KM' X KL' = KM" X KL

KM'xKL'=KMxKL.

Cette dernière équation fait voir que les points M, L, M' et L'

(*) Il est peu nécessaire, sans doute, de rappeler ici que ce remarquable Ihéorèroe et relui de la Prop. XI ont été déduits, par Monge, de considérations fort élégantes de géométrie intuitive dans Fespace, dont la généralité et la rigiieur furent contestées par des esprits difficiles dès répoque de 1808.

i8 I" CAHIER. - LEMMES

sont situés sur une même circonférence de cercle. Donc, puisque le cercle (C^) passe par les trois points L, M et M', il passera aussi par le quatrième point L'; d'où Ton peut conclure réciproquement que si ce cercle est tracé, les trois cordes LM, L'M' et L"M" passent par un môme point.

Fig. 14.

Supposons en second lieu [Jig. i4) que les trois cercles ne se coupent pas, et soient h"W et L'M' les cordes imaginaires communes aux deux cercles (C) et (C), et aux deux cercles (C) et (C) ; soit K le point où elles se rencontrent, il est clair que si par ce point on mène une tangente à chacun des trois cercles, les deux tangentes KT et KT' seront égales, comme appartenant à la droite L'^M"; pareillement les deux tangentes KT et KT*" sont égales, comme appartenant à la droite L'M'; donc la tangente KT' est égale à la tangente KT^, et par suite le point K, commun aux deux droites L'M' et L^M", appartient aussi à la droite LM. Ces trois droites se coupent donc en un même point K.

Scolie /. — On voit par là que les droites LM, L'M' et L^'M'^ se CQmportent de la même manière, soit que les cercles se coupent ou qu'ils ne se coupent pas. La même chose aura lieu toutes les fois qu'il ne s'agira que de propriétés qui, ainsi que la précédente, ne sont relatives qu'à la position des trois droites; la raison de ce fait consiste en ce que ces droites sont liées aux cercles (C), (C) et (C) par une condition indépendante de la valeur absolue de leurs rayons et de leurs positions relatives (Prop. VIT).

Scolie II, — La proposition précédente subsiste quand deux

ou trois des cercles (C), (C), [C) se touchent : les cordes

communes deviennentalors les tangentes aux points communs.

Proposition IX.

Le lieu de tous les points a pour lesquels la distance aC à un point ^fixe C est égale à la tangente aT menée à un cercle C, est une droite LM, perpendiculaire à celle qui passe par le centre C et par le point C\

Fig. i5.

Celte proposition n*est qu'une conséquence de la Proposition VI; car si Ton imagine (Jig. 10), que le cercle [C) dont il s'agissait alors, se réduise à un point, 11 est clair que la tangente a/ à ce cercle deviendra simplement une droite aC, passant par son cenire C. Mais on peut la démontrer directement de la même manière que la Prop. VI,

En effet, le triangle CaC donne

Ca = C'a 4- œ — 2CC' X CD;

or, R étant le rayon de (C),

C^* = R^ -H Ti' == R«-hC^c' ;

donc on a simplement