C («) — COS — TT
I — 2 O^'COS h 7*"
(D(«) = — sm — I I ; r-
^ ' 17 aall (1 — 7 )
et l'on reconnaît ainsi qu'elles sont respectivement à des constantes près les fonctions désignées dans les écrits de Jacobi, par €^, (/^), ^{u), U^(u) et U(/^). Comme il est d'ailleurs possible de choisir les constantes arbitraires u^j a, ^ de manière à satisfaire aux conditions tX>(u^) = a, ^(wj = 6, Q{u^) = c, il reste seulement à reconnaître à posteriori que '^o(u), iA>(^), G('^) satisfont bien deux à deux à l'équation de condition
C'est à quoi l'on parvient sans peine en appliquant les méthodes do M. Liouville, et remarquant que l'expression
constitue alors une fonction doublement périodique de m, laquelle ne peut s'annuler ni devenir infinie pour aucune valeur de «.
Les mêmes principes permettent de vérifier, à posteriori, les propriétés de ces fonctions exprimées par les formules suivantes, lesquelles corres-
pondent respectivement aux relations (5), (9), (lo) et (ii):
(5 ht s) l
( ['i)l)(«-4-<') + ©( "-f-p)][Ub(M -»') + ©(« — «')] = (ili)«Gc-l-'ill«'e«;i'.
([ift)(«-i-*') — c("4-f')][iib(K— '') — e(«— ♦')] = (i)î>«e«'— ui,*'e")''
et toutes celles qui s'en déduisent par l'échange des lettres Xi 10), G,
En essayant d'établir les relations analogues aux précédentes, dans lesquelles Tune des fonctions X(u)j ift){«), G(«) serait remplacé par (©(//), on trouve, parmi diverses formules, les suivantes :
(Q(u-ht')(^(u — v) = (]^^uX*p — Œ>^pX*u, Q(« + p)(D(m — c') = (E)'wiJÎ,'«'-~(B^paft,'«,
CÇi(u-\-v)(Q{u — (^) = (Q^iiQ*v — (]d^vQ^u,
lesquelles permettent de rattacher la fonction Q^{u) aussi bien que les fonctions JI»(m), -iJÎ)!»), G(«), au théorème de M. Poncelet. Faisant, en effet, u = nv, on tire de là
Do \riv^ 0,^ L <^e)p J (Dp (Dp '
eM.p) = G^p r^n ~ ^^^^ • ^(^%
ce qui, rapproché des relations (12), et de la définition du symbole cidessus désigné par A^, nous apprend immédiatement que, de même que
X(nu,) = a^, lft>('ï«o)=*,, C(w^) = ^»» on a aussi
^ ^(D(/y«o) (Dm,
Si Ton porte cette expression de A, dans les diverses formules ci-dessus.
NOTES ET ADDITIONS. SSg
on obtient les relations suivantes :
Enfin la dernière propriété relative aux A, établie par une considération géométrique, peut s'énoncer ici :
(D(a/> + i.//; ggj. exprimable par une fonction entière, rationnelle et
symétrique, de degré ^^ — Î-S des trois produits ySU(^u)Q(iu),
G{att).l>(att), X[%u)'^[iu), laquelle jouit de cette propriété, que, si Ton y remplace A>['i.u)^ '^{iu)y G(att), respectivement par leurs valeurs en fXtUy ifi,tt, Gtt, à savoir :
.li,(a«) par —afo^M G' w-l-C'« •*<>'« -i-aiU*«ifi,*«, iPo(att) par '\ft>*«G*tt — G'tt<^*w-f-«Jl»*"ift)*'*, G(aM) par ife^wG^w-^G'"*"^*" — «»^*«afi>^«^,
le résultat de la substitution est un produit de quatre facteurs, dont Tun est formé avec eAo/^, ilîw/, G", comme la fonction proposée l'est avec ft.l)(a«), ift)(2«), G(att), et dont les trois autres se déduisent du premier, par le changement successif du signe de JU/^, de f^u et de Q,u,
Remarque relative au cas où les côtés du polygone inscrit sont assujettis à toucher des coniques différentes, coupant toutes la conique circonscrite aux quatre mêmes points.
Nous avons établi dans ce qui précède, que si Ton met les équations de deux coniques sous la forme
j7*-hj^-f-z' = o, «ili'M.ar^ + ifc'w.j^-j-G'w.z' — o,
réquation de la courbe enveloppe du côté libre d'un polygone de n côtés inscrit dans la première et circonscrit à la seconde, peut s'écrire
,jt,»(/?M)..r^4-i(i>M''«).r'-hG'(/7«)3' = o,
56o ^ SOUVENIRS, NOTES ET ADDITIONS.
ou, ce qui revient au même,
Œ>\nu)( X'tt . x^+all'a .j'+e^tt . z^) — (D (n — iu) CD (TTpiu) (x^-\-y^^z^).
Concevons maintenant que Ton n'assujettisse plus les côtés du polygone inscrit à rester tous tangents à la mémo conique, mais seulement à rouler sur des coniques qui coupent toutes la conique circonscrite aux quatre mêmes points. Le problème est évidemment réductible au cas du triangle, et peut alors s'énoncer ainsi : Étant données trois coniques (JU^), ["X»^), («Ao^), circonscrites au même quadrilatère, trouver l'enveloppe du côté libre d'un triangle inscrit dans (X^) et ayant ses deux côtés tangents, l'un à (^oJ, l'autre à (oAs.„).
Comme il est aisé de le voir, on pourra généralement, en choisissant convenablement «, »' et les constantes a et f^, mettre les équations des trois coniques sous les formes suivantes :
(AJ x^H-/ + z' = o,
(AJ J.'//..r'4-DÎ,'«..r' + C'«.z' = o,
(AJ .l,^'.Jr'-f-iJi>^'.j' + e'<'.2^' = o.
Par une méthode d'induction, qu'il est inutile de développer, on arrive à prévoir que l'enveloppe se compose des deux coniques
et
et cette prévision se justifie. Il suffit pour cela de considérer, comme cidessus, trois systèmes distincts de deux droites se coupant deux à deux en quatre points situés sur la conique (X^). Le développement du calcul conduit précisément à rattacher cette proposition aux propriétés des fonctions X(u), ift)(«)j ^('Oï Q"i "ous ont servi de point de départ pour en établir la construction.
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Titres et Piiéface i à xiij
