S IV

En vertu des; données particulières de Véfntrêy et établies préeédemment, le point q situé sur le plan horizontal est un poifit de h droite B, génératriee du second système du paraboloide 9, et cette génératrice B est Je lieu des extrémités des sous-tangentes des droites 9, 9', 9'V., lesquelles sous^tangentes sont égalas respectivement aux rayons R, R'^ R".

JPour déterminer B^ el B"* il suffit donc de déterminer les projections d*un seul |»oint de la droite B<

Or, si nous prolongeons RdemV*s=:mV, le point q^ èera la projection d'un |M>iiit f ' de la droite B.

Et» en: effeif si Ton construit sur oV^i comme diamètre^ un cercle^ il coupera A'^ en m'S et l'on aura éTidâmment la sous-^ tangente nl^q*^ =i d^m^ ^ ou égale au rayon R'.

B^ étant détorimiié, oonstruisM» fi*.

Pouf eeby remarquons que si par le point f (situé au-dessous du point m de k quantité Ji Es= tl tanga» ce qui établit ce point p sur le plan horizontal), on mène une droite 8 parallèle à la droite A; le point p'^ e^^trémité de la soua-tangente f^rojetée en 9'*m'^ sera situé sur cette droite Z«

Si doue l'en mène par le point p'^ une parallèle à la ligne de terre » on aura la projection verticale de la sous-tangente. Cette droite coupe la droite 0* précisément au point ç'*'; dès lors, en unissant q"" et m'*' on aura la droite 6'% et en uniseeot les points q" et 7'" on aura la droite B". Mais comme la figure (^VVp'') ^^^ ^^ ^rallélogramme, il s'ensuit que les droites d° et S'*' sont parallèles, et que leà droites B*' et A*" sont aussi parallèles.

Et Gonmeles droites 6, 0'.«^ sont les génératrices du premier système, et que les droites A, B... sont les généralrices du deuxième système du paraboloïde 4>, il s'ensuit que toutes les génératrices de ce paraboloïde $ se projetteront sur le plan vertical suivant des droites parallèles.

Le plan verticiil de projection est donc perpendiculaire à la droite intersection des deux plans U et Y direcleurs du paraboloïde $ ; ces plans U et V sont donc perpendiculaires au plan vertical de projection, Tun U élant parallèle à la droite 8% et l'autre V étant parallèle à la droite A%

En vertu de ce qui précède, le paraboloïde $ étant construit, il faudra mener par la droite A un plan P parallèleau rayon de lumière L, et. chercher en quel point X de la droite A ce plan P est tangent à la sùrface-^^ ce point x sera un des lieints de la ligne de séparation d'ombre et de lumière de la surface hélicoide 2. On détermine facilement la trace H' éa plan P, puisqu'elle passe par l«s traces horizontales r et a des droites A et L.

Cela fait ,

Il faudra déterminer le point d en lequel la droite B perce le plan P.

Peur déterminer ce point d, nous mènerons par la droke B un plan X pa-

ralléie à la droite A; par an point q de la droite B, nous mèDerons donc une droite A', paraHèle à la droite A , et les deux ciroites B et A' détermineront le {flan X.

Mais comme les droites A^ et B^ sont parallèles, il s'ensuit, que le plan X est perpendiculaire au plan vertical de projection; il suffit donc (sans aucune construction préalable) de mener par le point q une droite H^, perpendiculaire à A^ pour avoir la trace horizontale du plan X*

Les deux plans P et X se couperont suivant une droite A", parallèle à la droite A (car le plan P passe par la droite A et le plan X passe par une droite A" parallèle à A), il suffit donc de construire un point de cette droite A" pour qu'elle soit connue de position. Or, les traces H' et H' se coupent au point 6; en Doènant par ce point b une droite A"^ parallèle à A*, on aura la projection horizontale de la droite A"; cette projection coupera la droite B^en un point d!" qui sera la projection du point d demandé.

Cela fait ,

Il faudra du point d mener une génératrice du premier système du paraboloîde $. Or, si sur cf^it comme diamètre, on décrit un demi-cercle, îl coupera A'^ en un point af^^ qui sera la projection horizontale du point x, contact du plan P et du paraboloîde 4> , et par suite contact de ce même plan P et de la surface hélicoîde 2.

§ VI

Nous avons supposé dans ce qui précède que la droite A faisait avec le plan horizontal un angle arbitraire 6. Quel que soit cet angle 6, lés constructions seront toujours les mêmes, cependant lorsque cet angle 6 est nul, elles se trouvent simplifiées , et en elTel :

La droite A {fig. b) étant supposée iiorizontale.el parallèle au plan vertical de projection, Ton voit de suite que la droite B est située dans le plan horizontal, puisque B% étant parallèle à A% doit se confondre avec la ligne de terre LX.

DèÀlbTS, le point q' esrsor le plan horizontal , et la trace H*" est pai*ailèleà A% ou à la ligne de terre LT*»

Il est facile de lire sur la'jî^. b toutes les constructions à exécuter pour trouver le point X, peint de contact du plan P avec la stu*face hélicoîde 2.

§ VIL Ayant détermina le point x de la ligne de séparation d'ombre et de lumière,

qui est siiué sur la droite Ây il faut construire les points x, , x,,... situés sur les diverses génératrices droites A., A,,»., de la surface hélicoîde 2.

Étant donc donné (fig. c), la projection A,^ de la génératrice A, et la projection L.^du rayon de lumière , qui parallèle à L passe par le point m, de rbélicé H (décrite sur le cylindre A par le point m) ce point m, étant celui en lequel la génératrice A, touche le cylindre A, nous pourrions prendre un plan vertical W paraK lèle à la droite A, et effectuer les contractions précédemment expliquées et nous trouverions le point x, de la même manière que nous avons trouvé le point x ; mais ces divers changements de plan vertical de projection, rendraient Fépure très-confuse, il vaut mieux cpérer au moyen d'un mouvement de rotation. "

Comme la droite. A, fait avec le (^lan horizontal le même angle 6 que la droite A, en faisant tourner cette droite A, autour de Taxe de l'angle y et en supposant que le points m, parcoure r<héUce H, ce point m. viendra se superposer snr le point m, et la droite A, viendra se superposer sur la droite A.

En même temps le rayon L. viendra prendre la position L' en laquelle L'* fera avec L* un angle d égal à l'angle d que les projections A,* et A^ faisaient entre elles*

Et comme les rayons de lumière L et L.sont parallèles et font dès lors un môme angle avec le plan horizontal, il s'en suit que les droites L et V font avec la verticale passant par le point m des angles égaux et qu'ainsi ces droites L et L' sont situées sur un cône de révolution vertical , et ayant le point m pour sommet.

Gela posé ,

Le problème à résoudre sera donc le même que précédemment; seulement, au lieu de supposer que le rayon de lumière a la direction L, on doit supposer qu'il a la direction V.

Pour déterminer la trace horizontale a' du rayon L', il suffira de décrire du point m^ comme centre et avec m'^a pour rayon un cercle D qui coupera L^ au pointa' demandé.

Ce point a' étant construit toutes les autres constructions s'effectueront comme dans la fig. a.

On déterminera donc le point x^'' et on le ramènera par» tin arc de cercle ayant le point 0^ pour centre en s!^ sur A,^^ et par suite on trouvera a:," sur A,*^.