait encore avoir deux séries de positions {x) et {x*). Quand [x) touche extérieurement le cercle (C), on a

ce qui prouve que la courbe parcourue par le point x est une parabole. En effet , supposons qu'on écarte du centre C en KM, la droite CR d'une quantité /79=»C'r, il est évident qu'on aura pour tous les points Xy

xVii^Ç/x;

ce qui montre en outre que le centre C est le foyer de la parabole» et que KM en est la directrice.

Pour la même raison \ le centre x' parcourt une parabole dont G est le foyer et dont une autre parallèle à CR, p'R', est la directrice. Car on a évidemment

RV-C'x'==Cr

et par conséquent, en supposant />' g =C'r,

Considérons maintenant les cas où les cercles (C) et(C') se coupent ou se touchent. Lorsque les deux cercles se coupent (Jig. 36), le cercle tangent peut avoir les deux positions [x) ei

Fig. 36.

[x*). Le centre x parcourt une hyperbole dont C et C sont les foyers et dont l'axe transverse est égal à CR — C'r. Le centre œ' décrit une ellipse dont C et C sont aussi les foyers et qui a pour grand axe CR + C'r : chacune de ces deux courbes passe évî-

DE GÉOMÉTRIE SYNTHÉTIQUE. 5i

demment par les deux points K et L, ou se rènconlrent les cercles (C) et (C).

On voit que, dans tous les cas précédents, il y a deux courbes distinctes engendrées pour les deux mêmes cercleà (C) et (C), soit qu'ils se coupent ou qu'ils ne se coupent pas. Mais la même chose n'a plus lieu quand ils se touchent.

Si les deux cercles (C) et (C) se touchent extérieurement

FIg. 37.

{fiS' ^7)» '^ ®s^ évident que le cercle [x) n'a plus qu'une seule position elle-même extérieure à ces cercles, et comme on a

Cjt — C'^ = CR— C'r,

le centre décrit une hyperbole dont C et G sont les foyers, et qui a CR — C'r pour axe transverse.

Quand les cercles (C) et (C) se touchent intérieurement [fig. 38), le centre x décrit une ellipse qui a pour foyers les

centres C etC et pour grand axe la somme CR -t- C'r des rayons de ces cercles. Dans l'un et Vautre de ces deux derniers cas, la courbe parcourue louche à la fois les cercles (C) et (C) au point de contact T.

Si le cercle (C) [fig. 39) était une ligne droite CI tangente au cercle (C), la courbe unique, parcourue par le centre du

52 l" CAHIER. - LEMMES

cercle mobile [x], serait une parabole dont C serait le foyer, MK la directrice, etc.

Enfin, si les cercles (C) ei (C) se réduisaient à deux lignes

droites, il est clair que la courbe parcourue par le centre x sérail elle-même un système de deux lignes droites.

On conclut de cet examen, qu'une section conique quelconque, courbe ou droite, peut être engendrée par le centre d*un cercle qui serait, dans toutes ses positions, constamment tangent à deux cercles donnés , en ayant soin d'observer que ces cercles peuvent avoir des rayons infinis et par conséquent devenir de simples droites.

Si Ton suppose, dans tous les cas précédents, que le cercle (C) se réduise à un point, le centre de [x) ne décrira qu'une seule courbe, qui sera une hyperbole quand il sera situé en dehors du cercle (C), une droite quand ce point sera situé sur la circonférence de ce même cercle, une -ellipse quand il sera situé au dedans, enfin une parabole quand le cercle (C) deviendra une ligne droite (*).

Nous pouvons maintenant nous proposer de trouver l'intersection d'une courbe du second degré et d'une ligne droite.

(*) Cette discussion, pour être complète, aurait besoin de s'étendre au cas où, de deux cercles fixes donnés sur un même plan, Tun enveloppe le cercle mobile, et l'autre en est enveloppé extérieurement, etc. Mais cette discussion n'offre aucune difBculté, et n'a qu'un bien faible intérêt pQpr la solution du problème ci-après.

Problème XIV.

Déterminer les deux points d'intersection d'une ligne droite et d'une section conique.

Quelle que soit la courbe donnée, elle peut être considérée comme engendrée par le centre d'un cercle de rayon variable» assujetti à passer par un point donné et à rester tangent à un cercle donné. Les deux points d'intersection cherchés seront donc tels, que si de Tun d'entre eux comme centre, avec sa distance au point donné pour rayon, on décrit une circonférence de cercle, celle-ci sera tangente au cercle donné. Par suite, le problème proposé est ramené au Probl. IX résolu plus haut.

Si la courbe donnée est une parabole, la question revient à celle du Probl. X. Considérons ce dernier cas pour premier exemple.

Soit A [fig. 4o) le foyer de la parabole; PQ sa directrice; MN la droite dont on veut déterminer les intersections x et x' avec la parabole : la question revient, comme nous lavons dit, à mener par le foyer un cercle tangent à la directrice PQ, et dont le centre soit situé sur la droite MN. On abaissera donc

Fig. ^o.

(Prob. X) du point A, une perpendiculaire AI) sur MN ; on portera AD sur cette droite, de D en B ; par les deux points A et B on fera passer une circonférence de cercle quelconque ABT; par le point p où AB prolongée rencontre PQ, on mènera la tangente /iT à ce cercle; on rapportera ensuite celte tangente

54 1"' CAHIER. - L6IIMJSS

sur la directrice PQ, de part et d'autre du point p^ en 0 et 0'; enfin aux points 0 et 0' on élèvera sur cette directrice, des perpendiculaires qui couperont la droite MN aux points J7 et j/ demandés.

Seolie, — 11 résulte de là que la parabole jouit de cette propriété : Soit MN [fig. 4o) une droite quelconque rencontrant la courbe en x eix' ; si Ton abaisse du foyer A, sur cette droite, une perpendiculaire AD qui coupe la directrice au point p, et que des points a: et j/, on mène à Taxe de la courbe les parallèles x'B' et xB qui rencontreront la directrice aux points 0' et 0, la distance 90' sera divisée en deux parties égales par le point p, et la distance pO sera égale à ^pAlpk-h'kAD).

Si la droite MN passait parle foyer A [Jig. 40»^^ construction précédente aurait encore lieu; seulement le cercle ABT serait

tangent à fa droite p\ élevée perpendiculairement surMN au point A, et alors on aurait/?© =y>6' = /? A. Il est aisé de voir aussi que le point p serait celui où se coupent les tangentes à la parabole menées par les points x' et x; car les deux triangles pAx' et pB^x' relatifs à l'intersection x', par exemple, étant alors rectangles et égaux, Tangle px'A = ang. px^h^ : pareille chose a lieu pour le point x ; donc les tangentes en x et ^' passent par le même point p. On peut remarquer, en outre, que l'angle xpx' de ces deux tangentes est un angle droit (* ).

(*) f^ox*, à la suite de ce P" volume, sous le titre de Som*enirs de r École polytechnique, quelques autres propositions relatives à la parftifole, démontrées par voie de synthèse : notamment la détermination ries normales, des rayons de courbure et de la développée de cette courbe.

DK GËOMÉTRIK SYNTHÉTIQUE. 55

Supposons, pour second exemple, qu'il s'agisse de trouver l'intersection d'une ellipse avec une droite MN (Jig. ^^).

Soient C et C les foyers de Tellipse; du point C comme centre, avec le grand axe pour rayon, on décrira une circonférence (C), et l'ellipse pourra être considérée comme engendrée par le centre d'un cercle qui passerait par le point C, et qui selrait dans toutes ses positions,-tangent au cercle (C). On abais-

Fig. 43.

sera donc (Prob. IX) du foyer C, une perpendiculaire CD sur la droite donnée MN; puis on fera DB = C'D; par les points B et C on fera passer une circonférence quelconque BCnm qui coupera le cercle (C) aux points m et n; on tracera la corde mn, laquelle coupera C B au point p ; de ce point, on mènera les tangentes pT ei pV au cercle (C); on joindra les points T et T' avec le foyer C par les droites CI et CI', qui couperont MN aux points x et x' demandés.