VII
2* EXEMPLE. Ombre d'un tronc de cône droit éclairé par un rayon de lumière.
Concevons le cône ayant son axe A^ de rotation , vertical (Jig. 7); sa base sur le plan horizontal sera un cercle B. Supposons que. ce cône soit coupé par un plan P perpendiculaire au plan vertical de projection, nous aurons une ellipse. E.
Le cône pourra donc être considéré comme étant une surface développable engendrée par un plan roulant langentieliement sur les courbes B et E. Supposons que ce tronc conique est éclairé par un rayon de lumière L, et appliquons la théorie générale pour déterminer la ligne de séparation d'ombre et de lumière.
Par la courbe E nous ferons passer un cylindre A ayant ses génératrices parallèles à la droite L, nous couperons ce cylindre A par le plan horizontal de ^gf éjection, et nous aurons Tellipse E'.
Cela fait :
Nous mènerons aux deux courbes B et E^ une tangente commune H^ qui touchera la courbe B en i et la courbe E' en y.
Menant par le point y une parallèle au rayon L, elle viendra couper la courbe E en un point Xj et joignant les points i et x, on aura la ligne de séparation d'ombre et de lumière sur le tronc conique.
Il existe une seconde tangente commune H® qui donne une seconde ligne de séparation d'ombre et de lumière.
Et Ton voit que par cette méthode on détermine en même temps Tombre portée par le tronc conique sur le plan horizontal de projection.
DÉTERMINER LA LIGNE DE SÉPARATION b'oMBRE ET DE LUMIÈRE SUR UN CONOIDB (^)«
Supposons que le conoïdesoit donné: l"" par une directrice droite K perpendiculaire au plan vertical de projection, 2"" par une directrice courbe B tracée sur le plan horizontal, et que le plan vertical de projection soit le plan directeur de se^ diverses génératrices droites (fig, 1).
Cela posé : •
Concevons un rayon lumineux L et cherchons la ligne de séparation d'ombre et de lumière sur la surface conoîde.
Menons par un point x de la droite K un rayon L de lumière et la génératrice droite G de la surface conoîde.
Le rayon L percera le plan horizontal au point b et la génératrice G le percera en un point a de la courbe B.
Faisant passer un plan P par les droites L et G, ce plan touchera la surface conoîde en un point y situé sur la droite G et qui appartiendra à la courbe de séparation d'ombre et de lumière demandée.
Pour déterminer ce point y, il faudra donc remplacer le conoîde par un para^ boloide de raccordement qui lui soit tangent tout le long de sa génératrice G ; or, le paraboloîde le plus simple à employer est évidemment, ici, celui qui sera engendré par la droite G se mouvant parallèlement au plan vertical de projection, en s'appuyant sur la droite K et sur la droite K, menée tangentiellement au point à, à la courbé B.
La droite ab sera H^ coupant la ligne de terre LT au point o.
La droite K, sera la trace horizontale du paraboloîde 2, et sa trace verticale sera la droite G. qui unit les points s et K^.
Le plan P coupera le paraboloîde 1 suivant une génératrice du second système ayant le plan horizontal pour plan directeur.
Cette génératrice K' ( du second système ) étant déterminée , elle coupera la génératrice G (du premier système) en un point^y qui sera le point demandé. Or , pour déterminer K' , il fout connaître V : construisons donc cette trace
(*) J'ai rédigé ce petit mémoire , d'après mes notes et des croquis exécatés à Metz en 4 8S0.
▼erticale du^Ian P. Pour cela, menons par le point x une droHe D hcrizoniale du plan P, et coupant le plan \ertical au point rf, la droite od ne sera autre que Y% et remarquons que V eât'parallèleè hiidroite G^.
La trace Y' coupera la droite G, trace verticale du paraboloide 2 en an point p; m doac on mène fw « ponc^ qi toMi BB i fto 'M^ pMtlWlê h ta K|[iie 4e 4erre, et m Ton unit les points p* et r (en lesquels les droites K^ et K, se coupent), on aura K'*.
Les droites G et K' se couperont au point y demandé.
Nota. Comme la droite K' est la génératrice du second système du paralloloîdè Z, elle est horizontale 3 étant dans le plan P^ elle est alors une horizontale de ce plan ; il faudra donc, et ce sera une vérification, que les droites K'^ et H^se trouvent par<nlléles.
On pourra donc se procurer autant de points y.... que Ton voudra et appartenant à la courbe de séparation d'ombre et de lumièreet, cela, par une construction très-simple , car, en déGnilive , elle se réduira : i* à mener H' par les points a et 6 ; 2* à mener la droite K'^par le point r et parallèlement à la droite H'; S"" à déterminer le point ^ interjection des droites K'^ et G'^, et par suite on aura y^ sur G^.
Appliquons ce qui précède à un exemple particulier, le conoide ordinaire, par exemple, et construisons complètement et en tous ses détails la ligne de séparation d'ombre et de lumière en considérant les deux nappes de cette surface conoïde, et discutons les diverses formes que cette courbe prendra , suivant l'inclinaison du rayon de lumière par rapport au plan horizontal.
Nous voyons , par ce qui a été dit an "§ I (cî-dessns) , que Ton pouvait déterminer la projection horizontale de la ligne de séparation d'ombre et de lumière sur un conoide éclairé par «n rayon lumineux , sans avoir besoin de s'inquiéter de la projection verticale de celte ligne.
Dès lors (fig. 2 ) , étant donné un conoide dont la ligne de striction K est perpendiculaire au plan vertical , et dont la base sur le plan horizontal est un cercle B ayant son centre sur la droite K*, î! sera facile, en appliquant la construction ^«érale, de trouver les projections des tiranehes 3, S,,d\ S,' de la ligne de séparfttioii «d'ombre et de iuanène»
Dans la (Ig. il , «eus supposcms que 4e tayoti fie lumière glissant t\xt ladwhe Kde striction, engendre un {>iaa iij 4oni 4es ivMes eeM A^-ei VS 44petft^demmentarriver jplusieurs c£^s.
pmmtm cas. Let inmë M^ ampmi h terdh t^.
Si , comme dans là ffg. 2, la trace GP' coupe te cercle B en Tes points b' et b\ alors la ligne de séparation d*ofliiM e¥ de li}irtiéfe> M^'foriiie indiqQfe, f^n projeef ion horisoncale et ventèalb , par cetfe l^ufè. . ;
Discutons les particflAarités de cette forme de <$o<H*be«
Il est évident qme ta eonrbe passe par te point m, ettrémftè ée la droite K, point m pSF lenfoel passe rnie génératrioe 6 du cofloMe , laqtfeRe ^énérartriee €r est terlieale.
La coQStrtietMm gratphiqoe ooas montra ^é t^ bi^Mhe j^ coupe la droite H* en un point x"" qui est sur la projection G^ 4e la'généirafrice G' du oonoide |^s« saut par le point 6', en lequel le cerek h ( base bomontale du cofioiée) ost coupé par H% trace horizontale do plan hmimeux possMt par kl droite H de strvetioo.
La Kgne de séparation d'ombre et de tnmière se projetle lioriMAtateinent stfi^ iFMit deux bnmebes séparées , oflhmt chaenae un point de robroussement , sarfoîr^ l'une an point «\ et Fauire au point m'^.
Le diamètre du cercle B parallèle à la ligne de terre LT, ou mieux, perpendi* culaire à la droite K\ est une asymptote commune aux deux brancbes. Bn sorte que les projections de la courbe de séparation d^ombre ei de Imidre offrent les formes indiquées par la fig« 2, et qu'en projection vwiicafe on optaient deux noauds tangents en M* ou ai^aux droites G" et G'*"; et que les l>ranches infinies ont four asymptotes les droites G^'' etG'"% dont les pieds ou traces horizontales sont en 6^ et 6''' sur le corcle B.
Si Ton suppose que l'on ne considère » co projection horizontale ^ que la nappe inférieure du conoïde, la fig. â indique^ dans le cas examiné ci-dessus, la forme de Tombre, Et Ton doit/emarquer que la courbe ^ ne sera li^e de séparation d'ombre et de lumière que pour la face inlerne du conoîde, et non pour la face externe, puisque le cylindre lumineux langent au conoîde suivant Tare de la courbe d projetée en ^, couperait le plan horizontal suivant une courbe intérieure au cercle B.
Cas particulier* La trace H* nétani autre que le diamètre fL du cercle B.
Dans ce cas, le raijon lumineux est oblique au plan horizontal, et il est situé dans un plan vertical perpendiculaire au plan vertical de projection. Dans ce cas^ les Qg. 4 et Syndiquent la forme que 4)rBnnent les projections horizontales delà ligne de séparation d'ombre et de lumière. Les doux boucles disparaissent dans la projection verticale*. Les brancftes y et î* sont superposables entre elles , arnsi que les branche^ ^'•«f 3"^, ef cela en pliartt Tépure sufvawt la droite G*, car ces quatre courbes sootiangeotes en nTi celle droite vertîcafe G*.
Mais les branches d, d, et d', d/ sont di£Gàrentes entre elles j elles ne sont pas superposables ; cela n'aura lieu que lorsque le rayon lumineux sera TerticaL
Deuxième cas. La' trace H^ étant tangente au cercle B.
Si l'on applique dans ce cas la construction graphique, on verra de suite que la ligne de séparation d'ombre et de lumière se trouve composée d'une seule branche ayant pour asymptote les génératrices droites G^'' et G' du conoîde.
La fig. 6 indique la forme des projections horizontale et verticale de la courbe ; mais, dans ce cas tout particulier, il existe une seconde ligne de séparation d'ombre et de lumière, soit sur sa nappe inférieure, soit sur sa nappe supérieure, et qui est la génératrice G''' du conoide.
Et en effet, le plan lumineux qui passe par la droite de striction K est tangent au conoîde suivant cette génératrice G"\ parce que l'on sait que la surface conoîde est développable tout le long de cette génératrice G''^ qui est toute particulière , puisque le paraboloîde de raccordement , mené suivant cette génératrice , n'est autre qu'un plan, n'est autre que le plan (G''', K), c'est-à-dire le plan lumineux lui-même.
La fig. 7 donne l'ombre complète sur la projection horizontale da conoîde, en ne considérant que sa nappe inférieure.
Troisièhe cas. La trace H° ne coupant pas le cercle B.
Ijd fig. 8 indique la forme des projections horizontale et verticale de la ligne de séparation d'ombre et de lumière, et la fig. 9 donne l'ombre de la projection horizontale du conoide , en ne considérant que sa nappe inférieure.
Cas particulier. La trace H* peut être située à Vinfini.
Dans ce cas, le rayon lumineux est horizontal, et la fig. 10 nous donne la forme des projections horizontale et verticale de la ligne de séparation d'ombre et de lumière. Cette courbe est composée de deux branches qui sont chacune symétriques par rapport au plan horizontal passant par la droite K de striction, en sorte que les arcs 3 et 3,, 3' et 3/ de chaque branche se projettent horizontalement suivant un arc d'une même courbe, arc qui s'arrête pour Tune des projections horizontales au point m\ et pour l'autre au point m'\
La fig. H est dans ce cas identique à la fig. 10.
Dans ce qui précède, nous avons donné la construction de la ligne de séparation d'ombre et de lumière sur la surface conoîde ; mais il nous reste à rechercher si cette surface ne peut pas, dans certains cas , porter ombre sur elle<-même.
Il est évideDt que la ligne de stricUon K seule peut porter omtxf e sur la surface cottoide, lorgne Ton ne considère que la nappe inférieure 4e la surfat^ (cçmme, par exemple , lorsque Ton aurait à considérer un tait de forme conoide).
Ce n'est que dans les cas représenta par les fig. 3 et 7, que la droite K de striction pourra porter une ombre ^)parente sur la surface de la nappe inférieure 4u conoïde. Ce que je viens de dire sera évident^ lorsque nous aurons démontré qile la tangente aux points m^ et m'^ de la projectioi^horizontale de la ligne de sépa^ration d'ombre et de lumière est parallèle à la projection horizontale du rayon lumineux. ""
Construction de la tangente au point de rebroussement de la projection horizontale de la
ligne de séparation d'ombre et de lumière.
Si Ton considère le point m de la ligne de striction K {fig. 12), et que l'on, prenne sur le cercle B, base du conoïde, un point 9' infiniment voisin du point' m* lequel est en même temps le point 17, trace horizontale de la génératrice vertigaèe G du conoïde, on voit que la génératrice G^ successive de G, passera par le point m 9 parce que Ton sait que le cône quia pour sommet le point m , et pour base le cercle B, est osculateur au conoide tout le long de la génératrice droite G, suivant laquelle il est développable , suivant laquelle il a une courbure conique^
Il faudra donc, pour construire le point successif de m sur la ligne dm séparation d'ombre et de lumière, faire la construction suivante': i"* mener par le point m^ une parallèle à L*et rencontrant la trace H^ au point a; S*" unir le pfliiJ^ g et le point a^ d"" mener en g une tangente au cercle B ; or , puisque le point g est le point successif et infiniment voisin du point 9, cette tangente tte sera autre
que l'élément rectitigne gg du cercle B, lequel coupera la droite K* au point m* ou g. Et enfin, 4* par le point m^Ou g^ il faudra mener une droite parai^le à la droite ga^ et coupant gg^ projection horizontale de la génératrice G^ au point m* lui-même. En sorte que pour ce point m, que nous retrouvons sur la généra^ trice G' successive de G, le plan tangent au conoïde, et qui est parallèle au rayon lumineux , aura pour trace horizontale la droite y'a, qui n'est autre que ga^ puisque les points g tig sont successifs et infiniment voisins. Le plan tangent au conoïde et au cylindre lumineux est donc vertical pour ce point mf par consé(iuent la tangente au point m de la courbe de séparation d'ombre et de lumf&rc se pro* jette horizontalement suivant une parallèle à la projection horizontale du rayon lumineux.
D'après ce qui précède , il est évident que si , dans les fig. 3 et 7, on mène par le point m* une parallèle à L^ projection du rayon de lumière, cette parallèle lais-
s^ca en.enliw^à§mefa%d''icMevfaii coatbejS^ ;- dès tors ilesli évidnn qm; cburots deiuLcafi.» I^Jî^m dbaimfcîâft K portera une onbre apiMneate* 8m(dfl*iiapp0<îfl(^ férieure du conuîdey .
JSoiis.allonS'liiiiilia^lat forme de. cette on bre portée , qfoi ne pourrai èlra iqjpftrenl&y d'après ce qm précède, que dan^ie cas où ]fk trace hori20oialeiP'd« plMr lottineuK^ passant pat: ku droite K^ coupera) ou touchera^ le ceiK^le* B^ baoe* du cûAûide.
5 IV
L La traça E? coufiani le cercU 1k .
La droite L* menée par le point m^ parallèlement à la projection horizontale du rayon de lumière, pourra. couper la génératriee du Gonoide* située dansie plan Q* en ua point <|ui peut avoir toot» positions : oa 1* être dans riotérieor du.q^rcle B, et ainsi en ^ (fig, 13) ; ou 2? sur le oercl&B, etaion ai b {fig. i4) ^r ou 3"" hors du cercle B, comme fig:.. 15»,
Les figures désignées montrent la forme de Fombre en ehacande'cesttroisoas, soit l'ombre poatée sur le plan horizontal^ soit fooilire' sur le coaoide. Mais il est nécessaire de donaer quelques explications.
U est éwienx que si , d'un point d'une siurrace > on mène une parallèle au rayon de lumière , et que cette parallèle étant prolongée ne rencontre pas la surface enune, partie opposée à la direction du rayon lumineux , ce point sera éclairé; (^au contraire il sera dans l'ombre, si le rayon lumineux qui vient le frapper a dû , au préalable , traverser une partie de la surface.
Or si nous menons par la génératrice verticale G, qui passe par le point m^ un plaii# vertidhl cl parallèle au rayon de lumière , il aura pour trace sur le plan horizontal la droite L* dans les iig. 13, 14 et 15 j et ce pian coupera le conoîde suivant une courbe projetée horizontalement suivant la «droite iii\. Or, il est évident que tous les points de cette courbe seront au-dessous du rayon lumineux qui , passant par le point m, vient perder le conoîde en un point projeté horizontalement enç.
Par conséquent 9 tpus les points de cette courbe seront dans l'ombre; car si de chacun d'eux on mène des parallèles au rayon lumineux, elles viendront toutes couper la droite Gendes points situés au*dessous du point m ; mais si, de chacun des points du conoîde projetés dans l'intérieur du triangle mixtiligne qbmr, on mène des parallèles au. roj^oit lumineux, aucune délies ne rencontrero les .génératrices du conoîde qui. précèdent celle passant par le^point considéré; chacun des
points de cette partie de la surface sera directement frappé par on rayon de lumière.
IL La trace IP tangente au cercle B,
Les fig. I6.9 17 et iS dosiDont tous fes cas qui peuvent se présenter, selon la direction donnée à la proîeciion horizoniale du noryos lumineux.
