SIX

Au lieu de 96 donner la surfoee hélîeoîde générale 2 par la géndratriee drelie A faiaant avec le pian horizontal un angle conslant 6 et par l'Iiélice H décrite par la pied m de la plus courte distance R existant entre Taxe et la droite A , on aa^ rail pu ge donner la surface 2 par la même génératrice A et une hélice H' décrite par un point quelconque m' de cett^ droite A, en assujettissant toujours li droite A à être tangente au cylindre A ayant la plus courte distance R pour rayon de sa section droite.

Dès tors, connaissant : 1^ la distance R' du "^oint m' de la droite généralriéé A k Taxe fixe 0, et 2"" Tinclinaison a de Thélice H' aiir le pian horiaonul (inclinai^ son a'^ que Ton peut facilement calculer ou constrtiire grapliiquenent, le pat h commun aux diverses hélices H, W, H'\*./ décrites par les dWsrs points fit» m'j m'**.é de la droite A étant connu), on pourra opérei* oomme préeédemirient^ A la construction des divers points de la courbe àitêépafaÉi0n d*ombre èi de tmtiiên se construiront trèd-facilement.

Et, en effet ,

Concevons (fig. d) Thélice U' décrite par le point m' (les données étant les mêmes que dans la flg. a), nous prendrons R'=OW* et nous le porterons de m'* en ç'* sur 9'* (taingente en m'* au cercle H'*) , et ce point </'* sera la projection du point q do la droite B, génératrice du second système du ^araboloide $•

Si nous ramenons la droite 9' à être parallèle au plan vertical de projecliont le point m" viendra en m^ sur 0% et le point m^ viendra en m',* sur le prolongement de 0*m*; en sorte que 9'* sera parallèle à la ligne de terre LT;

Si donc je mène une droite L'T' parallèle à la ligne de terre LT et à une distance du point m^ égale à :* = R'tanga', j'aurai en q^ (sur LT) la projection verticale du point ç',, et la droite 9',", qui unit les points m'/ et 9',% fera néce$^ êairement avec la droite L'T' un angle égal à l'angle a que la tangente 9' au point m' de l'hélice H' faisait avec le plan horizontal. .^

Cela posé ,

Le point q de la tangente 9' se projettera en </'" sur la droite L'T'; et menant par ce point q'' une droite V parallèle à A%on obtiendra la même droite Z* que dans la fig. a ; et la projection horisontale de la droite Z ne sera autre que la droite A\

La droite V ne sera outre que la projettion B* dé la droite B, lieU ded extrémités des sous-tangentes, égales aii loUgueuret respsctivètneilt, aUt rayons R,tt'/.# Pour avoir B*, que nous savons déjà devoir passe^ par le poiût ^*, nous porté»

roM WT A^ de m^ en rf" Miie longueur égale à : R =0W (égale à la plut ttlirta 4istaBce qui existe entre le» droites et A), la droite B^ passera par le point 9^» le point q de la droite B aurarsa projection verticale en ^ sur la droite Z*'; et menanl j^r l^ point q'' une droite L"T' parallèle à LT^ en prenant le plan L''T" pour nqu- YMU plan horizontal de projection, on achèvera les coi^tructioos par rj^pppftà ce plap L"T'\ comme on l'a fait ( fig* a et c ) pour le plan LT. Cela dit, on voit que l'on pourra très-facilement achever V épure.

£e que aow f enooft de dire ci-^dessus g IX nous permet de généraliser la solution donnée fig. a, et de l'appliquer au cas où la pluscoqrte diatance R existanf entra i'aae et la génératrice A serait nulle. Dans ce cas particulier, la cy-« Kndre A se rédinl^a Taxe O, et la surface hélicoide 2 devient i"" la surface du fiiu de vis Uiangulairej si la droite A est inclinée sur l'axe O , et 2"* la surface du /tM 4e vis carré^ si la droite A coupe rectangulairement l'axe 0*

§ XL

Détermination de la ligne de séparation d ombre et de lumière sur la surface de la vis

triangulaire.

Prenons l'a^e vertical ; la génératrice A qui engendre le filet de vis, aava supposée parallèle su plan vertical de prdjection. Les diverf points m^m^ fii"..«. de la droite A, engendreront des-hélices H, H'^ H",... qui auront toutes même pas h.

Le point m, situé sur Taxe O, engendrera une hélice H qui ne sera évidemment tMtre que cet axe O.

Cela posé :

prenons un point m' {fig. e) sur la droite A, et dont la^atanoe à Taxe O sait égala A m'^O* que je désigne par R'.

La tangente 6' à l'hélice H^ décrite par la point m\ fera avec le plan horif ontal HA aiigla #c' dont la Mogan te sera (t^tnnue , car Ton a ;

Nous pourrons donc consiruire yraphiquemeni l'angle a.'.

Gai mg}» «(' étant eau»», pou» «a^oeropapar le poipt m' uite droite vfçt fai-

8ant.aY6c la ligne de terre LT Tangle a'. Celle droite nC'g coupera 9'* en un point g, et menant ^p*, parallèle à la ligne de terre LT, elle coupera O*" en un point f\ noua aurons donc en nC'f' la hauteur 2 =R'. (ang. d.

* Par conséquent, en menant par le point p* la droite Vj parallèle à À^, on aura en même temps en cette droite VJ* la projection B*' de la génératrice B du se* cond système 'appartenant au paraboloîde hyperbolique <b » (prmé par les tan* gentes 9, 6', O",... et cette droite Bisera le lieu des extrémités des sous-tangentes des droites 9, 6\... lesquelles sous -tangentes sont respectivement égales aux distances R', R"^... des points m\ fn\.. . de la droite A à l'axe O.

En prolongeant la droite Z" jusqu'en q'"" sur la droite 0'% nous pourrons mener par ce. point q'"" une droite L'T' parallèle à LT, et considérer le plan horizontal L'T' comme étant le plan horizontal LT de la fig. a.

Les constructions pour déterminer le point x seront identiquement les mêmes que dans la fig, a, ainsi qu'on peut s'en assurer en jetant les yeux sur la fig. e.

S XIL

Déierminaiion de la ligne de séparation (F ombre et de lumière sur la surface du filet

de vis carré.

La droite A sera dans ce cas supposée parallèle à la ligne de terre. La fig. / nous démontre que les constructions sont les mêmes que celles de la fig. e pour déterminer le point f'*'; et qu'après la détermination de ce point, les constructions subséquentes pour la détermination du point x sont indentiqnes à cdles exécutés fig. b.

§ XIIL

Dans le Cours de géométrie descriptive (chapitrées surbees gauches) , nous avons résolu le même problème, mais par une méthode différente; et dans tous les cas que nous avons eu à étudier, nous avons choisi parmi tous les paraboioldes de raccordement, celui qui avait pour l'une de ses génératrices droites, la génératrice du cylindre A auquel la droite A était tangente.

Dans le mémoire actuel,: nous avons employé le paraboloide dir^cl^ celui qui est formé par les tangentetf^ aux hélices décrites par les divers points de la droite A.

§ XIV

Si Ton ei(Qmine la fig. a, on voit que la plus courte distance existant entre

l'axe O et la génératrice droite A de la surface hélicoide 2 étant égale à R, M le plan horizontal étant mené au-desfious du point meta une distance x =R tang. a, ((9t étant l'angle que la tangente 6, à Thélice H décrhe par le point m, fait avec le

plan horizontal, en sorte que Ton a : tang. a= 'ST^^ ^ ^^^^ '^ P^ ^^ ^^^^ ^^^ ^^"*

lices H, HV**) on voit, dis-je, que les points.^, r et a resteront les mêmes s^^en faisant varier s, on incline les droites A, 9 et L d'une manière convenable.

Et en effet désignant par 6, a et d les angles que les droites A, fi et L font avec le plan horizontal, on aura :

tang 6=-==-, tanga=ç, tang»sa-=r-

mr « • ma

vri^Tj R, et ni'a restant constants , il est évident que si l'on fait varier z, il faudra nécessairement faire varier les angles 6, a, d de manière à ce que les trois équa* tiens ci-dessus soient satisfaites ; et dès lors la courbe lieu des points ai^ restera la même.

Or l'on peut supposer z es et alors A c=: 0, et alors toutes les hélices se confondent en un seul cercle situé sur le plan horizontal, et les trois droites A, et L se confondent avec leurs projections A\ ^ et L^.

Dans ce cas la surface hélicoide 2 se transforme en un plan qui est le plan hori« zontal de projection.

Et les points o^ m\ r, 9 et a ne variant pas de position entre eux, la courbe lieu des points a^ peut être considérée , non plus comme la projection horizontale d'une courbe de l'espace, mais comme une courbe plane et géométrique dont les divers points ai" sont déterminés par une construction géométrique, particulière, opérée dans le plan même de la courbe et sans aucune considération de F espace.

Même chose a été signalée dans le Cours de géométrie descriptive^ et ainsi par exemple, lorsque l'on a construit la courbe d'intersection de deux surfaces coniques ou cylindriques.

On voit donc que l'on peut se proposer de trouver directement quelle est la courbe lieu des points a^, construits ainsi qu'il a été dit fig. c où la construction plane est seule représentée.