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178 ni* CAHIER. - PROPRIÉTÉS DESCRIPTIVES

celui de x^; substituant de nouveau, les valeurs trouvées pour Xi et /s dans x^ et ^4, on obtiendra par la même raison, pour les valeurs de ces coordonnées, deux expressions où Xi et ^t n'entreront qu'au premier degré et qui auront le même dénominateur. £n continuant ainsi de proche en proche, on voit qu'on parviendra enfin aux valeurs de Xn et jTi» ^^^ auront le même dénominateur, et où Xi et ^1 n'entreront qu'au premier degré ; donc ces valeurs seront de la forme suivante :

A + B^r.-^-Cj. A'-hB'x^-^C\rx

^""DH-Ear.H-Fj,' ^" "" D 4- E:r, -+-*>■

En opérant de la même manière, à l'égard de la suite des valeurs des coordonnées ar', et y,, x\ et y,, etc., on aura poura:'^ et y^ des expressions qui seront de cette forme

Substituant ces expressions dans les deux équations de condition x, — a/„ = o,jri, — y„ = o, il viendra, en chassant ies dénominateurs,

(A+Rr,+Cr.) (D,+E.y,+Fy,) - (A,+B,;t',+C,/,)(D+Er,+Fr,) = o, (A'+B'x,-|-CW(l>.+E,4/,+F.y.)-(A',+B',y,4-C.y,)(D+E*,+Fj,) = o.

Développant la première et réunissant les termes alTectés de la même inconnue x,, a/,, etc., on aura

{BE, — B,E)j^,x,+(VF, — C,E)x,y,-\-{Œ, — 'B,¥)x\r, (CF. — C,F)/,/,-|-(BD,— A,E)x.-+-(AE.— B.D)j?', (CD,— A,F)/.-|-{AF,— C.D)y,-|-AD. — A,D = o.

Les valeurs ci-dessus de x, et ^i , af, et y, donnant

^•^• = ^^Tf ' ^■^' = i;Mr^'

si l'on fait la substitution de ces valeurs dans Téquation précédente, on obtiendra évidemment, sans qu'il soit nécessaire

d'achever le calcul, une équation de la forme

{5)[Mp-HNa-HP]\/«'+p* — r»-+-RP'-l-Sa»-hTp-hUaH-V=o;

les coefficients M, N, etc., étant constants comme fonctions des quantités constantes r, ai, frt, etc., a',, fr',, etc. Par la même raison, Téquation yn — /'« = o sera de la forme

(6) {M'p-j-N'a+P')v^«'H-P'— r'-hR'p'-+-S'a'H-rp-f.U'«-hV'=o,

dans laquelle les coefficients sont également des quantités constantes, fonctions de r, ai , 61, etc., a\ , b\ , etc.

Maintenant que nous connaissons quels sont et la forme et le degré des équations Xn — x« = o, ^, — rm = o, il nous sera facile de reconnaître aussi quels sont le degré et la forme de l'équation de la courbe cherchée.

. En efTet» d'après ce que nous avons démontré, l'équation Xn — j?',„ = o peut toujours se décomposer en deux facteurs F (a, p) et/{a, p). Pareillement, l'équation /;, — ^U = o peut se décomposer aussi en deux facteurs, dont l'un serait le facteur/(a, p), commun avec la première, et l'autre un facteur quelconque j (a, p), de même degré que le facteur F (a, p]^ en sorte que les équations (5) et (6) sont de la forme

d'où Ton tirera séparément

Cette dernière sera l'équation de la courbe cherchée. Quant aux deux autres, elles pourront être regardées comme celles de deux courbes engendrées de la même manière que la première, mais avec un pôle de plus; ou, au moins, elles peuvent être regardées comme les équations des projections de pareilles courbes; ce qui ne change pas le degré de ces équations.

Considérons d'abord la première équation F{a, P)X/(a,P)=o qui représente l'équation (5), il est clair qu'il ne peut y avoir que deux cas : ou les facteurs /(a, p) , F (a, p) sont à la fois de

la forme X -h Y ^a'-f-p^— -r'; X et Y étant des fonctions du premier degré en a et p, c'est-à-dire que les courbes qu'ils

i8o ra« CAHIER. - PROPRIÉTÉS DESCRIPTIVES

représentent sont du second degré; ou bien, l'un des facteurs étant du premier degré en a et p, l'autre est nécessairement de la forme X -^ Y v^a*-f-p» — r^ Or, je dis que ce dernier cas est impossible, au moins en général, c'est-à-dire pour tous les cas où les coordonnées des pôles donnés auront des valeurs quelconques.

En effet, si cela était généralement possible, on aurait deuv équations de la forme

(7) Aa4-Bp-hC=o,

Les quantités X et Y ne peuvent être évidemment que du premier degré en a et p, et, même, le coefficient Y ne saurait renfermer ni a ni p, puisque, dans l'équation (5), qui est le produit des deux précédentes, le coefficient du radical, évidemment aussi égal à Y(AaH-Bp-^C), ne renferme a et p qu'au premier degré.

Cela posé, soit p le nombre des pôles correspondants à la courbe cherchée dont l'équation est /{«, p) = o, p -^ 1 sera le nombre des pôles correspondants à celle dont l'équation est F(a, p) = o. SI, donc, les équations de ces deux courbes /(a, p)=o, F(a, p)=o, étaient de la forme des équations (7) et (8), il arriverait que la ligne décrite dans le cas d'un nombre p de pôles, étant une droite, la courbe, dans celui de p-\-i pôles, serait une section conique.

Maintenant, si l'on supposait qu'on eût cherché la courbe décrite par le point a, pour p -h i pôles, on aurait obtenu des équations de la forme de celles (5) et (6) ; donc, puisque la courbe, dans ce même cas de p4-i, doit, selon ce qui précède, rester du second degré, il faudrait, par une raison semblable, que, pour le cas de p-+-a, elle devînt une simple ligne droite; et ainsi de suite alternativement.

Or cela est faux, car nous avons démontré précédemment (*)

(*) Troisième solution analytique du problème énoncé en tête de la section précédente y n** El, p. 167 à 171. Cette solution, dont l'auteur a développé exprès tous les calculs pour servir de point de départ à celleci, doit en être considérée comme réclaircissement et le commentaire indispensables.

DES SIMPLES œNIQUES. i8i

que, lorsqu'il n'y a que trois pôles seulement, comme quand il y en a quatre, la ligne courbe décrite par le sommet a, est toujours du second degré.

Donc il est impossible que les facteurs /(a, p) et F (a, p) soient simultanément de la forme correspondante aux équations ( 7 ) et (8) ; donc enfm, ils sont Tun et l'autre de la forme X -H Y V'a^-hp^— r% et, par conséquent, le lieu cherché ayant, en général, pour équation

est une section conique.

Toutefois, ce lieu peut se réduire à une simple ligne droite, mais seulement pour une disposition toute particulière des pôles fixes, autour desquels pivotent les divers côtés, ainsi que nous le verrons dans le Cahier suivant.