PROBLÈME D'OMBRE

ÉVONCÉ. Construire l'interjection de deux ellipsdides de récoUuion dont les axes ne se coupent pas. Déterminer la ligne de séparation d'ombre et de lumière sur Vune ei Vautre de ces deux surfaces. Déterminer C ombre portée de l'un des ellipscndes star Cautre^ et l'ombre portée de chacun (feux , soit sur le plan horizontal, goit sur le plan vertical de projection (^).

(Le système est supposé éclairé par un rayon de lumière.)

Solution. La solution complète du problème proposé exige la recherche de diverses courbes. Nous allons indiquer successivement les méthodes qui nous paraissent préférables pour la recherche des unes et des autres.

(*) En entrant à TÉcole d'application de Melz, les élèves sous-lieutenants d*arliilerie et do géfire avaient, pour premier travail , à exécuter i*épure au trait et le lavis d'un problème d'ombre. Ce travail avait été prescrit par la commission mixte qui avait été chargée de rédigçr le programme des études de TÉcolc d*applica(ion , lorsque les écoles d'artillerie et du génie furent réunies.

Par ce premier travail ,on s'assurait que chaque élève savait la géométrie descriptive ,et pouvait sans embarras se servir des méthodes graphiques qui lui avaient été eo^eigoées à i'Éooie polytechnique. Chaque élève avait un problème différent à résoudre, de sorte que pendant ce premier travail , chaque élève pouyait 9 en suivant les travaux de ses camarades , repasser tout son cours de géométrie descriptive. En 4S4I^ ou 4820 , on fuLohligé de svppriaror ce premier travail , les motifs de cette gnppManm^st cousines dans les registres des délibérations du conseil des études de TËcole d'appiication de Metz. L'épure an trait et le lavis, que je donne ici , ont été décalqués sur les dessins que J'ai exécutés en 4846 comme éteva BMS-lieutenant d*artillerie.

CMslruction de la courbe d intersection dejdeux elUpsoides de révolution dont les axes

ne sont pas situés dans un même plein.

Nous supposerons que le plan vertical de projection est parallèle aux axes des deux surfaces données , et que Taxe d'un des ellipsoïdes est vertical.

Cela posé :

Il faut toujours, lorsqu'il s'agit d'un problème à résoudre graphiquement, pour une surface particulière, emplc^er la méthode la plus courte et' qui soit fondée sur les propriétés géométriques recodnues exister pour cette surface* Ainsi, pour une classe ou famille de surfaces, .il existe des propriétés qui appartiennent à chacune d'elles, mais certaines d'entre elles peuvent jouir de propriétés qui leur soient propres , et qui, dès lors, n'appartiennent qu'à elles ^^ntre toutes les surfaces de la mémo famille.

Ainsi , par exemple , toutes les surfaces du second ordre, sans exception, sont . coupées par des plans parallèles suivant des sections coniques semblables , mais toutes ne possèdent pas des sections circulaires, puisque le paraboloîde hyperbolique doit être excepté.

Le mode de solution pour un problème posé , doit donc varier suivant la nature de la surface proposée.

Pour la solution du problème qui nous est proposé^ il existe trois méthodes :

La première méthode consiste à couper les deux surfaces par une série de plans horizontaux; chaque plan coupera le premier ellipsoïde (celui dont Taxe est vertical) Suivant un cercle, et coupera le second ellipsoïde suivant une ellipse, dont il est facile de déterminer le centre et les axes.

Le problème, est donc ramené , pour la construction d'un point de la courbe intersection des deux ellipsoïdes de révolution , à celle des points intersection d'un cercle et d'une ellipse dont on connaît le centre et la direction des axes, et leur longueur.

On voit donc de suite que pour que la solution soit expéditive , il faut emploj^er un compas ordinaire pour tracer le cercle, et un compas à ellipse pour tracer l'ellipse.

Ainsi celte méthode exige deux compas différents, Tunpour le cercle j l'autre pour Vellipse.

La seconde méthode consiste à déterminer deox plans P et Q perpendiculaires au plan vertical de projection , et tels que les sections elliptiques faites par le plan P dans les. deux ellipsoïdes se projettent l'une et l'autre suivant un cercle

' r - ./''j < : *«fc»

sur le plan Q. Alors chaque poinl de la courbQinterseclioi».des deux elltpsoides «est délerminé par l'intersecuoD de deux cercles; cette méthode n'exige qu'un seul compas ordinaire, celui qui sert à tracer des cercles.

Celte solution, qui est on ne peut plus ingénieuse et très-simple , et facile dans l'exécution graphique, est due, comme on Je sait, à M. Chapuis, ancien ingénieur des constructions navales j qui Ta trouvée alors qu'il était élève à l'École polytechnique (*).

C'est par l'emploi de cette méthode que j'ai déterminé les projections de la courbe intersection des deux surfaces ellipsoïdes de révolution, sur V épure de Tatlas ci-joint.

La troisième méthode consiste à transformer cylindriquement y d'abord le premier ellipsoïde de révolution (celui dont l'axe est vertical) en une sphère*ayant même centre et ayant pour rayon celui du cercle méridien de cet ellipsoïde, et de transformer ensuite, par le même mode cylindrique, le second ellipsoïde de révolution en un ellipsoïde à trois axes inégaux.

Gela fait :

On détermine les plans des sections circulaires de l'ellipsoïde transformé; et coupant la sphère et cet ellipsoïde transformé par une suite de plans parallèles entre eux et à l'un des deux plans diamétraux donnant des sections circulaires sur l'ellipsoïde, on peut facilement, par l'intersection de deux cercles, déterminer chacun des points de la courbe intersection de la sphère et de l'ellipsoïde, surfaces transform4/^s'.

Cela fait on regardera cette courbe comme la directrice d'un cylindre dont les génératrices droites seront parallèles à Taxe de rotation du premier ellipsoïde, et ce cylindre coupera cette surface suivant une courbe qui sera précisément celle cherchée, c'est-à-dire la courbe intersection des deux ellipsoïdes de dévolution donnés (**)•

Il est, je crois, nécessaire pour être bien compris, d'entrer à ce sujet dans quelques détails*

Désignons par 2 l'ellipsoïde de révolution dont l'axe de rotation est vertical, par Rie rayon deson cercle équateur C ,et par A son demi-axe vertical. Désignonspar I,le second ellipsoïde de révolution dont l'axe est oblique. Menons par le centre de Tcllipsoïde 2 un plan horizontal P, ce plan coupera la surface 2 suivant l'équateur G, et la surface 2, suivant une ellipse 6.

n Voyez dans la Correspondance de l'Ecole polytechnique , publiée par Hachette, le n 3* du 2* vol. . p. 2o6.

{**) Voyez ce que j*8i dit, au sujet des transformations cylindriques , dans le Cours de géométrie descriptive , 2* partie, chapitre Vif page 4 1 1 et suivantes ; et 2* partie , chapitre XIT.

, Cela posd'.:. • . .

p^en^SiW poUMtifi mr^jka ^mnCace i^ tsA abaisams ée «epoint «ne »p erp ea di cM laire sur le plan P et le coiip9«i QAtUfi|ioînt p. -il ept dënontoé ('^j qœ ai l'on

:p0eDd aur la ? ertioale pm «n pomt n , lél que Ton ait

xpfi R pm ^

le point 71 sera sur une sphère S ayant réquateur G p^ur f rand cer^e*

Cela posé :

Prenons un point quelcaagiue .m, sur Je «eoond etU|NSoîde Jg., et ja ba Mfta i is de ce point une pprpendiculaire/sur h plm P et le^ompant en am pomt p..

Si l'on prend sur la •verlioate p^m^ un point n,, tel que l'on ait

le point n. sera sur un ellipsoïde 2/ à trois axes inégaux passant par Tellipse 6.

Les doux surfaces 2 et 2, seront, par ce moyen, transformées ensemble, l'une en la sphère S et l'autre en rellîpsoïJe 2/.

En sorte que la courbe l intersection des deux ellipsoïdes de révolution et donnés 2 et 2,, sera transformée cylindriquement en la courbe V intersectû^n de la sphère S et de l'ellipsoïde à trois axes inégaux 2/.

Si donc i^on construit la courbe X, il suffira de {aire passer par cette courbe un cylindre A ayant ses génératrices droites parallèles à l'axe de rotation de l^ellîpsoïde 2, et de chercher Tînlersection de ce cylindre A et de l'ellipsoïde 2 pour avoir la courbe l.

Cela dit :

Comme il faut pouvoir déterminer les sections circulaires de rellipsoîde transformé 2/, il faut que nous puissions déterminer les trois axes de cette surface, puisque les deux plana diamétraux donnant les sections circulaires passent par l'axe moyen.

Or, si nous menons par l'axe de rotation de rellipsoide^, un plan Q parallèle au plan vertical de projection , npus obtiendrons la courbe méridienne d de la surface 2..

(*) Voyez ce que nous avons djt , au swl^t 4e»(r9ii6ronB4(io«fi oyliodriqMfP , -dans le Cê^^ M géométrie descriptive, 4" partie , p. 4U, et^rparUe, p. 34i).«ir«uivaAtf|pr

Ce plan Q coupera T^UipSe & suîvaut ufideses axf0 D, lequel sera uaeeer4^ de l'ellipse 3. * • • •

Nou^ prendrom CB4la corda pMr ate '8è tf'afiisforinaltoni cylittdritfue , eD pit>nani dés lors, un poiui x sur relUp^méridîenRe à, et'^bf^î«a»nt de ce paiiu une

perpendiculaire sur lai copde D et la coupont en un poinc d^ on prémli^a sur dbc un point y, tel quie Ton ait

le pomt y sera sur uvie ellipse ^ ayant même cdrdé ly que TeHipse di H sera facile de construire le diamètre conjugué de la corde D, soit pbur Fëllip^e d, soit pour Fellipse d\

Or; connaissant un système de diamètre conjugué d'une ellipse , on peul facilement construire la direction de ses axes et leur longueur (^). Les axes de Fellipse d' seront deux axes de Tellipsoïde 2/, le troisième s'obtiendra en menant par le centre de Tellipse d' une perpendiculaire au plan Q et cherchant son intersection avec la surface 2)/.

Toutes ces constructions sont exécutables graphiqueihent et sans difficultés aucunes ; nous n'avons pas besoin d'entrer dans de plus longs détails à ce sujet , tous ceux qui savent t:e qui a été enscigné'dàns notre Cjouth de géométrie descriptive^ suppléeront avec facilité à tous les petits détails de construction.

Ce mode de solution s'applique sans peine au cas où la seconde surface Z, n'est pas de révolution, pourvu qu'elle ne soit pas un paraboloîde hyperbolique, qui est la seule surface du second ordre qui ne jouisse pas de la propriété d'avoir des sections circulaires*

Ainsi Ton pourra trouver la courbe d'intersection d'un ellipsoïde de révolution avec un ellipsoïde non de révolution, ou avec un parabofoïde elliptique, ou avec l'un ou l'autre des deux hyperboloïdes à 3 axes inégaux.

iSi nous examinons plus attentivement cette méthode de solution, nous voyons de suite, qu'elle peut nous permettre de construire la courbe intersection d'un ellipsoïde à 3 axes inégaux , avec l'une quelconque dessurftices du second ordre, le paraboloîde hyperbolique excepté; et en effet, il' suffira d'ëffect^ier deux transformations cylindriques à là suite l'une de l'autre*

Ainsi étant donnes un ellipsoïde à trois axes inégaux 2 et ayant Tun doses axes vertical, et une surface du second ordre 2, possédant des sections circulaires,

(*) Voyez ce que nou^avons dit, à «f sojei, dans le Coure deGéoniélHêdeêt^piive;^' partie, p. I9S.

on fera passer par le centre d*reUip80îd|r.2 un plan Pliorizontal lequel coupera celte surface 1 suivant une ellipse d^.' * *"

On déformera cette ellipse a (et dafls^lé plan P) en un cercle G par des droites p^endiculaires à Taxe a de cette courbe a qui se trouve situé dans le plan P.

. Et par des droites perpendiculaires au plan vertical X, qui passe aussi par l'aie a, on déformera (par rapport au plan X pris pour base de la transformation cylin* " drique) Tellipsoîde 2 en un ellipsoïde de révolution 2' el la surface du'^econd ordre 2, en une autre surface du second ordre et du même genre 2/.

Puis Ton transformera l'ellipsoïde' 2' en une sphère S^el la surface 2,' en une autre surface du second ordre et du. même genre 2/' et cela en prenant le plan P pour base de la nouvelle transformation cylindrique et au moyen de droites perpendiculaires à ce plan P.

On cbcrchera la courbe X'' intersection de la sphère S et de la surface 2/^ puis on mènera par X" un cylindre A' perpendiculaire au plan P et Ton déterminera son intersection X' avec l'ellipsoïde de révolution ï, enfin l'on mènera par la courbé X' un nouveau cylindre A perpendiculaire au plan X et l'on cherchera son intersection X^avec l'ellipsoïde donné et à 3 axes inégaux 2; et l'on aura en cette courbe X^ l'intersection des deux surfaces données 2 et 2..

ComtTuciion de la ligne de séparation d ombre et de lumière.

Lorsque l'on a à déterminer la ligne de séparation d'ombre et de lumière sur une surface, soit qu'elle soit éclairée par un rayon de lumière, hoiL qu'elle soit éclairée par un poim lumineux, il faut toujours chercher la construction la plus simple, en s'appuyaftt sur les propriétés géométriques reconnues exister pour la surface toute particulière qui est donnée*

Si donc on donne une surface du second ordre, évidemment l'on devra se rappeler de suite que la courbe de conlact d'une telle surface avec un cylindre ou un cône est toujours une courbe plane.

La marche la plus prompte à suivre , consistera donc à déterminer le plan de cette courbe et à chercher son intersection avec la surface proposée.

Et comme de plus, on sait que la courbe de contact est non-seulement plane ^ mais qu'elle est une section conique, il suffira de trouver les axes et le centre, ou le centre et un système de diamètres conjugués de chacune des projections de cette courbe , pour construire directement chacune de ces projections et connaître dès lors la ligne de séparation d'ombre et de lumière demandée.

C'est cette mélbode que nous avons suivie dans la construction de Tépure au trait*

Construction de Conére portée par Cm des elUpscades sur t autre.

D'après les données de notre épure âU trait ^ c'est l'elUpsoïde de révolution dont Taxe est vertical qui porte ombre sur Tellipsoîde de révolution dont Taie est incliné. ' / .

^ Cette ombre portée ne sera autre que la courbe intersection du second ellipsoïde avec lé cylindre lumineux tangent au premier ellipsoïde. " On prendra donc un nouveau plan horizontal de projection perpendiculaire à Taxe oblique du se<!ond ellipsoïde, et Ton construira sur ce plan la section Êiite par lui dans le cylindre lumineux.

Et l'on construira la courbe d'interseclion du second ellipsoïde et du cylindre lumineux par la méthode connue, en employant des cylindres auxiliaires de ré-^ volùiion et ayant leurs généralrices droites parallèles au rayon de lumière (*).

§ IV

Ombre portée par Fun et l'antre ellipsoïde sur les plans de projection^

On aura à chercher l'intersection de deux cylindres par les plans de projection. Ces cylindres auront Tun et Tautre leurs génératrices droites parallèles au rayon de lumière, et auront pour directrice , Pun Tellipse ligne de séparation ([ombre et de lumière sur le premier ellipsoïde, Tautre Tellipse ligne de séparation (f ombre et de lumièr e'snr le second ellipsoïde.

Il sera facile de construire le centre et un système de diamètres conjugués de chacune des quatre ellipses-ombres portées , dont deux seront sur le plan horizontal , et dont deux seront sur le plan vertical de projection.

On pourra construire ensuite directement les quatre ellipses ^ au moyen du système de diamètres conjugués que Ton aura déterminé pour chacune d'elle^ (^^)«

n Voyexce que nobs «tous dH, à ce 80jet ^ dans le Cemrs de géométrie dss€ri]^v$ ( 9^ paitie) , pw 1 47 , et dans les Compléments de Géo9%étrie deseripHte , p. S49.

(^ Voyez , à ce sujet, ce que nous avons dit dans le Cours de géométrie descriptive ( %r partie ) , pi 49S.

li»-

• '■ iU ■ • '"î r"J . t:i ":!«-' r»!':."^ "

Dans un dessin où l'on veut représenter la forme d^un corps, souvent les j^rojections de ce corps ne suffisent pas pour en donner une idée complète. Il faudrait presque toujours farreà travers ce corps un grand nombre de sections. paralTèles entre elles, divisées en plusieucs groupes de directions diverses et convenablement choisfes , pour pouvoir en représenter les diverses courbures. Toutefois ^ ceux qui ne sont pas habitués aux procédés de la géométrie descriptive , qui n'en peuvent pas lire facilement les résultats graphiques ^^ ne pourront pas avou^ une' idée exacte de la forme d'un corps , si on ne met sous leurs yeux que les pro-> jections d'un certain nombre de sections parallèles^ faites dans ce corpâ. Alors on ^8»( obligé de déterminer sur le corps la forme des ombres, en supposant que ce corps est éclairé par le soleil. C'est donc comme une espèce de tableau que Ton fait au moyen du lavis, en cherchant à faire avancer certaines parties et à faire /utr certaineS'Mtoos ;. r<Ki5 j^grviettt atnèk à^fe|>réflOftMr^à taeil Irdbfetp itomme s'il était en relief. L'œil peut alors en reconnaître les différentes formes.

Q^ Ed I^(S ,^lor»quax'étai9«lieiiieiiaDt d'aitillvrie attaché à^ rétat-msjpr de l'École, d'applinstiftit d*. Ifelz , le giénéraT commandant cette école me chargea de rédiger des notes sur le dessin ,'sQU8 forme d*fiig$tWHôfi\ pour le^éflftèd'^tn-Rmiteiittits dé' l'artilterre etdtr gérâ.

J'ai extrait de ce travail les notes que je publie ici.

Je D-ai pas cru devoir publier, perce qiie ce n*étaiLpag le lieu., mes réflexions. sur le deasiQ'iia paysage, le dessin de genre à la plume ,' et lê dessin des cartes de tous genres que les officiers .sont appelés à exé* enter; lorsqu'ils êent^diargéb'MnVfeéomnifeseiice inflîth^ , d\nr fet er #^n« , el6i

Mais il me sera permi8iierdiwqQelB«f^teératBtorge^«jr|ffèBmiifipl^ où les élèves pouvaient , le soir, se réunir pour dessiner le. paysage et s'adonner aux dessins de genre à la plume. Ce travail étaft faculâitif et dirigé par uo des dessinateurs de Técole, qui avait du taleot dans OMdrvefU^geiiMs^d^Mlb'. - • .

Le des^n d^^s^sage et le dessin à la plome sont indispensables à tous les officiers chargés de faire des reconnaissances militaires.

Je dois ajpntenq«tavaitt dèfëmeUie^ttoftMvailafrgénécBli eomiBtt«iqaai*meaMtesMCcnp mandant Clerc , qui, avec la brigade fttttgnpiMpifrMMtsgMedmw % («fe^la'hMrd&pMB^piataiitarwS' pl«M4e otene;

Le commandant Clerc était un juge compétent^ et nul plus que lui ne pouvait donner d'excellMle^r idées et de bons avis , car il était dessinateur militaire consommé. Tout ce que j'ai dit sur le lavis par Umches m'a en quelque sorte été dicté par cet officier, qui était aussi brave à Tarmée.qoe savant en topographie. • . .

— flM —

. tLhm p<mçdhjqiie:la détBNûiQatidn ri9iuiBM«e'.déèiiHilbrB8jBur léa^caopr^etti&t^ dispeBHdileipoiirifRrMiftàiflMdQîelinBaÉai de èerteinsMaorps., M

aiier|N)intrl88 'CoalWiiArei«tec ^tutees qui jpDDocaîeni.awif qi]elfue.!aÉalbgie.0rec leox. Caria .TaDmfi téas ioflihf0B Uéiifind >éYÎâaaiineiii de )te ïarine paBtvaulière.à chaque corps, el la moindre altéraiion dans Texaclitude des omfares, ûaitiiufluer mav Uidée querl'cataurade ia forme. diioiOBps dreptésealé a rœiLaii ^moyen d'un adaann. Cbi jBip|»in^BtJMfe!iëèkéu iqueiiesirayans du:aàléil «eat parîriiàlés «ntre ûiiiK*, aar fl^ ^rapade iistada^ ^deila tepje jati aoleîl Ani «éœasaicâmani rendre la 'séMeDgense q^^l nm\B ôDtreiles^msGQna 4u taoleil, presque jaiéle.

iVoiiSiSiippQsaronsidpQe;queji9ua'les i:a]mi6'diU£aDl€âliqaâéalaireoluiii)bjet pria imlénaiu aur > la ^aoalai^eide llatesre^aoQi [^analMaa(âiitiBeieiiK.

ili#itM|iieiiMii0'9UQiidroiisiiàalairer unrtorpB M délaramaer les ombres. queJes

jflajpws dei lunièce ifiarmenl; laur bùi ^ uuxuS dÉâDerans )iangttiitidflanent à œ eocpa

ionuiyU]iéB&ttsnuteBif[énéflatrÎ0fia»drôitea seront «.paialièkstaur^rayaos luminaux,

et la courbe de contact du cylindre et de la surface qui termine le corps aéra ee

que d'an appelle Ja ligne.de>sépamtmn dC ombre et de tunùère.

Ttous sapposons ici que la^umiéreae propageentigne droite, et qu'elle n^éclaire

'ni à droite, ni à gauche, mats din^ctenient, 'l'objet sur lequel elle Yieat' frapper^

^Ainai., un faiaeeau ^^lomière arrÎTant isar ^un ^^kn -éekitrera la 'partie anté-

fieuve de- ae f^lan, et ne pouvant -le ttra^veraer, 4alsaeici la ^partie postérieure

de ce plan , entièrement dans rombre-^ ^t '«i l'on ^suppose que ee plan ait des

dimensions finie$, qu'il ait uae forme rectangulaire par exemple, il y aura un

.certain nombre de rayons lumineux qui raseront le contour de ce plan et iront

au delà éclairer les objets qui peuvent se, trouver en arrière et, plus éloignés ; mais

•tant l'espace compris entre ces rayons rasants semprivé de lumière, puisque

itousies rayons compris dans l'intérieur du prisoie 'lumineux^seront aroêtés par

le plan rectangulaire. rOn.aum douA, en .avant du plan, un fiusceau derayons

^lumineux parallèles entre eux, ^ et dont la forme extérieure sera donnée par les

;rayons raeani5,«t.dBrrière'le,piaa, on aure le prolongement de eeËiiaceau, et qui

liera entièrement privé de ilumière; on l'appeUe Je rcylmdrjatdowÊbre. :6i Fon

«cherche l'inlersection .de(taQS>fes.fayQns nasanls avec:un pian/ou luneiurfaee

«ipeleonque 9 ion . obtiendra une^mrtouie CQuvbe dont/l!îalérîetrr>iena'prtvé de

(koMàie ^ eVo'.eattce qoe i'iaii i^^ff^elh fV&mhesporiée idu piaaveabaogukiire^surile

plan ou la surface qui arrête les rayona huDineuxiDOsailis.

j6iaiQua«oiiaidécoAa uaenphèfe^ lailtgne deioéparatîeofd'eiibiBe et éa lumière i«ramni«canii earekide kia|àèfi^ui(inlJeqilan<aQÉa |>aq^ 44tt njsoM Ittttînen.

4fii, saa cQnt&ane.9/ftQWiaeoaîdéaoAft;ii»ioUi»M^ ,éu>Ugme$4B^d^

piMlmi A'onibire et de hunière eerâ «ne eBipte dom le plan (wm «q pbadianélrai de la rarfoce , et conjuguéldn diamètre parallèle aux rayons lumîiievx. :

On voit donc que la détermination rigbareusé de la ligne de séparation d*<Nnbre et de lumière est indispensable , pnisqoe cette ligne peut varier de forme soivMit 4a nature des surlaces.

Mais y comme la direction du rayon lumineux peut être telle , par rapport à <«i ellipscHde à trois axes inégaux , que la ligne de séparation d'ombre et ée lumière ^r cette surface se trouve être précisément un cercle, on voit de suite que la construciion exacte et géométrique de la ligne de séparation d'ombre et de lumière sur une surface ne peut pas, en général, faire reconnaître à* première vue (à rœil de Tobservateur) la forme géométrique et véritable d'une surface. Ciar, d'aîllenrs, n'est-ii pas évident que l'on peut construireune infinité desurfaces ayant un cercle pour courbe de contact avec un cylincTre, et qui toutes diffèrent essentiellement entce elles et aussi de la s{Aère et de rellipsoide à trois «axes inégaux , ou* de révolution.

Il faut donc appder à son aide Tart du dessin, qui consiste i ménager les cUars^

.les Tirets ^ les ombres^ les demi-ieintes et les ctairs^obmurs ^ de telle socte que l'on

parvient à faire ressortir en relief les objets que Ton a peints sur une feuille de

.papier et ainsi sur une surface plane ^ et de telle sorte que l'œil est trompé lui-

méaie, el qu'il voit un corps à trois dimensions là où il n'y a qu'une surfoce

. plane diversement teintée en chacun de ses points..

Ainsi , l'application q«e rt>n fait de la géométrie descriptive à la délerminaiion des formes rigoureuses des ombres ( ligne de séparatàon d'ombre et de lumière sur 4>n corps et ombre portée de ce corps sur un autre cdl^ps ), quoique étant eteentielle pour pouvoir peindre la véritable forme (l'un corps, est cependant insuiBsanté; et on le reconnaît de suite, pour peu que l'on ait observé avec quelque attention les efiets et le jeu de la lumière sur les différents corps de la nature.

H fiaut encore examiner avec leplus grand soin coaiment la présence d'un corps placé près d'un autre peut ^influer sur l'intensité des ombres de ee corps. C'est ainsi que, quoique un corps soit éclairé de la même manière, il ressort en notr sur un fond blanc, et en blanc sur un fond noir, pour. les parties éclairées ; et pour les parties ombrées, l'intensité des ombres apparaît d'autant plus grande par l'opposition d'un fond blanc, et semble au contraire être atténuée {$' éteindre), lorsque le corps se détache sur un fond noir.

Lorsque Ton approche un cerps éclairé d'un autre corps sur lequel onveut

déterminer les ombres, on voit bientôt et sensiblement diminuer l'intensité. des

ombres du second eorps, et se produire un nouvel effet de lumière auquel on a

. donné le nom de rejleif parce qu'il est occaeianné par la réflexion de la lumière

qui arrivant sur le premier corps se réfléchit sur le second corps; les rayons lumineux, en se réfléchissant , formeol un nouveau faisceau lumineux d'une direolion différente de celle du faisceau direct, et menant tomber sur la partie ombrée du second corps , ne l'éclairent par entièrement , mais atténuent Tintensité de Tomhre, et cela parce que la lumière de ces rayons réfléchis est pâle. On peut se faire une idée de ce fait, en considérant les ombres formées par la lumière du soleil et celles qui sont formées par la lumière que nous renvoie la lune, lumière qui est réfléchie.

Lorsque la lumière arrive sur un plan qui est perpendiculaire à sa direction , le plan est alors le plus éclairé possible. A mesure que ce plan s'incline par rapport à la direction du rayon lumineux , il se teinte de plus en plus , et Ton peut, par l'intensité plus ou moins forte de cette teinte, reconnaître l'inclinaison du plan. Ainsi , lorsqu'un rayon de lumière arrive sur une surface courbe , on peut considérer chaque point de celte surface comme étant une petite facette plane , comme étant l'élément du plan tangent en ce point à la surface considérée; alors ce point on facette sera teinté en raison de l'inclinaison du plan tangent qui en est

-le prolongement par rapport à la direction do faisceau lumineux. Les points ou facettes qui appartiennent à la ligne de séparation d'ombre et de lumière sont évi-

.demroent contenus dans les diflérents plans tangents à la surface qui sont paral-

Jèles au faisceau lumineux, et ces points ou facettes sont totalement dans l'ombre.

<£n passant de ces points à ceux qui, situés sur la surface, sont plus ou moins

.directement frappés par la lumière, le plan tangent s'incline successivement par rapport au rayon de lumière , jusqu'à ce qu'il arrive enfin à être perpendiculaire à ce rayon.

L'on voit donc que tous les points de la surface qui reçoivent le faisceau de lumière ne sont pas tous également éclairés , et que les fisintes qui se trouvent sur chacun d'eux diminuent d'intensité depuis la ligne de séparation d'ombre et de lumière jusqu'au point où le plan tangent est perpendiculaire à la direction du rayon lumineux. Ce peint de contact est le plus éclairé entre ceux de la surface. L'on voit donc qtie la dégradation de ces teintes , auxquelles on a donné le nom

. de demi-teintes f dépend de l'inclinaison successive des plans tangents, et cette inclinaison varie suivant une loi qui dépend de la nature géométrique et ainsi

. de \û forme de la surface. C'est donc de ces demi-teintes que dépend la représentation exacte d'un objet. Ainsi , pour une sphère, ces demi -teintes se dégraderont

.d'une manière difiérente que sur un cylindre, un cône, ou sur toute autre surface.

Il faut encore remarquer que lorsque la lumière tombe sur un plau , la teinte est bien la même sur toutes les parties du plan \ mais cette teinte ne nous parait

-HOlUas !ptai9éfaHgnécsv^ ionsqu^a uettntvaùre^sous. fe|aritez»la fnrltt.dUiMi iplaa i|«i »m idans^Kombre^ ln)pDÎiil&ia»pliiS'nppr€ndiéS'4e)r(sU*pa^ pto

t|I liroi/4ff«|ue)L'9iiifiBÂtuiDUavk9 ^woir égard ^'aotant que iarre se pem, aux ^Aeux'priwiipes fiMitiéa : li^ tanlImeiîacaiMtti d» plan tasgent au poini de la aut fooe^ mt^wv'^ékèifpemÊÊûUàewfm TBfppattkiV<ml (an ao? te que aï dev pomls

d'une surface sont également rapprochés de Tœil, l'un sera plus teinté que^'aalre, «i«on p4an^aBgMi^)agtiplu8!ÎiidiiiéàJ»dÎ9eatîonidB fayoD de^hmiière , et^icfeux feinta d'mm'aui4a«6*8Dilt af^aioMitt èlotgaéa de litéil vie plus éloqpié satarieiplaB ttioté y'^cfiiaîqtte'tewsirplapa'iaiigeiite incUnéaÀdbiiiTCBtiaDiata

^nymi^dei lumière).

1*001 ce^ipiencnwin8iioiia«ladire^est exact y^irontauppDa&^rcdiiide rdMarvataiir

^Auaé fà'Tfilini attr kidÎMMbD'duipayimde lum^ Maïs ordîoâiraeBeot'Fon

i p ap pom <nMltf€B^MeU^ab^a^faai^^> ^ok]«WMaîliiéià|rîiirini, n^aatpas aurla dîreo-

•itioo^de*la 'ImMiifê ; «ainsi , fevsqud Ton ¥sut Aavar à 'Fèttitia'prafVBMaD aarlicttie an

thevîaoïiiaief^'uiwoayps^iOD'attppote que l^a^l est ptaoéAirinfini *wr»«Hie'p6epett-

dîaiilaîfe au plan>iyavtioal ou barizoïital de prcgeolîo», at>roii<aqppoae'qiic^Ae

tay^ de- kMHè»^ ,-0u l^ii»e4îrectiaD ariiîtraîre par-rappovtonx^deux plans de

p»ojaUk»>y-4My:2^qu-U fait naua«giB*ab-4&^ gvac^le/plan Miaflioaly ai Ton ne veut

4awpàiye0itî(pK>lacfarafailian -vavtîoala^ ou ua-aagla de ÂA'' avec le plan hori»

aeptàl,'si l-^ni^Bavaut coasidéter que la "prajaclion horizontale du corps, au

S" ^A 'Wp|iwe'.qiie>aaS'poojaetiofl6 font chacune qa angle de iS"" avec la ligue ds

terre, et c'est ordinairement cette dernière direction que Ton emploie dans las

lavîadtarabiteMnre. Dés lors on^seeait oUigéde coasidérer sur la aurfaoe du corps

'^les Jtmittê»d>égiàetmkie 'iéeUe, eourbesdotât nac» parterona pUisilaia.

Ito tewni pattt^ee |iaMgrapiic.iious dcnroas laice rcnarquari ifu'à mesure que les 4^jat8^s^ék»garettt»de^U€sil/iaaKs farmaafetJewsicaaaalàBaafefldeat de leur nel- •le(é,^ttà tel/yaini n^m ,* loasyt'ifa^sont'Jrè s i ^éiaig ttës » flsaoot.presqvee^QHsfeiA ^Ja^vae ; •fas^omlwses.a'adwwasdBtt davianaMia'jvtacapies'^patiîsaiésbîréassseiaa- ^t&u ,>«t Jeiicileiiscttleique^ Jaosftte) robjaliaBfcâiuiBe.cettaîa»4dittamB^de l!iwi » ^oa «iie<paat>pltt8^diatiagM0laa pariijesjidatiitfef.das|iaclâes mabtiàm.

>îSa%âÉMHMttia'^îts»p6muts?a{ttiif^ Mt i mais; iv'apercawns' tes

'^tfi^lilNirae^fpar^ial^ àiaaeauredaac quûias

't^to^amoi9aeM>de»itreJssiI,/iiailaasîàre réfléebie aie neosLjpavâiafttiqalafdto avoir traversé une couche d'air d'autant plus épaisse.

Il.euste trois manières de faire un lavis: là première que ron api>eITé tàvU ffor teintes adoucies y^ la seconde est dite lavis. par teintés plates superposées , et laHfoi* siéme enfin est le lavis par touches»

Première màtIuHle. de lavis. La^premièVe manière est celle desi trois qui ffalte. le plus l'œil, mais elle est longue et. difficile à bien exécuter, et l'on ne peut d!ailleurs remployer, que lorsqpe l'on ne doit pas mettre sur le dessin des teintes de couleur (dites teintes de convention) pour distinguer I9 J^ature dès divers matéHam qui entrent dans l'ensemble et Jes^ détails de, Tobj^t. représenté.

A ce sujet nous allons, entrer dirns quelques détails. Les teîhtes de couleur,, par leur opposition avec le blanc du. papier, forment déjà une partie dès détnfteintes qui seraient mises avec grand. soin à. Tèncrc de Chine, si l*ôn ne devait point mettre des teintes de. couleur sur lè dessin. Si dbnc ce travail des demiteintes était exécuté à Tencre dé Chine , et que Ton vint ensuite à placer dès teintes de couleur, tout ce travail des demi-teinies serait en pure perte. Les ombres ont besoin d'être très-fortes dans le lavis à i^encre d^ Chine, lorsque Ton doit ensuite placer des teintes de couleur, parce que ces dernières teintes absorbent en partie Fintensité du premier travail à Tencre de Chine , travail qui forme ce qjue Ton appelle le dessous.

Lors donc que Ton . dbil placer des teintes, d^ couleur, le premier tratail à Tencrie de Chine (:on le dessouslno. doit point être amené à Y effet ^ c'est-à-dire ne doit présenter aucune demi-teinte et ne doit, offrir que les ombres très-intenses, de. telle sorte qu^en mettant Jes teintes de couleur elles viennent jR>rmer lès demi'' teintes,, et qu'absorbant L'intensité des ombres exécutés à Tencre d^ Chine elles viennent amener tout naturellement le dessin S être à Yeffèl»

Si donc,, noua la répétons,, on fait undessin* par teintes adoucies ,^e manière à ce qualesidemi-tei^lea et les ombres soient tellement bien combinées que lli représentation de robjelsoit^exacte,, aussitôt quel'on aura. mia les teintes de cou? leur le dessin pâlira de ton et Seffiçty l'objet ne s$ra plus représenté exactement; les parties qui devaient tourner ne tourneront plus.; le grand, travail du dessous sttra perdu , puisqpe l'on ne sera pas anrlvéâu but que Ton s!était proposé: celui d^une représentation esacta de Tobjet..

Il ftut doiCQAmbkier la travail des teintes au, lavis à l'encre de Chine avec le travail des teintes de couleur (teintes conventionnelles), et Ton doit dès lors se rappeler que le papier fera les arêtes brillantes ^ que les teintes de couleur fèroiit les demi-teintes , et que Vss ombresr placées k P'encrê dfer Chine dbiv«nf' êttpe très-

fories , pour qn'aprés avoir été en partie absoribéea par les teintes conv^itioa-» oellea , leur intensité soit suffisante pour que la représentation de Tobjet soit exacte et que le dessin ait ce que Ton appelle 4e la vigueur.

Il y a de très-grands partisans du lavis par teintes adoucies , lorsque Ton ne doit pas superposer des teintes conventionnelles, des teintes de couleur, et sur^ tout lorsqu'il s'agit de représenter des corps ronds.

Mais la méthode dite par teintes plates superposées a prévalu dans toutes les écoles d'architecture; nous dirons plus loin pourquoi.

Deuxième méthode de lavis. Il n'est aucune surfhce que L'on ne puisse représenter exactement par la méthode des teintes plates superposées , cependant on doit reconnaitre qu'elle est difficile dans son application , si Ton veut atteindre à la rigueur géométrique ; et en eflet : les courbes que doivent affecter la série des teintes plates doivent être calculées géométriquement pour chaque espèce de surface y car sur un corps l'on peut considérer les ombres et les demi-teintes comme formées par une série de bandes d'égale intensité, chacune de ces bandes étant formée par les éléments de la surface qui termine ce corps et qui aurait pour plans tangents, en ces divers éléments, des plans également inclinés par rappbrt à la direction du rayon de lumière (l'on fait abstraction de l'éloignement , par rapport à l'œil, de ces éléments, ou facéties de la surface, parce que la différence do distance entre leurs positions extrêmes n'est pas assez grande, lorsqu'il s'agit ' d'un corps pris isolément, pour influer sensiblement sur l'intensité des teintes).

D'après ce qui vient d'être dit, il faudrait donc rechercher géométriquement, d'après la nature de la surface considérée, la forme que doit affecter chaque bande d'égale intensité, et cette recherche graphique peut être très-Jongue.

D'ailleurs, les bandes, telles que nous venons de les considérer, sont des. bandes d'égale intensité réelle , ce sont celles que l'on devrait construire en supposant l'œil placé à l'infini sur la direction du rayon de lumière, et comme en général l'œil de l'observateur n'est pas ainsi placé, il faudrait construire les bandes d'égale teinte idéale, c'est-à-dire les courbes qui joignent les points de la surface, qui n'étant point, rigoureusement, également teintés, apparaissent cependant à l'oeil comme tels (^), et la construction géométrique de ces courbes d'égale teinte idéale devient très-longue et très -compliquée.

Dans les applications du lavis on. doit donc renoncer aux constructions géométriques de toutes les courbes autres que Ijes lignes de séparation d'ombre et de lumière, et autres que celles des. ombres portées. On n'a, dès lors, d'autre

n Voyez ce qvie nous avons dit» à ce tojet, dans les DévehpfsmmiU diap.m, p. 491.

moyen pour arriver à la représentation exacte de la forme des objets, que celui d'examiner avec soin la manière dont la lumière agit sur un corps en relief de la même forme que celui que Ton veut représenter sur son dessin j en cherchant à voir sur cet objet en relief^ quelle est à peu près la forme des bandes également éclairées, vu la position de Tœil et la direction du rayon lumineux.

Ce n'est donc qu'après un long exercice et une longue observation des objets de la nature , que Ton peut parvenir à placer d'une manière convenable les teintes d'égale intensité idéale.

Cette habitude et ces observations sont également indispensables pour le lavis à teintes adoucies/

Si dans les dessins d'architecture le lavis à teintes plates superposées doit être préféré, c'est qu'il est très-ex péditif et qu'il n'offre pas de difficultés sérieuses, puisque Ton n'a presque toujours, comme corps ronds, que des colonnes.

Le lavis par teintes plates superposées a plus de \igueur, plus de netteté, et semble représenter mieux la dureté du marbre et de la pierre que le lavis par teintes adoucies, qui a toujours quelque chose de mou.

Il faut autant que possible approprier, dans un lavis, la touche du pinceau à la dureté et à la nature de la matière dont sont formés les objets que Ton veutreprésenter, ainsi la manière de lavis qui rendra les différences qui existent entre le bois, la pierre et le fer, devra être préférée, et le lavis par teintes plates superposées se prête assez bien à rendre la nuance de ces différences.

Lorsque l'on emploie la méthode de lavis dite par teintes plates superposées, la quantité dont les teintes plates doivent déborder les unes sur les autres dépend de la forme de la surface. Il faudra donc, & moins que l'on ne détermine géométriquement les courbes d'égale teinte idéale, une grande habitude pour placer convenablement , et en retraite les unes sur les autres, les teintes d'égale intensité pour une surface quelconque.

Mais en architecture, comme nous l'avons dit ci-dessus, on n'a, en général, a examiner comme corfs tmdsqwe des colonnes , que Ton peut toujours considérer comme étant àe% surfaces cylindriques. Or, dans le cas d'une surface cylindrique, la reiraite des bandes d'égale teinte peut très-facilement être déterminée. Et en effet:

Concevons un cylindre vertical ayant pour base une oourbe C ^ oa partagera cette courbe C en parties égales par des cordes égales , et par chacun âes points de division on élèvera une génératrice droite du cylindre ; chacune de ces génératrices sera la limite d'une bande d'égale teinte, non-seulement réelle, mais .encore idéale, en supposant l'œil placé à l'infini sur une horhiontale. Si donc l'on projette ces bandes sur un plan vertical, on voit que leurs retraites

iront en diminuant ffepuifi.te milieu deia pri)ÎMUMi vM4i«il« d« 6f Umborju^pi'à

la génératrice extrême.

Et c^esi précisément la loi des décpoissemenls 4as lar^gnur^ des bandàBztin pM* jectioo verticale q/âi indiquera la forme de la courbe C.

Ainsi , si le cylindre est elliptique, legrasdase de TeUipëeC éiant paraMèln au plan vertical , la dégradation des retraites das battdes ne sera pas la même qne si le petit axe de cette ellipse C était parallèle au plau vei^î^al ; eUe serait eneiM dilTérente , si la courbe C était un cercle.

De plus, en ayant égard au diapason des teintes (*) , les bandes de ttême numéro , en supposant la base G du cylindre divisée en un même nombre de parues égales, que cette courbe G soit un cerele, une ellipse ou toute aulT'e a^^iiie, n'auront pas la même intensité. On voit donc de suite que l'effet preduit k TomI par le lavis ne sera pas le même, si Ton a un cyliodre circulaire ^ ou etlifàkimf^ ou etc.

Troisième méthode de lavis. Il existe , comme nous l'av^ma dit , une iroiaîèttt# méthode de lavfs, que nous avons désignée par le nom de Uwis par Umches. C'est celle qui doit être préiérée pour rendre des e£kts de lumièipe sur un corps t quelles que soient sa nature et sa forme, et surtout pour les dessine A r^ifmiutfa

Expliquons eh quoi consiste cette méthode^

En chaque'point d'une surface éclairée > il y a une intensité de teinte qui varie de ce point aux points environnants. Si FœH est assez exercé pour saisir la éiOè^ rence de la nuance entre les intensités des teintes de deux points voisins^ alors on pourra placer sur le papier blanc et aux points qui , dans le dessin , correspondent aux points de la surface en relief, de petites touches d'encre de Ghine^ dontriniensité sera dans le même rapport que oelle des teintes retharquées en les mêmes points sur robjet-relief. Et en marchant ainsi de proche en proche , décomposant dès lors la surface du corps en petites facettes, on placera sur lepapier> et à côté les unes des autres, de petites touches de pinceau dont TioCensité ira en se dégradant de là même manière que les teintes sur la surface du relief. Ce premier travail ne donnera pas toute Fintensité d'ombre que l'on remarque sur l'objet, parce que la teinte qui existe en un point de l'objet, se trouvant eotouréç de parties ombrées, est plus forte réellement que la touche à l'encre de Chine que l'on place sur le papier et qui doit lui correspondre ; cette touche que nous plaçons sur le pa|jier, étant entourée de blanc, paraîtrait beaucoup plus forte que la teinte de Tobjet , si on fui donnait réellement la même intensité que cette dernière possède.

^^>— ■H.**i^i^via^MHM^BaBaai^Bi^B««*Ma«**«a*Ma*fc

(*} Voyez, à C6 sujet, te mânoîra ffuUié dans cet ouvrage soss \% a»l.

— TRJlf —

tjaM par on prmiî«t Mrvail couTerttout te papier, Fûn revient par une iUtte ée travaux analogues au premier, et- Von porvient pen à peu et progressive- 9l«At à mMÊn letmiràa desai» et à' lui donner frntensité remarquée sur f objet en

Cette métkoée a «strèa-f^rand avantage, en ee qn'^eile est trës-expéditive une iaî^i|U(e Tett a aecjpib nnptwd' habitude et d^liaèrVeté.

Et de plus, elle permet , au moyen du seul coup d'oeil et sans avoir besoin de recourir awLOoostructiom géMciéiPt qnes , de rendre d'une mamève très-fidèle les jnotîndm dètotia et las iHoindres inflenons <f nn^ corps et d'une surface. Hais , outre que les eflets peanmUélre renéos dTune-raamère excesaivement juste, on voit, suivant l'expression des peintres, circuler Cair dans le dessin; ce quMl est impossible d'obtenir soit par le lavis à.Uspnles adoucies ^ soit par le lavis à teintes plates superposées. Par la première méthode de lavis , il semble que les corps sont tous polis; et par la seconde mélhmW de lavia, il; aambUe <|ae laa corps ooi été taillés par actuel aa moyen d'uo cîsmik

Il est donc à déairet que toutes les iSpîs qme l'on 9 iHie maclrine- eempoaée d*a& grand nombre de pièces de natures diverses et aûiiéea dtaiis ê» plana difSrenta, on emploie de préférence k méliroée éa lawi^parfimeltoa, eit réservant la méthode du lavis par teintes fiâtes superpiMées paar la dessin ée rarebilecture, aiors qu'il n*y a que des objets isolés à représenter ou des objets situés à pefi près dans le

mèaae planu t^^

eeE#ndftQt:si Faft walak fiiire la parsftelîva^'une eonslraetien areftitectnrale^ ciMipM l» é&m9L l at ti M aaift » daas e» aaav itai^eeuv que feo^ éisTgne par ie nom de'(hmiH$ jwMMwfiapfni. aloM si ftnld^ait^aB»pleyer Mi méthede des touches, ffnrn que loa pcMirraÎÉ ftcîlainent rendM, par eett^ méthode , fés^ nuances les plus légères que Ton remarqiaafdaavta «anara.

la T«ikliiidift par towkeaeali aaM ccMrtMéIr la moHleitre po«v inifter arvee exac- IMliide^ tei «alura^ aea avantagea sont inamaastaMto, aar n'es^ce paa transporter dans l'art du lavis, la méthode suivie dans la-pei«tore'i rhuilc? AtMsi les avan^ tagea de \ft aaétàodn pavMMaÉwae fMr-Jts^femartiimr dana ks ckastnvde paysage éilmk ïaqmnéAR

- OiaDM«Nnflnni t'aaMbie pnaaéderlaviqaV'Pbn virat eséisnteruiî paysage par la «iéÉlHKl0;4aB 4oMia»..

que l!ûa vAUt neprésember, air l'a» plMe sur ka papier nna-tottcba^éa aauienr ayant h aftène^lMi ^ lai oalHNiiMteaaîté. On passe ensuite an point voisin et l'on opère ée la même manière, et ainsi de proche en proche, çL Uon paofiûai« à aûavw tout le papier de petites touches juxtaposées, en soMoipià l^^ff Tait connne

une mosaïque. Par ce premier travail la copie du paysage se trouve avoir d^i une vérité de ton et de couleur que Ton ne pourrait pas atteindre par une autre mélhodp. On reprend ensuite tout le premier travail, en exécutant par-dessus un second travail du même genre, seulement Ton place les secondes touches dans les petits intervalles qui existent entre les premiers , et en revenant successivement par trois et quatre travaux du même genre , on arrive à obtenir un grand fini.

On obtient par ce procédé des points de vue dans lesquels Ton ne remarque pas des couleurs factices et de pure convention , mais une couleur générale vraie et des tons de détails conformes à ce qui est dans la nature (^).

Lorsque Ton aura une ombre portée par un corps sur un autre corps éclairé , cette ombre portée étant environnée de parties éclairées, paraîtra plus noire ou plus intense que les ombres déterminées par la ligne de séparation d'ombre et de lumière sur Tun ou l'autre corps.

Et cela a lieu parce que Topposition des parties dans l'ombre et des parties éclairées , nous fait apparaître comme plus intense la teinte qui couvre les parties dans l'ombre,

Lorsqti'une ombre portée arrive vers la ligne de séparation d'ombre et de lumière , sa teinte doit se fondre avec celle de cette dernière ligne, et de manière à ce que les points de la surface du corps qui se trouvent avant et après la ligne de séparation d'ombre et de lumière, aient à peu près la même teinte, et ainsi de manière à ce que l'on passe de l'ombre portée à la ligne de séparation d'ombre et de lumière sans ressaut , sans transition brusque.

Ainsi l'ombre portée va en décroissant d'intensité depuis le point où l'objet qui porte ombre touche le corps, jusqu'à la ligne de séparation d'ombre et de lumière tracée sur ce même corps.

Ainsi, par exemple , si l'on avait une règle s'appuyant sur un cylindre j le point ou la règle touche le cylindre sera le commencement de l'ombre portée de la règle sur le cylindre. En cet endroit l'ombre portée sera très-noire, soit à cause de l'opposition de cette partie ombrée avec les parties environnantes situées sur le

(*) Cesl en se seryani de cette mètbodey qoé le commandant Qerc , qui fut pendant longtemps chef de la brigade topographique et qni depois fut, à la fin de sa carrière , professeur de topographie à l'École d'application de Metz, avait exécuté un grand nombre de vues des Alpes et de lltalie ; l'École d'applrea-^ iion de Mets possède quelques-uns de ses précieux dessins, entre autres deux études de marromiierl, l'une au lavis , l'autre à TaquareUe .

— ièi —

cylindre et qui fieront frappées par la lumière, soit parce qu'il n'arriteén cette partie de l'ombre portée qu'un très-petit nombre de rayons réfléchis, soit paf r«ir environnant , soit par les parties environnantes do cylindre* Et que dès lors €05 rayons réfléchis ne peuvent que très-faiblement altérer en ce point l'ombre portée et diminuer son intensité.

Maisà mesuré que l'on s'éloignede ce point de contact de la r^le et du cylindre, l'ombre portée diminue d'intensité, et enfin finit par se fondre et se mélanger avec les teintes qui forment la séparation d'ombre et de lumière sur le cylindre.

Cette diminution progressive de l'ombre portée tient à deux causes :

La première c'est que plus l'ombre portée s'avance vers la ligne de séparation d'ombre et de fumiére, plus les parties du cylindre qui Tavoisinent deviennent teintées (les demi-teintes augmentant en intensité à mesure quel'on s'approche de la ligne de séparation d'ombre et de lumière), par conséquent l'opposition du noir 2in blanc diminuant, l'intensité de Tombre portée semble diminuer ; en .cela il y a une illusion d'optique. La seconde cause,, et qui est due à un effet réel, c'est que la règle, en s'éloignant du cylindre après le point de contact, reçoit un certain nombre de rayons réfléchis par la surface éclairée du cylindre; elle Jes réfléchit une seconde fois sur la partie du cylindre en laquelle se trouve située l'ombre portée^ et ces rayons doublement réfléchis viennent diminuer, atténuer lintensité de l'ombre portée.

Lorsqu'un corps est éclairé par le soleil, la ligne de séparation d'ombre et de lumière et en général les ombres paraissent très-noires, pariîe qtie les parties éclairées étant très-vives, elles blessent notre œil et nous empêchent de lire dans les ombres. Mais cette intensité des ombres n'est due di^is ce cas qu'à une illusion d'optique qui ne provient que de la fatigue que l'œil a éprouvé en se reposant sur des parties vivement éclairées» et en voulant regarder à la fois el les parties éelai* rées et les parties ombrées.

Mais si l'œH ne se repose que sur les parties ombrées, bientôt l'éblouîssement dont il avait été saisi se dissipe ^ et il finit par lire dans- toutes le». ombres et ptf voir même leur intensité diminuer graduellement^ jusqu'au point ^è il ne voit 4>lus que des ombres grises, là où il avait vu tout d'abord des oinbres noires.

Nous venons de dire que lorsque l'oh regarde un objet éclairé directement par les rayons du soleil, les ombres paraissaient tout d'abord très-fortes, trèsintenses, nwres, à cause de la vive opposition qui existait entre les parties ombréea et les parties éclairées; mais si l'on met une gaze entre les rayons du soleil et l'objet , la grande vivacité des parties éclairées diminue , et alors les parties om* brées paraissent moins noires.

Cela provient de ce que la gaxe Umdse pour ainsi dite les rajmis da lumière

Éimtfê^nijAom «mus briHaateB, éés Ion ropposiiîon mtte les poMPfiês ^lairétt «I i^ ^rlM0 cwbréw étant fiioiii& fortes , les (unbres nous pwoissMt f9i»t$9i w» 1^ fH^ret 9 et dans ee cas on peut ftre plus feçilenent las formas wriésa Al corps, dans les parties de ce corps qui se trouvent dvis Foiiyi)re*

lies parties ombrées Vivent toujours dans la nature être aussi fortes , que les rayoi^ de lunière soient ptffet ou a^, parce que Tonibre n'est que la primiias de lumière. Ge n'eei donc que par leur opposition avee des parties plus ou moiw éclairées» que Ton voit les. différences de forée et d^iotenaîté fMo h>n remarque dans les ombraa..

. Il est aussi è dire que plus une 4Mnbre est petite et étroite, plna elle pavaH noire, el qwi plus une nmbieaat grande, longue et large, plus elle nous pacaH s'éteindre, plus soe intensité aembie décroître.

Gels tient h ne qnn ilana ie premier cas Tesil ne peut regaréer ertta |Wliln Qisbre» sana tok en môme temps toulaa Isa parties écbâréea qnri f entourent^ el qui )e blessent par leur vivaeilé, leur édat; ta«éia que lorsqu'une omlMPeniâ grande, T^il peut ae reposer sur elle sans voir lea parties éeiairées esfvirannafntaSi et dès lors n'observant plus la difierenee qui se trouve entre les cUàrs et les Amns^ ia fatigue qu'il avait éprouvée d'abord par l'éclat de la lumière, se dissipe peiiib peu, et il peut examiner attentivement les différentes parties qui sont eouverles par l'oashte , et qui lui asot rendues sensiUes en leurs formes variées par les i^ow réfléchies surfiles par Tatmoqidbère ou les cevpst'enwonnanis et q«^eMss 9éiMcbti6Mt.4e nouveau et vers notre smI.

G^est ainsi que lorsque l'on vient: i regarder le sniBil , t*œil a« sa iâimn«»l blessé» que si l'on regarde pen aptes les objets qui nous enviroonent, nnuane pouvons rien ^[)ercevoir et nens ne voyons que du noir.

C'est par la même raison , que lorsque passant d'un appartement lr è»^€ i aia é» dans un appartement obscur, nous ri'apereeyesia rien dan&kes prenâars kiatants.- Maîs peu à peu, la ialigue de Toiil étant dissipée, nous finisscHis par distinguer les ol]t)ets qui noua entourent

5 IV

Las arantages du lavis par teintes pbtes superposées et du taVis par touches, ne scMrt pas seulemeiit ceux que nous arons avons signalés ci^dessus.

n en est un bien important, surtout pour les dessins milftaires, c'est la aoffeSif. Et -en elfet, dans le lavis par teintes adouetes , presque toutes les lïemiH^intes et principalement celles qui avoisioent les clairs , sont très-*peu softdtss , éles ne tiennent pfesqnepasaufupier ; et oete nW pas étonnant, pûisqu'eRes ne sont

filUes qu'avee un- piateau pre&que sac et en effleurant Tépideraie du papier. Am lieu que pour les teintes plates et les touches , ou travaille à piaoaau pleîa^ et Teo inaruste Tencrei de chine daua le papier. Mais ï\m de^ grands défauts du lavis par teintes adoucies, c'est de vouloir rendre la nature et de ne là rendre qw ^MMiventionnelleinenti car le lavis par teinles adoucies , suppose la représentation d'un objet très-poli, puisque tous les noirs et toutes les teintes couvrent ég^le* ment le papier, et cependant ce genre de lavis ne rend point l'efTet de la luouère éclairant réeUemcAt un* corps poli*.

Je m'explique : sur un corps poli , la lumière est réfléchie avec une telle vîtiif cité, que les arêtes brillantes sont assez vives p^r blesser notre œil et ne poiiil MUS permettre d'apercevoir la dégradation des demi-teintes par lesquelles. on arrive à ces arétes^briUaiiteSi to sorte que éém an lavi^ qui représentei^ait un corps très-*poU , où* devrftii pnsar brusquement éss ar&te* brillantes & mue teiftte asaea foncée et ainsi atfbttement du blanc au noir.

Nous nvcns dit précédemment que le lavis par teintes adoucies, semblait toujours représenter des corps polis , parce que les teintes d*encre de chine cou«^ ▼raient entièrement le papier. Expliquons ceci :

On remarque que dans totis les corps de la nature qui ne sont pas polis, Uk stirfhce est couverte de petites aspérités, qui éll\ni chacune un corps rond a son point brillant comme tout sphéroïde ; mais comme cette aspérité est trcs-petiie alors la lumière qu'elle nous renvoie est faible et cependant sans diminuer notablement Tintensité de l'ombre qui existe sur la partie du corps où se trouvent ces a^érités, elle permet d'apercevoir une certaine quantité de petits points moins éclairés que la partie générale du corps, puisque ces points sont dans Tombre.

C'est à ce fait que l'on doit le vaporeux que Ton remarque dans les ombres étendues sur les corps de la nature«

Mais dans les corps polis ces aspérités n'existent plus, ou du moins sont e&cessivement petites , en sorte que les rayons qu'elles réfléchissent à noire œil sent très-faibles , de telle sorte que tous les points du corps poli sî4ués' dans t'oB»bre sont égaiement teintés pour notre osil.

ka privation totale des rayons réfléchis par les parties d'an corps poli situées dans l'ombre^ deiiae àceileoBibre l'^pareMe d'un irM, et ccda est évident^ puisque poar que nous puissÎMis apercevoic uft eoirps qui est dans l'ombre , il iMt qu'il nom arvive de ce corps uneiBertaine quantité de rayons réfléchis^ qili pMissBiious &ine juger de rexisiettee de ce corps et apprécier se forme;, mais s'M n'arrima netre osil* aucun rayon réflicfai, nous ne pouvons rien apemevoir) et

comme 1% pÊtt» ^ corpê poli qoe nous vodloBs foir ett dm« Tombre, nous jn* geons <|«e cette partie est «a miir.

Ainsi Ton -voit que dans le lavis à teintes adoacies appliqué à la représentation A'vn corps très-poli , toutes les ombres doivent faire trcUf et Ton doit passer presque brusquement du noir au blanc; le blanc du papier étant réservé pour les arêtes et points brillants.

On peut faire le même reproche à la méthode par teintes plates; mais, comme nous l'avons dit, son emploi doit être réservé aux dessins d'architecture et en général à tout dessin où les différentes parties à r^résenter sont à peu prés dans un même plan ; ce défaut disparaît alors.

liais le lavis par touches est le seul qui puisse rendre avec vérité les eflefs pn* duils par le jeu de la lumière sur les corps^ parce que toutes les touches de fm^ ceau étant placées à côté les unes des autres, laissent entre elles de petits intervalleSy des parties moins foncées en teinte que chacune des touches et en même nombre que ces touches, petits intervalles qui représentent les petites aspérités qu'on aperçoit sur les corps. Ces parties moins teintéesdans le dessin nous ren* voient de la lumière réfléchie, de la même manière que les aspérités du corps.

Au moyen de travaux successifs bien ménagés nous pouvons diminuer le nombre de ces petits intervalles et les rendre moins clairs là où il est nécessaire, et parvenir ainsi à la représentation exacte d'un corps plus ou moins poli.

C'est à ces petits intervalles que l'on doit le vaporeux que Ton remarque dans les lavis faits par la méthode des- touches; en sorte que les ombres n'y font pas irous'j Taîr, suivant une expression reçue, circule dans le dessin; déplus^ cette mélhode permet de pouvoir monter un dessin de ton , de manière à ce qu'il devienne vigoureux^ sans devenir noir.

Des ombres portées par un corps éclairé par plusieurs lumières.

Lorsqu'un corps est éclairé par trois points lumineux, par exemple, placés sur une même droite horizontale et à des distances finies les uns des autres, et de manière à ce que la distance de chacun d'eux au corps soit telle que chacune des trois- ombres portées par ce corps sur un plan horizontal ait une certaine étendue. Ton remarque que l'ombre la plus longue est produite par le point lumineux le plus éloigné du corps (il va sans dire que le corps est plus rapproché du plan horizontal que l'horizontal passant par les points lumineux. Si le corps était, par exemple, une sphère, la droite qur unirait son centré avec Tun des points lumineux ferait , avec la verticale abaissée du point lumineux sur le plan

sur lequel la sphère porte ombre, on angle d'autant plus grand que le point lumineux serait plus éloigné de la sphère).

A mesure que le point lumineux se rapproche du corps, l'ombre portée diminue d'étendue, mais parait augmenter dlntensité; et cela a lieu parce que cette ombre se rapproche du corps et que la partie éclairée sur le corps diminue d'é-tendue , et que dés lors il y a moins de rayons réfléchis par le corps sur Tair environnant qui soient à leur tour réfléchis de nouveau par Fair sur la partie du plan où est située l'ombre portée; mais c'est surtout à cause de ce fait physique , savoir, que les ombres décroissent d'intensité dans le rapport direct du carré de la distance du point lumineux, supposé situé à distance finie, au plan sur lequel le corps porte ombre ( le corps restant, dans tous les cas , à la même distance du point lumineux )•

Lorsqu'un corps (une sphère, par exemple) est éclairé par trois lumières, on obtient sur le plan horizontal trois ombres portées distinctes, et qui, suivant la postlion des lumières par rapport aux corps, peuvent être superposées en partie les unes sur les autres. On remarque alors trois intensités différentes sur Fensemble de l'ombre.

Pour une partie,, celle sur laquelle il n'y a pas superposition d'ombre, la teinte est très-faible; pour la seconde partie, celle où deux ombres se superposent, la teinte est assez forte; et , enfin , pour la troisième , celle où les trois ombres se superposent, la teinte est très-foncée, presque noire.

De plus, on remai^ue que, pour les parties où existent les teintes faibles et assez fortes, chaque partie paraît plus claire au milieu que vers les bords.

Cela tient à ce queroqa sur le corps trois zones d'étendue difiérente, éclairées chacune par un des points lumineux ; en sorte qu'il y a des points du corps qui reçoivent la lumière des trois points lumineux, d'autres points ne reçoivent la lumière que de deux points lumineux, plusieurs points ne sont éclairés que par un seul des trois points lumineux, et, enfin, il y a une certaine partie du corps dont les points sont totalement privés de lumière.

En sorte que l'on a trois lignes de séparation d'ombre et de lumière sur le corps, et trois cônes lumineux venant couper le plan sur lequel le corps porte ombre.

En vertu de l'existence de ces trois cônes lumineux, il arrive que l'ensemble de Pombre portée se trouye divisé en trois parties distinctes ; Tune de ces parties, la plus faible en teinte, est éclairée par deux des trois points lumineux, l'autre de ses parties, dont la teinte est assez forte, est éclairée par un seul des trois points lumineux, et, enfin, la troisième partie, celle qui est noire, est totalement privée fle lumière. ' ^.

Mais si, dans les deux premières parties de Tensemble de l'ombre portée, le

milieu parait moins teinté que les bords , cela provient d*UAe itlnsion d'optiqiift dont nous avons parlé ci-devant» savoir, que passant d'une partie ùmln^d um partie claire j Topposition du blanc au noir plus ou moins foncé ^ Ml paraître le bord de la partie ombrée comme étant phis intense de ton.

5 VI

I^es reftets.

Nous savons, sur un corps^ édiâféptr un rayai ôa un potta ImMem, dél»» miner par des méthode grapbi V^^ aim|rfas et rigaoneuaes : 1^ les lignes de s^ paratioB dfoml>re et de liunièrie; .3'' kA ombres pDrtéea.par oe corps sor lui-mlKe ou sur d'autres corps environnants ; 3^ les points et les arêtes briHanfei^ Il «em reste à eonsidérer les effets produits sur un corps par la réfleûoft des rajons de lumière sur les corps. emHronnantS} ou autrement il now restée à délermiiier lés refleu produits dans les ombres d'un corps » par Tapproebe d'un. ou de plusieots corps éclairés* , .

Concevons un corps À éclairé par un point ou un rayon luimneux €1 oa autw corps B voisin du corps A et aussi éclairé par le mômepoînC pu le màa&miftm lumineux.

Les rayons lumineux qui viendront frapper la surface du corps B, seront réfléchis par ce corps et viendront frapper le corpsrÀ. Ces rayons refléeèis vmant frappes la surfece du corps A en des pcdnts située daas J'ottbre, oodftits les demi-teintes , y produiront a& eifet désq^né par leaçm de tp^kê»

Déterminons VéUndue du reflet»

11 est évident que tou6 les rayons réfléchis par la surfiàce du cOTps B formerait *un faisceau de droites ayant pour enveloppe utte surface gauche 2 q9i viaudra couper la surface du corps A suivant une courbe i qui sera sur ce oorps: A la limite du reflet.

L'étendue d« reflet étant déterminée, on peut sa demander de déterminet les points où le reflet sera plus intense, par conséquent se* demander où seront les points les moins sombres ou en d'autres termes les plus clairs » dans Tétendu^ du reflet.

Ici, il faudra distinguer deux cas : l'^'celui où l'on entendra parler de l'imensité réelle du reflet et 2"* celui où l'on entendra parler de liniensibé apparente du reflet , le corps A étant vu d'un point situé en une position particulière de l'espace.

Dans le premier cas , il faudra chercher sur le corps B les courbes Ifeu des points pour lesquèMt chaque ra]^>n réfléchi aura la même intensité de lumière.

— Ul —

un détMtmiuen <kwc mtf le oor|» B une suite de courbes d'égates iBlmskés téélidyty^ 7^— ^ l'îÂleMIé tamnl eitre ces courbes^ 0I aîiisi de courbe à cooilie Mîvaot ua^ loi dfMiâe.

Cela fait, 4m cherdieM j^mi toili lesnjoiis réfléchis par iesmwbwy^y, y*,... ceux qui viendront frapper la gurface du corps A sous un .même angle « el toM ces pointa étant Téunis par une courbe £, on aura, sur le coopa A, -une courbe d'égale intensité réelle du reflel.

On aura donc ainsi, sur la surface du corps A, une suite de courbes (, f!, (",.•• d'éigale ioiensité réelle de reflsL

liais comaie le corps A est aperçu par le spectateur eu supposast q«e son eeit soit placé en un certain point o fixe de position dans Tespaee , les coiBirbes | , V, (",«.. ne seront phis vues par Toetil placé en o, coainie étant cfeMine d'égale intensité, *

n faudra donc résoudre le second probléaBe et chereher pour ebteune dé céi courbes ^, l', {^,... les points pour lesquels les droites menées de chacun d'eux à l'œil du spectateur, font avec la surface A un même angle 6; alors tous ces points étant unis par une courbe X^ on aura, en cette courbe X, une courbe d'égale intensité apparente de reflet sur le corps A*

On pourra delà même manière se procurer une suite de courbes l, X^ X'V«- ^t Ton aura divisé le reflet en bandes, chacune étant d'égale intensité , et l'intensité variant de bande à bande {*).

Prenons pour exemple la projection verticale de la niche, sur laquelle, après avoir déterminé les omêuns j nons mms proposerons de déterminer le reflet.

La niche est terminée inférieurement par Wù plan demi-circulaire , ce plan réfléchit les rayons lumineux snrie cylinÂre omcanre qui termine verticalement la n^iie^ et tous 4m njomB réfiéduaserant paraUèles astre eui; Il est érident^qoe les rayons réflécUspar l'arête eoctnème du plan qui fiomae le sol, cette arête étant le dianitra^ii demi^eerele plan, il est évident, dis^e, que ces rayons fornent un plan dblique qui coupera le cylindn cneux stttnnt une ellipse £ qui sera Ja limite durait L% reflet s'exeroenici sur la partie édbîrée de la niche ^ car aucun rayon réfléchi n'ira frapper la partie qui est dans l'ombro; ie reflet sera .donc tei^ miné d'une part i Tombre portôa ynr ie jBylnulfevre»^ par Taréte wrticaieet saillante de la niche et par une portion deTeUipse £. Leneflet s>ivèlBdonc à Tombre portée et ne pénétre pas dans l'ombre.

(*) Les conslruclions graphiques à eiëcater seront précisémenl celles que nous avons nidiqûées dans les Développements de géométrie deecriptive, chap. lU, p. 4 93, lorsque nous avons cherché à déterminer sur un corps les lignes d'égale teinte , soit réelle , soit apparente.

U est enoore évident que « Fou mène an plan X vertiei4 et parallèle an nyon dé lumière^ U coopéra le cylindi^e creax suivant une génératrice droite et yerticale G et que tons les rayons refléchis situés dans ce plan X feront avec la siir&ce cy Kn** drique le même angle en chacmi des points où cette droite G se trouvera frappée par un rayon réfléchi. • ...

Dés lors, il est évident que tontes .les lignes d'égale intensité réelle de rejpet seront des droites verticales , des génératrices du cylindre creux.

Cela dit ;

Comme nous su(^[)osons l'œil du spectateur placé à Finfini sur une perpendi-* culaire au plan vertical de projection ^ il s'misuivra que toutes les lignes d'^ale intensité apparente de nfiei seront encore des génératrices droites du cylindre.

Mais si Ton ié^it une perspective ombrée de la niche , si dés lors on supposait f œil du spectateur situé à distance finie ^ alors les lignes d'égale intensité apparente de r^et seraient évidemment des courbes.

ÉNONCÉS DE DIVERS PROBLÈMES d'oMBRB*

En 1818 , alors que j*éuis attaché à Tétat-major de l'École d'application de Metz, comme lieutenant d'artillerie et professeur^adjoint pour les sciences mathé* matiques , je fus chargé de réviser les anciens programmes du problème d'ombre que . les élèves sous^lieutenants de l'artillerie ei du génie devaient résoudre , comme premier travail, à leur entrée à l'École (^).

C'est un extrait de ce travail que je donne ici comme tpéàmen* Les professeurs de géométrie descriptive pourront facilement augmenter Je nombre des probléoiœ, en choisissant leurs exemples dans les applications journalières que leurs élèves rencontreront plus tard dans leurs travaux d'ingénieur.

<*) Voir ci-deVani la tiote air bas de la page 424 ( mémoire n* 40),

. ' iNOKCÉS DB CmQUÀ>rrB PROBLàMBS d'ombrb (*).