SUR LA TRANSFORMATION DES COORDONNÉES RECTANGULAIRES DANS

l'espace a TROIS DIMENSIONS.

Nous aurons besoin de faire usage des formules générales de cette transformation pour l'établissement du principe de projection, qui sert à convertir géométriquement le système de deux coniques quelconques appartenant à un même plan, en un système de deux circonférences de cercle situées sur un autre plan; ce qui exige que Ton recherche, à priori, la direction de ce dernier plan et le lieu des sommets susceptibles de satisfaire à la condition proposée.

Formules de transformation fondées sur la méthode géométrique de projection des polygones.

Soient A^, A/, Kz les axes rectangulaires du système primitif; kx'y Aj', kz' ceux du système auquel on veut passer; désignons par [x' x] l'angle que forment entre eux les axes x^ et Xy par {x'jr] celui des axes x' et y^ et ainsi des autres.

Soit m uu point quelconque de l'espace; abaissons, de ce point, la perpendiculaire mn sur le plan Xx'y, et du pied n

de celle perpendiculaire ou ordonnée, la nouvelle perpendiculaire no sur Taxe \x' ; ce qui donne par convention

mn = z\ no = r^ el Ao = x',

Soit, de plus, abaissée du même point /n, la perpendiculaire mp sur Taxe A^, on aura évidemment Xp:=x.

Gela posé, rappelons-nous qu'un polygone plan ou gauche étant situé dans l'espace, d'une manière quelconque, par rapport à une droite ou axe fixe Ax, la projection de l'un quelconque des côtés de ce polygone sur cet axe, est égale à la somme des projections de ses différents autres côtés sur le même axe, en ayant soin, cependant, de regarder comme positives les projections des côlés qui forment un angle aigu avec le prolongement, A^, vers la droite de Taxe fixe donné, et comme négatives celles des côtés qui forment, avec ce même prolongement, un angle obtus; ces projections se retranchant nécessairement de la somme de celles des côtés qui répondent aujc angles aigus.

Supposons donc que, dans l'espace, mn soit l'un quelconque des côlés d'un certain polygone, on imaginera ce côté transporté parallèlemcnlà lui-même, à l'origine A des coordonnées. Dans cette position et d'après nos précédentes hypothèses, il se confondra avec l'axe Az' des z', et, par suite, Tangle qu'il fait avec l'axe A jr, esl égal à celui des axes A 2' et kx que nous avons désigné par (xz'). Le point m étant ainsi confondu avec m\ il faudra imaginer de nouveau, une perpendiculaire m's^

abaissée de ce point sur Taxe Kx, el A r sera la longueur absolue de la projection du côté mn ou m'A sur la direction indéflnie de cet axe. De plus, d'après la remarque ci-dessus, kp devra avoir le signe + siTangle m'Xx ou (^z') est aigu, et le signe ^-dans le cas contraire. Or on peut trouver une expression algébrique ou trigonométrique de Ar, qui comporte avec elle impliciteiiient son signe conventionnel de position. En effet, le triangle m'A r étant rectangle en r, on a

— Ar= Am'x cos(m'Ar)=— ninX cos[xz')

ou, ce qui revient au même,

\ r = mn cos [xz' ],

Celte expression emportera évidemment son signe avec elle; car, quand l'angle (x-s') sera aigu, cos [xz') et, par suite Ar, seront positifs : dans le cas contraire, cos {xz' } étant négatif, Ar le sera pareillement; comme cela doit être d'après nos remarques ci-dessus.

Cela posé, considérons le polygone gauche Am/io A; la projeciion du côté Am sur Taxe A:c, étant égale à A/? ou l'abscisse x, d'après ce qui précède, et cette projection devant être égale à la somme algébrique de celles des autres côtés A o =:e:', on = j' et nin=z', on aura généralement la relation

x = x' cos(a:x') -i-y cos(^7') -h z' cos[xz^].

Si, au lieu de considérer plus particulièrement l'axe A:r, on eût projeté le même polygone sur l'axe A/des j, on aurait pareillement obtenu la relation

y = x'cos (jjr') -l-r'cos(^) -f- 2' cos (72').

Enfin, on obtiendrait semblablement pour la projection sur Taxe A 5 ou des-î,

z=x'cos{zx') -t-y cos(2r') -h z'cos(zz'). On a donc, en récapitulant, les trois formules de transforma-

92 II* GAHŒR. -. LEMMES

tîon des anciennes coordonnées rectangles x^ y-y z dans les

nouvelles coordonnées de même espèce,

!x=zx' cos [xx*] H-y cos [xy')-\' 2' cos {xz'), Y = x' cos [yx' ) 4- f cbs [yy ) -H -s' cos (/z' ) , z = x'cos(2:c') -l-y cos(2j') 4-2'cos(z2').

Pour se servir de ces formules de transformation des coordonnées x^y ^\z dans celles en ^',7' et 2', il est nécessaire, comme on voit, de connaître les angles (orx'), (jt/'), etc., qui y entrent au nombre de neuf, et parmi lesquels il en est évidemment un certain nombre de superflus ou dépendant des autres; ce qui provient de ce que les trois axes Ax, Aj^, kz et les trois axes A j:', Aj', A 2' sont liés par la condition d'être respectivement perpendiculaires entre eux. En effet, soient

x=:az et ^=62

les équations d'une ligne droite -quelconque passant par Toriginc des axes A, et

x=za'Zy y^=l/Zf

celles d'une autre droite également quelconque, passant par le môme point. Soit enlîn V l'angle formé par ces deux droites; on aura généralement, comme on sait,

., I -h flfl' 4- l)b'

cosV= -

Vi 4- a' -+- ^' V^i -H a'^ -+- b''

D'un autre coté, le cosinus de l'angle que la première de ces droites fait avec l'axe des Xy a pour expression

celui de l'angle qu*elle fait avec l'axe des y est

enfin, celui de l'angle qu'elle fait avec Taxe des z.

Ei^ changeant a cl i en a' et 6% on obtiendra les cosinus des angles correspondants formés par la seconde droite avec les mêmes axes. Si donc on suppose que la première droite se confonde avec l'axe Ax' des sc^, et la deuxième avec l'axe A/ des y, il viendra sans calculs,

, - ,, I -4- oa' -4- 66'

cos(x' z) = — * cos{yz) == ■

C0S{X' j) = ■ . =-rri COS [yx) = -

COSf^' j;) = ■; =r> COS ( Y^ x] = ,

Maintenant, puisque l'angle [x'y] est droit, on a f , .^ I -h «a' 4- 66'

COS [X'y] = , = G,

Vi 4-a'4-6V» 4-a''4-6"

En comparant cette équation de condition avec les expressions ci-dessus des divers cosinus, elle donne

COS [x'x) COS [yx] 4- COS [x'xj cos [y y 4-cos [x'z] cos [yz] = o.

On obtiendra, pins directement, encore les relations

cos' [x^x] 4- cos* [x'jr] 4- cos' {x'z) = i, cos' [yx) 4- cos' (/'/) 4- cos' (yz) = 1 ,

toujours relatives aux angles formés par les axes A^' et Ay avec les axes des a:, ^ et z respectivement. Évidemment on arriverait à des relations toutes semblables si Ton considérait

les couples d'axes x\z' et y^^z' \ ce qui donne le double groupe d'équations de condition :'

/ cos [x* x] cos [fx] -I- cos {x!y\ cos [fy] -h cos {x' z) cos {fz\ = o, cos (x'^)cos [z'x) -f-cos [x'x) cos(y^) + cos [x'z] C0S{2'J3] =0, cos [yx) cos [z'x) -h cos ( j'j) cos [z'x) H- cos [x'z) cos [z'z) =0,

cos'(^'.r) -hC0S'(^'j)-+-C0S'(a:'2) = 1, C0S^(j'j7) -hC0S'(j'7) -t-C0S*(j'2) =1, cos' (2'^) 4- COS' (2'/) -h COS' (2' z) =1.

Ces équations indépendantes, étant au nombre de six et les angles [x^x), [yx), [z'x), etc., au nombre de neuf, on voit qu'il n'y a absolument que trois angles d'arbitraires : ces trois angles ne peuvent cependant pas être choisis tout à fait à volonté parmi les neuf dont il s'agit ; ce dont on peut s'assurer par les équations mêmes de condition ci-dessus.

Comme il serait difficile d'éliminer directement, de ces neuf équations dues à Carnot, les six angles dépendants des trois autres, on adopte, d'après Laplace, trois nouvelles données plus simples, ainsi que nous le verrons ci-après.

Formules de coordonnées inverses. — Si l'on a\ait à re* passer du système d'axes rectangulaires x'yz' au système ancien des axes xyz, on pourrait y parvenir en tirant directement les valeurs de x', y' et z' des équations (i) posées en premier lieu.

A cet effet, pour obtenir la valeur de z', par exemple, en fonction de x, de y et de z, on multipliera la première de ces équations par cos (.s'a:), la deuxième par cos[z'y)y la troisième par cos [z' z), et en les ajoutant ensuite, membre à membre, on obtiendra la nouvelle relation

:r cos(2'^)-hjcos [z'x) -^zcos[z'z) z=z x' [cos [x'x) cos [z'x) -+- cos [x'x) cos [z'x) -h cos ( x'z) cos [z'z)] ♦ 4-y [cos [y x) cos [z'x) -h cos [yx) cos [z'x)-^ cos [y z) cos (2'^)] z' [cos' [z' x)'\- cos' ( z'x) H- cos' [z' z)]j

qui, d'après les six équations de condition précédemment

démontrées, se réduit à la suivante

z'=::rcos [z' x) 4- jcos (z'x) -f-zcos (2' 2).

On trouverait d'une manière semblable, les valeurs des coordonnées x' el y.

Si Ton se proposait notamment d'obtenir Téquaiion du plan des x'y, rapportée aux axes des ^, des j et des z, cela serait irès-facile, d'après ce qui précède.

En effet, z' est nul pour tous les points du plan x'y ; par conséquent si l'on fait z' = o dans la formqle écrite en dernier lieu, l'équation qui en résultera

:ccos [z'x) H-^cos(z'j) -h^cos [z' z) =0,

exprimant la condition même qui doit exister entre les coordonnées JT, y et z des points de l'espace pour lesquels 2' est nul, c'est-à-dire pour tous les points situés sur le plan des x'/-, cette équation sera nécessairement l'équation même du plan demandé.

Formules de transformation fondées sur tes méthodes de la trigonométrie sphérique.

Nous avons déjà fait observer qu'on pouvait choisir d'autres données angulaires, sinon plus simples, du moins en plus petit nombre que celles ci-dessus, pour fixer la position des nouveaux axes x\ y et 2' par rapport aux anciens. Ces données, choisies de préférence, ainsi qu'on Ta dit, par Laplace, sont généralement admises dans les applications comme très-commodes. Nous ferons cependant remarquer qu'il pourrait être plus simple encore de leur en préférer d'autres dans certains cas particuliers : de ce choix, en effet, pourra dépendre souvent plus d'élégance et de facilité dans les calculs algébriques à effectuer.

Soient Xj 7, z les anciennes coordonnées; x', j', z' les nouvelles. Supposons l'origine A [Jig. 49)> au centre d'une sphère de rayon i ; les trois plans des anciennes coordonnées couperont la surface de cette sphère suivant des grands cercles

qui, par leurs intersections mutuelles, formeront le triangle sphérique tri-reciangle xyZy dont les sommets seront les ex-

Vl^'-'b

Irémités des axes A:r, Aj, kz : on obtiendra un pareil triangle x' y' z' pour les nouveaux axes A^r', \y\kz\

Cela posé, il est évident que la situation de ces derniers axes, par rapport à ceux des x, y et z, sera parfaitement déterminée si Ton connaît : i" l'angle BA/= ô que forme sur le plan jrj^, la trace AB du plan ^' j^avec Taxe Aj; a** l'angle <p que ces deux plans forment entre eux; 3*» enfin l'angle BA/'zrn}» que la même trace AB forme avec l'axe ky\

Les trois données angulaires ô, y et ^j^ étant nécessaires et suffisant pour déterminer la position relative des axes x\ y* et z\ il s'agit de calculer, au moyen de ces seules données, les valeurs des neuf cosinus qui entrent dans les équations (i)" trouvées ci-dessus, par la méthode directe et purement géométrique de projection des polygones. D'abord, pour déterminer cos(a;j/), on aie triangle sphérique Bx' Xy dans lequel on connaît

l'angle en B = y,

le côié ^xz=zyx — B/= ioo° — ô, le côléBx' = By+/'a;'= IOo»-^.^^.

On trouvera ainsi, par la formule générale de trigonométrie,

cos c = cosa cos6 4- sin a sin b cos C^

la première relation

cos [xx') = — sin0sin>|; -h cosGcos^^cosy,

Le triangle sphérique By^x donnera pareilletnent

cos(x7') = sinOcos'}; -f- cos9sin>|;cosf (*).

Pour calculer le cosinus de (x2'), on doit remarquer que cet angle, formé par les axes A a: et Kz\ esi supplément de l'angle en D, que forment entre eux les plans des yz et des ^'/f perpendiculaires à ces axes. Or, dans le triangle BDj, rectangle en j, on connaît le côté Bx = B et Tangle B = y; on aura donc, d'après la formule connue de trigonométrie sphérique, cosC = sInBcosc,

cos{D) = cos[?.oo** — (-^-s')] = —cos{xz') = sin^cosô,

et, par conséquent,

cos {xz') = — sin^ cosô.

Calculant, de même, les autres coefficients des formules (i), on obtiendra successivement

cos[x'jr) = — sin>jicosO — sinO cos y cos +,

cos(yj') =cosOcos4>— sin9sin>|;cos(p, cos (72') =sinôsin9,

oos{zx') ==sinfCOS>|;, cos{zJ') = sinçsin^^, cos(s2') = cosy.

Substituant enfin ces valeurs dans les formules (i), elles deviendront respectivement

X =x' ( cosô cosy cos^^ — sinO siu ^ ) -h y (cosG cos f sin >^ 4- sin ôcos+) — 2' cosO sin y,

(3) ^^ = — J?'(sînOcosçcos^^-»-cosôsin1^)

— y (sinOcosfSinip — cosôcos+)-H2'sin0siny,

z =ijr'sinf cosi|/-i-/'sinf sin>|;-+-2'cosf. Les mêmes substitutions opérées dans Téquation

xcos(z'x) -f-jcos(z'j) H-zcos [z'z) =0

(^) On comprend que n*ayant en ma possession aucun ouvrage de géométrie ou d'analyse, j aie été obligé de rechercher à prioi:!, les différentes formules de trigonométrie plane ou sphérique, échappées à ma mémoire depuis ma sortie de l'École polytechnique en 1810. Cela explique corn-

ij8 11* CAHIER. - LEMMES

du plan des jt:'/', donneraient, loiiles simplifications faites,

z = tangf cosOx—^langfsin Or- Cette équation particulière nous sera utile par la suite.

Élablissement élémentaire des mêmes formules par la rotation

successive des plans coordonnés.

On aurait pu parvenir d'une manière entièrement directe, aux trois formules représentées sous len*» 3 ci-dessus.

Supposons d*abord qu'on laisse Taxe des z fixe, et qu'on déplace seulement les axes Ax et Aj, de façon que le nouvel axe AB, ou des y, fasse un angle 0 avec Aj; alors en aura

r=y cosO — or' sin Ô , j: = ^ sin 9 -h jt' cosO , z = z\

Les axes des x, jr, z étant ainsi changés momentanément en ceux des x\ des x' et des z', supposons de nouveau, que, laissant Taxe auxiliaire AB fixe, on fasse tourner le plan des a/ y autour de AB, de façon qu'il forme un angle ^ avec le plan des xy; le nouvel axe des x^' formera Tangle ^ avec le précédent des x', et l'on aura par les formules de transformation des coordonnées dans un plan, posées dans la première subdivision de ce Cahier,

x' = x"cos<p — z^ainff, z' = x"sin^-f-2" cos^p, >' = r".

Enfin, supposant de nouveau, qu'on laisse fixe, à son tour, l'axe des z*', et qu'on fasse tourner les axes précédents des x'' et des y\ de façon que, devenus ceux des x^ et^-*', l'angle de transition (y^'"), désigné par B\ >^' sur la ^g. 49» égale l'angle ip, on aura

r"=jr'''cos+— x'^^sin^, x"=y'"s\u^-^x'"cos^y z'* = z'".

Or, il est bien évident que, par ces rotations ou changements

ment j'avais été conduit, pendant mon séjour à SaratofT, à rédiger d'autres cahiers qui pussent servir de base solide à des études spéciales de géométrie analytique. Mais ces cahiers, de lemmes si généralement connus et par conséquent sans intérêt aucun, n'ont point été rapportés en France, parce que j'en avais disposé en faveur de compagnons d'infortune avant mon départ de SaratofT, en juin 1814.

DE GÉOfilÉTRIE ANALYTIQUE. 99

successifs des plans coordonnés, les axes x^', y'\ z"' auront précisément acquis la position que Ton avait finalement attribuée aux axes des ^', y et z\ dans la fig. 49 et l'article cidessus; de sorte que, si Ton peut obtenir les valeurs de x^ y, z au moyen de x*', y^ et 2'", par les neuf équations précédentes, on devra, à cela près, retomber précisément sur les formules (3) obtenues par la voie trigonométrique.

C'est ce qui arrive en effet, quand on essaye de remplacer, dans les valeurs précédentes de x^^y^ z' celles de a?", 7^, 2", puis qu'on substitue, à leur tour^ les valeurs trouvées pour x*^ Y et z* dans les expressions de x^ y, z.

Ces substitutions n'offrent de difQculté que la longueur.

DOnilÊES ET BBGHERCHES ANALYTIQUES SUR LES SECTIONS CIRCULAIRES DU CONE OBLIQUE A BASE QUELCONQUE DU SECOND DEGRfi.

Équation générale du cône de base et de sommet donnés, — Représentons, sur le plan des xy-y cette base par Téquation

ay^ 4- bxy -h ex' -t- rf^ -h ex -h i = o,

la plus générale des courbes du deuxième degré, et soient a, ?, 1 les coordonnées correspondantes du sommet du cône dont il s'agit de déterminer la direction des sections circulaires;' l'équation de sa surface sera évidemment

+ fc[a(z — 7) — 7(x — a)][p(s-7)-7(j-p)] ^c[a(z — 7)— 7(x — a)]»

+ rf[P(z-7)-7t;— P)](2-7)

OU, en ordonnant,

I[a^-\- ba^ -f- ea» H- rfp -f- ea -f- i) z*-f- «7'/^ -h cy^x* — (2/ap-|-6a-hrf)7jz — (2ca-hbp-^e]yxz -4- by^xy-^ = 0.

Équation, en x' et f , de la section du cône par un plan ar-

ioo II* CAHIEB. - LEMMES

titrait^. — Imaginons, par l'origine des coordonnées, un plan de direction arbitraire, ce plan coupera, en général, la surface conique suivant une autre courbe du deuxième degré; el si cette surface est susceptible de sections circulaires dans une direction inconnue quelconque, il est visible qu'on pourra déterminer les deux arbitraires qui fixent la position du premier plan, de manière à rencontrer aussi cette surface suivant un cercle, dans une direction parallèle à la précédente.

Cela posé, imaginons qu'on prenne le plan inconnu pour plan des x'y^ et qu'on rapporte la surface conique à de nouveaux axes rectangulaires, en laissant fixe l'origine des coordonnées, et se servant, à cet effet, des formules (3), du précédent article ; cela donnera pour la surface conique considérée, une nouvelle équation entre les coordonnées x'^y^yz' ; de sorte que, pour obtenir l'équation de son intersection avec le plan des x'y , il suffira d'y faire z' = o. Or on arrivera plus directement à cette même équation, si l'on substitue dans l'équation (4) ci-dessus, les valeurs (3) des coordonnées x,jrei z, dans lesquelles on aura supposé, tout de suite, z' = o.

De plus, rien n'empêche d'y supposer l'angle >|» = o, ce qui réduit les formules (3) aux suivantes,

x= X* cosOcosf H-^-' sinô, 7= — x* sinO costp H- y cosO, z = ^'sinç.

Au moyen de ces valeurs de x^ /et 2, l'équation (4), en l'ordonnant, deviendra

x" [sin* (p («p» H- 6ap -h ca' H- rf p H- <?a -h I ) -H «7* sin'ô cos'ip -hcy'cos'Ocos'^-HsinOsiny cos«p(2«p-i- 6a -h rf)7

— cosOsin^cos«p(2ca-H 6p-»-e)7 — 67*cosOsinôcos'«p] -f-^'[a7'cos'0 -f-C7'sin*ô-h67*sinôcosO]

-+- a^f [2 (c — a) 7' sinO cosO cosç — cosO sin^ (aa^-l-fta-i-rf) 7

— sinOsiny (2ca-|^6p-f-e)7 -4- 67'cos(pcos^0

— 67'cosy sin'e] +. . . = o.

C'est, dans les coordonnées x' et j', l'équation même de l'intersection du cône avec le plan arbitraire des x' r', passant par l'origine des coordonnées.

DE GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE. loi

Plan de section circulaire, — Pour déterminer les arbitraires 7 et 0 qui fixent la position de ce plan, de manière que l'équation précédente représente un cercle, il faut que, séparémeni, elles satisfassent : i*" à la condition

sin> (ap' H- ba^ -h ca» -|- c/p -h ea 4- 1) H- flv'sin'O cos» 7 -h cf^ cos'O cos'ç H- sin Osin y cos«p (sap H- 6a -hrf) 7 — cosOsinç cos<p(2ca-|-6p-|-«)7 — 67'cosôsin8cos'<p = ay* cos' ô -t- 67* sin^ 0 H- 67* sin 0 cosô,

qui exprime Tégalilé des coefficients des termes en x*^ et j" , et 2°, à réquation de condition

2 (c — ^) 7 sin 9 cosO cosy — cosOsin7(2ap -H 6» -+- e/) — sinOsiny (aca-f-ép-f-e) -+-67 cos<j>(cos'0 — sin*0) = o,

servant à faire disparaître le terme en x' y.

Ces équations, en même nombre que les inconnues «p et ^, suffiront pour en déterminer les valeurs par Télimination.

Cas où les axes des coordonnées x et y coïncident avec les axes principaux de la base du cône. — Supposons, afJn de simplifier les calculs, que cette base située dans le plan des xy^ soit rapportée à son centre et à ses axes principaux ; alors Téqualion générale établie ci-dessus pour cette courbe, prendra la forme particulière

ay^ -H cx^ -|- 1 = o ;

les coefficients b, d eie seront nuls dans les deux équations de condition précédentes, qui prendront, à leur tour, la forme plus simple

Isin*^ (ap' -h ca? -+■ i) H- 07' sin'O cos*<p -4- c»7'cos'0cos'f-f- 2ap7sinOsinycosy — 2c«ycosOsin^cos<p = a7'cos*0-HC7*sin'ô,

pour la première, et

(6) i[c — a)sinôcosOcos^— apsinçcosO — oasindsinf = 0,

pour la seconde.

KKi II* CAHIER. - LEMMES

Posons, pour abréger,

tang6 = oj ei col^ = x»

ce qui donne, comme on sait,

mny=r j C0S<j>= —

sine=— : -f cos6 =

Substiluant d'abord les valeurs de sîny et cosf dans les équations (5) et (6), elles deviennent respectivement

«P'-hca^-hi— 7»(acos'ô4-csin'ô)-+-7'(c' — ^a)(cos*9 — sin'ô);^' -f- 27 (apsinô — cacosO)x = o,

pour la première, et

7 { c — a ) sin ô cos ô x — « p cos 0 — c a sin 0 = o,

pour la seconde.

Direction de la trace du plan de section circulaire sur celui de la base du cône, — On tire immédiatement de la dernière des équations de condition ci-dessus,

«fi cosô -f- casino ^ f[c — a]sin6cos0

Substituant cette expression de x cl^ns la première des mém<es équations, et remplaçant dans le résultat, sinO et cosâ par leurs valeurs en «, elle deviendra

ap*-h ca*-Hi — C7' — 7' (a — 6')