AP ^^ AP CP ' CP

'^ÂP '-^ÂP

d'autre part, le point P étant sur la droite BM, on a aussi la relation

('+§)(P'^-pj)+(7+='S)(r-P')+(v'+«'g)(P-x) = o.

d'où l'on tire

on trouvera de même

CQ ^ ( 7'-- oc')3r + (a~ 7)7+7^^-^7' ^ / Ces relations peuvent s'écrire sous la forme suivante :

On tire enfin de là

On reconnaît ainsi que, pour passer de l'équation en coordonnées de

NOTES ET ADDITIONS. 5i5

Descartes d'une courbe ptane, à Téqualion de l'une quelconque de ses projections centrales, rap()ortée à des axes situés arbitrairement dans son plan, il suffit de substituer aux coordonnées j: et/ certaines expressions formées par les rap|)orts de deux fonctions linéaires des nouvelles coordonnées x' eiy à une même troisième fonction linéaire de x' et y.

Réciproquement, toute transformation analytique consistant à effectuer dans une fonction de deux variables jc et r une substitution telle que

a.r'^hy 4~r a'x' -]- f/y -^ r'

correspond à la transformation géométrique d'une courbe en Tune de ses projections centrales, pourvu toutefois (jue l'expression

nh'r" - fw'/y'i- bc'n" - bn'c'+rn'h" - rh' a"

ne soit pas nulle.

Cette féciproque est une conséquence immédiate de ce fait facile à constater, que la substitution (i) offre la même généralité que la substitution ('jt); mais il importe, en vue des applications, de fixer nettement la signitication géoinétrique des coefficients de celle-ci, et pour cela nous poserons la question de la manière suivante :

Étant donnés dans un plan RS deux axes de coordonnées I.r, I/, déterminer la position d'un centre de projection 0, d'un plan de projection ou tableau R'S', et de deux axes de coordonnées C'x', C'y dans ce plan , de telle façon que .r et v désignant les coordonnées d'un point du plan RS, x' et j' celles de sa projection centrale sur le plan R'S', on ait entre ces quantités les relations

nx'+by-\-c a'x'-\-by-^c'

où

r///c"~ ac:b"+ bc'n"- ba'c'-^-ca'b" - cbW'>o,

Il suffit, pour résoudre le problème, d'identifier les substitutions (1) et {'à); on trouve ainsi

a , a' /i fi

En remarquant que ces formules ne dépendent pas de l'angle du tableau et du plan de la figure, on conclut de là la construction suivante : Sur le plan de la figure RS, oi^ détermine les points A, B, C qui ont

5i6 SOUVENIRS,

respectivement pour coordonnées f — » ^ j , f .4 ^ ^ J , f -^ , £. | ,

et l'on choisit pour centre de projection 0, l'un quelconque des points de l'espace, dont le rapport des distances aux deux points A et B est ^al

à -jfi c'est-à-dire un point quelconque de la surface sphérique dont un diamètre aurait pour extrémités les deux points qui partagent la droite AB dans le rapport -y; une fois le centre de projection choisi, on obtiendra

la trace du tableau sur le plan RS, en menant une droite A'B' parallèle à AB de telle manière que l'on ait •

AA BB^> c" c" AC ~ BC ~ "~ a"p '" fq '

enfm le plan du tableau devant être parallèle au plan OAB, et les axes C'-r', C'y n'étant autre chose que les perspectives des droites CA et CB, tous les éléments de la transformation se trouvent définis.

Cette construction ne peut plus s'appliquer immédiatement lorsque Tun ou plusieurs des coefRcients a"^ b", c" sont nuls, mais il est aisé de la modifier alors par des considérations de continuité. Elle ne tombe réellement en défaut que lorsque les trois points A, B, C sont en ligne droite; ce qui ne peut avoir lieu que si l'on a

ah'c" - acV + hc'a" - ba'c' -f- m' b" - cb't^ u= o,

et cette hypothèse a été écartée.

Il convient de remarquer que, d'après la manière dont la question a été posée, toutes les projections centrales d'une figure qui correspondent à une même substitution analytique (2), ne sont pas elles-mêmes des figures superposables; car la forme précise de la courbe représentée en coordonnées de Descartes, par une équation telle que /(x', y), dépend de l'angle des axes coordonnés. La déformation que subit une figure lorsque, laissant aux coordonnées de chacun de ses points les mêmes grandeurs, on les rapporte à des axes formant un angle différent de celui des premiers, est géométriquement fort simple ; elle consiste uniquement à balancer les ordonnées, c'est-à-dire à les incliner toutes d'un même angle et dans le même sens, et il n'est pas difficile de reconnaître qu'elle peut être regardée comme un cas particulier de la transformation par projection centrale, pour un centre de projection situé à l'infini.

Quand on voudra assujettir les axes relatifs au plan du tableau à former entre eux un angle donné, le lieu de tous les points que l'on pourra prendre pour centre d'une projection conique équivalente à une substitution donnée, se réduira à un cercle ayant son centre sur la droite AB, et son plan perpendiculaire à celte droite. Comme pour tous les points d'un

pareil cercle, les loDgueurs que nous avons désignées par p et 7 restent les mêmes, la valeur de > ne change pas non plus, et Ton conclut de là le théorème suivant, énoncé dans le Traité des Propriétés projcctivesy et qui joue un rôle important dans la théorie de Vhomologic :

tt Lorsqu'une figure plane est la projection centrale d'une autre figure » plane, ces figures restent en perspective quand on fait tourner le plan 0 de la première autour de son intersection avec le plan de la seconde, n et le centre de projection décrit un cercle dont le plan est perpendi- » culaire à cette intersection. »

Considérons, en particulier, le cas où les axes de coordonnées sont rectangulaires^ tant sur le tableau que sur le plan de la figure; il est alors facile de calculer les coordonnées du centre et le rayon du cercle, lieu des centres de projection relatifs à une substitution donnée.

Ck)ncevons, en efiet, que du point 0 Ton abaisse sur la droite Afi la perpendiculaire OH ; le point H sera le centre et la longueur OH le rayon cherché. Or, puisque le triangle AOB est rectangle, on a les relations

AI /AON BI~ VBOJ