Vis à fitet triangulaire

Puisque {fig. 4), 4°, le point de contact du côté VV" et de la développante MW parcourt la droite DP', pendant le mouvement sTbiultané, et de translation de la crémaillère et de rotation du pignon ;

Puisque, 2^ ce point de contact est successivement sur le côté V'V", en^es diverses positions V'V", 'V'C', V^C, que ce côté prend successivemenl pendant le mouvement, d'abord en M', ensuite en M , enfin en C ;

Puisque, 3% les loi^eurs \'M', V'"M, V^C , sont entre elle? comme les espaces YV^YV", YV^, parcourus par le coté \'V"le long d'une droite parallèle à l'axe de la vis et que ces espaces sont entre eux commue les espaces angulaires parcourus dans le même temps par un point de là vis autour de son axe ;

Il s'ensuit que : .

Le lieu de points du filet de la vice triangulaire*', qui se mettent successivement en contact avec la développante Mm' pendant fe mouvement de l'engrenage, e^ une courbe à double courbure qui a pour projection, sur un plan perpendiculaire à Taxe de la vis, une spirale dArchimède,

Nous pourrons donner à celte courbe le nom de spirale hélicoïdale gauche. Ainsi, dans la figure \i , le cercle développé de la développante a pour rayon la longueur o'"Â; la droite ok est celle qui doit être parcourue par le point de conlacl du filet de la vis triangulaire et àfi la développante ; la courbe cp' est la projection horizontale , ou sur le plan-milieu^ et la spirale d'Archimède ^" est la projection verticale, ou sur un plan perpendiculaire à l'axe de la vis, de la spirale hélicolr dale gauche y lieu des points de contact du filet de la vis triangulaire; la courbe f est, dans cette ^;)tire, \n sinusoïde projection horizontale, ou sui^ le pUaMnilieup

dû rbélice cylindrique parcourue par le sommet eu triangle générateut do Shi de la vis triangulaire , en d'autres termes, la sinusoïde ^ est la j^ojection de Ta-* rète saillante (ou tranchante) du filet de la vis triangulaire.

CKMHiamâwt hi couiibe qui uuk sur le filet de la vis ( carrée ou iri»ngulaire ) les divers points de ses contacts successifs avec la développaDte , il sera fiieîle de déterminer la nature géométrique de la duiface de révoluiioo que cette courbe des conlacts doit engendrer autour de Taxe de la vis, pendant le nouvemeot da r^agreaage, en d'autre» termes pendant le temps que le filet de la vis eoodoîM ou sera conduit par le pignon au moyen de bt développante qui {eroiiae ludeat de ce pignon.

i. Pmir la vis àfiki carré.

La courbe-lieu des points d^ contacts successifs du filet et de la développante (ces points étant considérés eortant que situés sur le filet de la vis) n'est autre que rhélice cylindrique qui forme l'arête saillante de ce filet devis; et le point deconl^act du filet et de la développante ne sort pas du plan-^mUieu y et parcourt sur ce plan la droite ZZ' parallèle à l'axe de la vis (^. 3).

D'après cela y il est évident que la surface de révolution engendrée par cette hélice cylindrique^ pendant le temps que le filei conduira la développante, n'est autre que la surface <jylin^ri que sur laquelle cette hélice' cylindrique peutéire tracée,

2» Pour la vis triangulaire.

Nous avons vu précédemment que la courbe qui unit les points du filet de la vis triangulaire qui se mettent successivement en contact avec la développante, est une spirale héliccâdate gauche dont les projections sont (fig» f4) sur le pUm" milieu la courbe 9 , et sur le plan perpendiculaire à Taxe de la vis la spirale dM'^ cbitnède c^ . *

On se rappelle aussi que le point de contact du filet de la vis et de la développante ne sort pas du ^i^nitfieu j pendant tout le temps que la vis conduit la développante qui termine la dent du pignon , etqu'il parcourt la droite oA [fig. 14), qui est la même que celle DP' (jig. l).

Cela posé , je suppose :

V Que la spirale héliandole gauche coupe Taxe Si>a''de la vis au point p, qui est celui en lequel la droite oA rencontre cet axe j

2^ Que la droite oM esi une génératrice du filet de la vis;

3* Que pour un tour entier de rotation de la vis autour de son aice, h génératrice oM passe en la position oA; le point A étant celui où la droite oA est tan«gente au cercle développé de la développante ;

4* Que le point o est le premier point , et qne le point A est le dernier point de contact du filet de la vis et de la développante.

Cela dit :

La vis prenant autour de son axe un mouvement de rotation dans le sens nv {fig. 14), la spirale hélicaidale gauche tournera autour de l'axe Soo'\ le point o restant fixe, et cette courbe décrira dans Tespace une surface de révolution.

I^ndant le mouvement de sa rotation, la spirale hélicaidale viendra couper si successivement le plan-nùlieu , en des points qui seront tous distribués sur la droite ok.

Si par Taxe de la vis on fait passer un plkn méridien arbitraire, la spirale ké^ liccUdale viendra aussi cOiiper ce plan et successivement en des points qui seront tous disllibués sur une droite passant par le point o, car ce qui a lieu pour le ptanmilièu, doit évidemment avoilr lieu pour un plan méridien quefeonqu^.

Ainsi, la spirale liélicoïdale engendre par son mouvement de rotation autour 4e l'axe de la vis, une surface conique A ayant le point o pour sommet , ayant pour axe celui de la vis, ayant pour 6ii^ le cercle section droite du cylindre sur lequel on pem-ôoaginer que se trouve tracée Thélice arête saillante du filet de vis triangulaire, et ayant pour Time de ses arêtes ou génératrices dr^es, la drmte aA-.

Ainsi, la spirale hélicoïdale gauche n'est autre que la spirale eonkpte (tArehi^ mèdei"^).

Il est évident, d'après ce quia été dit ci-dessus, q«fê les parties des généî'ttttrices droites de la fw^fece conique A, ^ôi; sont interceptées entre les spires de la surfilée du filet de vis , sont égales entre elles.

§ VIIL Le la construction de la dent de la roue dentée.

On donne à la roue dentée une certaine épaisseur, en sorte que chacune de ses dents doit être arrêtée aux deux plans parallèles qui terminent) supérieurement et

(*) Yo^z dans les Développamenls de géométrie despripUve , ce que j'ai dit au sujet do cette spirale conique d'Ârcbimède, dans le mémoire aur le^irois spirales.

Ici j^arrive à reconnaître que la spirale conique d'Arcbimède est riQter^eci^ioo d'une surface hélic#ïde gauche et d'un cône de révolulion , par des considérations différentes de celles employées dans le mémoire sur les trois gpiMules ; et cela doit être , puisque ici le point de dé|iart est différent. T. 0.

inférieurement la roue. On peut conslruire la dent du pignon de trois manières différentes, en nous rappelant que, pour que les vilesses soient dans un rapport constant, il faut que la dent de ce pignon soit coupée par le plan-milieu suivant une développante de cercle.

On peut d'abord supposer que la dent du pignon n'aura en chaciue instant du mouvement qu un point de contact avec le filet de la vis; ce résultat peut s'obtenir

de diverses manières.

I. On peut donner à la dent la forme d'un couteau a^ant son arête saillante

située dans le plan-milieu.

Alors le filet de vis conduira le couteau à développante, à la façon de ce qui se passe dans les engrenages de White ; seulement le frottement sera ici de glissement angulaire.

On pourrait tracer sur le filet de vis triangulaire, une série de spirales coniques d'Archimède, équidistantes entre elles et telles qu'elles viennent s'engager entre les dents du pignon « et évider le filet de vis en rentail^nl sous forme de couteaux ayant ces spirales pour tranchant. On formerait alors un engrenage analogue aux engrenages de White, mais un engrenage qui serait toujours k frottement de glissement angulaire.

On voit de suite que ce travail, qui consiste à entailler le filet de vis^ serait en pure perte, et qu'il vaut mieui laisser toutes les spii aies enveloppées par le filet devis.

II. On pourrait construire une surface D i^Munl par la développante d située dans le plan-milieu, cette surface D étant telle qu à chaque instant du mouvement elle ne se trouve en contact avec le filet de la vis carrée ou triangulaire que par un seul point situe sur la développante d.

Il paraîtrait au premier aperçu qu4^a surface la plus simple que l'on pourrait employer, dans ce cas , serait l'enveloppe de l'espace parcouru par le pavaboloide hyperbolique tangent à l'hélicoide gauche formant la surface de la vis, ce paraboloïde étant tangent à cette surface suivant une de ses génératrices droites. Mais comme pour chaque génératrice droite de Phélicoide il existe une infinité de paraboloides tangents, on parait disposé tout d'abord à choisir, vu le problème à résoudre, le parabolofde qui est formé par les tangentes aux diverses hélices cylindriques tracées sur le filet de vis. Nous désignerons ce paraboloïde par 2.

Ainsi le paraboloïde 1 étant supposé tangent au filet de vis, tout le long de la génératrice droite G, de ce filet, située dans \e plan- milieu ^ louchera la développante $ au point pour lequel la droite G est sa tangente.

Le paraboloïde 1 passera donc, par rapport à la développante d, et en vertu du mouvement relatif, en supposant que le pignon reste fixe et qij£%iai crémail-

1ère s'enroule «ur le eierele firiimtif do pignoo^ €Q diverses posttiaUs infiniment voisines 2, t^ 2f' , etc., qai psr leurs inteisectient saee^^ivw^kniflBroBl des (t^nst cfni détenniâefont une surfbos B passant ptf la développaatt&a^st cette auiiiea B satisfera à la eondhlon de &'étf e en c<mtact «roc le filet de h. vis ^Bt en chaque instant du mouvement, que par un seul point situé sur la développante d»

La surface enveloppe de l'espace parcourir par te paraboloide 2 serait nesur^^ face éiluVbè assez coôipiliqfQéè ; aussi est-ce par une cortisidération autre que celle du paraboloide tangent 2 que nous allons arriver à une suHBtsfrfilyAtoaAattjrini*^ pie, laquelle passera par la développant» 9, «t saCtsfanlMx conditions exigéee de contact avec le filet de la vis.

Nous allons rechercher cette sur&ee réglée peur Tone et l'autn vis.

,i.Viêàfiki€àrré:

Les points de l'hélice cylindrique qui forme Tarète saillante du filet de la vis carrée , étant les seuls entre tous ceux de la surface du filet , qui se mettent successivement en contact avec k développante, l'on peut considérer la surface réglée de la dent du pignon comme engendrée par les diverses positions que prendra, won la tangente àtiette bëlvàe cyKndrlique, mais une droite G située dans le plan tangent mené à la sùrfece du filet de vis carrée au point où Thélice snllante coupe le plan-milieu, oette droite G étant perpendiculaire & la génératrice du flfet de vis qui est situé dans te plan^miHeu; cette droite G prendra suc* (fessivement , par rapport, aux diverses positions qu^afibctera la développante S pendant le mouvement de l'engrenage ^ des positiidns en lesquelles elle sera toujours tangente au cylindre qui a pour bMefe ipr^ déTekpgé de la développante 3 C^.

Dès loxs, il ett évident que |a surface réglée àe la dent du pignon ne sera autre que la surface hélicofde développablè dont far donné la construction , lorsque j'ai décrit ce qui était relatif à la crémaillère à dents paratteRpipède$ obliques.