A' A'VÂ'-^B^-^V-H'-^Â
b-U^f-^v-H"^â'bO
Soient maintenant R et r les rayons de deux cercles situés sur un même plan, d la distance de leurs centres; les équations do ces deux cercles pourront, en choisissant convenablement les axes de coordonnées, s'écrire ainsi :
et les quantités désignées ci-dessus par câ, b^, c% seront proportionnelles aux racines de l'équation
55o SOUVENIHS,
en sorte qu'il nous sera permis de poser
d'où l'on tire
r bc R = .7'
R^ ri* ~r»
il v^(«»~^')(«»-c^) R a^
Nommant de même r„ et d^ le rayon et l'abscisse du centre du cercle enveloppé par le côté libre d'un polygone de /i H- 1 côtés inscrit dans (X,) et dont les autres côtés touchent (al>,), on aura aussi
et par suite
L'interprétation géométrique de - et -? ou plus généralement de -^
et -2. est facile ; concevons que Ton appelle respectivement I et F, K,
et K'„ les points où la ligne des centres rencontre le cercle (A>^) et le
cercle (JId,) et que l'on construise deux longueurs moyennes proportion-
nelles, l'une entre IK„ et l'K' l'autre entre IK' et TK.; -^ et -^ seront
les rapports de la demi-somme et de la demi-différence de ces longueurs au rayon R. Avec l'aide des indications qui précèdent^ il n'y a aucune difficulté à traduire les résultats relatifs au problème général dans les notations de Fuss et de M. Steiner.
Je me bornerai à signaler les formules suivantes : Posant
RH-^ R-^ R-hr/, R — <
il vient
On tire de là, en particulier,
Ces formuleâ permettent de passer de la relation pour le polygone de n côtés, à la relation pour un polygone de a// ou de 3/2 côt^ (*).
Au point de vue général où nous nous sommes placés, il n'existe pour ainsi dire aucune différence entre le cas où les deux cercles donnés sont sur un même plan, et celui où ils sont sur une même sphère. Soient en effet R, r, r/ les quantités angulaires qui, dans le cas de la sphère, répondent aux longueurs ci-dessus désignées par les mêmes lettres. En choisissant convenablement les plans coordonnés, on pourra écrire comme il suit, les équations des cônes de révolution concentriques à la sphère, qui ont respectivement pour directrices les cercles donnés :
(X,) x^-\-y^— tang^R . 3^= o,
!( cos* r — sin'"' d ) jc^ -|- cos^ /• . j ' + ( sin^ r/ — sin ■ /■ ) 3* — '2 sinr/ cosr/ . zj: ~ o,
et l'équation qui a pour racines a', ^% r' est alors
(X-.)[tang'R.V-(la„g'R+langV-33^^,-)A+ta„gv].
En la comparant à l'équation analogue obtenue ci-dossus, on reconnaît immédiatement que, pour passer du plan à la sphère, il suffit de remplacer dans les premiers résultats
R par tangR, r par tang/-, d par — n 1
ou, ce qui revient au même,
R par sinRcosr, r par sinrcosR, d par sinr/.
(*) Les formules pour la duplication ont été données par M. Richelot, dans son Mémoire inséré au Journal de Crelle, t. V ; 1829. Je lerai remarquer, à celte occasion, que la relation énoncée dans ce Mémoire pour le pentagone, manque de précision, en ce qu'elle contient un facteur étranger pq — p — </.
MOUTAHD.
A mon tour et à la même occasion, je crois devoir déclarer ici que les Additions de MM. Moutard et Mannheim ont été faites sans aucune participation de ma part, et sans que je sois intervenu dans la correction des épreuves d'imprimerie. Je crois, de plus, devoir faire observer que mon travail et celui de ces savants géomètres ont été conçus et rédigés d'une manière entièrement indépendante, avant toute communication réciproque de ces épreuves: les rapprochements que l'on voudrait établir entre la communauté d'origine des idées géométriques ou analytiques que ceft diverses ilotes et Additions rcnferuient) risqueraient donc beaucoup de porter à faux.
l'UNCKLLT.
Nous terminerons ces applications par une remarque qu'il serait |)eulêtre intéressant de développer.
Bien que l'analyse que nous avons employée suppose la possibilité de ramener simultanément les équations des deux coniques données aux formes JT* -hj* -h z' = o, fâx^-{-ô^y-\-c^z* = o, et que cette hypothèse tombe en défaut, lorsque les deux coniques sont tangentes en un seul point, il est clair, par des considérations de continuité, qu'une fois les résultats exprimés en fonction des coefficients des équations générales, ils subsistent dans tous les cas. D'autre part, ce cas exceptionnel, se caractérisant par l'égalité de deux racines de Téquation du troisième degré en \ ne se distingue pas explicitement, dans la question qui nous occupe, de celui où les courbes sont doublement tangentes. Mais en vertu de l'un des principes de projection centrale, deux coniques doublement tangentes peuvent se projeter suivafnt le système de deux cercles concentriques, et par suite la solution algébrique complète du problème revient alors à la multiplication des fonctions trigonomélriqiies. C'est ce qui a d'ailleurs été montré directement pour le cas de deux cercles tangents, par MM. Mention et Tcti^bychef dans le Mémoire cité ci-dessus. Il y a plus, la détermination de l'enveloppe du côté libre d'un polygone inscrit dans une conique , et dont les autres côtés roulent sur d'autres coniques données, ne dépend que de Taddition des fonctions Irigonométriques lorsque les courbes directrices, s'en trecou pan t en deux points, sont en outre tangentes en un troisième point. Dans le cas général, où les quatre points communs aux directrices sont distincts, le problème dépend au contraire de la considération de- transcendantes plus élevées.
Réduction du problème à la résolution (Vune équation fonctionnelle,
Les diverses propriétés que nous avons reconnues dans ce qui précède, aux trois séries «„, b^, c„, peuvent être regardées comme autant de systèmes d'équations aux différences finies, propres à définir, moyennant certaines conditions initiales, leurs termes généraux respectifs. Sous un autre point de vue, on peut les considérer comme caractérisant certaines fonctions de l'indice n, susceptibles de conserver un sens précis pour toutes les valeurs réelles ou imaginaires de l'indice, et dont il reste, bien entendu, à démontrer l'existence. En prenant en particulier les relations (6), on est ainsi amené à se poser le problème suivant :
Construire trois fonctions bien déterminées Jl(«), tJî)(''), ^(«), satisfaisant pour toutes les valeurs de u et de v aux équations
'^[u-^-v)2^[u — v) -{-y^o{u — s>]^[u-\-v) = 7.yS\>uOu')S\>vBp, 0(u -\- v) X(u — v)-\-<^[u — v)A>(u-{- v) = '1^ u r\o//. G r JUp, .1, [n-\-v) \\\y[u — <•)-{- a..( u - v) \U>( it-\-v) -1 -A) // lll) u X V ill, P,
et aux conditions initiales
^,{o) = '\S^(o) = e(o) = i, X(u,) = a, Db(«J=:^ é(u,) = c.
Il est clair, en effet, que les valeurs de a^, b^ et c„ coïncideront entièrement avec les fonctions X[u)^ 'iil>(a), C((^], pour la valeur /zi^^ de la variable.
Soit donc proposé de rechercher tous les groupes de deux fonctions bien déterminées qui satisfassent à Téquation
11 est possible de reconnaître à priori que les fonctions / et «p sont nécessairement paires, qu'elles sont entières, qu'elles ne peuvent avoir de racines finies communes, qu'elles ne peuvent avoir de racines finies midtiplcs. On reconnaît encore aisément que si / et <p appartiennent à cette classe singulière de fonctions qui ne peuvent ni s'annuler ni devenir infinies pour aucune valeur finie de la variable, la solution du problème est donnée par
et que lorsque l'une seulement des deux fonctions, <p, par exemple, appartient à cette classe, la solution est donnée par
/(«) = ^*"*-*-'cosw//, (?(«) = ^*"*-^
Nous ajouterons d'ailleurs, que si F(a) et *(«) fournissent une solution du problème, les fonctions
en fournissent également. Mais aucun des deux types déjà trouvés ne permet de former trois fondions distinctes satisfaisant deux à deux à l'équation fondamentale, en même temps qu'aux conditions initiales; il sera donc entendu, dans ce qui va suivre, que les fonctions / et <? doivent être susceptibles toutes deux de s'annuler pour des valeurs finies de la variable, et qu'elles sont paires, entières, premières entre elles et premières avec leurs dérivées respectives. Le problème ainsi précisé, nous nous appuierons, pour le résoudre, sur les considérations si lumineuses relatives aux zéros et aux infinis des fonctions bien déterminées^ développées par M. Liouville dans son cours du Collège de France en i85i et en iBSg.
Soit a l'une quelconque des racines soit de /(//), soit de ^[u)\ en remplaçant v par a dans l'équation fondamentale, on obtient
/(«-ha) <p(«— a)-|-/(M— a) (j>(tt-ha) =o,
d'où
y[u + Oi) y ( K — a )
ou, ce qui revient au même,
/(/^+aa)^ f(u) ^^ /(i/-f>4a)^ /(//). f(«-f-aa) ^(u) çlttH-4a) ?(")'
c'est-à-dire que pour tout accroissement égal au double d*une racine, soit de /, soit de <p, donné à la variable, la fonction '-j-{ ne fait que changer de signe, et que le quadruple de toute racine de /ou de f est une période do^^j— |* De là résulte, en particulier, que tout multiple impair d'une racine de /(u) ou de f^(u) augmenté de multiples pairs de racines, soit de Tune, soit de l'autre de ces deux fonctions, est aussi une
racine de la première, et que les multiples impairs du double d'une ra-
f cine de /ou de <p ne sont pas des périodes de -) mais que la somme de
deux pareils multiples est une telle période.
Gela posé, concevons que Toii figure sur un plan les affijces de toutes les racines de / et 7 ; nommons les points ainsi obtenus points-racines, et désignons-les par les mêmes notations que les valeurs algébriques auxquelles ils correspondent. Les fonctions / et (p étant paires, ils seront situés deux à deux symétriquement par rapport à l'origine des coordonnées. Joignons l'origine o à l'un de ces points, tellement choisi que la droite obtenue n'en renferme pas d'autre entre l'origine et lui ; prolongée, cette droite contiendra une infinité d'autres points-racines équidistanls compris dans la formule (2^2 + 1) a, a désignant le premier; et il est clair p<ir ce qui a été dit ci-dessus, que si de tout autre point-racine on mène une parallèle à oa, et qu'on y porte, dans l'un ou l'autre sens, une longueur égale à un multiple pair de oa, le nouveau point obtenu correspondra luimême à une racine. De là résulte d'ailleurs aisément, que la droite o^x. ne saurait contenir d'autres points-racines que ceux qui sont contenus dans la formule (2/1+ i)oi.
Imaginons maintenant que l'on transporte la droite oa. parallèlement à elle-même, jusqu'à ce que l'on rencontre pour la première fois un nouveau point racine ^. Dans cette nouvelle position, elle contiendra aussi tous les points compris dans la formule p -h 2/?a, mais n'en contiendra pas d'autre ; en effet, tout point de cette droite est évidemment l'affîxe d'une quantité comprise dans la formule p-h^, en désignant par > un nombre réel quelconque; or si ^4-"Aa est racine de /ou «p, a -1-2(^4-^) — a?, c'est-à-dire a-4-2)a, Test également, ce qui exige que \ soit entier; mais d'autre part \ ne peut être impair, sans quoi ^ + ^ serait en même temps une racine et la somme de deux racines; ce qui est impossible, puisr
f qu'alors 2(p+^a) devrait à la fois être et ne pas être une période de — •
L'existence des racines a et ^ (dont le rapport est imaginaire) entraîne Texistence de toutes celles qui sont comprises dans les formules
(2//ï-|-i)a-ha/îp, 2/wa4-(2/i-f-i)p.
En outre, on peut affirmer qu'il ne saurait y en avoir d'autres ; car, par hypothèse , il n*y a pas de points-racines entre la droite qui contient los (2/1+1) a et celle qui contient les ^ + 2ma, ni par conséquent, puisque les fonctions / et (p sont paires, entre la droite p 4- 2/11 a et la droite — P-l-2/wa, et tout point du plan peut toujours être ramené entre ces deux droites par Taddition d'un multiple pair convenablement choisi de 2^.
Il est donc certain que toutes les racines de / et f sont comprises dans les deux formules (2/w-hi)*~J~*'*P ®^ 2/wa -+-(2/1-1-1) p. De plus, si a est une racine de /, (2/7i-|-i)a-f-2/2^ sera aussi une racine de /, car 2/7}a-h2/i^ est une période; dès lors p ne saurait être racine de/, sans quoi toutes les racines appartiendraient à /, et il n'en resterait point pour 7, hypothèse que nous avons exclue.
En conséquence, lorsque deux fonctions /et f^ satisfont à l'équation fondamentale du problème, leurs racines respectives peuvent être représentées par les deux formules :
Pour/(tt) 11= (2/W-|-l)a-|-2/Ip,
Pour<p{tf) a= 2/7/a-|-(2/ï-|-i)P,
où a et ^ désignent des constantes arbitraires dont le rapport est nécessairement imaginaire. Mais les quantités comprises dans la formule (2/w-{-i)a-h2/îP peuvent aussi être représentées par la formule
en choisissant les premières pour racines de / il sera donc permis de leur associer comme racines de <p toutes les quantités comprises dans la formule
2//ïa-|- (2/i-|-l)(a-{-p), OU , ce qui revient au même,
(2/w-hi) a-|-(2/2-|-i)p.
De là résulte que, si l'on forme séparément trois fonctions X (i/), i)b(u), S ( « ) , ayant respectivement pour racines (2//i-|-i)a-l-(2/i-|-i)p, 2/wa-|-(2/i-hi)p, (2//1 H-i)a-f-p, deux quelconques d'entre elles satisferont aux conditions que notre première discussion impose aux fonctions / et 7. Le type de trois fonctions auxquelles on parvient ainsi est nécessairement unique ; pour s'en convaincre, il suffit de remarquer que si l'on distribue les points-racines de /, par exemple, suivant les points d'intersection de deux systèmes de parallèles équidistantes, do telle sorte
que rorigine se trouve au centre de Tun des parallélogrammes formés, ce qui est possible d'une infinité de manières, nécessairement les pointsracines de l'autre fonction formeront le système des points milieux de tous les côtés parallèles à une même direction de tous ces parallélogrammes ; par suite , une fois les racines de Tune des fonctions choisies, celles de l'autre ne peuvent plus l'être que de deux manières différentes. Pour déBnir complètement les fonctions X('^)i ifb(<^)} C('^), qui ne se présentent encore que comme les valeurs de produits doublement illimités, dont le facteur général est
Pour la première i — 7 ; — ^ — -—, ; — rg ?
2//ia-|-(a/î-f-i)P
Pour la deuxième. ... i —
Pour la troisième i —
(2/«-|-i)a-ha«p'
il est nécessaire de spécifier la loi suivant laquelle on fera croître indéfiniment les entiers m et /i. Il convient d'ailleurs de remarquer que la généralité de la solution ne se trouve pas diminuée par le choix d'une loi particulière, car l'on sait qu'en changeant cette loi, on ne fait qu'introduire un de ces facteurs de la forme éf*" , dont il a été tenu compte au commencement de la discussion. Soit donc admis que l'on fasse augmenter indéfiniment d'abord wi, puis «, ce qui revient à grouper les pointsracines suivant des lignes parallèles à la droite Oa; on aura pour les expressions des trois fonctions
,%o [u] = lim TT lim TT ( 1 — -. ■ — . — t~V"— ~, — Tt ) '
^ ' AJ. XJ. \ (2//2-1- 1) x-h(a/i-|-i)p/
fl= — n — 1 /n= — m — i nz=n' m:=.m'
ift,(w)=lim TT lim TT (1 —^ — ; — ~\
e(«) = lim TT lim TT (i-, T-v-r — ftV
On est naturellement condeiit à leur en associer une quatrième (Jd(/0 ({ue l'on peut définir comme il suit :
(e(«) = limJJ 'imll ('-.„„ + ^^[>)'
en avant soin de convenir que le facteur i ; -r soit remplacé
par H pour les valeurs /w = o, /? = o. ^
En posant ^ = é- ^ " , les quatre fonctions prennent les formes suivantes :
X(//) = TT 't
« 1 — 2 7^ » ' COS ~ + ry»^»" ^' )
M5 TT l£
1 4- a 7^ COS h 7*"
