I -hw

^ ' [c — tfjw^ {c* — a)w

Chassant enfin les dénominateurs de celte dernière équatioa,. ce qui donne

(«fJ^-Hca' — C7*-!-!) (r — rt) (w2 4-ft)<) -+-7»(c' — a)'w= H-(i — w*)(flp-f-c'aw)'-f-2 («pw— ca) (rtp-hcaw) (w-|-m»)=o.

DE GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE. io3

et effectuanl les calculs, il viendra» toutes réductions faites et en ordonnant par rapport à Tinconnue ^,

Discussion du résultat. — Cette équation étant du sixième degré en »>, il en résulte, en général, six positions du plan sécant pour lesquelles l'équation de la courbe d'intersection de ce plan et du cône donné, manquera du rectangle en x^y^, et oii, de plus, les coefficients des termes en x^^ et y^^^ seront égaux entre eux.

On voit, d'une autre part, que trois de ces positions sont symétriques par rapport aux trois autres, du moins en ce qui regarde la trace du plan sécant sur celui des j?^. Or cela provient évidemment de ce que a, p et 7 n'entrent qu'au carré dans l'équation ci-dessus en o>.

£n effet, si, au lieu de considérer ces coordonnées du sommet du cône comme toutes positives, on supposait, par exemple, que p et 7 fussent seules positives et a négative, il est clair que, dans ce cas, l'équation en <^ conservant exactement la forme précédente, le sommet et par conséquent le cône tout entier, se trouveraient placés en dessous et symétriquement par rapport au plan des jz.

Pareille chose arriverait encore si l'on supposait soit p, soit 7 seuls négatifs; mais ces deux hypothèses donneraient évidemment les mêmes positions de la trace du ptan sécant sur celui des x/, que dans le cas précédent et celui où «, p et 7 sont censés à la fois positifs. Il n'y a donc réellement que trois couples de positions ou de directions distinctes du plan sécant qui résolvent la question dans cette hypothèse générale de », P et 7 positifs.

Toutefois, on ne doit pas en concl ure qu'il existe géométriquement parlant, six positions du plan x^y qui puissent couper le cône en question suivant des circonférences de cercle; car on sait bien qu'il n'y en a réellement que deux de cette espèce. A la vérité, les valeurs de « données par l'équation ci-dessus, sont telles que l'équation de la courbe d'intersection du plan correspondant ne renferme pas le terme en a:' >^, et que le

io4 . II* CAHIER. - LEMMES

coefficient du terme en y* et celui en x'^ y sont égaux entre eux; mais on sait parfaitement aussi qu'une telle équation ne représente pas, pour cela, nécessairement une circonférence de cercle réelle et finie;^puisque notamment, elle pourrait prendre la forme

[fny -^ pY •+- (ma:' -h/i)^= o,

cas auquel la section se réduirait à un point, comme ou en verra ci-après un exemple.

L'axe du cône est supposé perpendiculaire au pian de sa base. — Supposons que a et p soient nuls, Téquation (7), cidessus, donnera pour w les valeurs suivantes :

I , , I — ay^

w'=~5 w*=o, et w'= =-;

or on peut s'assurer que les deux premières valeurs de w correspondent seules à des sections circulaires.

Quant à la troisième qui, substituée dans les équations de condition (6) ci-dessus, donne cos<p=o et par suite (j> = ioo**, elle correspond à la position du plan des x^y, pour laquelle réquation d'intersection de ce plan avec le cône proposé devient simplement

c'est-à-dire qu'il coupe le cône suivant un point unique confondu avec son sommet même. Quoique cette troisième valeur de 6) semble correspondre à une solution particulière du problème, elle ne peut cependant en être séparée analytiquement, de sorte que, à ce point de vue, la question est, tout au moins, du troisième degré.

On peut remarquer en passant, combien les résultats de l'analyse sont conséquents entre eux ; car si, dans le cas du cône oblique qui nous a d'abord occupés, il était possible de résoudre la question par une équation <lu deuxième degré, c'est-àdire qu'on pût déterminer, à priori et géométriquement, la position du couple de sections circulaires ou sous-contraires de ce cône, il s'ensuivrait inévitablement qu'on pourrait déterminer, de même, celle de ses trois axes diamétraux rectangu-

DE GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE. io5

laires, doni la position de symétrie à Tégard de ce couple de seciioDs est bien connue. Or on sait que la recherche de ces trois axes conduit, quoi qu'on fasse, à une équation finale du troisième degré; ce qui s'accorde, au fond, avec les résultats trouvés précédemment (*).

IJECHKRCRE ANALYTIQUE DES RELATIONS DE POSITION ENTRE LE SOMMET d'un CONE DU SECOND DEGRÉ , SA BASE OBLIQUE ET LA DIRECTION DE SES PLANS DE SECTIONS CIRCULAIRES.

Exposé préliminaire, — Dans le n" 111, nous .avons supposé que le cône fût connu par sa base et son sommet, et il s'agissait alors de déterminer la position du plan qui, passant par l'origine des coordonnées, couperait ce cône suivant une cir-

(*] Cet article et le précédent, qui touchent à la métaphysique de la géométrie et du calcul, se rattachent aux idées ou mieux, à Tesprit dans lequel ces premières recherches ont été entreprises ; ils auraient besoin d'éclaircissements, de commentaires, de rectiûcations même, telles que M. Moutard, dont Futile coopération sera mieux caractérisée dans une note subséquente, m'en a proposé, et que je n*ai pas dû admettre d'après ma ferme résolution de n'apporter au texte primitif aucun changement essentiel, mais qui mériteraient de devenir Tobjet de notes spéciales à la suite de cet ouvrage. D'ailleurs ces éclaircissements n'ayant qu'une relation indirecte avec les articles suivants, j'imiterai le laconisme du texte, en faisant seulement observer que, si l'on substitue les racines (» = o, u = Qo , dans l'expression générale de Xi les résultats prendront la forme

indéterminée-; ce qui prouve que, dans les hypothèses restreintes où

l'on se place et pour lesquelles la trace du plan des sections circulaires sur celui des xjr se confond, en direction, avec celle des axes principaux de la courbe de base (ellipse réelle ou imaginaire, hyperbole^ etc.), la seconde des équations ci-dessus du texte étant naturellement satisfaite, il devient nécessaire de recourir à la première des équations de condition qui, dans les mêmes hypothèses de a et p nuls, donne pour calculer l'angle d'inclinaison ^ du plan de section circulaire sur celui de la base du cône, le résultat très-simple

sm

--■t,,,t/(^^^)(cos'6-sin'9)

io6 11* CAHIER. - LEMMËS

conférence de cercle; nous nous proposons maintenant de trouver la position du sommet d'un cône de base donnée, qui serait coupé suivant un cercle par un plan dont la trace sur celui de cette base, serait elle-même assignée; ou, plutôt encore, de « trouver la position du sommet d'un cône dont » la base est donnée, ainsi que la trace du plan qui, passant )) par ce sommet, serait parallèle à Tun des systèmes de sec- » tions circulaires. »

Soient, ainsi que précédemment, a, p et 7 les coordonnées inconnues du sommet du cône,

ay^ -h cx^ -1-1 = 0

l'équation de la base de ce cône, ainsi rapportée à son centre et à ses axes principaux; soit enfin

x=T7-hK

réquation de la trace du plan qui, passant par le sommet a, ^, 7, doit être parallèle à celui des sj^stèmes de sections circulaires du cône que l'on considère en particulier.

qui devient, pour «' = o ou sinO = 0, cosô = 1 ,

la — c

et, pour w = 00 , ou sin 0 = I , cos ô = o,

/ c — a î ' y I rt Y^

doubles valeurs dont l'une, au moins, appartient à des solutions ou intersections circulaires impossibles.

Mais je no m'étendrai pas sur ce système d'interprétation étranger, jusqu'à un certain point, au but actuel de ces lemmes de géométrie analytique, et je me borne à remarquer que l'abaissement de la question au second degré dans les hypothèses précitées du cône droit, etc., tient uniquement, en effet, à ce que les plans coordonnés y sont, à priori, supposés parallèles aux plans principaux de la surface conique indéfinie proposée, plans dont la direction passant par le sommet de ce cône, dépend, comme on le sait encore, d'une équation du troisième degré, facile à obtenir en plaçant l'origine des coordonnées en ce même sommet.

Conditions pour que le pian, parallèle aux sections circulaires et contenant le sommet du cànCy coupe le plan de sa base suivant une droite donnée de position, — D'après une remarque tirée des formules de transformation de coordonnées (3) de l'art. II, l'équation

z = tangf cosô j; — tang^sinO^^

est celle du plan sécant ou des x' y' du n*» III, et si nous y supposons aux quantités f et 0 les valeurs qui se déduisent des relations (5), (6) et (7) du même article, cette équation représente le plan de la section circulaire du cône contenant l'origine des axes coordonnés.

Le plan qui, passant par le sommet de ce cône, est parallèle aux divers plans de sections circulaires, a donc pour équation

z — 7 = tang(pcosO(:c — a) — tangtpsinO [y — p) ;

par conséquent, la trace de ce plan sur celui de la base du cône ou des xy^ est

— 7 = tang7cos0(x — a) — tang^ sin9(^ — p),

ou bien, d'après nos conventions,

X •==.tùY -h a — w&.

•^ taiig^cosô ^ .

Celte trace, devant se confondre avec la droite donnée a: = Tj-hK, on aura nécessairement les deux équations de condition

t^==T, a — cuB— ^; ?! ; = K.

Or, d'après l'équation (6),

7(c — a]sinO tang y = ^-^-r '- ;

doiic, substituant dans la dernière des précédentes, il viendra

[c — ajsmôcosô

Telle est la relation qui doit exister entre les coordonnées a et p du sommet du cône.

io8 II* CAHIER. - LEMMES

On voit, par là, que ce sommet est nécessairement situé dans un plan vertical perpendiculaire à celui des xy ou de la base du cône. De plus, la trace de ce plan vertical est perpendiculaire à la droite donnée x = Tj-l- K ou a? = » j -t- K.

En effet, remplaçons, dans l'équation ci-dessus, les indéterminées a et p par x et y, et chassons le dénominateur, elle deviendra

« x[(c — a]sin9cosG — c»] — j[(^ — a)sinôcos0«H-a]

"" (c — a)sinôcosô

Or on a identiquement, à cause de tangO = w, d'une part

(c — a)sin0cos9 — c» = w[(c — a)cos'ô — c]

= w [(c — a) cos'ô — c (cos'O -h sin'ô)]

= — «{a -h c»*) COS'O, et, d'une autre,

(c — a)sinecos0» -+-«:= (c — a)sin*ô-ha(cos'0-hsin'©)

= (a-hcw')cos'O.

En substituant donc, il viendra plus simplement

IL = r J

(c — aw) ou, ce qui revient au même,

équation qui prouve, ainsi que nous l'avions annoncé, que le sommet du cône est effectivement dans un plan perpendiculaire à la droite :r = wy-H- K donnée sur le plan de sa base.

On ne doit pas oublier que la tangenic'trigonométrique m est une quantité numérique connue, égale à ï. Nous continuerons à nous servir de o> au lieu de T, mais il faudra toujours regarder cette quantité comme une constante dans les calculs ci-après.

Equations du lieu des sommets de cône qui satisfont aux conditions précédentes. — Si l'on suppose qu'on mette pour <■» dansl'équation (7) trouvée dans l'art. III déjà rappelé ci-dessus

sa valeur toute connue T, il en résultera une nouvelle équation a laquelle devront nécessairement satisfaffe les coordonnées inconnues a, p et 7 du sommet du cône, et qui sera par conséquent entre ces variables , l'équation même de la surface sur laquelle ce sommet doit être situé, d'après les conditions du problème.

Or, en ordonnant cette équation (7] par rapport aux indéterminées a, p et 7, elle devient

(a — c) (a 4- cw' ) w'7' -H /i (i -f- w*) (û -h (?«^) p* — c (i H- «') (a -I- c»') w'a' -h (c — a) (i 4- »') w* = o,

ou, en remplaçant les indéterminées particulières a, p et 7 du sommet du cône par les variables générales x^y^ z,

i (a— c)(a-hc»».)w'z'-ha(i-t-w'){a-l-e«»)r'

dans laquelle la lettre &> est désormais une constante.

Celte équation entre les coordonnées a:, y, z montre que le sommet du cône doit être sur une surface du second degré, et, comme nous avons déjà prouvé qu'il doit être aussi dans un plan (8 ) perpendiculaire à la droite donnée x = «1 j+ K, il s'ensuit qu'il se trouve à l'intersection même de la surface (9), que partagent symétriquement les plans coordonnés, avec le plan vertical (8). Ainsi ce sommet est réellement âur une certaine courbe du second degré. Mais il y a plus encore : cette courbe du second degré est un cercle dont le centre est le point d'intersection même de la droite donnée :r =r w/-f-K et du plan (8).

En effet, si le plan vertical qui a (8 ) pour équation coupe la surface (9) suivant un cercle, tout plan parallèle à celui-là coupera la même surface suivant un autre cercle. Si donc on mène par l'origine des coordonnées un plan parallèle au plan'(8),

dontréquationseraparconséquentâ7= x* ^' devra couper

aussi la surface (9) suivant un cercle.

Cela posé, puisque la trace x = v de ce plan fait avec

l'axe des r un angle dont la tangente-^st égale à et dont

iio U* CAHIER. ~ LEMBIES

le sinus est égal à cos 0 cl le cosinus à — sin 9, ii est évident que, si l'on veut rapporter la surface (9) à cette droite considérée comme nouvel axe des 7, Taxe des z restant le même, il faudra mettre pour x et j, dans l'équation (9) de cette surface, les valeurs fournies par les formules de transformation

X = — 7'sinO — jt'cosô, x = y cosB — jc'sinô.

On s'assurera de l'exactitude de ces expressions en posant a = 100" -h 0, changeant j^enjr, x' en y' et inversement, dans les formules générales

jtrirrar'COSa — j^sina, ^= j;' siua -h^ COSa,

du n** I de ces Lemmes de géométrie analytique, oix x' et / ont d'ailleurs des significations autres que dans le n"* 111.

11 ne s'agit donc plus que de substituer à x et j les valeurs ci-dessus dans l'équation (9).

Pour simplifier les calculs, je fais

(a — c) (a4-c»»)«»=.A,- a (1 -|-«') (a + cw') = B, — c(i -hw') (a-4-cw') w» = C, [c—a] (n-w')w' = D,

et alors cette équation prend la forme

Par la substitution indiquée, elle devient

A2»-|- (B sin^ 0 4- C cos'0)/* ■+- (B cos'ô -+-C sin'ô)^" -Hasinôcosô (B — C)a:'/ -+* I> = »•

. Faisant x' = o, y = r dans celle équation qui représenie la

surface {9) rapportée à la droite jr = /comme axe des r»

elle donnera pour son intersection avec le plan verlical des yz, correspondant à cette droite, l'équation

A2'H-(Bsin'Ô-hCcos*ô)j*H-D = o

ou, en remettant pour A, B, C et D leurs valeurs ei divisant

par (a — c) w%

[a-j-Cbi') z^ -h {a'\-c<ù')r'=: i 4-w'.

DE GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE. 1 1 1 Celle équalion est celle d'un rorcle. Donc, le plan vertical x = /, et aussi, par suite, le plan (8) qui lui est pa-

rallèle coupent la surface (9) suivant des circonférences de cercle, comme nous l'avions annoncé.

On voit, de plus, que les centres des sections circulaires parallèles à celles dont il s'agit, étant tous situés sur le plan des xjr et sur un diamètre de la surface (9) , le centre mémo du cercle qui contient le sommet du cône, doit se trouver à rintersection de ce, diamètre et de la trace représentée par l'équation (8) ci-dessus, c'est-à-dire par

I Kic — a]

Relations qui lient le lieu du sommet des cônes à leur base commune, — Soit NlVf la trace dont il vient d'être parlé et qui doit renfermer le centre du cercle contenant les sommets de cônes; (A) la section conique ayant pour centre l'origine A, des axes coordonnés, et représentant la trace de la surface [9] sur le plan des :r^; 1 et o les points ou ces deux traces se coupent; il est visible que le centre c du cercle vertical suivant

lequel le plan perpendiculaire à MN rencontre celte surface, se trouve situé au milieu de la corde 10, et qu'il en est de même pour toute autre section verticale parallèle à celle-ci; la suite de lous les centres c sera donc située sur un diamètre de la conique (A), passant par l'origine A des axes et conjugué à la direction de MN. C'est l'équation de ce diamètre qu'il s'agit ici de trouvée; or il est évident que la tangente à (A) menée

au point t où la direction A c de ce diamètre la coupe, doit être parallèle à la trace représentée par l'équation (8) rappelée ci-dessus; la question revient donc au fond, à mènera la oourbe (A) une tangente parallèle à MN.

Pour obtenir l'équation de la conique (A), il faut faire 2 = 0 dans l'équation (g); ce qui donne

(10) a(a4-cw^) j' — c(a-|-c«') w* j7^-|- (c — rt)»' = o.

D'ailleurs on sait que la tangente trigonométrique de l'angle qu'une tangente à une courbe fait avec Taxe des r est égale

à -j- ; donc, dans le cas actuel, cette tangente aura pour valeur numérique — f— • Mais, par hypothèse, elle doit être

égale à la tangente de l'angle que fait, avec ce même

axe, la trace MN représentée par l'équation (8) ; donc, on doit avoir généralement

(lY I

= OU bien a^-h c«ji: = o.

Dans celte équation, les coordonnées ^ et / sont celles du point de tangence t, et par conséquent en la combinant avec l'équation (10) de la conique (A), on obtiendrait les valeurs mêmes des coordonnées de ce point t. Or celte équation a/-hc&)a: = o est celle d'une droite qui passe par le centre A delà conique, quand on y suppose x et y variables; donc c'est l'équation propre du diamètre conjugué à la direction de NM, et en la combinant avec l'équation (8) de celte trace, on obtiendra pour les coordonnées du centre cherché c,

Il est aisé maintenant de démontrer que ces valeurs satisfont aussi à l'équation a? = wjH-K de la droite donnée arbitrairement sur le plan des x^; donc le centre du cercle' sur lequel

est situé le sommet du cône, se trouve à l'intersection même de la droite donnée et du plan de ce cercle; comme il s'agissait de le démontrer.

Fig. 5i.

Remarquables propriétés du plan conduit, par le sommet du cône, parallèlement aux sections circulaires. — Soit maintenant (B) la base fixe du cône;

ay^ + cx^-^- I =0,

son équation; /rO [fig, 5i) la droite donnée dont l'équation est * = »j^ -h K et qui renferme le centre c, du cercle vertical sur lequel est situé le sommet 7 de ce cône ; soient A* et 9 les deux points où cette droite rencontre la courbe de base (B); je disque le centre c divise la corde /rO précisément en deux parties égales.

En effet, imaginons que ^ et j^ représentent les coordonnées du point de contact t' d'une tangente à (B) parallèle à k^,

rfo/ ay

dy ex'

sera la tangente trigonomélrique de l'angle qu'elle fait avec Taxe des/, et, comme elle doit être parallèle à k9, il faudra qu'on ait

dx* ay

djr ex'

-7-/=: ^=w ou a/'4-Cù>:r'=o;

d'où l'on conclut, comme précédemment, que la direction indéfinie B/' du diamètre qui passe parle milieu de la corde ArO, a précisément pour équation

ay' -I- c w a:' = o ,

ii4 II* CAHIER. - LEMMES

en y regardant les indéterminées x! el y du point de contact /' comme des coordonnées variables. Or ce diamètre B/', qui coupe la corde /rO en deux parties égales, se confond évidemment avec celui qui a la direction de A/ dans la^g". 5o et contient aussi le centre c, puisque leurs équations sont les mêmes. Donc enfin le centre c, du cercle qui contient les sommets de cônes, est situé au milieu de la corde 0/r, et par conséquent , si Von divise cette corde en deux parties égales en c, et que y de ce point, on élève une perpendiculaire à la direction de cette corde y ce sera la trdbe du plan du cercle dont il s'agit.

Voici encore une propriété qui servira à déterminer la grandeur du même cercle : Le carré du diamètre du cercle qui contient les sommets de cônes, est égal au carré de ta corde donnée kB, mais pris avec un signe contraire.

11 est visible, en effet, que le diamètre du cercle dont il s'agit est égal [Jig. 5o] à la corde oi formée par la conique (A) (équation lo] et par la trace MN du plan de ce cercle; il faut donc calculer la longueur de la corde d'une section conique dont on connaît l'équation et celle de celte corde. Pour ne pas répéter deux fois le même calcul, nous l'exécuterons d'uno manière générale.

Représentons, à cet effet, par

A7*-+-C^'-HD=:o et x = mx-^ n

les équations de la courbe et de la corde en question. En les combinant entre elles, on obtiendra pour les coordonnéesdes points d'intersection,

__ mnC±)/m'n'0-^{\} H-Cn^) (AH-Cm»)^ •^"' A -4- Cm'

yiA±v//i^A'— [Dm^-hAn') (A + Cm^ •^~ A^-Cm'

Donc le carré de la distance entre ces deux points sera, en appelant cette distance A,

, [D(A4-Cm^)-hAC/i^](i-hm') * (k^Cm'Y

Considérons d*abord la corde kO {Jig. 5i); son équation et celle de la conique (B) ci-dessus, étant respectivement

X=:<ùjr-\^Kf «/*-+- rj:* -h I =0,

on a, dans ce cas,

et, par conséquent,

Maintenant, si l'on considère la courbe (A) et la sécante MN ou la corde io (Jig* 5o), représentées respectivement par les équations (lo) et (8), c'est-à-dire

on aura, en comparant,

A==a(a-f-c«'), C=: — c(a-f-cw*) «S

et par conséquent, en substituant ces valeurs dans l'expression de A»,

Donc enfin

c'est-à-dire, comme on l'a avancé ci-dessus, que le carré du diamètre du cercle qui contient le sommet du cône est égal à celui de la corde donnée kO, pris négativement.