AB

En conservant les notations ci-dessus, on déduit aisément de là, pour les coordonnées du point H, les valeurs respectives

et pour la longueur du rayon OH l'expression

îlî. — Application afuUjtique des formides de projection centrale.

Les résultats exposés à l'article précédent permettent de déduire de certaines propositions relatives à la perspective, des conséquences analytiques auxquelles il serait quelquefois pénible de parvenir directement. Nous choisirons comme exemple la solution géométrique de ce problème : Projeter le système de deujc sections coniques situées flans le rnénie plan suivant le système de deux cercles.

Désignons par (G) et (H) les deux coniques données, par (G') et (H') leurs projections respectives, qui doivent se réduire à des cercles; supposons d'ailleurs que la conique (G) soit cUe-mèmo un cercle de rayon 1,

5i8 SOUVENIRS,

et prenons pour axes de coordonnées : i" dans le plan de la figure, deux diamètres rectangulaires quelconques de (G); a°dans le plan du tableau, deux diamètres rectangulaires de (G'), dont Tun, Taxe des j', passe aussi par le centre de (H'); concevons enfin que, parmi toutes les positions du tableau parallèles à une même direction et satisfaisant aux conditions de l'énoncé, on choisisse celle pour laquelle le cercle (G') a môme rayon que le cercle (G) dont il est la projection. Soient respectivement les équations dv (G), (H), (G'), (H') :

(G) .r^-hr'-i-^o, (H) A.r=-hAy4-A"4-îBr4-aB'.r-j-aBV>=ro, (G') a:''^r"-i = o, {IV) K(.r''4-..0-h'2lj'4-J-o.

Le problème, envisagé analytiquement, consiste à déterminer les coefficients de la substitution

nr'~\-hy'-hr a\t^ -^ b' y' -{- r

ot les trois coefficients K , 1 , J, de telle manière que l'on ait identiquement

A X--I- A' ) ' -h A' -h JtB V +- aB-r-l- 2B".r>

D'autre part, au point dt» vue géométrique, la question revient à déterminer les situations des points désignés à l'article II par A , B, G; les longueurs OA et OB ou p et <y et la position de la droite A'B', de telle manière que la droite C'A' soit la ligne des centres des deux cercles (G') et (H') , que C'B' soit le diamètre de (G') perpendiculaire à C'A', et qu'enfin le rayon de ((?') soit égal au rayon de (G).

Or, sous cette dernière forme , le problème peut se résoudre entièrement, comme on Ta vu (V cahier, p. 288), à l'aide de propositions de géométrie pure, lesquelles fournissent donc, par cela même, la solution complète du problème d'analyse correspondant. Néanmoins, les calculs se présentant sous une forme plus simple, lorsque l'on emploie simultanément les transformations analytiques et les considérations géométriques, nous ne nous servirons de celles-ci que pour ce qui est relatif à. la détermination des points A , B, C.

En premier lieu, le point A ayant pour projection sur le plan du tableau le point situé à l'infini sur Taxe C'A'j-', c'est-à-dire dans une direction perpendiculaire au diamètre commun de ((i') et (H'), il résulte immédiatement des principes de projection, que la corde de contact des tanjrrntes menées de ro point à la courbe (H), c'est-à-dire la polaire de A

NOTES Eï ADDITIONS. 519

par rapport à (H), se confond avec la polaire du mémo point par rapport à (G). Or on sait que le point qui a pour coordonnées (S, n) a respectivement pour polaires, par rapport aux deux courbes (G) et (H), les droites dont les équations sont

Ç.r-f-ïî) — 1^0, (Aç-4-B''>î-hB')a:H-(B"?+A'>i-4-B)j+B'Ç-hBr,-hA"=o;

pour que ces deux droites se confondent, il faut que Ç et y; satisfassent aux relations

A?^B"rj4-B' B'I + A >3-|-B B'Ç + B»î-|-A"

ç Yt - I

lesquelles deviennent, en posant Ç = -77 >î = -if conformément aux notations de l'article II,

Afl-hBV+BV BVi-f-AV-hB^f" B'/ï-hBrt'-hA'V/"

Pour résoudre le système de ces deux équations homogènes , nous prendrons une inconnue auxiliaire k égale à la valeur commune des trois rapports dont elles expriment Tégalité; elles prennent alors la forme

I(A-X-)rzH-BV-i-B'rt"---o, BV/ + (A'- /•)«'-!- B«"^-<>.

l'élimination de «, «', «", donne pour déterminer k l'équation du troisième degré

( (A-/-){A'-X)(A"4-^) + 2BB'B" ^^^ |-(A-/-)B'-(A'-/)B''-(A''4-/)B"-o.

Prenant donc X- égal à l'une des racines de cette équation , on déduira des relations (i) les valeurs proportionnelles de «, a\ a" :

(A-^/)B-B'B" (A— X)B'-B"B (A"-h /)B"- BB'

Nous remarquerons, en outre, que les relations (1) peuvent être regardées comme exprimant que le lieu géométrique représenté par l'équation

(A-X-)ar' + (A'-X-)r'4-(A"4-/)-f-tiBr-4-^B'x-h2B".r)--- o,

consiste en un système de deux droites passant toutes deux par le point Â ; et comme cette équation peut aussi s'écrire

(4) Ax'4-A>'4-A''-h2Bj-|-2B'jr + aBVj-A-(x'+j' — i) = o,

ces deux droites passent par les points communs à (G) et (H) et forment ainsi un de leurs systèmes de sécantes communes.

En second lieu, la droite AB doit, en vertu de ce qui a été dit page ago, être Tune des sécantes communes à (G) et (H), et par suite les coordon-

b b' nées T7 9 Tff du point B satisfont à l'équation (4); on a donc

(5) A/»"-hA'^''+A''6"»-f-2Bè'^"-h2B'^''^-h2B"è^'=X(^»»-h£^'^-ô"»);

comme d'autre part le point B appartient à la droite qui a pour perspective C'B'jr', polaire commune par rapport à (G') et (H') du point situé à l'infini sur l'axe des/', ses coordonnées doivent aussi satisfaire à l'équation

qui représente la polaire de A par rapport à (G) ; et l'on a donc aussi

(6) , ob + a'b'-a''b" = o.

Enfm le point C, centre du cercle (G'), étant situé à l'intersection des polaires par rapport à (G') des deux points où la droite de l'infini est rencontrée par les axes Cx', Q.'y\ le point C doit se trouver à la fois sur les polaires de A et B par rapport à (G), ce qui donne

(7) aC'i-a'c''-a"c''=o,

(8) bc-^b'c'-b''c''=o.

Par ce qui précède, les valeurs des rapports -yj -j-j jj, -Tjr)-T> t'

se trouvent seules définies. Trois équations sont donc encore nécessaires; nous les déduirons de l'identification directe de

jr-\-r —i et

(a''j:'-hby'-\-c''y^

OU , ce qui revient au même , de l'identification de

(aj:'-hby'hcY'{'{a'jr'-hby^c'y-{n''j:*-\-by-\-cy et x'*-|-/^-i On trouve ainsi, outre les trois relations (6), (7) et (8), (9) a'+a'^^rr-^ï, b'-{-b" -^ b'" z. i, c' -^ c" ^ c"' =^ - 1 ;

ce qui fournit , en résumé , un système de dix équations distinctes renfermant dix inconnues , savoir les neuf coefficients a , ^, - . • , c' ei l'inconnue auxiliaire /'.

Pour reconnaître combien le système de ces équations renferme de solutions du problème, nous remarquerons : i*" que l'inconnue X* peut, en vertu de Féquation (2), recevoir en général trois valeurs distinctes; 2? qu'à chacune de ces valeurs correspondent , en vertu des équations ( 3 ) et de la première des équations (9), deux systèmes de valeurs respectivement égales et de signes contraires de a, a' et a'; 3® qu'à chaque système de valeurs de a, a' et a" correspondent, en vertu des équations (5) et (6) et de la deuxième des équations (9), quatre systèmes, deux à deux égaux et de signes contraires, de valeurs de 6, b'^ If", et 4° enfin, qu'en vertu des équations (7), (8) et de la dernière des équations (9), à chaque système de valeurs de a, a\ a", b, b', b" correspondent deux systèmes égaux et de signes contraires de valeurs de c, c' et r*. Le nombre total des solutions est donc 3x2x4x2 = 48. Mais d'autre part il est évident, à priori, que lorsqu'un système de valeurs des neuf coefficients de la substitution satisfait aux conditions de l'énoncé , on obtient encore un système satisfaisant aux mêmes conditions , en changeant de toutes les manières possibles les signes des trois groupes (a^a'^a"), (hyb^b") et (r, c', c*), ce qui permet de regarder chacune des substitutions comme tenant la place de huit d'entre elles, et réduit par suite le nombre des

solutions effectivement distinctes à ^ = 6. Au point de vue géométrique,

de pareils changements de signe répondent à de simples changements dans le sens, non la direction, de l'un ou de l'autre des deux axes coordonnés ou de tous deux à la fois.

Conformément à une importante prescription, fréquemment répétée dans le cours de cet ouvrage, et qui renferme en germe le principe de continuité, nous n'avons jusqu'ici tenu aucun compte des circonstances sous lesquelles les constructions indiquées sont ou ne sont pas possibles; aussi la solution exposée est-elle, malgré l'emploi de considérations de géométrie, entièrement algébrique. Nous nous proposons maintenant de discuter cette solution, en recherchant dans quels cas la transformation analytique proposée est possible en quantités réelles; et c'est particulièrement pour cette discussion que les théorèmes du V cahier sont d'un grand usage.

Toute solution réelle du problème d'analyse qui nous occupe, correspond nécessairement à une solution géométriquement possible de cette question : Projeter le système des deux coniques (G) et (H) suivant le système de deux cercles; une pareille solution ne saurait donc exister qu autant que les deux coniques auront une sécante commune idéale (voir p. 290). Réciproquement, à chaque sécante idéale commune à (G ) et (H) il correspond nécessairement un système de valeurs réelles des

neuf coefficients; en effet les trois points Â, B, G sont alors réelSi et de plus les deux premiers sont à rextérieur et le second à Tintérieur du cercle (G); de ce que les points sont réels, il résulte que leurs coordonnées

respectives ( -7/^ -7/ ) ? ( TS' 7« ) ' (■"?''">)' ^® ^"* également; de ce que A et B sont hors du cercle et G dans le cercle, on conclut que

sont positifs, et par suite que a", b", c" sont réels. Gela posé, nous avons à distinguer trois cas généraux : 1° Les quatre systèmes de solutions des équations

(H) Aj7'-hAy4-A"+2Br+2B'x4-aBV^--o.

sont tous les quatre réels.

Il n'existe alors aucune sécante idéale commune aux deux courbes (G) et (H), et par suite la transformation proposée est impossible en quantités réelles.

2° Des quatre systèmes de solutions de (G) et (H), deux sont réels, deux imaginaires.

Les deux courbes ont alors deux sécantes communes dont Tune seulement est idéale; le problème admet donc une seule solution distincte (abstraction faite des signes). Pour Tobtenir, il faut remarquer que l'équation (2) n'a dans ce cas qu'une racine réelle, car il existe un seul point réel dont les polaires par rapport à (G) et (H) se confondent; c'est cette racine qui fournit la valeur de /* dont dépendent tous les coefficients. L'ambiguïté relative aux deux systèmes distincts de valeurs de 6, b'y b\ fournies par les équations ( 5], (6) et la seconde des équations (9), n'est d'ailleurs qu'apparente, car on sait à priori que l'un seulement d'entre eux est réel.

3° Les quatre systèmes de solutions de (G) et (11) sont tous les quatre imaginaires.

Les deux courbes (G) et (H) ont alors deux sécantes idéales communes, et le problème admet deux solutions distinctes. Dans ce cas l'équation (2) a ses trois racines réelles, car il existe trois points dont les polaires par rapport à (G) et (A) se confondent, mais parmi ces trois racines, il n'y en a qu'une seule qui rende (A — A) (A' — /) — B"' néfi;alif, et pour laquelle l'cqualion (4) représente un système do deux

droites réelles. A cette valeur unique de /•, il correspond d'ailleurs effectivement deux systèmes distincts de valeurs de b^ b' et b". En résumé, parmi les six substitutions distinctes de la forme

ax'^by-\-c a' x' -\- by -{- c'

•^ - a^x'-h b"/ -hc"' -"^ ~ a"x' -h b"/ -+- c" '

qui transforment simultanément

x' 4-^-1 en (,/'y^^y^^«).' A:r^+Ay + A"+aB7-^2B'x+2B"xv en Ei^J±Z!^±;^^

il en existe deux qui sont réelles, lorsque les deux fonctions proposées ne s'annulent pour aucun système de valeurs réelles de x et de j; il en existe une seule, lorsque ces fonctions ne s'annulent que pour deux systèmes de valeurs réelles de x et j; il n'en existe aucune, lorsque les deux fonctions s'annulent pour quatre systèmes de valeurs réelles de X et j.

Il nous reste, pour compléter la solution de la question proposée, à calculer les valeurs de K, I et J. Pour cela, remarquons d'abord que le coefficient K est égal à /', car en développant

k[ax'-\rby + cY + k' (a' x' +b' y ^c'Y^k" [a\v' -\-b''y -^c")\ on trouve pour les coefficients de x" et de /* les expressions

A«'+A'rt''-f-AV'=^4-2Ba'fl"-|-2B'«"«-|-2B''fl/i', kb' + k'b''-^k"b"^-\-%Wb''-^iWb''b-^iWbb',

toutes deux égales à k\, en vertu des relations (i), (5) et (g). On vérifierait aussi aisément que les coefficients de x'y et de x' sont nuls. Pour calculer les deux autres coefficients 2I et J, nous nous appuierons sur cette remarque évidente que toute valeur de /•, qui rend

Ax'-|-Ay4-A''-|-2Bj-+-2B'x-f-2B".rj-/-(x^-hjr^-i)

décomposable en deux facteurs du premier degré, rend aussi décomposable en facteurs l'expression transformée

Kx"-+-Ky»"h îilr'-h J - /(.r'^-h r" - 1) ;

il résulte de là que l'équation (2) et l'équation