IV«. MÉMOIRE. NOTE II

Conditions analytiques nécessaires pour que deux surfaces qui se touchent en un point , aient des tangentes conjuguées qui leur soient communes : application à la catoptrique.

' Nous avons prouve ( Dés^loppemenis de géométrie ^ p. 147) > qu une

surface ayant ses éléments différentiels du second ordre , représenta

par

d^z = rdx^ H- 2sdxdjr -f- td/*.

1 équation de son indicatrice , au point x', y'^ :ij se présente sous la

forme r(X — a/)» + 2^(X-ar') (Y— /)+<(¥— y)»=:C :

C étant une constante arbitraire quelconque. Si , maintenant , on représente l'équation différentielle de la projection des tangentes conjuguées, sur le plan des x^y^ par ^= 9 ; ^= ^ , Téquatioa entre

ces tangentes, sera r-f-'^(9 + 4')+^»I' =0. (a) Soit pareillement r'+^'Cç ++0 + « çV=^- («0 l'équation entre les tangentes conjuguées d'une seconde surface qui touche la première en x'jf^ z\ (Déifcloppemenis de géométrie, p. gS.)

En ce point x', y\ s', les tangentes conjuguées se trouvant placées sur le même plan tangent à la fois aux deux surfaces , il suffit évidemment d'exprimer que les projections de deux tangentes conjuguées sur le plan à^x^y sont identiques, pour exprimer l'identité de ces tangentes , dans leur propre plan.

En supposant que les équations (a), (a') aient lieu en même temps, soient $ et ^ les valeurs qui satisferont à la fois à ces deux équations; nous aurons

d'où nous tirerons immédiatement ,

ROUTES DE LA LUMIÈRE. aSg

En faisant disparaître les dénominateurs , il vient iv., mëmoibe.

Comme cette ëqvatioD offre pour 9 deux valeurs , on pourrait croire qu'il y a deux systèmes de tangentes conjuguées. Mais^ si Ton observe que les deux équations (Â) sont symétriques par rapport à 4^ et ^, on Terra que les valeurs de V en r, Sy t et r^, s^, ifj doivent être identiques avec celles de $. Ainsi les deux valeurs de 9 , tirées de l'équation précédente y sont précisément celles qui appartiennent aux deux tangentes conjuguées.

De là nous concluons, d'abord, qu'en général deux surfaces qui se touchent en un point a/, y, z', ne peuvent avoir de commun, pour ce point 9 qu'un seul système de tangentes conjuguées.

Si nous voulons qu'au même point a/, y, sf, les deux surfaces aient plus d'un système de tangentes conjuguées qui leur soit commun , il faut satifaire aux équations de condition

rs^rs

st — si

ri — ri o . j r s i

, -7 r=-t qui donnent -, = -> =-•

st — si o ^ r s l

Alors, il est évident que les indicatrices des deux surfaces, ayant respectivement pour équation

r(X-a;')'+2j(X-a:')(Y-y) + <(Y-y)' = C, /'(X-ar')« + 2y(X-x')(Y-/)H-z'(Y-/)'=C,

deviennent des courbes semblables, concentriques, et de plus ayant leurs lignes homologues parallèles. Par conséquent , tous leurs diamètres cbnjugués correspondants sont superposés ; et les tangentes conjuguées sur lesquelles ils se trouvent placés, sont les mêmes pour l'une et pour l'autre surface. Ainsi, dans ce cas, et dans ce cas seulement , tous les systèmes de tangentes conjuguées sont communs aux deux surfaces. Si nous reprenons l'équation

r/— /5+(r^ — //)* + (j^— y/)$«=o, (i) nous verrons que les deux racines , en $ , seront à la fois réelles ou

a4o NOTES PRINaPALES.

IV*. MÉMOIRE, imaginaires. Pour rendre plus facile la distinction de ces deux cas,

observons que, par une simple transformation de coordonnées , nous pouvons toujours faire disparaître /, dans Fëquation

f'(X-Jc')'+ay(X-a:')(Y-y)+<'(Y-y)«=C

Ainsi , dans cette même équation , nous pouvons , sans nuire à la généralité des résultats , supposer / = o. Alors nous avons , au lieu de 1 équation (i),

équation dont les deux racines seront réelles , lorsque la quantité

r , /ri — r/v»