QUATRIÈME CAHIER

SUITE DES RECHERCHES SUR LES PROPRUETES DESCRIPTIVES DES SIMPLES CONIQUES.

PREMIÈRES CONSÉQUENCES GÉOMÉTRIQUES RELATIVES A L'INSCRIPTION ET A LA CIRCO!fSGRlPTlO!f DES POLYGONES A CES COURBES.

Lemmeê préliminaires concernant les polygones mobiles

suivant des lois données.

On a vu (n° IV, Cah. III) que, « le lieu du sommet a, de l'an- » gle circonscrit au dernier côté ou côté libre Xix\, [fig, 86), )) d'un polygone variable inscrit à une courbe du deuxième » degré, est lui-même une courbe de ce degré, quand les » divers autres côtés, rendus mobiles, sont assujettis à passée » respectivement par autant de pôles ou points ^a:e«, arbitrai- » rement choisis sur le plan de la conique donnée. »

Je dis, de plus, que ce le côté libre ou indépendant Xix\ du » même polygone, corc/e de contact conjuguée au sommet a » de Tangle circonscrit XyaLx\ roulera, en l'enveloppant tann gentiellement dans toutes ses positions, sur une troisième » courbe de la même espèce. »

En effet, il sera démontré dans le Cahier suivant, que si, d'un point quelconque d'une courbe (C) du deuxième degré, on mène deux tangentes à une autre courbe (C) de ce degré, puis, que l'on joigne les deux points de contact par une ligne droite, cette droite reste dans toutes ses positions, tangente à une troisième courbe du deuxième degré.

Imaginons donc [fig* 87) que Ton mène, par les différents sommets du polygone inscrit ci-dessus, XxX^.. .x\x\xx des tangentes à la conique (C), ces tangentes se couperont consécutivement aux points m, n, o, /?,... a, et constitueront ainsi un polygone circonscrit, dont ces points respectifs seront les som-

. PROPaiÉT£S raSCUPTIVSS DES SIMPL£6 CONIQUES. i83

mets, mais qui pourra avoir, comme le polygone inscrit, une figure très-irrégulière. Cela posé, si l'on déforme ce dernier

polygone de manière que chacun des côtés tourne autour de son pôle respectif, il est clair que le sommet correspondant de l'autre polygone, considéré en particulier, parcourra une ligne droite (IIP Cahier, p. iiS et i33], tandis que le dernier sommet a, décrira la courbe ci-dessus indiquée.

Donc réciproquement : a si les sommets m, n, etc., d'un po- » lygone circonscrit à une courbe du deuxième degré sont, à A l'exception du dernier sommet a, assujettis à parcourir cha- » cun une droite donnée, et qu'on déforme ce polygone, le D dernier sommet décrira une courbe du même degré. i>

Cette dernière proposition donne la solution graphique du problème suivant:

J une conique donnée, circonscrire un polygone dont les sommets s'appuient sur autant de droites données.

Soient MNPQR8 [fig. 88) un polygone quelconque, convexe ou non; (C) une section conique tracée d'une manière arbi-

Fig. 88.

traire dans son plan, circonscrire à cette ligne courbe un poly-

i84 IV- CAHIER. - PROPRIÉTÉS DESCRIPTIVES

gone d'un même nombre de côtés que le polygone donné, et dont les sommets m, n, p, q, r, s soient situés respectivement sur les côtés du premier.

D'après le lemme général précédemment cité, si Ton imagine que Ton déforme le polygone mnp, etc., de manière que chacun de ses sommets parcoure un côté correspondant du polygone donné, à l'exception du dernier sommet 5, qui restera libre, ce sommet parcourra lui-même une courbe du deuxième degré. Si donc l'on cherche l'intersection de cette courbe avec le dernier côté RS du polygone MNP..., on obtiendra, en général, deux points s et ^', auxquels correspondront deux polygones circonscrils tels que mnpqrSj qui seront les polygones demandés.

Problème inverse relatif à l'inscription d'un polygone dont les côtés passent par des points donnés.

Si, au lieu du polygone MNP, etc, on avait donné les pôles correspondants à chacun des côtés de ce polygone, le problème précédent serait évidemment revenu à celui-ci :

(( Etant donnés [Jig, 87 ), une conique et un nombre déler- » miné de points ai, aa,...^,, d^ et a situés arbitrairement dans » son plan, inscrire à la courbe, un polygone dont les côtés » passent respectivement par les points donnés. »

Or, les points dont il s'agit étant donnés à priori sur ce plan, on peut en déduire la position de chacune des lignes droites sur lesquelles les sommets du polygone circonscrit à la section conique [fig. 88), doivent être situés; en sorte que la solution précédente donne aussi celle du problème qui a été énoncé en dernier lieu.

Remarque historique, — Ce dernier problème avait déjà été résolu, je crois, pour deux cas particuliers, savoir : pour celui où le polygone inscrit ne doit être qu'un triangle, lorsque par conséquent il n'y a que trois points donnés à priori sur le plan de la conique, et ensuite pour le cas où, le nombre des points donnés étant arbitraire ainsi que le nombre des côtés correspondants du polygone à inscrire dans cette conique, tous les points dont il s'agit sont situés sur une même ligne droite..

DES SIMPLES CONIQUES. i85

Nous en avons vu (III" Cah.)> la solution qui appartient à M. Brianchon. L'autre est d'un jeune Italien mort à l'âge de seize ou dix-sept ans (*).

Autre solution graphique des mêmes problèmes.

L'enveloppe de Tespace parcouru par le dernier côté Xxx\ {fis* ^7) d^ polygone mobile inscrit à la section conique donnée» étant une courbe du deuxième degré dans les hypothèses ci-dessus indiquées, on voit que cette propriété fournira une seconde manière de résoudre les problèmes dont il vient d'être question.

£n effet, si l'on suppose que les points a,,a3, ...âf'iy cl^ et a soient donnés, et qu'il faille inscrire à la courbe un polygone dont les côtés passent respectivement par ces points, on imaginera que le dernier côté Xxx\y correspondant au point a, devienne libre, et que les autres soient seuls assujettis à remplir la condition précédente; alors en déformant le polygone d'une manière continue ou progressive, ce dernier côté, d'après ce qui précède, enveloppera dans toutes ses positions une même section conique. Donc, si l'on mène par le point a, à cette section conique, deux tangentes, et que l'on trace également les deux polygones correspondants, ces polygones donneront la solution demandée.

Pour construire les deux tangentes en question, il sera convenable de tracer le- contour de la courbe enveloppée par la droite Xtx\ : à cet effet, on déterminera cinq positions de celte droite, et, au moyen de la propriété FUI (III* Cah., p. 139), on pourra trouver le point de contact de chacune d'elles avec la courbe cherchée. Ayant cinq points de celte courbe, on en trouvera par une autre construction fort simple, autant que Ton voudra [Prop. Fil),

Par la suite, nous donnerons les moyens d'obtenir directement le centre et les axes d'une courbe du deuxième degré

(^) Il y a là, dans les souvenirs et les idéeS; une lacune, une confusion que je n'essayerai pas de rectifier ici, et pour ce point encore, je renverrai aux écrits déjà cités et bien connus, de mon vieil et excellent ami, M. Brianchon, ou, à leur défaut, au Traité des Propriétés projectWes des figures, sect. IV, chap. 111.

i«6 IV* CAHIER. - PROPRIÉTÉS DESCRIPTIVES

dont on connaît cinq points : ainsi les solutions précédentes seront complètes; nous devons en outre ajouter que ces solutions seront générales, et les mêmes quelle que soit la courbe donnée (G), c'est-à-dire qu'elle soit une circonférence de cercle ou une section conique quelconque.

Examen d'un cas tout particulier.

Voici un corollaire des propositions ci-dessus qui mérite d'être remarqué en passant.

Soient (G) fig. 89, une conique ou courbe quelconque du second degré; AN et AM deux droites arbitraires, tracées dans

Fig. 89.

son plan; d'un point a/ quelconque, situé sur la droite AN, on mène deux tangentes x'm et x' m' à la conique (G); par les d eux points m et m' où ces tangentes coupent l'autre droite AM* on mène deux nouvelles tangentes ma et m'a qui se coupent en a. Si l'on imagine maintenant que l'on fasse varier le point x' sur la droite AN, le point a décrira, dans son mouvement, une ligne droite A a, qui passera par le point A d'intersection des deux premières djroites AM et AN.

En effet, la figure peut être projetée sur un autre plan, de façon que la courbe (G) y devienne un cercle, et que tous les points de la droite AM passent à l'infini. Dans cette nouvelle projection [Jig. 90), les tangentes a m' et x'm', ou «K et x'K' sont devenues parallèles, de même que les deux tangentes ma et mx' ou aK' et ar'K.

Or il est parfaitement évident que, si l'on joint le point x'

DES SIMPLES QONIQUBS. 187

aii powt «V eeiie droibe sera It diagonale d'un parallélogramme dKx'K' circonscrit à la circofiféreoce de cerde (C) de la pro-

jection; donc elle passera par le centre C, et, par suite, la distance Ca sera égale à la distance Cx' ; donc encore, si le point x' se meut sur une droite AN, le point a se mouvra sur une droite A'N' parallèle et symétrique à la première.

Maintenant, si Ton remet la figure en projection sur le premier plan [^g. 89), on verra que le point «, projection du point de concours des tangentes mobiles ou variables m'aK, amK', parcourra une droite convergeant, avec AM et AN, au point A qui représente le point, à l'infîni, commun aux parai lèles AN et A'N' de la projection {/ig. 90).

D'une autre part, les deux points K et K' étant, dans cette fig- 90, situés sur un même diamètre KK', à égale distance du centre C, il n'est pas difficile de voir que ces points décriront, dans le mouvement dont il s*agit, une même ellipse dont le centre se confond avec celui du cercle de projection. Donc les points correspondants K et K' de la ^g. 89, parcourront également une seule et même ligne du deuxième degré ; ce que Ton savait déjà par ce qui précède (*).

Si le point x* de la^g-. 90, au lieu de parcourir une droite AN, décrivait une courbe quelconque du deuxième degré, il

(*) Yoy. les solutions analytiques du problème dont on s'est occupé dans le n** lU du 111' Cahier, p. 149 et suiv.

i88 IV CAHIER. - PROPRIÉTÉS DESCRIPTIVES

est clair que son symétrique a, parcourrait aussi une ligne de ce degré, et qui ne différerait de la première que par sa position. Donc, dans le même cas, le point a de la Ggure primitive, tracera encore une courbe du second degré.

RECHERCHES ANALYTIQUES PARTICULIÈRES RELATIVES AU PROBLÈME DU N'' IV (IIP CaH.], pour le cas ou LES POLES DES DIFFÉRENTS COTES DU POLYGONE SONT EN LIGNE DROITE. *

Dans le cas tout particulier où les pôles ai, a^, etc., de la Jig. 86 ou 91, seraient situés sur une même ligne droite, la figure pouvant être projetée, sur un nouveau plan, de manière que la directrice du second degré des sommets du polygone soit un cercle, et que tous les points de la droite où se trouvent situés les pôles, soient placés à Tinfini sur le nouveau plan, il est par là évident, d'après le Principe IV de projection souvent invoqué, que les droites qui concouraient en chacun de ces pôles dans la figure d'abord considérée, sont devenues des droites parallèles dans la nouvelle. Donc, si Ton conçoit par l'origine G, des axes coordonnés, une droite qui passe par la projection à l'infini du pôle a. par exemple, celte droite aura une inclinaison invariable ou déterminée.

Soit nix la tangente trigonométrique de l'angle qui mesure cette inclinaison sur l'axe des x^ l'équation de la parallèle C^i

à XxXj étant j''= /II, jt-, les coordonnées c/| el 61 de la projection du pôle a„ tout en devenant infinies, devront satisfaire à

celte équation, de sorte qu'ici t^ = —

Pareillement, quoique les coordonnées de la projection

de d^ soient devenues infinies, si on les représente par a\ et h\y leur quotient sera égal à une quantité déterminée m\ qui ne sera, en général, ni nulle ni infinie : or il est clair que les équations par lesquelles nous avons obtenu les coordonnées des intersections successives Xj, a:,, etc., subsistent toujours, et qu'il suffira d'y faire les coordonnées a,, «„ etc., des pôles

égales à -> en observant cependant qu'on doit avoir — = m,,

O ttx

-f = m'. , et ainsi des autres.

Si nous considérons, par exemple, la valeur de x^ trouvée dans l'endroit précédemment cité,

agi r* — lax b^y^ + j;, (fe' — a] — r')

on la divisera d'abord, haut et bas, par a] y ce qui en changera la forme sans en changer la valeur; en y faisant ensuite les suppositions précédentes et supprimant les quantités multipliées

par — comme nulles, il viendra, pour la nouvelle valeur de ar^,

— 2 m, ri — (i — rn\]xx :r,= ' — —^-^ i^— .

Si Ton fait la même chose pour r^» on obtient

— 7.mxXx — ( m] — I ) ri

Remplaçant ensuite dans ces expressions, m, par ma, Xx et y\ par or, et ^2, on aura les valeurs de x^ et y^ et ainsi de suite. De là il résulte que tous les dénominateurs seront des constantes, et que les numérateurs ne renfermeront point de termes indépendants de Xx ou 7,. Si donc on faisait les substitutions successives indiquées dans le cas général, évidemment on obtiendrait pour Xn et /« des valeurs de cette forme

Bar. -H Cr« B^ar,-t-Cr.

Xu— j^ ^» r«— jj

igo IV CAHIER. - PROPRIÉTÉS DESC31IPTIVES

Par la même raison, on aurait pour x^ et y'^ des valeurs telles

que

On voit, d'après cela, queles équations de condition Xn — ^^'= o, j„ — 7L=o n'auront plus la forme (5) et (6) qu'elles avaient

dans le cas général.

En effet, si l'on substitue, par exemple, pour Xn et x*^ leurs valeurs dans l'équation Xn — ar'^=o, elle deviendra

BD.^.-l-CD.j,— B, Do:', — CD/, = o.

Mettant dans cette équation pour x,, /,, a:',, y\y leurs valeurs respectives (p. 175), on obtiendra évidemment une dernière équation de la forme

[a] (Mp-|-Na)^a»-|-p»— r»+Tp-+-Ua = o,

laquelle, d'après ce qu'on a démontré (IIP Cah., n* IV, p. 174), doit être le produit de deux facteurs /(a, p) et F (a, p), dont l'un égalé à zéro donne Téquation de la courbe cherchée, et dont l'autre donne celle d'une ligne qui peut être considérée comme la projection d'un lieu géométrique analogue, mais pour lequel il y a un pôle de plus, ou plutôt, pour lequel un côté de plus du polygone doit avoir une direction connue.

Or il est facile de s'assurer que l'équation (a) ne peut être ici que le produit de deux facteurs de la forme

Ma-HNp, T-HSv^a»H-p»— r»

dans lesquels M, N, T, S sont des constantes distinctes de celles déjà employées ci-dessus.

Si on les égale séparément à zéro pour savoir à quelles lignes ils correspondent, ce qui donne

{h) Ma-|-Np = o,

pour le premier d'entre eux, et, pour le second,

on verra que l'une des deux lignes représentées par ces équalionsy est une droite et Taatre une circonférence de cercle.

Discussion des résultats. — Influence du nombre des pôles ou des axes fixes parallèles aux côtés du polygone.

Supposons que p représente, pour un certain cas, le nombre des pôles ou des axes qui répondent à Téquation (c), la droite dont l'équation est {b) ou M«-l-Np = o, répondra généralement au cas où il y a /» + 1 de ces mêmes axes, ou directions fixes, et réciproquement (p. 178 et 174).

Admettons que, les équations précédentes se rapportant au cas où p est le nombre des axes dont la direction est donnée, la courbe cherchée soit réellement un cercle (0), la droite (b) sera une solution étrangère. Si Ton suppose que les mêmes équations appartiennent au cas où p + i est le nombre de ces axes; alors, des deux lignes fournies par l'équation {a) ou X» — a/„=o, l'une sera une ligne droite correspondant à p-hi directions fixes, et l'autre sera un cercle correspondant à /? -H 2 de ces directions ( * )•

En continuant co raisonnement, on voit que si l'on augmente successivement d'une unité le nombre des côtés du polygone à directions fixes, on obtiendra, pour les cas correspondants, alternativement une droite et un cercle, et que, par conséquent, si la solution relative à p est un cercle, celles relatives à p-h'^y p-*-4> p-hG^ etc., p — 2, p — 4> e^c-» donneront aussi des cercles; tandis que, dans les hypothèses relatives aux nombres p H- 1 , p-l-3, etc., p — i, p — 3, etc., les cercles seront remplacés par des lignes droites. Les équations (6) et [c) font voir que tous ces cercles auront même centre que le cercle donné ( C ), et que toutes les droites seront des diamètres de ce cercle.

Il reste maintenant à savoir si c'est la suite des nombres de données pairs ou impairs, qui produisent le cercle. On pour-

(*) La rédaction de ce passage était obscure, incorrecte môme à force de laconisme et par l'emploi du mot droite appliqué à des choses distinctes; on a dû, pour la clarté, y apporter lors de Timpression, quelques changements qui n'en altèrent aucunement le sens.

iga IV' CAHIER. - PROPRIÉTÉS DESCRIPTIVES

rait peut-être le découvrir en comparant directement entre

elles les équations Xn — <a?l,=o* J« — 7*1,= ^» ™^^s il sera plus

simple d'examiner géométriquement ce qui arrive dans des cas

particuliers.

Si Ton suppose, par exemple p = i, [fig* 92), c'est-à-dire qu'il n'y ait qu'un seul côté mobile x' Xx, donné par sa direc-

Fig. 92.

tion, il est facile de voir que la courbe décrite par le sommet a de l'angle circonscrit au côté-corde x' x^, est une ligne droite indéfînie; l'inspection seule de la figure suffit pour cela. Donc tous les nombres impairs p, de pôles ou de directions fixes, donneront des lignes droites diamétrales, et tous les nombres pairs, des circonférences de cercle concentriques au cercle directeur (C).

Si l'on considère maintenant une courbe quelconque du deuxième degré et un système de pôles situés sur une ligne droite dans son plan, dont la figure peut être supposée avoir pour projection la^g*. 86 ou 91, il est clair que, dans ce cas, les cercles et les droites, lieux des intersections a des couples de tangentes ou sommets d'angles circonscrits, deviendront respectivement de nouvelles courbes du second degré ou de nouvelles droites passant toutes par un même point. Ce point, très-distinct d'ailleurs du centre de la conique donnée, pourra être facilement déterminé quand la droite des pôles le sera pareillement, comme on le verra ci-après.

Cas oà le nombre j», des pôles, étant impair, le lieu du point a est une simple ligne droite.

Soient a, a", (Jig. 98), la droite des pôles donnés et (C) une courbe quelconque du deuxième degré. Supposons d'abord qu'il n'y ait qu'un pôle a. : alors si l'on mène par ce pôle, une droite quelconque a^x' x" qui coupe la conique (C), en deux

points af y x" ^ et qu'à chacun de ces points on mène une tangente à la courbe, ces deux tangentes se couperont en un point m; imaginant de plus, que la droite axx' varie de posi-

Fig. 93.

lion autour de «i, le point m, dérivé de a^o^ x^'y parcourra une droite mÇ! y qui est elle-même la dérivée du pôle a, ; propriété bien connue et déjà démontrée (IIP Cah.). Si d'ailleurs, au lieu du pôle a,, on eût choisi le pôle a,, le sommet d'angle circonscrit correspondant n, eût parcouru une autre droite iiC, qui coupe la première en un point C : le pôle a", fournirait pareillement une dérivée p C passant par le même point fixe C, etc.

En effet, si Ton suppose la figure projetée sur un nouveau plan, de façon que la conique donnée devienne un cercle et que tous les points de la droite a, d^ soient situés à TinOni, il est clair, d'après ce qui a été dit ci-dessus, que les droites otC, hC et/?C' seront toutes trois des diamètres de ce cercle ; par conséquent, elles se coupent aussi en un même point correspondant au centre du cercle de projection. Donc enfin (Princ. IV) les droites mÇI ^ nC, />C' et leurs analogues pour un nombre impair de pôles se coupent, comme on Ta avancé, en un point unique C, pôle dérivé de la droite «,«', ûi^..., représentant le centre du cercle projection de la conique donnée (C), qui contient les sommets mobiles du polygone.

Considérons, en particulier, un quadrilatère x'x" x^Xx inscrit à la courbe (C), et dont trois des côtés x'x'^ x^x^y x^x^ passent respectivement par les pôles a,, rf, et a*,, le quatrième

icr4 IV CAHIER. - PROPRIÉTÉS DESCRIPTIVES

oôié X* Xx reslanl libre; supposons toujours qu'aux extrémités x' et Xx de ce dernier côté, on mène deux tangentes x*x et j;, a à la conique (G), elles se couperont en un point a, qui parcourra une ligne droite olÇJ quand on déformera le quadrilatère en l'assujettissant, dans toutes ses positions, à la condition dont il s'agit, et cette droite passera par le point C, déterminé précédemment.

La même chose arriverait évidemment, quels que fussent le nombre, la position des pôles fixes, situés sur la droite aa, , pourvu néanmoins que ce nombre soit impair. On voit, par là, combien il devient facile de résoudre ce problème :

Étant donnés un nombre impair de points situés en ligne droite et une courbe quelconque du deuxième degré (C) , inscrire à cette courbe y un polygone dont les côtés passent respectivement par les points donnés.

S'il s*agit, par exemple, du cas de trois pôles «i, a,, a^, on déterminera la droite aC par le moyen indiqué ci-dessus; après quoi, on cherchera les deux points K et I où cette droite, vient couper la conique (C); ces deux points seront les sommets des deux triangles inscrits demandés, dont les côtés passent par les trois points a,, d^,, û*, .

Considérant en particulier le point I, on mènera par ce point, qui représente à la fois, un point x' et un point x^ confondus, deux droites I«, et la, aux pôles a, et a, correspondants, ces droites prolongées viendront couper la conique (C) en deux autres points ^ et ir qui seront les sommets mêmes du triangle cherché; de jsorte qu'en traçant le troisième côté (jw, il passera par le point o^,, et le triangle I<p7r sera le triangle demandé.

Théorème relatif aux couples de polygones d'ordre impairy inscrits à une conique, et dont les côtés respectifs concourent en des points rangés sur une droite.

Les deux triangles relatifs à l'exemple ci-dessus, donnes par la droite Kl {Jig, gS ), sont les seuls que l'on puisse inscrire à la conique (G), quoique cette droite Kl ne soit pas unique.

En effet, soient B6 {Jig. 94) la droite IK déterminée comme on Fa dit précédemment, ABC et abc les deux triangles ins<»rtts

correspondants» je dis que si l'on joint deux à deux les sommets de ces triangles, par les trois droites Bft, \ir, Cr, ces droites viendront se couper en un même point C; car c*est une propriété connue que, quand les côtes correspondants de

Fie- 94.

deux triangles quelconques se coupent respectivement en trois points situés sur une même ligne droite, les trois droites qui joignent deux à deux les sommets opposés dans ces triangles, se coupent en un même point. Or c'est là ce qui a lieu dans le cas de la figure ci-dessus.

Il n'est pas difficile de voir maintenant que les trois droites B6, Ce et Aa sont précisément les trois droites qu'on obtiendrait, parla construction précédente, si l'on intervertissait l'ordre des côtés du quadrilatère inscrit; ce qui fait voir, en même temps, que le point où elles se coupent est le même que le point C de la Jig, gS.

La même observation a lieu quel que soit le nombre impair des pôles a„ a, , etc., ou des côtés du polygone qu'il s'agit d'inscrire à la courbe donnée (C). Ainsi, quel que soit le nombre de ces pôles et côtés, s'il est impair, on n'obtiendra que deux polygones, tels qu'en en joignant deux à deux les sommets opposés par des droites, elles se coupent en un même point, lequel, ici encore, n'est autre que le point C conjugué à a,û, .

Ceis d'impossibilité. — La solution du problème ci-dessus ne devient évidemment impossible ou imaginaire, que quand la droite IK {Jig. gS) cesse de couper la conique (C); mais alors le point C est nécessairement situé au dehors de cette courbe, et par conséquent, dans le même cas, la droite «iû^, sur laquelle sont situés les points ou pôles donnés, rencon-

igô IV CAHIER. - PROPRIÉTÉS DESCRIPTIVES

trera nécessairement aussi quelque part, la directrice (C) des sommets du polygone variable.

Donc la solution sera toujours réelle quand la ligne des pôles sera au dehors de la courbe donnée; dans le cas contraire, elle pourra devenir impossible pour une disposition particulière de ces pôles.

Cas où, le nombre des pôles étant pair, le lieu du sommet libre est une conique.

L'examen du cas où le nombre de pôles donnés est pair va nous fournir des conséquences assez singulières.

Soient (C), Jig. 95, une courbe quelconque du deuxième degré; Ui, d y etc., un nombre pair de points donnés, situés sur la même droite oa,; proposons-nous d'inscrire à cette courbe un polygone dont les côtés respectifs passent par les points donnés.

On peut, en vertu du Principe IV, considérer la figure comme la projection d'une autre {jig, 96), dans laquelle la courbe (C ) serait remplacée par le cercle (C), et la droite aa^ par une droite située à l'infini; donc, d'après ce qui a été démontré au commencement de ce n** II, si l'on imagine un polygone

FIg. 95.

quelconque inscrit au cercle (C) et dont les côtés soient respectivement parallèles à autant de droites fixes qu'il y a de pôles donnés, à l'exception d'un dernier côtéxi^r' resté libre; qu'on mène par les extrémités de ce dernier côté, deux tangentes à la conique devenue cercle, ces tangentes se couperont en un point a, et si l'on suppose que l'on déforme le polygone en l'assujettissant toujours à la même condition, ce

point a décrira un cercle concentrique à {C ). Donc le cercle décrit ne pouvant jamais rencontrer (C), il est impossible

Fig. 96

aussi que le point a soit jamais sur ce dernier cercle, à moins toutefois que les deux cercles ne se confondent.

Donc enfin il sera impossible que les deux points x\ Xi se confondent nulle part, et partant, qu'il y ait un seul polygone d'un nombre pair de côtés de directions données inscrit au cercle (C), à moins que tous les polygones construits de la même manière, ne soient spontanément inscriptibles à la circonférence du cercle (C).

Impossibilité absolue ou possibilité indéfinie de l'inscription des polygones d'ordre pair. — De là résulte, en général, qu'il ne sera pas possible d'inscrire à la Conique [fig* gS), projection du cercle, un polygone d'un nombre pair de côtés passant respectivement par autant de points donnés sur une droite, et que, s'il était possible d'en inscrire rigoureusement un seul, on pourrait, par là même, en inscrire une infinité. Ainsi, dans le cas particulier de cette dernière figure, où il s'agit d'un quadrilatère à quatre pôles, s'il y en a un seul x'x^x^x^ d'în^ scrit à la conique, il y en aura nécessairement une infinité.

La solution se borne donc à ceci : a Par le pôle a, mener » arbitrairement une droite ax\ qui coupe la conique en x' » et Xi\ joindre le point x' avec le pôle a', ce qui déterminera » le point x'\ joindre x" avec le pôle «a, ce qui donnera le » point Xxy enfin joindre le point :r, avec le quatrième pôle ai, » ce qui donnera un dernier point x^\n si ce point se confond avec celui obtenu d'abord au moyen de ax^^ ce qui a lieu dans le cas de ^^fig» gS, tous les quadrilatères obtenus de la même manière, seront inscrits à la courbe; dans le cas contraire, il n'y en aura absolument aucun.

Reiuarquons-le cependant, Tobservation précédente suppose que la projection de la Ji%, 95 dans la Jig. g6, soit possible géométriquement; ce qui exige que la droite des pôles ne rencontre pas la courbe (Princ. IV). En d'autres termes, de ce que la courbe décrite par le point a [Jig. 98), sommet des angles circonscrits au côté libre x' x^ ne peut, ici où il s'agit d'un nombre pair de pôles, rencontrer la conique donnée (C) sans se confondre avec elle quand la droite aa, ne rencontre pas celte conique, ce n'est pas un motif suffisant d'en conclure que cela aurait encore lieu dans le cas contraire où celle droite la rencontrerait géométriquement.

En effet, la condition pour que deux coniques se coupent en un ou plusieurs points, est évidemment purement relative et dépendante de la grandeur des constantes qui. entrent dans leurs équations. Par conséquent, il peut arriver qu'une certaine disposition de la ligne décrite par le sommet a, ou, ce qui revient au même, une certaine disposition des pôles a, a,, etc., rende réelles certaines valeurs des coordonnées des points d'intersection, de sorte que, dans un tel cas, les courbes pourraient se couper effectivement

Quoique, d'après cela, il ne soit plus exact de dire, en toute rigueur, que, quand la droite des pôles rencontre la conique donnée (C j, la courbe (a) ne puisse avoir aucun point commun avec elle sans s'y confondre entièrement, on ne doit pas néanmoins en conclure que la propriété dont jouit le quadrilatère inscrit à cette conique quand la droite des pôles est en dehors de son périmètre , ne soit pas vraie dans le cas contraire. En effet, ce quadrilatère n'est assujetti qu'à une condition de position, à savoir : que ses sommets soient situés sur la courbe (C), et que ses côtés passent par les quatre points donnés; d'autre part, comme il est prouvé pour le premier cas, que, quand les quatre sommets peuvent être à la fois sur (C), ils doivent pouvoir y être d'une infinité de manières différentes et telles, par conséquent que, si trois d'entre eux parcourent cette courbe, le quatrième la parcourra en même temps, il faut, de toute nécessité, que cette même propriété ait lieu aussi dans le cas contraire où la ligne droite des pôles pénétrerait à l'intérieur de la courbe (C).

Bé flexions gêné raies sur tes cas d'impossibilité (les problèmes de géométrie ci-dessus.

Toutes les conséquences précédentes dérivent nalurelleineni des principes établis au commencement du III" Cahier. Nous allons cependant en donner encore ici une démonstralion particulière.

Supposons que le quadrilatère qlx" x"'xi [Jig. 97) soit assujetti aux conditions suivantes : que ses côtés passent par les pôles respectifs «, a,, «', a„ et que ses trois sommets x'\ x"' n Xi restent sur la courbe (C); son dernier sommet a, demeuré

libre, parcourra nécessairement une autre ligne courbe, quand on viendra à déformer ce même quadrilatère de toutes les manières continues possibles. En soumettant cette question à l'analyse algébrique, il est clair que Ton trouvera une équation du deuxième degré (IIP Cah., Prop. IX) ^ qui sera la même, soit que la droite aa2 rencontre ou ne rencontre pas la conique (C). Donc, s'il arrive que le lieu du sommet « doive se confondre avec cette courbe pour le cas où cuit ne la rencontre pas, la même chose arrivera encore dans le cas 0(1 cette droite vient à la rencontrer : la raison en est bien simple, pxiisque, en passant d'un^ cas à l'autre, l'équation finale en a et p ne chaflgeant pas de forme, il n'y a que la valeur Implicite des coefficients qui puisse changer; leur expression analytique restant explicitement la même.

Donc aussi, toute propriété qui ne dépend que de la forme

ioo IV" CAHIER. >- PROPRIÉTÉS DESCRIPTIVES

générale de cette équation sera une propriété de nature invariable, tandis que toute propriété dépendante de la grandeur implicite des coefficients, peut cesser d'exister nécessairement quand cette grandeur vient à changer. Ainsi, par exemple, si les courbes (a) et (C) devaient en général être tangentes entre elles, cette propriété pourrait bien cesser d'exister sans (|ue la forme de l'équation de la première d'entre elles changeât, à proprement parler. Dans ce cas donc, la condition de contact a bien lieu, analytiquement parlant, mais les coordonnées des points de contact eux-mêmes sont imaginaires^ et, par conséquent, le contact n'existe plus physiquement ou graphiquement.

Nous pourrions de là tirer une conséquence assez difficile à concevoir géométriquement, et qui n'en est pas moins une vérité mathématique indiscutable, quoique d'apparence paradoxale : « Deux coniques qui ne se coupent pas peuvent M néanmoins être liées entre elles, géométriquement ou par » certaines relations graphiques, de la même manière que si w elles se coupaient ou se touchaient effectivement, et elles n peuvent, dans l'un et l'autre cas, posséder les mêmes pro- » priétés relatives. »

Pour en donner un exemple bien élémentaire (P' Cahier), nous savons que deux cercles peuvent se couper en général suivant deux points, et par conséquent qu'ils ont, généralement aussi, une corde commune; mais, sur le plan de ces cercles» il existe une droite liée à leur système ou ensemble d'une manière indépendante et telle, que si les cercles ne se coupent plus, la droite cesse bien, géométriquement parlant, d'être une corde commune, sans que cela soit vrai considéré d'une manière analytique. Il résulte, en effet, des lemmes du P' Cahier, que la direction indéfinie de cette droite existe encore dans le der^ nier cas; qu'on peut même la construire de plusieurs manières différentes et qu'elle remplace, en fait, une véritable corde commune, puisqu'elle en conserve toutes les propriétés descriptives inhérentes à la disposition mutuelle des parties de la ligure et non à leur grandeur absolue. *

En particulier, soient sur un même plan trois cercles qui se coupent ou ne se coupent pas; si l'on trace les trois cordes communes, deux à deux, à ces cercles, ou les droites qui les

'ZOI

DES SIMPLES œNlQUES.

remplacent^ elles passeront par un même point dans tous les cas possibles (voy, les propriétés des cordes communes aux cercles, 1" Cahier, Prop. VIII et suiv.).

Examen analytique circonstancié du cas où les pôles des côtés se réduisent à deux.

Ce cas tout particulier, a évidemment un rapport immédiat avec la question générale qui nous occupe.

Supposons, en effet, qu'au lieu de quatre pôles on n'en considère que deux, celte hypothèse devra nous offrir des conséquences à peu près semblables. Ici il ne peut être question d'inscrire à une conique (C), un polygone, à deux sommets, dont les côtés passent par les pôles donnés, car la chose évidemment n'a plus de sens. Mais, comme la courbe décrite

Fig. 98.

par le point de concours a des tangentes ax' et axt [fig. 98), ne cesse pas d'exister, il est possible de tirer de sa discussion algébrique, quelques conséquences générales intéressantes.

Celte courbe est évidemment celle que nous avons considérée au n*» III du IIP Cah. : les droites AM et AN sont ici celles décrites par les sommets m et n dans leurs dilTérenles positions. Or l'équation de la courbe des points a, relative à ce cas, en supposant que l'axe des x passe par le centre C du cercle et par le point A, revient à la suivante (p. 148) :

[AB{rt»— /•»} — r»]»(a»-|-p2— r») — /'^(A — B)'(fla — H)»=o.

Quand on suppose, dans cette équation,

a = -~. OU a a. — r'=o, a

elle se réduit à celle-ci,

c'esl-à-dire que le point qui correspond à Tabscisse —■> osl

commun au cercle et à la courbe des a; il y a plus encore, ce

point qui est double, puisque Ton a p = ±\/r' — a», est celui même où ces deux courbes se touchent (*), puisque jamais le sommet a ne saurait entrer dans le cercle (G).

Il n'est pas difficile de voir, comme on Ta remarqué à l'endroit cité, que les points de contact s'obtiennent, dans chaque cas, en menant par A, deux tangentes au cercle (€]. De plus, le point A est lié à la droite des pôles ^a., de telle sorte que quand ce point est au dedans du cercle, sa dérivée passe au dehors, et réciproquement. Donc quand la droite ««, sera extérieure au cercle (G), on ne pourra pas lui mener de tangente par le point A, et par conséquent la courbe (a) n'aura aucun point en commun avec le cercle (G). Au contraire, si cette dérivée coupe le cercle, les tangentes étant possibles, la courbe (a) touchera le cercle (G) en deux points distincts: néanmoins, dans l'un et l'autre de ces cas, l'équation ci-dessus de la ligne des sommets a, n'a pas changé de forme ; seulement dans un cas, a esi <^r et, dans l'autre, on a a> r, ce qui rend l'ordonnée

±^r^ — ol' ou db — Ja^ — /•%

du point de contact et, par suite, le contact des deux courbes

( * ) Il est évident que, quel que soit le nombre des directrices données AN et AM, la conique parcourue par a a deux points de contact avec le cercle (C); il n'est pas même nécessaire que ces droites se coupent en un même point A. (i\ote du texte manuscrit,)

DES SIMPLES œNIQUES. 2o3

imaginaire ou impossible pour l'un des cas, mais réel et possible pour Taulre.

Il faut bien distinguer encore celle impossibilité^ qui n'est que relative, de celles qui sont absolues : celle*là n'a lieu que pour des cas particuliers, celles-^i subsistent toujours; et, quoique dans le premier cas, une relation descriptive puisse cesser d'être géométriquement, pour une série de positions des parties de la figure, elle doit cependant être rangée au Dombre des propriétés générales de cette figure.

Ainsi il est permis de dire que la propriété qu'ont le cercle (C) et la courbe (a) d'être tangents en deux points déterminés, est une propriété spécifique dont ces courbes doivent être censées jouir, même dans le cas où le contact devient imaginaire; les conséquences géométriques tirées de cette propriété étant vraies aussi, généralement parlant, mais pouvant cesser d'offrir un sens géométrique pour une série de positions particulières des données de la figure.

Ceci est conforme encore à la remarque déjà faite au commencement du III* Cahier, où nous nous proposions de transformer les figures en d'autres plus simples, mais jouissant des mêmes propriétés générales.

Relation de contact des coniques dans le cas général»

Revenons au cas où il s'agit d'un nombre quelconque pair, de pôles situés en ligne droite; x^x^x^'x^Xi {Jig. 99) repré-

Fîg. 99-

sentant, comme ci-dessus, la portion de polygone inscrit et ouvert dont les côtés successifs passent respectivement par les pôles a>, a, a', ai de la droite aa^.

ao4 IV CAHIER. - PROPRIÉTÉS DESCRIPTIVES.

Nous avons vu que le sommet a, de Tangle circonscrit formé par les tangentes aux extrémités libres du polygone, décrit une courbe du deuxième degré, qui n'a aucun point en commun avec la conique donnée (G), quand la droite aux des pôles se trouve située entièrement au dehors de celte courbe ; l'exemple précédent, relatif au cas de deux pôles, nous démontre clairement qu'on ne doit pas en conclure, en général, que, pour toute autre position de la droite aa^ la même chose aura lieu nécessairement. Car, quoique, géométriquement parlant, la chose soit vraie dans ce cas particulier, les deux courbes {G) et (a) pourraient cependant être liées Tune à Tautre, de telle sorte qu'elles eussent un ou plusieurs couples de points en commun, imaginaires seulement pour certains cas spéciaux, tandis que ces mêmes points seraient possibles en général; or c'est précisément ce qui arrive ici, comme nous allons le faire voir d'une manière bien simple.

Supposons, en effet, que la droite aci" rencontre la conique (G) aux points T et T' [Jig, loo), je dis que la courbe parcourue par le point a touchera cette conique précisément aux points T et T' ; car il est aisé de voir que si, au lieu de

Fig. lOo.

mener par le pôle a, par exemple, une droite partant d'un point arbitraire x'y de la conique donnée, on la fait partir du point d'intersection même T', comme extrémité de polygone, le sommet x" viendra en T, le suivant af^ situé à l'autre extrémité de x"a!^ en T', le quatrième x^ reviendra en T, enfin le dernier sommet Xx viendra se confondre en T' avec x', et par conséquent le point a avec cette même intersection de (C) et de aut. On prouverait, de même encore, que, pour une seconde position analogue, mais opposée du polygone, le sommet d'angle circonscrit a viendrait se confondre avec l'Inter^ section T; donc, puisque ce sommet, toujours constructible

DES SIMPLES œNIQUES. ^or>

par hypothèse, reste en dehors de la conique donnée (C], il faut nécessairement que la courbe qu'il décrit soit tangente à la fois aux points T et T' de cette conique.

Singulière indétermination. — Il est bien évident par le raisonnement ci-dessus, que ceci est indépendant du nombre des pôles a, a',..., donnés, pourvu qu'il soit pair. La courbe (a) ayant donc, en général, deux points de contact avec la conique (C], il s'ensuit qu'elle est, à l'égard de cette conique, comme si elle avait quatre points en commun avec elle. Donc aussi deux sections coniques qui ont cinq points communs étant identiques ( IP Cah., p. i38), les courbes (a) et (Cj ne sauraient avoir en con^mun un point différent de T et T', sans se confondre, en sorte que, s'il est possible d'inscrire à la conique (C), un quadrilatère j ou plus généralement^ un poly^ gone quelconque d'un nombre pair de sommets, dont les côtés passent respectivement par les pôles donnés a, a', etc., il y en aura par là même ^ une infinité d'analogues. Ainsi notamment, tout quadrilatère dont les côtés prolongés passent par les intersections 4'une droite et d'un quadrilatère déjà inscrit à une conique donnée, s'il a trois de ses sommets sur cette courbe, y aura nécessairement aussi le quatrième.

Maintenant, que ad' vienne à ne plus rencontrer la conique (C), la courbe des a ne la touchera plus, ni même n'aura aucun point en commun avec elle. Néanmoins l'équation de cette courbe reste toujours la même, et par conséquent, si dans le cas dont il s'agit, elle ne touche pas la courbe donnée, ce n'est pas d'une impossibilité absolue que cela provient, auquel cas la propriété n'existerait ni dans une hypothèse ni dans l'autre, mais seulement d'une impossibilité relative ou d'i/waginarité. La courbe (a) des sommets d'angles circonscrits, doit donc être considérée dans tous les cas, c'est-à-dire soit que aa" rencontre ou ne rencontre pas la conique (C), comme si elle avait deux points de contact avec elle, ou, si l'on veut, comme si ces deux courbes avaient quatre points quelconques en commun ; il n'est donc pas étonnant qu'on ait trouvé, dans ce dernier cas comme dans le premier, que si l'on assujettissait ces courbes à en avoir un nouveau en commun, elles se confondraient rigoureusement dans toutes leurs parties.

ao6 IV CAHIER. - PROPRIÉTÉS DESCRIPTIVES

Nouvelles réflexions sur la vérité des principes établis au commencement du précédent Cahier.

La proposition ci-dessus, considérée d'abord comme une conséquence de nos principes généraux, se trouve ainsi établie presque géométriquement par les discussions précédentes ; ce qui confirme ces principes et montre en même temps comment ils doivent être appliqués dans chaque cas. On peut aussi tirer de là cette conséquence, sur laquelle je n'ai pas jusqu'ici assez insisté peut-être :

« Bien que la projection centrale d*un certain système géo- » métrique puisse devenir transitoirement irréalisable, incon- » structible, les propriétés générales de position dont elle jouit )i quand elle est graphiquement possible, sont, par là même, » des propriétés générales du premier système, lesquelles » pourront bien devenir, à leur tour, d*une impossibilité rela- » tive pour des dispositions particulières des données de la » figure, mais jamais d'une absurdité, d'une incompatibilité » absolues. »

En conséquence, si, par le moyen de cette projection, on a pu découvrir une relation, une propriété nouvelle, assujettie ou non assujettie à des restrictions analogues , c'est-à-dire a des impossibilités purement relatives, on ne devra pas considérer cette propriété comme fausse ou d'une impossibilité absolue, à moins d'une preuve certaine que l'on pourra toujours se procurer par l'examen direct et attentif de quelque circonstance particulière ressortant de la figure.

Malgré cette limitation, je le répète, les principes exposés an commencement du Cah. III, n'en sont pas moins d'une vérité mathématique; car il n'est question dans cet exposé de principes, que de propriétés générales relatives à la disposition ou situation réciproque des parties, comme celles d'un point décrivant une ligne droite ou courbe, d'une ligne du deuxième degré donnée et toute tracée, des propriétés descriptives du système de plusieurs lignes droites ou courbes qui passeraient par un même point, etc.

Dans les théorèmes ou problèmes ci-dessus, où il s'agit de relations de contact et d'intersection de courbes qui tiennent

DES SIMPLES CONIQUES. loy

à des conditions de grandeurs, non explicites ou exprimées il est vrai, mais purement implicites, les choses se passent d'une manière un peu différente ; car les équations correspondantes restant toujours de même forme, on peut bien alors tomber sur des propriétés, des relations graphiques qui cessent d'être possibles ou deviennent imaginaires dans de certains cas, tandis que, considérées d'une manière générale et analytique, elles ne cessent jamais d'exister.

Les seuls cas donc, auxquels les principes de projection dont il a été parlé ne soient pas applicables, sont ceux où il est question de propriétés relatives à des conditions de grandeurs explicites ou déterminées. Par exemple, si l'on proposait les questions suivantes, il ne serait pas possible de leur appliquer directement ces principes : « Quelle est la courbe que par- » courrait le sommet d'un angle de grandeur invariable et » dont les côtés seraient constamment tangents à une courbe » du deuxième degré? Quelle est la courbe dont tous les points » sont à égale distance de deux courbes données du deuxième » degré ? Etc. »

II en est de même de toutes les propriétés des courbes du deuxième degré relatives à la grandeur des paramètres; quant à leurs propriétés concernant la direction indéfinie de certaines lignes, ou la disposition générale des parties de la ligure, nos principes pourront s'y appliquer sans hésitation et sans recourir aux démonstrations algébriques.

Je me suis étendu très au long, dans ce qui précède, sur les propriétés dont jouissent les polygones inscrits aux courbes du deuxième degré, et dont les côtés, en nombre pair, passent par des points quelconques donnés en ligne droite ; mais le sujet, ce me semble, en valait bien la peine.

On a dû s'apercevoir d'ailleurs que les conséquences tirées des Propositions du n'' II (HP Cah.), notamment aux p. i3o, i3i et i32, ne sont que des cas particuliers de celles dont il s'agit ici. D'un autre côté, toutes les propriétés démontrées en dernier lieu ont été déduites, comme on l'a vu, pour ainsi dire de la seule analyse ; mais il n'est pas difficile de les établir directement par les principes de la simple géométrie, et nous allons le faire sans nous attacher à en développer toutes les conséquences.

EXPOSÉ PUREMENT GÉOMÉTRIQUE DES PROPOSITIONS RELATIVES AUX POLYGONES, d'ordre PAIR OU IMPAIR, INSCRITS ET CIRCONSCRITS A UNE MÊME CONIQUE.

Démonstration fondée sur les propriétés angulaires du cercle; le nombre des côtés ou des pôles étant quelconque.

Soient une courbe quelconque du second degré et un nombre quelconque de pôles situés en ligne droite sur son plan; supposons que Ton inscrive à cette courbe, un polygone dont les côtés passent respectivement par les pôles donnés, excepté le dernier côté demeuré libre; soient menées aux extrémités de ce dernier côté, deux tangentes à la courbe, elles viendront se couper en un point que j'appelle a; imaginons maintenant que Ton vienne à déformer ce polygone d'une manière continue, en l'assujettissant aux mêmes conditions, quelle sera la courbe parcourue par le sommet a?

Projetons la figure sur un nouveau plan de manière que la conique y devienne un cercle, et que la droite des pôles y soit située à l'infini; dans cette nouvelle figure, les côtés du polygone inscrit auront respectivement des directions parallèles à des droites données, à l'exception du dernier côté qui restera libre. Soient {Jig. loi) cette projection et a;':c"j:*'a:,a7, un polygone quelconque inscrit dans le cercle (C) projection de

Fig. loi.

la conique et dont les côtés ont respectivement des directions parallèles à des droites données, à l'exception du côtéar'x, de-

DES SIMPLES CONIQUES. aog

meure libre; imaginons que Ton circonscrive au cercle (C) un polygone mnp..,(i\ d*un égal nombre de cotés, et tel que chacun d'eux louche le cercle respectivement à Tun des sommais du polygone inscrit; il est évident que, quand on déformera ce dernier polygone en Tassujettissant toujours à la condition ci-dessus, les sommets m, n, /?,..., du polygone circonscrit^ parcourront séparément, les diamètres Cm, C'«, Cp,..,,k Texception du dernier sommet «', qui décrira une ligne dont il s'agit de rechercher la nature.

Pour y parvenir, joignons le sommet a' avec le centre (7, par une droite C'a'; appelons :r, «, b, c, etc., les angles successifs que les côtés a'm, mn, . .., forment avec les diamètres C'a', Cm, C'/t, . . . Appelons, de plus, X, A, B, C, . . . , Y les angles au centre, interceptés entre les diamètres consécutifs : les angles X et Y seuls sont inconnus, tous les autres sont donnés ou déterminés de grandeur.

Cas des polygones d'ordre impair, — Je vais d'abord supposer que le nombre des côtés du polygone soit impair, comme c'est le cas particulier delà figure, et je représenterai ce nombre par l'expression am-f-i.

Cela posé, la somme des angles intérieurs d'un polygone étant égale à autant de fois deux droits qu'il a de côtés moins deux, celle des angles a', m, etc., du polygone circonscrit au cercle (C), sera 200° (2 m — i); on aura donc

2j;-t-2fl-|-2ftH-?.cH-2rf-f-. .. = 9.00** (a m — 1),

ou, en divisant par 2,

.r-i-aH-6H-c-+-rf-|-... = loo** (2m — i ) ;

le nombre des angles Xy a, b, c, d,..,, étant évidemment égal à am-Hi.

On aura, de plus, les relations suivantes :

a -H ^ = 200** — A, c-\-d=- 100^ — C, etc.

Substituant ces valeurs dans l'équation ci-dessus, et observant que le nombre en est égal encore à la moitié de celui des an- I. 14

aïo IV CAHIER. - PROPRIÉTÉS DESCRIPTIVES

gles rt, b, c, il,,.,f c'esl-à-dire égal à ; = w, on

aura

x-\-2.oo°m — A — C — . .. = 100° (2 m — i),

ou bien

Celle cqualion prouve évidemmenl que Tangle aarou en </ est constant. Donc « la ligne décrite par le sommet mobile a', )) du polygone circonscriim/i/?,..., est un second cercle quand » le nombre des côtés de ce polygone est impair. »

Polfgones d* ordre pair. — Supposons ce nombre pair, et représenté par 2 m, la somme des angles du polygone circonscrit sera alors égale à 2oo^[im — 2) ; donc on aura réqualioii de condition suivante :

2jc-H2a-i-2ft-|-2c-{-2rf -{-...= 200® (2m — 2 ) , ou, en divisant encore par 2,

^-f-a^-ft-^-c^-rf-f-...= 200° (m — 1 ) .

Le nombre des angles x, «, 6, etc., sera dans ce cas, égal à a ni. On a, de plus, les relations particulières :

ar-|-fl=2oo® — X, 6-t-c=2oo" — B, rf-f-e=2oo° — D, etc.

Substituant ces valeurs dans Téqualion précédente, et observant que leur nombre est w, il viendra

c'est-à-dire,

d*oii Ton voit que, quand le nombre des côtés du polygone circonscrit est pair, Tangle X est constant, et que par conséquent, le point a' décrit une ligne droite C'a', qui passe par le centre même du cercle (C).

Remarque, — Les propositions précédentes sont, comme on s'en aperçoit aisément, les mêmes qui ont été démontrées cidessus (n° II), par l'analyse algébrique, et il ne serait pas diffi^

ciled'en tirer, à posteriori, de pareilles conséquences (*); mais il vaudra mieux appliquer le môme genre de considérations géométriques à la démonstration directe de quelques propositions simples d'une autre espèce.

Examen de quelques cas particuliers afférents aux premiers

théorèmes du II/' Cah. [n? II).

Pentagoneji circonscrits aux sections coniques, — Soit le pentagone mnpqa! circonscrit au cercle (C), dans les condi- '^ lions de la^g^. 101, on trouvera, d'après ce qui précède, que Tangle x, pour ce cas particulier, est égal à

A-hC. — Ioo^

(*) Ces diverses propositions sur les polygones d'ordre pair et impair, inscrits ou circonscrits aux sections coniques, se retrouvent démontrées, ainsi que beaucoup d'autres, par la voie géométrique, dans le Chap. II, Sect. IV, de mon Traité des Propriétés projectives des figures (i8aa). Elles ont, depuis quelques années seulement, attiré l'attention de plusieurs éminents géomètres étrangers : MM. Mœbius et Gbpel [Jourrial de Crelle, 1848), sir William Hamilton [Lectures on rpi/ttcr/iio/is ^ i853), Rev. George Salmon (Treatise on conic sections^ i855, p. '282).

M. Mœbius, par des considérations relatives à la projection des coniques suivant des cercles, considérations empruntées à M. Gergonne (t. IV des Annales de Mnt/iémati(ptes) et fort analogues à celles ci-desSus de 181 3, M. Mœbius, s'est exclusivement occupé des polygones ù'ordre pair, comme offrant une généralisation du célèbre théorème de Pascal sur Viiejcngone inscrit aux coniques. Peut-être, ce savant professeur aurait-il pu aller plus loin encore, ens'appuyant franchomonl sur les principes de l'ouvrage cité de iSri, qu'il semble méconnaître ou ignorer; ce qu'on no saurait reprocher aux autres géomètres d'abord dénommés.

M. Gopel notamment, mort trop jeune pour la science qu'il cultivait avec succès, M. Gôpel, dans son Mémoire sur la pn>jectivité des sections coniques, daté de i844» s'est occupé, à la fois, des polygones d'ordre pair et de ceux d'ordre impair, dont, avec raison, il étend et rattache ingénieusement les curieuses propriétés à la doctrine du double contact, réel ou imaginaire, des coniques; doctrine qui, si je ne me trompe, a été, pour la première fois, publiée par moi en 1822.

Sir Hamilton, correspondant de notre Académie des Sciences, dans deux .4 /j^>emlices à ses Lectures on quaternions (pages 700 à 73o), Appendices extraits des Mémoires de l'Académie de Dublin, et portant lu dcilo

212 IV* CAHIER. - PROPRrÉTÉS DESCRrPTIVES

Si donc, on abaisse, du centre C sur le côlé a'//?, une perpendiculaire C'^' qui passera nécessairement par le point de contact x'y il est clair que l'angle x'C a! qu'elle fait avec la droite variable C'a' sera constant et égal à 200*' — A — C, quelle que soit la position du sommet a sur la circonférence qu'il parcourt. Supposons, en particulier, que les diamètres Cm et m q soient le prolongement l'un de l'autre, on aura alors

A4-B-|-C=2oo",

ou, ce qui revient au même,

î>.oo*>— A — C = B.

du i3 mai i85o, applique, avec beaucoup de succès encore, la méthode (les qufUernions^ communiquée à cotte Académie dès 184 3, a la démonstration de théorèmes sur les polygones gauches inscrits à la sphère, et, par une extension justifiée dans le Supplément du Traité des Propriétés j)rojcctivcs, à la surface de Tellipsoïde, etc. ; les côtés du polygone, en nombre pair ou impair, étant assujettis à passer par certains points ou pôles fixes donnés sur un plan. Ces théorèmes ont une analogie évidente aNcc ceux des n** 547 à 56i de ce Traité^ dont ils sont la simple extension au cas de Tespace, comme le remarque lui-môme M. Hamilton, qui ne connaissait d'ailleurs mes propres recherches que par les citations do l'excellent Traité des sections conifpws du Rev. D** Salmon, postérieur au mien de plus de trente années.

A l'égard de ce dernier et savant ouvrage, la publication de i855 jouit, en France comme en Angleterre, d'une juste célébrité, et n'a pas peu contribué à relever les méthodes de démonstration et de recherches géométriques du Traité des Propriétés projectivesy de l'espèce de discrédit où elles étaient tombées depuis 1826^ par suite de fâcheuses discussions de priorité et de préventions aussi peu justifiées que mal déguisées. N&inmoins, on doit regretter que, dans le n° 338 de son remarquable Traité élémentaire, M. Salmon n'ait point accordé plus d'attention à l'importante et délicate théorie de l'inscription des polygones aux coniques, théorie que, à l'exemple de M. Townsend, il rattache à la considération, plutôt synthétique qu^analylique, bien que symbolique et abréviative, des faisceaiuc projectifs de droites convergentes, dont M. Gôpel s'était également servi dans son Mémoire allemand, de 1848. Peut-être même, serait-on en droit de lui reprocher, comme à tant d'autres, de n'avoir pas toujours tenu un compte suffisamment exact de la diftéronce, à mon sens capitale, entre découvrir et démontrer. — Sir Hamilton me paraît avoir mieux saisi l'esprit cl la portée de la question dont il s'agit.

Donc, dans ce c^s, l'angle constanl x'CJv! ou 200*» — A — C est égal à langle B ; d'où Ton voit que si le soniinel a' se trouve siluésur le prolongement du diamètre C/i, il faudra nécessairement que la droite H/ x' soit le prolongement de l'autre diamètre VJ p. Ainsi, yîg". 102, « (C) étant un cercle et ninpqoi un

Fig. lo'i.

» pentagone circonscrit à ce cercle, tel que deux do ses diago- » nales mq et /ta', partant des extrémités m et 9! d'un môme » côté ma', viennent se couper au centre C de ce cercle, la »> droite px', qui joint le point de contact x' de ce côté avec >» le sommet opposé, passe aussi par le centre C »

De là on déduit ce théorème plus général :

« Soient (yî^. io3), une ligne quelconque du second degré i» H MNPQa un pentagone, aussi, quelconque, circonscrit à

Fig. »oH.

» cette courbe, les deux diagonales MQ, Na, et la ligne (lr(Mlo » V x' qui joint le point de contact x* avec le sommet P, pas- )' sont toutes trois par un même point ('.

En effet, celte dernière figure peut être considérée comme ayant pour projection Ja première (Princ. IV). Mais il y a plus :

« Si Ton imagine que les droites Na et MQ soient fixes, et » que Ton fasse varier le pentagone de manière que ses quatre » sommets N, M, a et Q les parcourent respectivement, le cin- » quième sommet P décrira une ligne du deuxième degré, et » la droite Po;' qui joint ce sommet au pointer' de contact du » côté opposé, passera dans toutes ses positions, par le point » fixe C. »

Ces propriétés des pentagones circonscrits rappellent celles exposées sous le n° FUI, au III* Cahier.

Pentagones inscrits ; conséquences. — Considérons maintenant le pentagone x' x" x'" x^x^ inscrit à la même conique, et dont les sommets soient les points de contact des côtés du polygone circonscrit; il est clair que, si l'on fait varier ce polygone dans les conditions ci-dessus, les deux points a, a', obtenus comme l'indique la figure, resteront fixes pendant ce mouvement. Je dis, de plus, qu'ils appartiennent à une ligne droite aa' f qui sera parcourue généralement par le point de concours a", du cinquième côlé x^x"' et de son opposé Ma, dans le polygone circonscrit.

Supposons, en effet, pour un instant, que les trois droites N a, MQ et Par' restent fixes : il est évident que si Ton fait varier le point P sur la droite indéfinie Px', toutes les cordes jr^jr*' passeront par un même point a", en sorte que si Ton suppose alternativement le point P dans la position où il se trouve sur la figure, puis dans la position de x'y la corde x'" x^ et la tan-

gente x' ol viendront se couper en a"; il en est ainsi également des cordes x"x"' et x' Xx conjuguées aux points N et 'a mobiles sur la droite Na, elles viendront se couper en un point fixe a; enfin pareille chose a lieu pour les deux cordes x' x" et x^x^ qui viennent se couper en a.

D'après cela, les points af\ a\ a peuvent s'obtenir en menant, aux extrémités respectives des cordes interceptées par ,Na, MQ et Par', des tangentes à la conique donnée (C). Or, puisqu'il est démontré que ces cordes-diagonales se coupent au point unique C, il s'ensuit nécessairement que les points «le concours r/, a' et a" sont situés sur une même ligne droite

DES SIMPLES œNIQUËS. ai 5

aff. Donc, si Ton déforme le pentagone MNPQa comme cela vient d'être dit, les points a et d ne varieront pas, mais le point ff changeant de place, parcourra, dans toutes ses positions, cette droite aa"y conjuguée au point fixe C.

Cette dernière propriété est évidemment encore Textension de celle exposée à \ari. VIII du III* Cahier. Ainsi les considérations de cet article comme celles de Yart. Ily ne sont que des conséquences très-particulières des recherches analytiques dont on s'est occupé à la fin du HP Cahier ou au commencement de celui-ci. Allons plus loin et faisons voir que la même chose a lieu pour les Propos. V et VI des endroits cités, qui en sont des conséquences plus immédiates encore.

Hexagones circonscrits aux coniques. — Soit d'abord mnpqra! [fig. io4) un hexagone quelconque circonscrit à la circonférence du cercle (C); nous avons vu que, si Ton assujettissait tous ses sommets, à l'exception du dernier a', à par-

courir des droites diamétrales de directions arbitraires, ce sommet «' parcourrait aussi une dernière diamétrale C'a', ei que l'angle /nC'a' que cette diamétrale fait avec la première C'/n, serait égal à 200^» — B — D, c'est-à-dire qu'on aurait

X = 2oo"— B — D.

Supposons, en particulier, que les diamétrales fixes niC (M CV/, /iC et CV soient des prolongements respectifs les unes des antres, on aura évidemment

A -H B 4- C = 200", B -+- C - h 1) = ?.oo".

•2i6 IV CAHIER. - PROPRIÉTÉS DESCRIPTIVES

ou, ce qui revient au même,

A=D, 2oo°— B — D = C;

donc aussi l'on a X = C ; ce qui fait voir que C m étant le prolongement de C'^, C'a' est nécessairement le prolongement de />C', et que par conséquent, dans ce cas, le sommet a' parcourra la direction de cette dernière diamétrale.

Soient maintenant {fig. io5), une courbe quelconque du deuxième degré et un hexagone, aussi quelconque, ninpqra, circonscrit à cette courbe; on pourra supposer que la figure soit la projection de la précédente. Donc si le point C représente l'intersection des deux diagonales mq et nr, partant des sommets opposés m et 9, n et r et de Thexagone, que Ton déforme ce polygone en assujettissant ses sommets à parcourir

Fig, io5.

les directions mg, nr et /?C, excepté le dernier sommet a qui restera libre, ce sommet parcourra dans le mouvement général, une dernière ligne droite Ca qui sera le prolongement même de /?C. Donc, en particulier,

Dans un hexagone quelconque mnpqrct circonscrit à une courbe du second degré y les trois diagonales qui joignent les sommets opposés, se coupent en un même point C (théorème de Brianchon).

Hexagones inscrits; conséquences. — Soit l'hexagone

x'x''x"x^xix, ayant pour sommets respectifs les points de contact des côtés de l'hexagone circonscrit mnpqra, ses côtés opposés se coupent nécessairement en trois points situes en ligne droite. En effet, les prolongements des deux côtés opposés a/'x'" et XtXt, viendront se croiser en un point a, qu'on pourra obtenir aussi en menant, aux intersections de la diagonale nr avec la conique, deux tangentes à celte courbe. Pareillement, le point a' où se rencontrent les deux côtés opposés x^x* et x^Xi sera le même que l'on obtiendrait en menant deux tangentes aux points où la diagonale mq rencontre la conique. Enfin, il en est ainsi encore du point a" où se coupent les côtés opposés x'xi et x'^^x^ de l'hexagone inscrit.

Donc, puisque les trois diagonales mq, nr et pet de l'hexagone circonscrit se croisent en un même point C, les cordes de contact ou côtés opposés, suffisamment prolongés, de l'hexagone inscrit, concourent deux à deux et respectivement, aux trois points a, a' et a", situés sur une même ligne droite (théorème de Pascal].

De là cette conséquence : Soit x^x^-^-x^Xi [figy 106), un hexagone quelconque inscrit à une courbe du deuxième degré (C); d'après ce qui vient d'être démontré, les trois points a, a', a, où se coupent deux à deux ses côtés opposés, sont rangés sur une même ligne droite cKh ; donc, si l'on imagine

Fig. 106.

que l'on déforme arbitrairement cet hexagone en assujettissant toujours ses côtés opposés à passer par les trois points a, a' et a„ el admettant, de plus, que cinq de ses sommets x'\ ^^ ^3, x^, x,y choisis à volonté, restent constamment sur la courbe (C), le sixième, x', parcourra dans ses différentes positions, cette courbe elle-même. C'est une conséquence cvi-

!ii8 W^ CAHIER. - PROPRIÉTÉS DESQIIPTIVES

dente aussi du théorème général établi pour un polygone d'un nombre quelconque pair de côtés passant respectivement par autant de points situés en ligne droite.

Ces dernières propositions n'ont point encore été énoncées, je crois, mais les deux précédentes ne sont autres que celles I^ei F du 11I« Cahier; d'où l'on voit généralement, que toutes les propriétés démontrées au commencement de ce même Cahier ne sont, au fond, que des corollaires ou cas particuliers de la proposition générale établie à l'art. II de celui-ci.

BEGHERCHBS ANALYTIQUES SLR LE LIEU DU SOMMET LIBRE d'uN POLY- GONE PLAN, DONT LES AUTRES SOMMETS DÉCRIVENT UNE CONIQUE DONNÉE ET LES DIVERS COTÉS PIVOTENT SUR AUTANT DE POLES OU POINTS FIXES QUELCONQUES ( * ).

SoiioLX*x'\..,{^g. 107), un polygone dont tous les sommets, à l'exception du dernier a, sont situés sur une ligne quelcon-

Fijj. 107.

•rV

que (C) du second degré, et dont les côtés passent respectivement par des points donnés a, a', etc. ; quelle sera la courbe

(*) Il ne faut pas confondre ces recherches analytiques avec celles qui nous ont précédemment occupés, et dans lesquelles il s'agissait, en réalité, de polygones circonscrits dont les divers sommets, moins un, étaient astreints à parcourir des directrices droites ou polaires fixes; le lieu du sommet libre, conjugué au dernier côté du polygone inscrit, etc., no s'élevant pas au delà du second degré. Ici, au contraire, le lieu du sommet libre appartient à un degré supérieur, sauf dans le cas particulier où les |>ôles donnés sont en ligne droite et les directrices polaires convoitent on un mômo point, comme le suppose le théor. IX, soc t. II du (!lah. !U (p. I î<>), dont la dcmonsiralion analytique, fort simple, a été primitive-

décrite par le sommet libre a, quand, en déformant le polygone, on assujettira ses autres sommets et ses divers côtés à remplir les conditions précédentes ?

Supposons que Ton projette la figure sur un nouveau plan, de manière que la conique directrice des sommets se réduise à un cercle (C), fi^, 108, et que les côtés extrêmes olx', oix^" ou ax" soient, dans toutes leurs positions, respectivement parallèles à deux droites ou axes fixes, ce qui revient à choisir le plan de projection de manière que les pôles a et a", [fig* Ï07), soient situés à une dislance infinie (Princ. IV).

Alors, en nommant m et — m les tangentes irigonométriques des angles, censés é^aux et de sens contraires, que les di reriions de ces droites forment, de part et d'autre, avec celle de Taxe Cx des abscisses, dont la direction se trouve ainsi déterminée, fixée à priori; si, de plus, on donne aux différents points les dénominations correspondantes à celles qu'indique la figure, et que Ton place l'origine des coordonnées au centre C du cercle, les équations de ce cercle et des côtés ex-

ment indiquée par M. Brianchon, qui a ouvert ainsi un nouveau champ d éludes analytiro-géométriques.

L'analogie existante entre le cas actuel et celui dont il sagil, conduit a conserver, sans changement, les notations et conventions du manuscrit relatives aux indices des lettres qu'on a précédemment modifiées en vue de faciliter l'impression typogrppïiiquo des plus longues formules. Seulement, on s'est dispensé ici, pour plus de facilité encore, de supprimer les parenllièses ( ) aux indices supérieurs des petites majuscules simples, en les laissant aux indices majuscules composés.

Ainsi nous avons écrit : <7''au liou de a^^'; a^^ au lieu de (a'^^^y-, ^f" 'J' au lieu de (^/^^ '-)% elr.

IV' CAHIER. - PROPRIÉTÉS DESCRlPTIVlilS

Ou ce

fO