R»=CC''— 2CC'XC'D

D'où Ton voit que CD est constant, et que, par conséquent,

V' CAHIER. - LEMMES tous les points a sont placés sur une mènoe perpendiculaire à la droite CC, élevée par le point D (*).

Proposition X,

Étant donnés un cercle [C) et une droite LM quelconques (Jig. i&)y soient menées au cercle par un point a de cette droite deux tangentes aT et aV, ce qui déterminera une corde de contact TT'; si l'on fait parcourir la droite LM par le point ol, la corde TT' passera 'dans toutes ses positions par un même point I.

Fig. i6.

En effet, si du point a comme centre, avec la tangente «T , comme rayon, on décrit une circonférence de cercle, elle coupera la droite CD perpendiculaire à LM, en deux points C et c' qui seront les mêmes, quel que soit le point a qu'on ait choisi. Car, si Ton considère un autre point a, et que de ce point on

(* ) Cette proposition et quelques-unes de celles qui suivent ou qui précèdent, ont dû aussi être connues des anciens, d'Euclide notamment, sous le nom de Porismesy dont le sens, aujourd'hui controversé encore, est si singulièrement obscurci, tronqué peut-être et amoindri dans les énoncés des 171 Théorèmes et des 38 Lrmmes principaux du livre précieux de Pappus, tant et si souvent interprété ou commenté. Vraisemblablement aussi, c'est le cas de quelques autres propositions ou théorèmes concernant le contact et l'intersection des cercles, connus dV/>o//om>f.s

DE GËOMÉTHUS SYNTHÉTIQUE. 21

mène deux nouvelles tangentes a'/ et ait' au cercle (C), il est clair que ces tangentes seront égales à la distance a' CS puisque la droite LM perpendiculaire à CC contient déjà un point a pour lequel la distance a (7 est égale à la tangente aT, et que par conséquent elle est, à l'égard du cercle (C) et du point C, la droite analogOe à LM dont il est parlé dans la proposition précédente. Mais la distance a'C étant égale aux tangentes»'/ eia'/', si Ton décrit du point a' comme centre, avec a'/ pour rayon, une circonférence de cercle, elle passera par les points /, t\ G et c'; par suite, si l'on mène les cordes communes ^wt trois cercles (C), («) et (a'), à savoir TT', tt' et Ce', elles passeront toutes trois par un même point I (Prop. VIll).

Donc tous les points de la droite LM jouissent de la propriété (|uc les cordes de contact TT', qui leur correspondent, passent par un même point I, situé sur la perpendiculaire CD, abaissée du centre C sur la droite LM.

Scolie. — La réciproque est également vraie et se démontrerait d'une manière analogue. Ainsi, que d'un point I quelconque, on mène des sécantes arbitraires TT', //', dont chacune coupe le cercle (C) en deux points, et qu'en ces deux points on mène des tangentes à ce cercle, celles-ci se couperont en un point a qui sera toujours situé sur une même droite LM perpendiculaire à celle qui passe par le point î et par le centre C.

Proposition XL

Soient C et C [fig^ 1 7 ) deux points arbitraires^ le lieu des ventres a: de tous les cercles pour lesquels les tangentes CT, menées par le point C, sont égales à une longueur constante T,

de Perge, et restaurés, étendus, comme on dit, par divination^ dans X Apollonius Gallus de Viète, etc. Or, ces rapprochements, ces divinatioDS d*une critique philosophique et historique transcendante, épineuse, délicate et parfois même fort subtile, intéressent spécialement les érudits de profession, dont le siège est à l'Académie des Inscriptions et Belles- Uttres; mais très-peu, je crois, les lecteurs du présent ouvrage, qui a fort couru le risque de demeurer à jamais ignoré du public, da moins ^us la forme rudimentaire qu on lui a conservée ici.

et les tangentes CJV menées par le point C/ sont égales à une

autre longueur constante T', ce lieu est une droite LM per-

pendiculaire à CC, corde commune aux deux cercles décrits des points C et C a^^ec les distances T et T' pour rayons.

Déplus, tous les cercles (x) ont la droite CC' pour corde commune, et par conséquent ils petssent par deux mêmes points I et K, quand ils rencontrent la droite CC.

En effet, considérons le cercle [x) dans une de ses positions ; puisque CT est une tangente à ce cercle, il est clair que le rayon xT est perpendiculaire sur CT, et par conséquent, si du point C comme centre, avec la distance constante CT ou T comme rayon, on décrit un cercle, cette droite ^T lui sera tangente au point T : on prouverait pareillement que le rayon xV du cercle (:r) est tangent au cercle décrit du point C comme centre avec un rayon égal à T'; donc puisque les rayons ^T et xT sont égaux entre ^ux, le centre x est un des points de la corde LM commune aux deux cercles (C) et{C'), et par conséquent cette corde est le lieu de tous les centres x ; ainsi qu'il s'agissait de le prouver (Prop. VI).

Je dis, de plus, que tous les cercles (x) passeront par les deux points I et K, où l'un d'entre eux rencontre la droite CC, et que par conséquent cette droite sera la corde réelle ou imaginaire commune à tous.

En effet, si l'on considère le point K et qu'oir joigne ce point au centre x, il est clair que la distance K:r et la tangente xT sont égales comme rayons du cercle (x) ; donc la droite LM (Prop. IX) qui passe par le point x et qui est perpendiculaire à KC, est telle que si d'un autre point quelconque x' on

DE GÉOMÉTRIE SYNTHÉTIQUE. i3

mène au point K la droite x*Kf et au cercle (C) la tangente x'9, ces deux lignes seront égales entre elles. D'où Ton voit que le cercle qui aurait pour centre x\ et qui passerait par le point 9, passerait aussi par le point K, et par suite par le point I, qui est également éloigné de la perpendiculaire LM; or ce cercle (x^) est un des cercles [x) pour lesquels xT est égal à xT; donc tous ces cercles passeront par les deux points 1 et K.

On aurait pu démontrer cette dernière propriété d'une manière plus simple; car si Ton considère le cercle [x) dans deux de ses positions x et x', il est clair que les deux points C et C étant tels que les tangentes menées par chacun de ces points aux cercles [x) et (x'), sont respectivement égales, la droite ce est la corde commune à ces cercles, et, par suite, commune à tous les cercles décrits de la même manière.

Proposition Xil.

Le il eu des centres x, des cercles tels que les tangentes CT qui leur sont menées par un même point C, sont égales à une constante T, et que les cordes KR' menées par un autre point C sont divisées en ce point en deux parties C R et C R' dont le

Fig . 1 8 ,

produit est égal à la constante T'% ce lieu, dis-je, est une perpendiculaire à ce ; et tous les cercles [x) ont pour corde commune réelle la droite CC, en sorte que si l'un d'eux passe par les points letKde CC, ils y passeront tous. En effet, si du point C comme centre, avec un rayon égal à

a4 I" CAHIER. -- LEMMES

la longueur constante T, on décrit un^ circonférence, il est clair que le rayon xT sera perpendiculaire à CT, et par conséquent tangent au cercle (C). Pareillement, si du point C comme centre, avec un rayon égal à l'autre quantité constante T', on décrit une circonférence de cercle, elle passera par les extrémités R et R' de la corde RR' menée par le point C, perpendiculairement à la droite C'j:; car le cercle [x] est tel, que C'RxC'R' = T'» ou que C'R est égal au rayon T du cercle (C).

Cela posé, si l'on mène le rayon a? R et la droite Cx, et que du point Xy on abaisse la perpendiculaire xY) sur CC, on aura dans le triangle C^rC,

C^ = CC' -hC'ar— aCC'XC'D.

Or les triangles rectangles xCï et orC'R donnent

Cx z=T^^Tx , Cx =Vix — C'R=Ï^ — T";

donc, substituant, on aura

p== c(y*— X"— 2CC'xC'D.

On voit, par cette dernière équation, que la distance CD est constante. Par conséquent, quel que soit le centre x, si Ton abaisse de ce point une perpendiculaire sur la droite CC, elle passera toujours partie point D; tous les points analogues seront donc situés sur une même droite élevée par le point D perpendiculairement à CC.

Je dis, de plus, que la droite CC est la corde commune à tous les cercles [x] : d'abord, cette droite étant perpendiculaire à la ligne LM des centres x, il suffit de démontrer qu'un de ses points jouit de la propriété qui appartient à tous les points de la corde commune. Or, si l'on considère le cercle [x) dans une autre position [x'), il est clair que la tangente CT au cercle [x'), menée parle point C, est égale à CT; donc (Prop. VI) le point C appartient à la corde commune aux deux cercles [x] et [x')y et, par la même raison, à la corde commune à tous les cerclts déterminés de la même manière que le cercle [x). Donc

DE GÉOMÉTRIE SYNTHÉTIQUE. a5

enfin la droite CC est une corde commune à tous ces cercles, et, par suite^ si Tun d'eux passe par les points I et K situés sur cette droite, ils y passeront tous.

Scolie. — 11 est facile de voir que le cercle (x) rencontre nécessairement la droite CC\

Pboposition XUl.

Le lieu du centre x, d'un cercle tely qu'en menant par le point C une sécante quelconque dans ce cercle, le- produit des segments formés parle point C soit égal à une quantité constante y, et qu'en menant par un autre point C une^ sécante quelconque dans le cercle [x), le produit des deux segments formés en ce point soit égal à une seconde quantité constante T'% ce lieu est une droite perpendiculaire à la direction de CC ; en outre ^ la droite CC peut être considérée comme une corde commune à tous les cercles [x).

Fig. 19.

En effet, puisque le point C est tel, que le produit des deux segments formés en ce point, dans le cercle {x)j est égal à T% il est clair que la perpendiculaire CR, élevée au point C sur la droite C^r, est égale à T. Pareillement, la perpendiculaire C'R* élevée parle point C sur la droite C'jr, est égale à T'; donc si l'on mène les rayons ^R et xW aux points R et R', on aura

Ca?'=R^'- CR' = R^*- T\

• Gx =Wx ^{JK =i\K'x -T\

26 r Cahier. - lbmmes

Si, de plus, on abaisse du centre x^ la perpendiculaire ^D, sur la droite CCS le triangle CxC donnera

Cx =Cx -t-CC —2GC'X CD.

Substituant les valeurs de Cx et Cx dans cette équation, il viendra, à cause de xW= xR,