DEUXIÈME CAHIER

PROPOSITIONS FONDAMENTALES TIRÉES DU SYSTÈME DES COORDONNÉES DE DESCARTES.

SUR L*IDENTITÊ DBS COURBES DU SECOND DEGRÉ ET DBS SECTIONS DU CONE DROIT À BASE CIRCULAIRE {*).

Les divers auteurs qui, jusqu'à présent (i8i3), nous ont donné des Traités éléïnentaires sur l'application de l'algèbre à la géométrie, ayant mis un ordre différent dans Tenchaînement des propositions , il est nécessaire , avant d'aborder la question dont il s'agit ici, d'indiquer la marche que je suppose adoptée à ce sujet. Cela permettra de donner à cet essai de démonstration le degré de clarté et de rigueur indispensable, tout en faisant éviter jusqu'à l'apparence de cercles vicieux.

Transformation et discussion préalables de t équation générale

des lignes du second degré.

Je suppose qu'on ait commencé par déterminer les équations du point et de la ligne droite, soit que Ton considère ce point t)u cette droite d'une manière isolée, soit qu'on les suppose combinés entre eux par voie géométrique ou par voie analytique.

Le cercle étant, après la droites la ligne la plus élémen- — ■ -■' — — ' -■

(* ) Cette Not« était destinée à un ancien camarade de promotion d'École polytechnique, M. Dufrayer, officier d'artillerie, comme moi prisonnier de guerre dans le gouvernement de Saratoff, et qui se proposait d'en faire usage pour l'enseignement de la Géométrie analytique à de jeunes Russes : cette Note ne put parvenir à sa destination par la voie de la poste of!i-

taire, je suppose qu'on passe tout de suite à Texâmen de ses di> verses propriétés, de celles des tangentes, des sécantes, etc. Cet examen pouvant exiger qu'on transforme les axes coordonnés, ce sera- le lieu de faire connaître les différentes formules au moyen desquelles on peut y parvenir.

Formules de transformation des coordonnées sur le plan. — Comme nous aurons occasion d'employer ces formules, je vais les rappeler d'une manière succincte et sans en donner la démonstration, extrêmement facile à trouver par des considéralions géométriques de projection.

1^ Quand on voudra changer les axes de coordonnées de manière que l'origine soit transportée en un point connu, dont l'ordonnée serait ±: a et l'abscisse ± m, on emploiera les deux formules

x' et /' représentant les nouvelles coordonnées , x exy les anciennes.

a* Pour le cas où il s'agira de changer les axes coordonnés de manière que, l'origine restant la même, les nouveaux axes, censés rectangulaires comme les anciens, aient une direction différente, on emploiera les formules

x=.x' cosa — f'sîna, j^' = ar'sina -h r'cosa,

dans lesquelles les coordonnées anciennes et nouvelles conservent les mêmes dénominations que ci-dessus, et où a représente l'angle formé par le nouvel axe des x avec l'ancien.

3® Si l'on veut à la fois changer l'origine et la direction des axes d'un système rectangulaire en un aulre système de même nature, on prendra

x = Jp' COS a — JJ-'' Sip a ± W, J = x' SIU a -|- y* COS a ± /l.

cielle. On la conserve ici malgré son peu dimportance relative, non-seulement pour Tordre logique des idées et l'enchaineraent mélhodique des démonstrations, mais aussi pour montrer, sans rélicenco, quelles étaient à ceUe époque, les idées et les vues de l'auteur en fait d'Éléments de géométrie analytique.

Ô8 II* CAHIER. ~ LEJ

4"* Pour passer d'un système de coordonnées rectangulaires à un système de coordonnées obliques» l'origine restant la même, on se servira des formules

^ = j;'cOSaH-/''cOS (a-Hf), 7 = x' sin a-|-/' sin (a-t-f ),

OÙ a représente toujours Tangle que le nouvel axe des x fait avec l'ancien, et f l'angle que forment entre eux les nouveaux axes. On tire de ces deux formules, par l'élimination,

, >rsin(gH-y) — jcos («-i~ y) , jrcosg — jrsina

sin<p ' -^ siny

Ces nouvelles formules serviront réciproquement à repasser du système oblique à uii système rectangulaire.

5* Enfin, si l'on veut passer d'un système de coordonnées obliques à un autre système de même nature sans changer l'origine, on aura les deux formules

^c' sin ( ^/ — g ) H-y^ sin (^p — p) j;'sina-h,r'sin p

sin4» '^ %\ïi^

dans lesquelles a et p représentent respectivement les angles des deux nouveaux axes x' et y' avec l'ancien axe des or, et 4» l'angle que les anciens axes forment entre eux.

Si l'on se proposait en outre, dans les deux derniers cas, de changer l'origine des axes en la transportant en un nouveau point dont les coordonnées seraient ±:m et ±;n, il faudrait^ comme pour les formules précédentes, ajouter ±:m à l'exprèssion de x et ±/i à celle de /.

Après avoir discuté les propriétés du cercle relatives à des axes rectangulaires ou obliques, je suppose que l'on passe à l'examen des coordonnées rectangulaires à trois dimensions, m détermnant.les équations du point, de la ligne droite et du plan situés d'une manière quelconque dans l'espace, et résolvant toutes les questions qui y ont rapport comme celles de trouver la distance entre deux points, un point et une droite ou un plan, Tangle de deux droites, etc.

Transformations, simplifications diverses de l'équation gé-

DE GfiOMirrfUE ANALYTIQUE. Sg

nérale des lignes du second degré, -r- Ces préliminaires étant établis et bien connus, je passe à Texamen des lignes, droites ou courbes, représentées par l'équation

(i) ajr* -f- bxjr -j- cx^ -f- djr -h ex -h/= o,

la plus générale possible du second degré. Elle comprend évidemment toutes celles des courbes ouvertes ou fermées, réelles ou imaginaires, du même degré.

Pour parvenir, avec rapidité et clarté, à la connaissance, à la classification des différentes espèces de lignes qu'elle peut représenter, il est indispensable de la ramener à la forme la plus simple possible, sans altérer cependant» en aucune manière, la, nature des courbes qu'elle représente. Or c'est ce qui aura lieu nécessalremeni si l'on ne fait que changer la position relative des axes coordonnés auxquels ces mêmes courbes se trouvent rapportées.

Disparition du terme en xy\ — On change seulement la direction de ces axes supposés rectangulaires^ sans en déplacer l'origine commune, au moyen des formules

X = x' nos oi — j'sina, ^=ar'sina-Hj' cosa.

On introduira ainsi dans l'équation (i), une arbitraire a qu'on pourra choisir à volonté, et dont on se servira pour faire disparaître l'un des termes de cette équation en annulant son coefficient. Effectuant cette substitution, on trouvera

y^ [a cos^ CL — 6sinacos dt-l-csin*a) k- x* y' (lasinoLCOsoL — frsin*aH-6cos*a — 2csinacosa) x^^{a sin^a-+- ft sin a COSa H- c COS'a) y' ( d cos a — é? sin a ) -h :p' ( rf sin a H- e cos a ) 4-/= o ;

en prenant a de façon que le terme x^y' disparaisse, on aura, pour déterminer celte inconnue , l'équation en elle-même fort simple,.

a sin a cos a [a — c) — b (cos'a — sin' a) =0;

6o II* CAHIER. - LEMMfiS

d'où Ton lire

tang2a= •

Cette valeur de tang 2a, étant essentiellement réelle, il sera toujours possible de changer la direction des axes de façon que l'équation de la courbe représentée par Téquation (i), ne renferme plus le terme en xy\

Maintenant, si Ton substitue la valeur ainsi obtenue pour a, dans les divers coefficients de l'équation transformée (a), et qu'on y remplace x' et y' par x et y y elle prendra la forme particulière

(3) ûj* -f- 6 j:' -f- cj 4- rfjc -f- e = o ;

les coefficients a, 6, c,..., étant distincts de ceux de l'équation (i) d'où l'on est parti, et ayant pour valeurs respectives ceux de l'équation (2).

Disparition du terme tout connu et de l'un des termes x ou y\ — On peut encore simplifier l'équation (3) de la courbe proposée, sans en altérer d'aucune façon la nature et les propriétés, en transportant l'origine des axes en un nouveau point arbitraire, sans changer leur direction; on a pour cela

expressions qui, substituées dans l'équation (3}, donnent

( ay*'^bx'^-\-y{c-\-7.na)-\-x'(d'^2mb) \ -t- dn- 4- bm^ -h en 4- dm 4- e == o .

Disposant de m et de n, de manière à faire disparaître le terme en j' et le terme tout connu, on posera les nouvelles équations de condition «

(5) c-h^na = o, an* 4- 6m' 4- c/iH- rfm 4- e = o .

Cette dernière transformation sera possible si les valeurs de m et de n sont toutes deux réelles. Or on tire des équations (5)

(6) n = —— et m ^ ~ ^^d± s/a (ad' 4- bc^ — ^jabe) , ^ 2« 9.ab '

DE GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE. 6i

la valeur de n étant essentiellement réelle, il sera effectivement toiyours possible de faire disparaître le terme en y.

Quant à la valeur de m, elle ne sera réelle qu'autant que la quantité «(arf'-f-é^*' — ^abe) sera positive. Dans le cas contraire, m devenant imaginaire, la transformation précédente ne serait plus possible; c'est-à-dire que, dans ce cas, on ne pourrait pas faire disparaître à la fois le terme en y et le terme tout connu; mais alors même on pourra faire disparaître simultanément le lerme'tout connu et le terme en x\

En effet, il vient alors, pour déterminer m et n, les équations de condition

rf-f- 2 mb = o , an* -h 6m' H- en H- dm -h e = o ;

d'où l'on tire les valeurs particulières

, , d —bc± sjb [ ad*-\-bc^—^abe)

26 2ab

Or je dis que les deux quantités a{ad^-^bc^ — ^abe) et b(ad^-\-bc^ — /\abe) comprises sous les deux radicaux (6) et (7), sont nécessairement de signes contraires quand l'une d'elles est négative et que Téquation (3) ou (i) représente une courbe existante.

En effet, on peut mettre l'équation (3) sous cette forme

(8) b{iay'\'cY'\-a[7.bx-\'dy=^d}a'\'C^b*^ ^abe;

par conséquent, si la quantité ald^a-hc^b — ^abe) était négative, c'est-à-dire si a et cuP-^bc^ — ^abe avaient des signes contraires, il faudrait que b eût un signe opposé à celui de a, sans quoi en passant tous les termes de Téquation (8) dans le premier membre, elle se trouverait composée de la somme des trois quantités de même signe b[7Lay-\-c)^,a[ibx-^dY^ ^abe — ad* — 6c', et ne pourrait être satisfaite par aucune des valeurs réelles attribuées à ^ et à 7. Dans ce cas donc, la courbe que celle même équation représente serait essentiellement imaginaire.

D'autre part, puisque dans le cas de a{ad^-\- bc^ — ^abe) négatif, b est nécessairement de signe contraire à a, il s'ensuit que

Cl W CÂHlfiR. - LEMMES

la quantité 6 (arf*-f- ftc' — ^abe) sera en même temps positive,, et qu'ainsi l'un des radicaux ci-dessus éiant imaginaire, l'autre sera par là même réel (*).

Forme générale la plus simple de l'équation des lignes du deuxième degré, — Il suit de là que l'équation (i) ou (3) de la courbe considérée, peut toujours être ramenée, sans en modifier la nature ni les propriétés mais en déplaçant seulement les axes coordonnés, à Tune ou à l'autre des deux formes

^^^ i A:r'-|-Bj»-hC7=o,

dont la seconde représente évidemment la même courbe que la première.

Car, en y changeant x en x ^^ réciproquement, ce qui tend simplement à échanger les axes des x et des/ entre eux, sans altérer non plus la nature de la courbe, il est clair que cette seconde équaiion deviendra identique à la première.

Donc l'équation (9) représente effectivement toutes les courbes possibles du second degré, et par conséquent sa discussion complète fera connaître les diverses propriétés et espèces particulières de courbes que peut représenter l'équation la plus générale du même degré.

Le terme Aj" pouvant toujours être censé positif dans l'équation (9), en changeant convenablement tous les signes de cette équation, je dis de plus qu'il est permis d'y supposer le terme C^ négatif, sans altérer en rien la nature de la courbe dont il s'agit. Car, en changeant dans cette équation or en — x, ce qui revient simplement à transporter tout d'une pièce, la courbe du côté des X positifs, le terme Bx* ne changeant pas de signe, et le terme Cx devenant seul négatif; l'équation prendra ainsi la forme toute spéciale ,

A/^H-Bx* — Ca7=o.

(*) On peut remarquer que les coordonnées m et n de la nouvejje origine, satisfaisant à l'équation (3) de la courbe, cette origine est l'un des points dé cette courl)e, et la discussion de Téquation (8) apprend que ce point est le sommet même de la courbe. (Note <lu manuscrit de \%\Z.)

Classificaiion des lignes du second degré. — De là on doit conclure que l'espèce et les propriétés de la courbe en question ne dépendront que de la relation existante entre les signes et les valeurs des coefficients A et B ; ce qui peut offrir trois cas très-distincts, savoir : le cas où A et B ont tous deux même signe, celui où ces coefficients ont des signes contraires, et enfin celui où le coefficient B est nul.

Quant aux cas dans lesquels les coefficients A ou C seraient séparément nuls dans l'équation ci-dessus, ils n'offriraient que de simples particularités. Car, A étant nul, par exemple, et cette équation devenant en conséquence,

Bx' — Cj: = o,

on peut y satisfaire en posant soit x=zo, soitB^ — C=o: la première est évidemment l'équation de l'axe des j, la seconde celle d'une droite parallèle à ce même axe à une dis-

tance mesurée par la quantité ^ •

Si C est nul à sop tour^ l'équation devenant

A et B étant supposés de mêmes signes , ne pourra évidemment être satisfaite que par

07 = 0 et ^=0,

équations d'un point isolé, placé à l'origine même des axes coordonnés.

Enfin si A et B ont, au contraire, des signes différents, l'équation

Aj* -H 8x^ = 0

pourra alors être satisfaite par Tune ou par l'autre des deux relations distinctes

r=y/— j^ et j=:— y/— ^:r,

qui représentent deux droites symétriques par rapport à Taxe des X et passant par l'origine des coordonnées, droites dont

64 IP CAHIER. - LBMMES

l'ensemble, le système peul en effet être considéré comme une

ligne du deuxième degré.

On voit, d'après cela, que l'équation générale (i) peut représenter un point ou le système de deux droites, réelles ou imaginaires suivant les signes de A et B, mais qu'elle ne représenterait qu'une seule ligne droite si A et B étaient nuls en même temps. Ces dernières circonstances correspondent évidemment aux divers cas où l'équation (i)se réduit simplement au premier degré, ou devient naturellement décomposable en deux facteurs de ce degré, ou enfin est implicitement ou explicitement composée de la somme de deux carrés: ce que l'on peut tpujours reconnaître à priori, en la résolvant par rapport à l'indéterminée x ou r-

La discussion à priori, de l'équation (i) des courbes du second degré, sous la forme générale ou particulière où elle se trouve, n'ayant pas trait à l'objet dont il s'agit ici, je ne m'en occuperai point. D'ailleurs, ce qui précède et ce qui suit remplit le même but d'une manière différente.

É numération des espèces distinctes. — On vient de prouver qu'il existe, en général, trojs- espèces distinctes de courbes du deuxième degré , représentées respectivement par les équations suivantes :

( Ar'-hB^' — C^=:o, Ar' — B:r*— 'C,r = o,

où A et B sont censés des constantes absolues.

En discutant séparément chacune de ces équations, on voit que la première représente la courbe fermée appelée ellipse, la seconde la courbe à deux branches infinies appelée hxperbole, la troisième enfin la courbe à une seule branche infinie et ouverte nommée parabole, toutes trois également rapportées à un sommet.

Je suppose maintenant que, prenant chacune des équations (lo] à part, on la combine, d'une manière convenable, avec celles de la ligne droite et du cercle ; on en tirera les divers théorèmes relatifsaux axes, aux foyers, aux tangentes, etc. Il est clair que la nature, les propriétés mêmes, des courbes du second degré seront ainsi parfaitement définies; il ne s'agira plus, dès

lors, que de prouver Tidentîté de ces courbes avec les sections coniques. Mais, avant d'aborder cette question, il ne sera peut être pas inutile de rappeler la manière dont M. Lefrançoîs trouve et déGnit, en particulier, les foyers des courbes du second degré (*).

Recherche analytique des foyers. — On sait que, dans le cercle, la distance du centre à un point quelconque de la circonférence, est fonction rationnelle de l'abscisse correspondante: dans Tellipse, l'hyperbole ou la parabole, cela n'a évidemment pas lieu à l'égard du centre ou du sommet; mais on peut se demander si la chose est possible à l'égard d'un autre point inconnu de leurs axes principaux.

Soient donc a et p les coordonnées de ce point, sa distance à un point quelconque x^y de la courbe aura en général pour expression ^

Posons, afin d'abréger et de simplifier les calculs, les équa> tions

pour représenter la courbe en question, rapportée à l'un de ses sommets et à l'axe correspondant; cette courbe étant une ellipse, une hyperbole ou une parabole, selon que le coef-

(*) [Essai de Géométrie analytique ^ a* édition, 1804). — Celte méthode, purement analytique, appartient, je crois, au grand Euler ; comme celle d'Apollonius, elle est indirecte, peu simple, et s'écarte entièrement de la marche de l'invention. La notion des foyers des sections coniques dérive plus naturellement, peut-être , de la considération géométrique de certaines propriétés, soitdu cône droit à base circulaire, soit de la théorie des cercles tangents dont il est question à la fin du précédent Cahier. Mais je crois utile de faire remarquer dès à présent, ce qui sera encort^ mieux établi dans le tome II de cet ouvrage, que la détermination générale du foyer des coniques appartient véritablement au quatrième degré, et comporte deux systèmes de solutions distincts, relatifs à chacun des axes principaux de ces lignes courbes.

66 H* CÂHItiR. - LEMMES

ficienl B sera positif, négatif ou nul ; on tirera de là et des

équations ci-dessus la valeur

qui, substituée dans l'expression de D, donne

D=.\/(i — B)a:'4-(C — 2a) x-ha^4-P':p2P\/Cj;— Bx'-

Or cette expression ne saurait évidemment devenir rationnelle tant que le terme rpap^/C^ — Bar* subsistera sous 1^ radical; il faut donc qu'on ait généralement p = o, et alors comme elle prend la forme

pour qu'elle soit rationnelle , indépendamment de toute valeur particulière attriï^uée à a:, il faut que l'expression sous le radical devienne un carré parfait , ce qui exige que

C— 2« = ±2a^i — B; d'où l'on tire pour a les deux valeurs suivantes

a = -, ,- et a = , y >

réellesi pourvu que B soit < i.

Donc il y a généralement deux points distincts qui jouissent de la propriété énoncée, et, puisque p est nul, l'un et l'autre de ces points se trouvent situés sur l'axe même des Xy confondu en direction avec l'axe ia de la courbe, qui est grand axe à cause.de B<; I. Si B est nul, c'est-à-dire quand la courbe se réduit à une parabole, les valeurs de a devenant

a = -7 et a = — > 4 O

l'un des foyers est situe à l'infini sur Taxe de la courbe, l'autre restant voisin du sommet et à distance finie.

Il n'est );)as difficile de reconnaître que, dans les deux cas de l'ellipse et de l'hyperbole, les deux foyers sont situés à égale distance de part et d'autre du centre de la courbe; car si l'on substitue dans les expressions de a, les valeurs de B et

DE GÊOMÉTRiE ANALYTIQUE. G;

de C en fonction des paramètres a et b, c'esl-à-tllre

il viendra

et a =

ou, en réduisant au même dénominateur,

a = a — \là* — 6* et a = a + v^«' — ftS pour Tellipse,

a = — a H- v'a' -h 6* » a = — a — v'û* -H 6*, pour Thy perboîe.

Dans ces expressions, a et — a étant les abscisses mêmes des centres de Tellipse et de Thyperbole, on voit que, pour obtenir celles des deux foyers, il faut y ajouter ou eh retrancher l'une ou l'autre des quantités radicales s] a} — 6*, V^ô^"^?^, etc.

Les foyers une fois trouvés, on démontre facilement que la somme ou la différence des deux rayons vecteurs qui y aboutissent, est égale au grand axe de la courbe. Réciproquement la courbe qui jouit de la propriété que la somme ou la différence des deux distances de l'un quelconque de ses points à deux points connus soit une longueur constante, est une courbe du second degré.

En effet, soient / et /' les deux points en question ; supposons que l'on place l'origine des coordonnées au point 0, milieu de la distance ffy et qu'on prenne la droite indéfinie ff pour l'axe des x ; soit représentée par p la demi-distance 0/', — p sera l'abscisse de/. ËnOn soit 2a la somme ou la différence des distances mf et mf des foyers /et/' à un point quelconque m de la courbe cherchée, on aura

Laissant l'un des radicaux dans le premier membre, passant l'autre dans le second et élevant au carré, on aura

ou réduisant,

(isj y"^ + (^ — pY = «* — z^-^-

Élevant de nouveau les deux membres de celte équation au carré et ordonnant, il viendra définitivement

équation d*une ellipse ou d'une hyperbole, selon que a sera plus grand ou plus petit que p.

Superposition d'une ligne donnée du second degré à un cône circulaire droit aussi donné.

Les propriétés fondamentales des lignes du second degré étant connues et démontrées, il s'agit de faire voir que ces lignes sont identiques ou superposables à celles que Ton peut obtenir en coupant un cône droit circulaire donné, par un plan convenablement dirigé; lignes que, pour ce motif, on nomme sections coniques ou simplement coniques,

I^ question ainsi posée revient évidemment à celle-ci :

a Étant donnée une courbe du second degré représentée )) généralement par Téquation (i], ou, si l'on veut, par Tune ou » l'autre des deux équations (9] qui appartiennent à la même » courbe, placer cette courbe sur un cône droit circulaire » d'ouverture donnée. »

Présenté de la sorte, le problème peut se résoudre par les considérations de la géométrie descriptive ou dans l'espace à trois dimensions; mais je ne le traiterai ici que sous le point de vue analytique , et, pour cela, je commence par rechercher réquation générale des sections du cône.

Équation d'un cône circulaire droit dont Taxe est oblique sur le plan des xjr. — Soient C, le cosinus de l'angle formé par l'une quelconque des génératrices du cône avec l'axe; a, p ety les coordonnées de son sommet. Cela posé, l'axe et la génératrice dont il s'agit passant par le sommet invariable du cône, leurs équations pour des positions quelconques, seront évidemment de la forme générale

X — oL = p{z — 7) ) , , ,

, , } pour la génératrice,

^ , si pour l'axe du cône,

Ai et Bi élani des constantes, p et q des variables qui ont des significations bien déterminées.

L'expression du cosinus de Tangle que forment en général ces deux droites étant d'ailleurs, comme on sait,

I 4- A,/?4-Big

V'iH-p'-t-ç'v^H-Aî-hB?

il en résultera Téquation de condition

C — 1 -h A. /? -hB,^

('^) 1 c'est-à-dire

C? {i-^p'-^q'] (i-f-A;-hBÎ) — (i-hA,p-f-B.?)»=o,

où la quantité Cl, censée donnée, fixe la grandeur de la demiouverture du cône ; les quantités Ai et B, déterminent en même temps que «, p et 7 la position de ce cône à l'égard des trois axes de coordonnées; enfin les quantités/? et 9, constantes pour une même génératrice et variables d'une génératrice à l'autre, en fixent l'inclinaison par rapport aux axes ; ces quantités étant liées entre elles par l'équation de condition cidessus, de telle manière que, quand l'une d'elles est donnée, l'autre s'ensuit immédiatement. Donc si l'on élimine p ei q entre l'équation (12) et celles de la génératrice, on obtiendra uoe équation entre a:, J et-2, qui, étant indépendante de la position particulière attribuée à la génératrice et convenant par conséquent à toutes celles qui remplissent la même condition, sera l'équation même de la surface conique cherchée. Or les équations ci-dessus de la génératrice, donnent respectivement

Ces valeurs, substituées dans l'équation (12) en chassant le dénominateur z — 7, conduisent à la suivante

j Cî[(:r-«y-h(r-p)'-H(2-7)'](«VAî4-B;) '*^( -[z-7 + Ai(^— a)H-B.(j-p)]'=o.

Telle est l'équation générale de la surface conique cherchée .

Toute section du cône circulaire droit eit du second degré. — Si l'on considère les quantités a, p, 7, A, et B,, qui en fixent la position, comme indéterminées, celte surface aura la situation la plus générale possible par rapport aux axes rectangulaires des coordonnées. Donc, en y supposant z = o, ce qui donnera l'intersection du cône avec le plan des xy^ on obtiendra finalement pour l'équation générale des sections coniques,

( C: [(^«)> + (j^p)»H-7^][, 4. Aï ^-Bî] ^ |-[-7-hA.(^-«)-hB.(j-p)]^=o.

Cette équation étant du second degré en :r et j^, on voit qu'en effet les courbes qu'elle représente sont nécessairement comprises parmi celles de l'équation générale (i) d'abord examinées.

Les sections coniques ne peuvent donc être ainsi, que des ellipses^ des hyperboles^ des paraboles, ou les modifications de ces courbes ; c'est-à-dire des points ou des lignes droites. Mais il est nécessaire, en outre, de prouver réciproquement que toute courbe représentée par l'équation générale (i) est une section conique; c'est-à-dire qu'une telle courbe peut toujours être considérée comme l'intersection d'un cône droit circulaire et d'un plan inconnu, mais pouvant être déterminé quand cette courbe et ce cône sont donnés à priori.

Proposition réciproque à démontrer quand la courbe est arbitraire. — Nous avons vu précédemment que, quelle que soit la courbe représentée par l'équation (i), cette équation pouvait toujours être ramenée, en plaçant les axes coor*donnés d'une manière convenable, à l'une ou à l'autre des deux formes

A/*-f-B:r' — Cj: = o, Aj:'-|-B/* — C^=o,

ou, en substituant pour A, B et C leurs valeurs en fonction des longueurs a ei b des demi-axes principaux de la courbe,

(i4) a'^^ié'x' — 2a6'a;=:o, a^x^dtb^y* — 2aft*7=o.

Supposons d'abord que l'équation générale (i) puisse être ramenée à la première de ces formes, il s'agira de démontrer

que la position du cône ci-dessus peut toujours être choisie de telle sorte que son intersection avec le plan des xy coïncide avec la courbe correspondante» en déterminant, à cet effet, d'une manière convenable les quantités a, p, 7, A,, B, qui fixent sa position. Pour cela, il faudra disposer de ces indéterminées de façon que l'équation (i3) de cette intersection soit identique à celle (i4) de la courbe donnée. ' Or, cette dernière équation ne renfermant point de terme relatif à la première puissance de y, il faudra d'abord faire disparaître le terme analogue de l'équation (i3); ce qui exige que p et Bt soient simultanément nuls.

Cette équation devient ainsi

Conditions générales auxquelles le cône doit satisfaire» — Pour découvrir la position que le cône d'ouverture donnée doit prendre dans les hypothèses d'abord énoncées, il n'y a qu'à faire p = o et B, = o dans les équations de son axe, lesquelles deviendront ainsi

ce qui montre, tout d'abord, que cet axe se trouve situé dans le plan même des xz.

En développant ensuite l'équation de la section conique correspondante à la position particulière dont il s'agit, elle devient

-2[Cî (i4-A;)a — A, (A,aH-7)]a;

+ C;^H-A?.)(a'-»-7^) — (A.a-h7)' = o• Pour la ramener à la forme de l'équation {i4) de la courbe donnée, il restera à en faire disparaître le terme tout connu ; ce qui entraîne la nouvelle équation de condition

CÎ(n-Aî)(«'-h7')— (A,a-^7)» = o ou bien, en développant,

[q{n.An-An«'-2A.va4.7'[C;(t-FA;)-i]==o,

de laquelle on tire immédiatement

Cî(i-4-Aî)-Aî

La quantité €,, qui est un cosinus, étant nécessairement moindre que Tunité, le radical ^i — C] sera, dans tous les cas, réel ; donc, en établissant la relation précédente entre a et 7, qui est aussi toujours réelle, la position du cône sera telle, que son intersection avec le plan des or/ aura pour équation

cî('+a;)j' + [c;(i + aî)-a;]^'

"2J[Cî(i-hA;) — Aî]« — A.7|^ = o,

ou, en y substituant la valeur ci-dessus de a,

c;(n-Aî)r + [c;(»-i-Aî)-Aî]^'

q:2C.(i -hA^vV»— Cîx = o.

Celte équation ayant précisément la forme de Téquation (i4) de la courbe donnée, il reste simplement à démontrer qu'il est possible, en général, de déterminer les quantités 7 et Ai de manière que ces deux équations soient absolument identiques. Toutefois, on doit observer auparavant que la courbe d'intersection passant, dans la supposition précédente, par l'origine même des coordonnées , puisque son équation est satisfaite en y faisant simultanément x== o et / = o, la position du cône devient telle alors, que Tune de ses génératrices, situées dans le plan des xz, passe nécessairement par cette origine des coordonnées ; le cône ayant ainsi Tune des situations indiquées dans la figure ci-après.

On peut encore observer que l'équation de condition

''-' Cî(i-hA;)-Aî ^'

entre a et 7, est l'équation même de la génératrice dont il s'agit, relative à ces coordonnées, toutes deux considérées romme variables.

PositioM diverses du cône qui satisfont à ces conditions.

— Revenons mainlenani à notre objet principal. Puisque les équations (i4) et (i5) doivent être idenliques,

cela exige que les conditions

c;(i-i-a^)-a; fe' c.(i-4-a;)7v/T^^ b^

soient satisfaites. La première donne pour A. la valeur

expression où le signe supérieur de b^ correspond au cas de Teilipse et le signe inférieur à celui de l'hyperbole. La seconde donne

etle radical ^i — Cî étant toujours réel, comme on Ta remarqué plus haut, 7 Test pareillement. De plus, le double signe dont il est affecté montre que le sommet du cône cherché peut être sur l'une ou Tautre des deux parallèles à Taxe des abscisses, placées à égales distances au-dessus et au-dessous de cet axe dans le plan des j:^; et, comme la quantité A, qui détermine Tinclinaison de l'axe central du cône, est de même affectée du double signe +, tandis que p nul, en est indépendant, on en «conclut encore que, à une même valeur de 7, correspondent deux valeurs de Ai , ou deux positions de l'axe.

Donc le cône peut prendre les quatre positions distinctes indiquées dans la figure ci-après (*), où les deux cônesà sommets —7 et — 7', situés au-dessous du plan des xy^ sont les symétriques de ceux +7^-4-7' situés à la même distance

(*) Celle figure est une projcclion sur le plan des xz\ le plan des .r/ pst censé rabattu sur ce plan.

74 II* CAHIER. ~ LBMMES

au-dessus; les axes A7 el A' 7' des cônes supérieurs formant d'ailleurs avec l'axe des xpositiXs, deux angles 7X37 et 7'A':r supplémentaires l'un de l'autre.

Fig.43.

D'autre pari, l'ordonnée 7 restant toujours réelle, il ne s'agit plus que d'examiner si A, l'est constamment aussi.

Disciisiion spéciale relative à diverses hypothèses faites sur la forme de l'équation de (a courbe.

Cas de l'ellipse. — Dans ceite'liypotlièse, l'on a

a représentant, je suppose, le demi grand axe de la courbe el&son demi petit axe (*) :1a fraction numérique-) étant moindre que l'unité, et par conséquent le radical éunt essentiellement réel.

Donc, dans ce cas, on peut toujours placer la courbe représentée par l'équation (1) ou (i4)> sur le cône donné. Donc

(') La raison, comme od l'a vu (14), en est que les deux aie& d'une ellipse rencontrant à la fois la courbe en deux pointe, sa forme générale peut se représenter aussi bien par l'équation li'y'-\-ii^x'—ibii'.v = o. que par l'équation nV-i-é'.r'— awi'j:^- 0. (N"te </e i8i3.)

DE GËOBIÉTRIE ANALYTIQUE. 75

aussi, toutes les fois que cette équation appartiendra à une ellipse réelle, il sera permis de confondre le lieu qu'elle re* présente avec une véritable section conique.

Cas de la parabole. — Quand le terme — x^ manque dans

réquation (i4) entre les coordonnées or, y du lieu considéré, auquel cas cette équation représente une parabole, l'expression de A, devenant

a toujours une valeur réelle, et par conséquent l'équation (i) représente encore l'une des sections du cône circulaire donné.

Cas de Vhjrperbole* — Supposons, en troisième lieu, que la courbe représentée par l'équation (i)ou (i4)> soit une hyperbole, alors on a

le numérateur de l'expression sous le signe radical, est toujours positif, quelle que soit la valeur du rapport de fr à a, mais le dénominateur ne peut l'être qu'autant que

"Cî-.Cî->o, ou c:<

Toutes les fois donc que cette dernière condition sera remplie, l'hyperbole représentée par l'équation (i) ou (i4)» pourra être placée sur le cône donné. Dans le cas contraire, cela ne sera plus possible; maissi l'on suppose que l'angle d'ouverture du cône et, par suite, son cosinus C, soient arbitraires, alors, en choisissant cette ouverture de manière que CJ reste au-dessous de la fraction numérique

l'identité précédemment établie entre les équations (i3) et (i4;

76 ir CAHIER. - LEMMES

deviendra possible, et par conséquent la courbe représentée par l'équation générale [x] pourra encore être considérée comme une véritable section conique. Toutefois , dans ce même cas, le cône donné cessera d'être entièrement arbitraire.

Interprétation géométrique, — Il n'est pas difficile de se rendre raison de ce qui précède d'une manière purement géométrique. En effet» considérons une section hyperbolique dans un cône; si l'on mène par le sommet de ce cône un plan parallèle à celui de la section, il le cbupera suivant deux arêtes respectivement parallèles aux asymptotes de l'hyperbole, et qui formeront entre elles, par conséquent, un angle égal à celui de ces asymptotes. Or l'angle que forment entre elles deux arêtes quelconques du cône, ne saurait être plus grand que l'angle au centre de ce cône ; donc aussi l'angle des deux asymptotes d'une hyperbole appartenant à sa surface indéfinie et à nappes opposées par le sommet, ne saurait de même surpasser l'angle au centre de ce cône, et par conséquent le rapport b:a, qui représente la tangente trigonométriquede la moitié de cet angle, ne saurait non plus être supérieur à la tangente de l'angle de demi-ouverture du cône, ou, si l'on veut, à celle de l'angle dont nous avons appelé le cosinus Ci.

Mais cette dernière tangente est égale à

Donc on a effectivement

comme ci-dessus.

Cas du point isolé, de la ligne droite, etc. — 11 reste à considérer le cas dans lequel l'équation (i), ou la transformée (i4) qui la remplace exactement, représente un point, une droite isolée ou le système de deux lignes droites parallèles ou non parallèles.

Or il est facile de voir, sans recourir à l'analyse des coordonnées, qu'un point, une ligne droite ou le système de deux

droites données, pourvu qu'elles ne soient pas parallèles, peuvent résulter généralement de Tintersection d'un cône quelconque et d'un plan passant par son sommet; plan qui, pour le cas particulier du point isolé, n'aurait que ce sommet en commun avec la surface conique; qui, pour le cas de la droite isolée et unique, serait tangent à cette surface; qui, enfin, pour le système de deux droites concourantes, traverserait de part en part la surface, en la coupant suivant deux arêtes ou génératrices rectilignes.

Quant au système de deux droites parallèles, il pourrait encore être considéré, au point de vue de l'analyse géométrique de Descartes, perfectionnée principalement par Euler et par Monge, comme l'intersection d'un plan et d'un cône àont l'angle au centre serait nul, et qui, par conséquent, serait réellement devenu une surface cylindrique circulaire.

De tout cela il est permis de conclure, en général, que, quand l'équation (1) peut être ramenée à la forme de l'équation (14)9 et appartient à un lieu réel, cette équation doit être considérée comme représentant une section de cône droit dans toutes les conditions possibles.

Si l'équation (i) de la ligne du deuxième degré proposée ne pouvait être ramenée qu'à la seconde des formes (14)9 alors, pour la rapprocher de l'équation générale (i 3] des sections effectives du cône, on commencerait par supposer dans celle-ci a = o et Bi = o ; ce qui ferait à la fois disparaître de cette équation, le terme en x et celui en xy. L'axe du cône correspondant à ces hypothèses serait alors situé dans le plan des/z, et l'équation de la section conique se réduirait à

C;[^»-H(r~p)' + 7']('H-Bn-[7-B.(7-p)p = o.

Disposant maintenant de f) et 7 de façon à faire disparaître le terme tout connu de cette dernière équation, on aura entre 7 et ^ la relation suivante, toujours possible,

L'équation de la conique deviendra ainsi

- 2. {[Cî (1+ Bî) - Bî]P - B.7}jr= 0,

qui est effectivement, comme on voit, de la même forme que Véquation

et peut lui être identifiée. £n suivant donc la marche indiquée précédemment, on en tirerait absolument les mêmes conséquences; ce qui permet de conclure, sans restriction aucune, que Fidentité des lignes algébriques réelles, du second degré, représentées par Féquation générale (i), avec les sections obtenues dans un cône droit à base circulaire, est parfaite, et que, par conséquent, toutes les lignes réelles et possibles du second degré, sont en effet des sections coniques.

Conclusion générale, — La marche qui vient d'être suivie est, ce me semble, très-claire et très-rigoureuse. Elle résout en même temps, d'une manière fort simple, le problème géométrique de placer une courbe du deuxième degré sur un cùne droit et circulaire d'ouverture donnée; car les expressions de A, a et 7 que nous avons obtenues et qui déterminent la position de ce cône ou, si Ton veut, de la courbe, sont très-bciles à construire géométriquement.

Discussion analytique relative à quelques cas

exceptionnels.

Afin de mettre plus de rigueur et de précision dans la démonstration précédente , on y a employé des considérations géométriques, bien simples il est vrai, pour prouver que quand Tcquation (i] représente simplement un point, une droite, etc., elle doit encore être envisagée comme une véritable section conique; mais on peut désirer savoir comment on parviendrait à tirer les mêmes conséquences de l'analyse seule des coordonnées.

Supposons donc, comme nous l'avons admis tout d'abord, d'après les Traités de géométrie analytique élémentaires, que l'équation (i) puisse être ramenée à la forme de la première des équations (g) ou, plus généralement, à celle-ci

M^-^di Nor' — Par = o;

cette équation sera susceptible des cinq modifications essentielles suivantes :

M/'±:Na:* = o, M^-'so, Na:» = o, Pa:=:o, ±Nj:'--Par = o;

le cas de M/* — P^ = o répondant à celui de la parabole» que nous avons déjà discuté, et les divers autres aux circonstances toutes particulières où l'équation (i) représente un point isolé, une ligne droite, etc.

1* Cas du point isolé et des droites imaginaires. — Dans le premier de ces cas relatif à Téquation

les quantités M et N étant censées à la fois positives, on aura né-

cessairement ou ar = o et 7=0, ou >: = ±i/ — n^c, Féqua-

lion (i) représentant alors l'origine des axes, ou deux droites imaginaires qui s'y croisent. Or, pour que l'équation (i) devienne identique avec Mj^' -H No:* = o, il faut qu'on ait

qp2C.(H-A;)vT=rcf7 = o, d'oii 7 = o(*), valeur qui, substituée dans l'équation de condition

Cî (1 -+- Aï) (a» + 7') — (7 4- A, a)» = O,

donne également a = o. Donc le sommet du cône est luimême situé à l'origine des coordonnées.

Il faut, de plus, que Ton ait

C;(n-Aî)-Aî>o,

cas auquel l'équation (i5) deviendra nécessairement décomposable, comme on l'a dit, c'est-à-dire en a: = o et j = o, etc.

(*) On peut aussi satisfaire à cette équation en faisant i— G] = o; dans ce cas particulier, te cône se réduit à son axe même, ce qui n est point une nouvelle circonstance ; car la quantité C, restant arbitraire dans le cas général, peut être égale à l'unité. [Note r/<7 i8i3.)

8o II* CAHIER. - LEMMBS

Or on tire de cette inégalité,

Aî<

ou

dans laquelle évidemment le radical i/ ' exprime la tan-

gente irigonométrique de Tangle de demi-ouverlure du cône, et -r- la tangente pareille de Tangle que Taxe OA de ce cône fait avec Taxe des z; donc il faut que Tangle AO/i soit plus

Fig. 44

petit que l'angle AOjc; il est visible, en effet, que si le contraire avait lieu, le plan des xy pénétrerait dans le cône ou le couperait suivant deux droites réelles.

Du reste, la grandeur de A, restant indéterminée, il y a. une inOnité de positions du cône pour lesquelles la même circonstance a lieu nécessairement.

a® Cas itun couple de lignes droites réelles qui se coupent, — Quand Téquation (i) se réduit à la forme Mj* — N^* = o, on a toujours 7 = 0, d'où a = o; ainsi, dans ce cas, le sommet du cône est encore situé à Torigine des coordonnées; mais il faut, de plus, que l'on ait

C;(i-hAn--Aî N.

C;(i-^AÎ) "" M' d'où l'on tire

A, = ±Ci% / i^5

DE GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE. 8i

celle valeur ne saurait évidemment être réelle» à moins que l'on n'ait

.-Cî-Cî|>o ou C,<^,

c*est-à-dire à moins que Tangle d'ouverture du cône donné ne soit supérieur à celui que forment entre elles les droites représentées par Téquaiion,

Mjr^ — N^' = 0 ou jr

Celle restriction est analogue, comme on voit, à celle qui existe pour le cas de Thyperbole, déjà considéré.

3* Cas oit les deux droites se superposent. — Lorsque l'équation (i) peut prendre la forme, plus particulière encore Mj' = o, il faut, pour que Téquaiion (i5) de la section du cône lui devienne identique, qu'on ait

cî{«-+-a;)-«aî = o et 2C.(i + a;)vi — c;7 = o.

Cette double condition ne peut être satisfaite qu'en posant simultanément

v = o et A| = ^.

L'équation de condition

[C:(i + An-A;]«»-2A.7«4-V[Cl(i+A:)-i] = o,

devant toujours avoir lieu entre « et 7, donne alors a=-;

ce qui montre que le sommet du cône peut être situé en l'un quelconque des points de l'axe des x.

Car, pour cet axe, on a effectivement

o 7 = 0 et a=-« * o

La quantité — —- étant le Carré de la cotangente de la demi-

ouverture du cône, on voit que l'angle formé par l'axe de

ce cône avec l'axe des x, est alors précisément égal à cette

8ii II* CAHIER. - LEMMES

demi-ouverlure ; ce qui prouve d'ailleurs, comme le montre

la figure ci-dessous où, toujours pour la simplicité, on a sup-

tt »♦ ^

primé la nappe opposée du cône, qu'alors ce cône louche le plan des xy le long de Taxe des abscisses Ox, dont l'équation sur ce plan est véritablement 7 = 0.

Observons encore, en passant, que Téquation de l'intersection de ce plan et du cône, ayant la forme

Cj(i-f-Aî)»j» = o,

représente en effet le système de deux droites confondues en une seule; circonstance qui a lieu ici, puisque Ton peut considérer la droite Qx ou ^x comme une double arête de contact du cône avec le plan des xy,

4* Cas otL les nappes opposées du cône se superposent selon un plan passant doublement par faxe des jr. — L'équation (1) prenant alors simplement la forme

± N j:* == o ou x' ■= o, qui représente doublement l'axe des j^, il faut qu'on ail

cl toujours

cî {1 -+- a; ) (a* -f- 7') — (A, « -4- 7]' = o.

Or on ne peut satisfaire à ces diverses équations par aucune valeur particulière de A,, il faut donc qu'on ail C, = o; celte supposition, en effet, satisfait en même temps à la première et à la seconde d'entre elles.

Quanià la troisième cquaiîon, elle devient par là même,

(A,«-f-7)" = o, d*où « =

Le cosinus C, étant nul, on voit que, dans cette circonstance, l'angle de demi-ouverture du cône est droit, et par conséquent la surface conique réduite à un plan.

D'autre paît, cette dernière équation représentant, dans le plan des xZy celle des deux génératrices du cône qui appartient à l'origine 0 des coordonnées (solution du cas général), cela fait voir que cette même génératrice et le plan tout entier d'épanouissement de la surface conique sont perpendiculaires à Taxe central du cône circulaire ainsi dégénéré, et viennent tous de^ux passer par Taxe des j; les quantités a et 7 restant d'ailleurs entièrement arbitraires ainsi que Ai •

L'équation (i5), en y faisant 7 = 0 et Ci = o, devenant

[C]{t'^A]) — k]]x' = o, ou —\]x' = o,

indique, d'unaulre côté, qu'il y a deux génératrices du même Cône, confondues avec Taxe des j; ce dont il n'est nullement difficile de se rendre compte à priori par la géométrie.

En effet, nyp, Oym représentant (Jig. ^6), je suppose, les deux génératrices suivant lesquelles le plan des xz rencontre

Fig. 46.

i> ht

un cône indéfini à deux nappes dont le sommet 7, intersection mutuelle de ces génératrices, est sur l'axe A 7, si l'on imagine

84 < II' CAHIER. - LEMMBS

que l'angle au sommet de ce cône «7/w = O7/?, s'ouvre progressivement sans que 7 change de place, il est visible que mO, pn se rapprocheront de plus en plus entre elles, et les nappes indéfinies du cône, d'un plan tel que mOy contenant l'axe des y.

Enfin, il est parfaitement clair âfussi que, quand Tangle au sommet dont il s'agit atteindra 200° ou, sa demi-ouverture n'y\=zmyA, 100", c'est-à-dire un quadrans, les deux nappes du cône se confondront avec ce même plan /wOj, en s'y doublant en quelque sorte ou superposant, de même encore que les deux branches de l'hyperbole d'intersection de ce cône avec le plan des xy; se confondront, se superposeront d'au- Ire part, avec Taxe 0 j.

5° Cas oà le sommet du cône s'éloigne â Vinjinî au-dessus du plan des xjr. — Lorsque l'équation (1) prend la forme — Pa7 = o, qui appartient à l'axe indéfini des j, pour que l'équation (i5) lui devienne parfaitement identique, bien que du deuxième degré, il faut qu'on ait à la fois

CJ(H-An ^ C?(i + A?)-A?

c.(.4-a;)v'i-c;7 ' c.cn-Anv'i-Cîv

et toujours

C;(l-l-Aî)(a'+7')— (A,a + 7]» = o.

On ne peut satisfaire en même temps aux deux premières équations par aucune valeur de A. et de Ci; mais il en sera

autrement si l'on prend 7 = -, ou l'ordonnée verticale du

sommet du cône infinie, en laissant d'ailleurs aux quantités trigonométriques Ci et A, des valeurs arbitraires. La troisième de ces mêmes équations donne alors

"""^ c;(n-A?)— Aï ^"~o'

si l'on suppose toutefois que les valeurs prises arbitrairement pour Al et Ci ne rendent pas nul le coefficient de 7 dans cette dernière équation, qui appartient généralement à une droite

passant par Torigine des axes coordonnés dans le plan des xz et contenait à une distance infinie le sommet du cône cherché. Comme ce cône conserve d'ailleurs une ouverture déterminée (arbitraire cependant), il s'ensuit que la section OK (fis* 4? ) de ce cône par le plan des xj-, est une conique de

grandeur infinie, et que, par conséquent, on peut considérer comme une ligne droite dans une portion quelconque mais limitée de son cours : Tanal^^se montre , de plus, que cette droile a pour équation a = o, dans la région des coordonnées finies où elle se confond précisément avec l'axe des/. Cela est d'ailleurs visible géométriquement; car la génératrice Oy du cône dont il s'agit, passant par l'origine O, et étant située dans le plan des xz^ il est clair que le plan mené par cette droile et Taxe Oj, serait tangent à la surface conique.

Donc Oj est tangent, en ce point 0, à la courbe de section OK; et, si Ton imagine que cette courbe vienne à s'ouvrir et à grandir de plus en plus, par suite de l'éloignement du sommet du cône au-dessus de son plan, elle s'approchera continuellement, aux environs de 0, de sa tangente fixe 0 j, et finira à la limite, par s'y confondre entièrement ; le surplus de la même courbe ou section conique étant passé à l'infini.

On voit donc géométriquement qu'il n'y a ici qu'une seule branche rectiligne de la conique qui se confonde avec l'axe Oj, l'autre passant à l'infini; aussi l'analyse ne donne-t-elle que la simple équation ;r = o et non pas x^z=:o, comme cela avait Heu dans le cas précédent.

86 II* CAHIER. - LEMMJES

6** enOn. Cas où le cône devient impossible ou cesse d'exister géométriquement. — Lorsque Téquation (i) peut se ramener à la forme parliculière

±Nx' — Pjt:==o,

représenlani le système de deux droites paiallèles à Taxe des X, il devient impossible que l'équation (i5) de la section du cône par le plan des jcjr puisse se réduire à cette forme. Car il faudrait qu'on eût