i T qu'il faut suÎTre en

clines, li faudra : premièrement ^ suivre la route directe , tant cheminant sur un* qu'on n'aura pas atteint la limite des inclinaisons ; jecon Je- ▼enement inclinés. ment y suivre une route oblique dont la pente soit égale à cette limite , toutes les fois que la route directe deviendra plus inclinée que ne l'indique langle marqué par cette limite.

Ainsi , dans le cajs où l'on est forcé d'abandonner la route

n«. MÉMOIRE, directe , comiûe trop inclinée , il faut tracer sur le terrain une

ligne continue ou brisëe , dont la pente soit partout égale a celle de la limite des routes directes.

Détermination do* ^q lîeu d avoîr à traccr des routes sur des plans plus ou

routes fur un ter- -■ i • i

rain quelconque, moius incliués, Ics résultats et les moyens de solution seront les

mêmes , s'il s'agit d'opérer sur un terrain qui présente la forme d'une surface courbe quelconque. Tant que la pente du terraio où doit passer la route ( pente mesurée suivant la direction de cette route ) ne sera pas supérieure à la limite des pentes , la route la plus avantageuse sera la ligne la plus courte que l'cm puisse tracer sur la surface du terrain , entre les points de départ et d'arrivée. Dès que la pente de la route directe atteindra cette limite , pour la surpasser, il faudra cheminer suivant une route dont la pente constante soit égale à cette même limite.

Sur les routes mixtes, nous nommerons toujours route di'recte , la partie du chemin sur laquelle on marche suivant la ligne la plus courte ; et route oblique , la partie qui présente une pente constante égale à la limite des pentes.

Suivant la nature du terrain , la route qui joint deux points donnés, peut être entièrement directe, comme il arrive dans les plaines ; ou bien , en partie directe , en partie oblique ; ou bien, enfin , totalement oblique : examinons ces différents cas.

sjftème des routes Eutrc deux poiuts détemiinés il n'est généralement possi-

obliques tracées sur i i i > i •■• • • .9 • .

un terrain queicon- i>le ue mener qu une seule route directe 9 mais, si 1 on parvient à

que, entre deux . . . • i i-

poinu donnés. tracer une seule route qui soit en tout ou en partie oblique ,

je dis quon pourra tracer entre les mêmes points de départ et d'arrivée , une infinité d'autres routes également avantageuses : proposons-nous d'en trouver le système général.

Supposons qu'une ligne droite se meuve sans cesser d'être verticale^ et s'appuie toujours contre une de ces routes à pente constante. Dans ce mouvement , la verticale mobile en-

gendre un cylindre dont toutes les arêtes font, avec la route, un Ji- mémoire. angle constant. Ainsi la route oblique est, sur ce cylindre, une véritable hélice-

Tous les cylindres sur lesquels on pourra tracer de sembla- ^«nw de lonpipn blés hélices , entre les points (ixes de départ et d'arrivée, pré- iw. senterout chacun une route oblique; or, toutes ces roules seront égales enlr'elles.

En eflet, on aura ie développement de chaque hélice, en menant, à partir de l'extrémité supérieure de la route, une ligne droite qui soit inclinée suivant la pente de la route obli- <jue , et qui descende jusqu'au plan horizontal mené par l'extrémité inférieure de cette route. Mais nue telle détermination est indépendante et de la nature des cylindres, et de la forme lêk*i«proiMtl!lM des hélices. Donc toutes les hélices ont la même longueur. De plus celte longueur commune , multipliée par le cosiuus -de l'angle constant que toutes les hélices forment avec l'horizon, donne un produit constant. Donc, aussi, les projections horizontales de ces hélices , ont toutes la même longueur.

Lorsque la roule directe présente une pente qui dépasse la limite, toutes les roules obliques qu'on peut tracer entre les points de départ et d'arrivée, sont également avantageuses; puisqu'elles montent partout de la même quantité pour une même longueur , quelle que soît leur ligure.

Ces routes s'élèvent en zig-zags (*), tantôt de droite à gau- r che , tantôt de gauche à droite , par un nombre de retours indéfini, car ce nombre ne change rien à la route.

Donc, à partir de chaque point, on peut passer indifiërem- i ment , des roules montant vers la droite aux routes montant

{*] Les iiiRci parce que leui les œillets d'un corset.

s doanent à t les retours

s 'ig-iags iliques d'u

e nom de lacets ; I lacel passe dam

)i«. MEMOIRE, vers la gauche, et réciproquement. Les deux routes obliques qui

se croisent en chacpie point , faisant le même angle avec la verticale , font un même angle avec la ligne de plus grande pente menée , sur le terrain , par le point que Ton considère.

Les chemins traces sur les montagnes rapides, oflTrent presque tous de semblables zig-zags , lesquels sont d'autant plus multipliés que l'espace oii doit se développer la route est plus resserré.

Ces zig-zags ont peu d'inconvénients pour les piétoifs ; ils en ont plus pour les quadrupèdes, ils en ont beaucoup plus ponr les hommes et pour les animaux qui tratnentdes voitures; parce qu'a la force tangentielle qui fait avancer les voitures dans le sens de la route, il faut ajouter une force de rotation qui est en ArroiuUs^emnit de pure perte pour le mouvement progressif. Afin d'eflectuer le

la route aux |K)ints i t • • # i • i i

«nj;uUire« «h« re- changement de direction exige par chaque zig-zag de la route,

il faut que les voitures et les animaux décrivent, en projection horizontale, un arc dont la courbure soit d'autant plus grande, que la voiture {*) et son attelage , offrent une plus grande longueur.

En général , cet arc n'est pas placé sur la surface naturelle du terrain ; il exige ordinairement un déblai dans sa partie supérieure, et un remblai dans sa partie inférieure.

ivi arromUssomont II faut obscrvcr oue l'arrondissement , qui sert à raccor-

ne change en rien i,. >i% -ii ii it

u longueur de b cler les zig-zags . n altère en rien la longueur de la route obli-

ronU oblique. Ç> D ^ t?

que, entre deux points donnés. En effet, la route oblique ne ( osse pas d avoir « dans toutes ses parties « la même pente et les

.*MI y a dos voiture? qui , sans ^trr plus courtes que d'autres , peuvent oéanmoÎDS tourner on lUvrivant un an* de cercle d'un rayon beaucoup plus petit , ce qui esl du plus grand av^intage dan* le* routes qui présentent des directions brisées telles qui' celles dont nou> parlons ici

mêmes hauteurs de descente ou de montée. On peut donc, ii*. mémoire. dans la comparaison entre les longueurs des routes ol)liques et des routes directes , faire abstraction des arcs qui servent de raccordement awc zig-zàgs des parties obliques.

Nous terminerons ce que nous avons à dire de général sur propriétés ^énéraïf^

, 1. , 1 i. 1 ^ des routes.

les routes directes et sur les routes obliques, 'en rapprochant les caractères géométriques qui servent à les définir, et en présentant le moyen de les rectifier.

Les lignes qui, sur le terrain, marquent la direction des ^^''^^^ ^^^l^^^'^Croutes directes , étant les lignes les plus courtes que Ton puisse ^^^^ mener entre deux de leurs points , sur le même terrain , elles ont d'abord cette propriété caractéristique : leurs plans oscu-laieurs sont tous normaux à la surface du terrain ^ et le point ou ces plans sont normaux à cette surface^ est le point ou ils osculent la route directe. Il est essentiel d'avoir ce principe présent à la mémoire ; car nous en ferons par la suite un grand usage.

La propriété caractéristique des routes obliques , ainsi que Caractère géométri-

. ,ir ..1 * 1 quedcsroatesobU-

nous lavons lait voir, est de iormer partout le même angle que^* avec l'horizon , et d'avoir une longueur proportionnelle à la différence de hauteur de leurs points extrêmes.

Ces deux propriétés offrent un moyen de rectifier géométriquement les routes tant directes qu'obliques.

En concevant une surface développable qui, dans toute Té- uectiiicaiiondcsnMitendue de la même route directe , soit tangente à ia surface du terrain , elle sera telle qu'en la développant , la route directe placée sur elle se trouvera transformée en ligne droite.

En concevant une surface développable dont les arêtes soient Rectification ii«rouverticales , et passent par les divers points d'une même route ^" ^ "'""' oblique , lorsqu'on développera cette surface , la route oblique placée sur elle se trouvera transformée en ligne droite.

88 APPUCATIONS DE GÉOMÉTRIE ET DE MÉCHAMIQUE.

IK MÉMOIRE

Sm.

Détermination de la limite des pentes.

^"î^teîSdnalîon!"^ Daptès les détails où nous sommes entres jusqu'ici , Ion

doit voir combien il importe de déterminer , avec précision ^ la limite commune des routes obliques et des routes directes : c'est-à-dire , la limite des pentes.

Cetti; dëterniriatinn Ccttc limite, commc nous Tavons remarqué, ne peut être

exige lo secourt de ^ * * ^

^exp^nwicjî. trouvée que par le secoui^ de Fexpérience. Elle ne doit pas

Sendredcianature ^j^g \^ mémc uour dcs routos dout la destination est difTées transports a ef- J

fectuer sur la route. y^hX^. Elle cst la plus grande possible pour les chemins ou

sentiers destinés seulement aux gens de pied. Elle doit être un peu plus douce pour les chemins destinés aux cavaliers , et plus douce encore pour les chemins destinés aux voitures.

Des diverses route» Toutcs Ics coutrécs montucuses nous oflrent des exemples

obliques qui , dans T/v»f iim^ i*r i

les pays de monta- de ccttc diflerence remarquable. 1 res-souvent les piétons . les

S Des , conduisent if» i»

iim«me point de cavalicrs ct les équipages de voitures, ont leurs diemins sé-

de|>art au même x i o

poini d'arrivée, parés : Ic plus court pour les premiers , le moyen pour les seconds , le plus long pour les derniers.

Pourquoi les ancien. Lorsqu'ou a voulu pcrccr des routes pour les voitures dans te? ava'i^t prévue les pays dc moutagties , on s'est d'abord guidé sur les sentiers

foutes une pente f i i i i • •

irop forte. tracés par les chasseurs ou par les paysans ; on a donc smvi

presque toujours , des pentes beaucoup trop fortes. Perfectionnements L'uu des perfectionnements les plus importants que nous

remarquables i ce * ^-i»io

'"j«^- ayons apportés aux routes du mont Cents, du Simplon, de

Tarare, célèbres par les difficultés et les dangers que pr^ntait leur pente trop rapide, est d'avoir ramené cette pente à des limites plus appropriées aux transports par voiture. Limites d«5 pentes Lcs chcmius miUtaires, toutes choses égales d'ailleurs, peu-

î-.r les l'ouïes mm- ' ^ ' *

vent offrir une pente plus forte que les voies pubUques destr-

; jrt'n.

nëes au commerce. La raison en est facile à saisir. Dans les 11*. mémoihf. transports militaires, il faut en gênerai abréger la route; et Ton peut presque toujours , à volonté , multiplier les forces motrices , surtout en hommes.

A la fin de ce mémoire , nous présenterons le tableau des . pentes adoptées pour limites , par les Ponts et chaussées, l'Artillerie et le Génie militaire. ( Voyez note III ).

Les routes militaires sont souvent assujetties à des condi- Conditions panicu-

" licres qui peuTent

tiens particulières qui en modifient le tracé. Souvent elles doi- influer sur u con-

I ^ figuration des rou'

vent être défilées de certaines positions j c est-à-dire, que des *"iniiiuircs. lignes droites, partant de ces positions, ne doivent nulle part é^ tangentes à la route.

Tj'est pour vaincre cette difficulté nouvelle qu'on exécute en zig-zags y les tranchées ou routes couvertes pratiquées pour approcher d'une place assiégée. Ces zig-zags sont alternativement dirigés à droite et à gauche des positions défensives; de manière à ce que le prolongement de leur direction y passe en dehors des ouvrages les plus avancés de la place.

On conçoit qu'alors le nombre des zig-zags et la longueur de chaque partie rectiligne de la tranchée, ont la plus grande influence sur la longueur totale du chemin. L'assiégeant doit se proposer d'approcher de la place, d'une quantité donnée; en suivant la route la plus courte y et ne cessant jamais d'être défilé.

Au contraire y toutes les routes qui conduisent à des posi- ' tiens militaires et qui sont tracées par les défenseurs ^ doivent être, autant que possible, soumises aux feux de ces positions : ce qui fournit des conditions et des résultats directement opposés aux précédents.

H faut bien observer que la limite des pentes n'est presque Dimjrcnccs det pen-

. • - * * ^ ■• * tw qui conyiennent

jamais la même pour la descente et pour la montée. Il est des *"» mondes et «ux

* *• descentes.

animaux qui peuvent plus facilement monter que descendre y

9 > APPLICATIONS DE GÉOMÉTRIE ET DE MÉCHANIQUEur MÉMOIRE, d autres, au contraire , peuvent plus facilement descendre que

monter (*).

Les voitures pesantes , qui vont habituellement au très-petit

pas y ralentissent peu leur vitesse dans les montées ^ et laccélè-

rent peu dans les descentes. Mais celles qui vont très-vite en

plaine, et qui pourtant sont trèsH^hai^ées , comme les diligences

françaises , vont très-doucement en montant ; tandis qu'elles

vont , d'ordinaire , fort vite en descendant. On conçoit que ces

diffërences doivent influer sur la détermination de la limite

qu'il faut donner aux pentes les plus propres , les unes aux

montées, les autres aux descentes.

Cas où Ton doit se ^^^ ^^^ TOutcs dcstiuécs aux communicatious habituelles db

iTmoi^dÎTaT wî commerce ou de la guerre , le nombre des voitures qui çont

*" '*** est à très-peu près égal à celui des voitures gui tiennent. Par

conséquent , sur ces routes , on ne doit pas plus sacrifier les montées aux descentes, que les descentes aux montées. Dès qu'on a déterminé les deux limites qui sont propres à ces deux genres de chemins inclinés, il convient de prendre la plus petite de ces deux limites, et d'en faire le terme des plus grandes pentes que l'on doive donner à la route.

Cas où l'on doit se ^ ^'^^ ^^^ P^^ ^^"^^^ ^^^^ ^^^ Opérations oii tout est à transîTraVusf^ *^ ^*" porter dans une direction , et rien dans la direction opposée.

Lorsqu'il s'agit, par exemple, de faire passer une chaîne de montagnes à quelque année, ainsi qu'à son matériel. On doit, alors, faire usage de deux limites différenles; l'une pour les descentes, et l'autre pour les montées. C est aussi, comme nous le verrons, ce qu'il faut faire dans les travaux des déblais et des remblais.

{*) Les chasseurs connaissent lrcs>bien les difBcullés plus ou moins grandes qu*onl les divers animaux , pour monter et pour descendre; ils en profitent souvent dans les routes qu'ib suivent avec leurs chiens et leurs coursiers y pour joindre les quadru-» pHei qu'ils poursuivent.

II*. MÉMOIRE