f — p — j , sera positive

ou , lorsque la quantité

4s' /^ -+- r"^* -f- f^'f» — ar/^, sera positive.

Par conséquent , si Ton parvient à rendre négative cette quantité 1 l'équation (a) n'aura que des racines imaginaires. Il suffit pour cela de faire

4^V^ négatif et > (rt'— rUy , c'est-à-dire ,

r't'néQ3iii(ei>(f^^^y.

Il faut donc , premièrement , que r' et ^ soient de signe diirérent ; et, par conséquent, que l'indicatrice

r\X—x'y + 2sXX^x')(Y'^y)+tf(Y-^zy=C

soit une hyperbole.

Si , au lieu de cette indicatrice , on eût pris l'autre pour faire disparaître s de son équation , on serait arrivé de même à cette conséquence : les ifuleurs de $ ne peu^^ent être imaginaires ^ à moins que les deux indicatrices ne soient en même temps des hyberboles.

ROUTES DE LA LUMIÈRE a4i

Maintenant^ supposons qu'un miroir dune forme arbitraire, reçoive iv«. mémoire. les rayons émanés d'un point lumineux. Considérons le rayon incident qui va de ce foyer au point quelconque P du miroir , comme l'axe d'un cylindre circulaire. La trace de ce cylindre sur le plan tangent au miroir, en P, sera l'indicatrice de la surface auxiliaire du second degré , ayant le foyer lumineux pour un de ses foyers généraux , et pour second foyer général le point où le rayon réfléchi , en P, est rencontré par un rayon réfléchi en P', point du miroir infiniment près de P. On trouvera deux surfaces auxiliaires qui donneront , sur le miroir, deux points P', P'', infiniment voisins de P. Ces points P', P'' sont placés sur deux diamètres conjugués , communs à l'indicatrice du miroir, et à celle des surfaces auxiliaires pour le point P. Or, cette dernière indicatrice étant la trace d'un cylindre elliptique sur un plan, est une ellipse. Donc, quelle que soit l'indicatrice du miroir, elle a toujours en commun , avec cette ellipse^ un système de tangentes conjuguées réelles. Donc il y a toujours deux directions conjuguées , pour lesquelles un rayon réfléchi par le miroir , infiniment près de P, rencontre le rayon réfléchi par le point P.

Soient X, Y, Z, les coordonnées du foyer lumineux; soient x',^, z' celles du miroir dont l'indicatrice est définie par l'équation

r(x—x'y^2s(x—x'){r—y)+Kj—yy=(^^

Demandons-nous , pour le point x\ y, z' de cette surface , la direction des deux tangentes conjuguées qui touchent respectivement les deux surfaces développables formées par des rayons réfléchis , et passant toutes deux par le point x^, y, xf.

Nous connaissons déjà Féquation générale des tangentes conjuguées.

Il nous suffit donc d'exprimer que deux plans menés, l'un par la première tangente , l'autre par la seconde , se coupent à angle droit. Pour plus de facilité , supposons le plan des x, jr, parallèle au plan tangent du miroir en x^, j/, li. L'équation des deux plans sera

<p(ar— j/)— (7— y)-f-/ii(z— i')=o,

+(^— ^)— Cr— /)+w(z— 0=0,

a49 notes principales.

IV*. MÉMOIRE, m» n étant deu contttntes arbitraires à déteraûner par la conditbn

que les deux plans passent par le foyer X y Y , Z ; ee qui donne

^,(X-«')— (Y-:/)-!-» (Z — «^) =s o... n^ — *^" z'^ir/"'^^ '

En snbstttnant ces yalenrs de m et de n, dans les deux équations précédentes 9 elles deyiennent

Pour que ces deux plans se coupent à angle droit , il faut qu'on ait

«H-rH zzr? zirj — «•

Pour plus de 8iiii{dicité y repràentons X — ^par (^ Y— /^peru^ 2-^ 2^ per C ; Féqnatioii précédente derient

ou

Cette équation est de la forme en faisant

Donc elle appartient aux tangentes conjuguées d'une certaine sur* face ; et ces tangentes conjuguées sont toutes vues se couper à ang^e droit , lorsqu'on les regarde du foyer X, Y, Z. Elles appartiennent donc aux surfaces du second degré de révolution , ayant X^ Y, Z pour foyer , et touchant le miroir en x'j y y t!.

L'équation (i) r/— r'j+(ft' — r'/)*-f-(*/' — //)*»=o.

ROUTES DE LA LUMIÈRE. a43

en y substituant pour /; /, f, leurTaleur > donnera les deux direc- iv«. mémoire. tions chwchées. U suffira pour cela de résoudre à la manière ordinaire f cette équation du second degré

laquelle aura toujours deux racines réelles.

Si Ton regarde r, s, t comme des fonctions de af, j'y :d^ point du mi-

roir où s'opère la réflexion , si l'on met, ensuite^ pour $ sa valeur j-^y

l'équation précédente devient aux différences ordinaires. Alors elle représente les deux systèmes de courbes tracées j sur le miroir ^ par les rayons réfléchis.

C'est ainsi que les deux systèmes de lignes de courbure des surfaces,

nous sont donnés par une équation du second degré, en -j- , exprimée

avec des coefficients aux différentielles partielles p^q^T^s ^ ^, du premier et du second ordre.