S IV

Détermination graphique d'une route dont on connaît le point

de départ et le point d arrivée.

Elssayons , maintenant , de résoudre les problèmes les plus intéressants que puisse oiTrir le trace d'une route , en partie directe , en partie oblique.

Représentons la forme du terrain sur lequel on doit tracer On suppose le ter-

ii»i*-i>» • rain représente' par

la route , par des courbes horizontales qui soient 1 intersection des courbes horî-

^ zon taies ëgaleinent

de la surface de ce terrain , avec des plans horizontaux égale- espacées. ment espacés.

La propriété des routes obliques étant d'avoir la même Grandeur des por-

- . -- i- • # tiens obliques com-

pente dans chacun de leurs points, eues seront divisées en prUes entre ces sec-

tions.

parties égales par les sections horizontales consécutives. Ainsi deux routes obliques , quel que soit le nombre de zig-zags quelles présentent, pourvu qu'elles se terminent entre les mêmes sections horizontales , auront toujours la même longueur.

De plus , toute route directe qu'on pourra tracer d'une section consumment moinhorizontale à une autre (en supposant , ce qui doit être , qu'elle ^ rou"tr ^kv^Zt n'ait nulle part une pente plus forte que la limite des pentes) , mêmes Umîtes. sera plus longue que les routes obliques comprises entre les mêmes sections. En eflet , la route directe , à moins de se confondre avec une route oblique , ne peut avoir qu'en quelques points seulement , la pente qui convient le mieux à cette dernière \ elle a, partout ailleurs, une pente plus douce. Elle doit donc être plus allongée , pour js'élever de la même quantité que les routes obliques : cela est évident (^).

{^ Soit s la sécante de l'angle forme par la route directe avec l'ordonnée verticale j*; la longueur de l'élément de route directe correspondant à dy sera S.^\

ga APPLICATIONS DE GÉOMÉTRIE ET DE MÉCHANIQUE.

n<. MÉHOiEE. Soient SS, S'S', S'S", $'"$'", les sections horizontales

Fier m

pj' * ëquidistantes qui définissent la forme du terrain. Soit la verti-

cale HL y ëgale à la commune distance des sections. Supposons, enfin 9 que l'hypothënuse HL' du triangle rectangle HLL'^ représente la pente limite de la route qu on veut tracer. La base LL' du triangle HLL', est ëgale à la projection horizontale de toute partie de route oblique ^ comprise entre deux sections horizontales consécutives.

Plaçons en D le point de départ, en R le point d'arrivée. Lorsque la route qui doit conduire de D en R sera tracée, on distinguera facilement les parties directes des parties obliques. Les parties obliques seront divisées , par les sections horizontales consécutives , en portions égales à la base LL' : les parties directes seront divisées , par les mêmes sections , en portions plus grandes que cette base.

De la li^ne qui lert Actuellement, soit AAA une ligne tracée sur le terrain , de ma-

de limite â toutes ., , • i t i i •■ i

les routes obliques, mère qu cu tous ses points, la ligne de plus grande pente da

terrain , soit tangente à la direction des pentes limites de la route à tracer. Toutes les routes obliques tracées sur la montagne, descendront depuis R , par exemple , jusqu'en AAA où elles seront tangentes aux lignes de plus grande pente.

Mais elles ne passeront pas outre : à moins que cette ligne ne soit , pour la surface du terrain , une ligne d'inflexion (*).

Soit s la sécante de Tangle formé par la route oblique avec l'ordonnée verticale^, ^.^ sera la longueur de l'élément de route oblique correspondant à djr. La roote directe ne pouvant former avec la verticale un angle moindre que la route oblique, s sert la plus petite des valeurs de S. Donc fs.dj'=sfdj'<^fS,d/- , en prenant les deux intégrales entre les mémos limites. Donc , enfin , la route oblique est plus courte que toute roule directe, quand ces deux roules s'élëvent verticalement d'une même quanti lé.

(***) C'est-àdire, ne marque un point d'inflexion sur les lignes de plus grande pente.

Ce cas excepte, elles rebrousseront tangentiellement à ellesmêmes.

Soient, maintenant, DC, DC, DC", DC'",^les diverses routes directes que Ion peut mener du point D sur le terrain. Soient A',C,A",A'V- ks points où chacune d'elles est normale à Tune des sections horizontales. La courbe A'CA"A'", coupe en un point C, la limite AAA des routes obliques. Or, je dis que ce point G est le lieu du raccordement de la partie oblique et de la partie directe de la route la plus avantageuse (en supposant que DC soit plus courte que les lignes infiniment voisines menées , du point D , à la section horizontale qui passe en G ).

Pour parvenir à la démonstration du théorème que nous venons d avancer, comparons la route mixte DGAR avec celles qui Tavoisinent immédiatement (soit à droite comme dans la fig. 2, soit à gauche comme dans la fig. 3). Dans le premier cas , fig. 2 , en supposant que GK' soit une section horizontale tracée sur le terrain , la route oblique R/iG sera égale à RA'R'; puisque ces deux routes partent du même point R, et descendent jusqu'à la même section GR'. A présent, du point de départ D menons jusqu'en R', la route directe DR'; elle sera plus courte que DC'+G'R', par cela même qu elle est la route directe. Si donc , comme nous lavons supposé , DG est la route directe la plus courte , pour aller du point D à la section horizontale GR',

on aura DG<DR',

à plus forte raison DG < DG'+ G'R'. . .

et, par conséquent, DG + G7iR <DG'+G'R'+ R'A'R.

c est4-dire , DG//R < DCVi'R.

II*. MEMOIUE.

Théorème.

Fig. a et 3.

Pl.V.

Alors il y aurait une autre ligne de même genre 1 placée plus bas ; c'est cette dernière qu'il faudrait considérer.

ii«. NÉMOflŒ. Ainsi la route DCAR sera plus courte que toutes les routa

avoisinantes , placées à sa droite.

Fig. 3. U faut un peu changer cette démonstration pour Fappliqner

^' ^ aux routes qui sont à gauche de DC. Dans ce nouveau cas,

fig. 3 j CK et C'K^ étant les deux sections horizontales qui représentent la forme du terrain , à la hauteur des points C, C, où commencent les routes obliques C^R, C'A'R , et finissent les routes directes DC^ DCVon doit évidemment avoir:

RAK =Rà'C'; puisque ce sont des routes obliques qui vont

d'un même point R, à la même section horizontale C'K'.

R'C < C'R ; puisque K'C, route oblique , est comprise entre

les mêmes sections horizontales que CK^ route directe.

CD < KD ; puisqu'on suppose que DC est la route directe la

plus courte pour aller de D à la section horizontale CK.

Donc

RAR'+ R'C + CD < RA'C + CR + RD , c'est-à-dire RACD < RA'CT).

Donc , enfin , la route RACD est la plus avantageuse entre toutes celles qu'on pourrait suivre , soit à sa droite , soit à sa gauche : elle est ^ par conséquent , la route que nous cherchons.

Après avoir comparé la route DCAR avec celles qui en sont infiniment voisines, il faut la comparer avec celles qui en sont à une distance finie.

Si toutes les routes directes DC, DC, DC",..* quon peut PI V. tracer à partir du point D, étaient égales entr elles, la cour-

be CC'C... qu'on ferait passer par le point extrême de chacune d'elles, serait perpendiculaire à toutes ces routes.

Fig. 5.

Pl.V,

DU TRACÉ' DES ROUTES ISOLÉES. gS

Si DC ëlait plus courte que toutes les autres routes , il fau- ij«. mémoire. drait que tous les angles CCD, CCD..., CC^D, CC^D,... formés par ces routes et par les arcs CC, CC... , CC^, CC^,..., compris entr elles et le point C^ fussent aigus.

Au contraire , si DC était plus longue , que toutes les autres routes, il faudrait que les angles CCD, CCD,... CC^^ CC^D... fussent obtus.

Si du point D Ton peut mener deux routes directes DC^ DF, ^»fi- ^• perpendiculaires à la courbe CCCT tracée sur le terrain; ^'•^''

Tune DC sera plus longue, laulre DF sera plus courje que toutes les routes intermédiaires DC, DC... : à moins qu'on ne puisse mener, entre DC et DF, une route perpendiculaire à CCC. Ce cas excepté , tous les angles DCF, DCF... seront aigus, et les angles DCC^ DCC^... seront obtus. On aura par conséquent , cette inégalité continue