Pile de cinq bauteiê

On placera quatre boulets sur le plan horizontal, de manière que les centres soient les sommets dès quatre angles d'un carré. On pourra placer parallèlement au plan vertical ou l'un des côtés , ou la diagonale du carré. Le cinquième boulet sera posé sur les quatre premiers formant la base de la pile.

l"" Desnn. On déterminera les lignes de séparation d'ombre et de lumière sur chaque boulet , les contours des ombres portées par les boulets les uns sur les autres , et de tout le système sur le nlan horizontal. On déterminera la position des points brillants.

Le rayon de lumière sera la diagonale d'un cube,

2"" Mémoire. On décrira les constructions employées pour la détermination des lignes de séparation d'ombre et de lumière, pour celle des contours des ombres portées et pour les points brillantSt On démontrera l'exactitude des méthodes graphiques employées.

On discutera le lavis , expliquant comment l'on doit combiner les clairs , demiteintes et teintes fortes pour produire le relief,

i2.Niehedf&Ue..

La niche P9,u;:ra être sphérique ou formée par un quart d'ellipsoïde dont le grand axe sera horizontal s^nsi que le plus petit , si l'ellipsoïde n'est pas de révolution ; on pourra*', si Ton veut , prendre un ellipsoïde de révolution , l'axe de révolution étant vertical et le grand axe de Tellipse méridienne étant horizontal.

1* Dessin. Oui déterminera rond>re portée par la niche sur elle-même j la position des points et arêtes brillantes.

Le rayon de lumière sera quelconque.

2"" Mémoire. On * expliquera les méthodes graphiques employées pour k construction de Tombre portée et des points brillants. On examinera ce que serait Fombre portée, dans le cas où le rayon de lumière serait la diagonale d'un cube. On expliquera comment on peut déterminer d'une manière précise les points de raccordement des trois lignes qui composent le contour de Tombre portée.

L'on discutera le lavis , expliquant la combinaison à feire des clairs , demiteintes et teintes fortes pour produire le relief. L'on reconnaîtra la position et la limite des reJlets.

i3. iVtcft^ rampante.

La niche rampante se déduira de la niche droite sphérique ou ellipsoïdale, en coupant tout le système par une suite de plans horizontaux que l'on fera tourner ( autour de leurs intersections , avec le plan qui partage la niche droite en deux parties symétriques) jusqu'à ce qu'ils deviennent parallèles au plan de la rampe.

La surface composée par ces nouvelles courbes sera celle de la niche rampante.

1* De$m. On déterminera l'ombre portée de la niche sur elle-^mème. Les arêtes brillantes et points brillants.

Le rayon lumineux sera la diagonale d'un cube.

2"" Ménrnre. On expliquera les méthodes graphiques employées pour la construction des contours de l'ombre portée , et pour la détermination des points et arêtes brillantes.

On reconnaîtra la nature de la surface de la niche rampante.

On discutera le lavis , expliquant la combinaison que l'on doit faire des clairs, demi-teintes et teintes fortes pour produire le relief. On recherchera la position et la limite des reflets.

^ 14. Ellipsaide non de révolution^

On placera l'ellipsoïde comme on voudra par rapport aux plans des pro* jections.

V Dessin. On déterminera la ligne de séparation d'ombre et de lumière et le point brillant y soit dans la projection horizontale » soit dans la projection verticale, et l'ombre portée sur le plan horiiontal.

Le rayon de lumière sera la diagonale .£ttB.caii0*

Sr Jlématre* On expEiywca les méUiodes gmphk|fiai eiqgk^pées-^ fKiur. b «onalructioA du point bnll^nt #t: de la ligne dit sépacntinn d^ombre et d^ biAMàr^^, eT du contour de f ombre portée.

On discutera le lavia^; expli^pnnl Is^C4Mnbina«Mn'de».cIiiîr$véeiBi4eH)tes et teiniese for les, j^mik prodttke le relief*

ilVRE n.

mVKATim UE U GtOMÈraiE MBCRIPTIVB A LA PERfiffiCmV.

Avant que Monge ne publiât soq Traité de géométrie desorjptiva.» U existait divers traités de perspective dont plusieurs sont très-anciens* I^ méthode employée était celle dite : des points de concours*

Les anciens géomètres, au moyen de celte méthode, exécutaient k perspective des lignes droites ou courbes, et des points intersection de ces lignes; mais ils ne savaient pas déterminer la perspective d'une surface^ car ils ne copnaisaaiânt pas la propriété remarquable dont jouit le plan tangent en up point d'une surface , savoir : de contenir les tangentes aux diverses courbes qgi.^ tracées sur 49 surface, se croisent au point considéré comme point de contnct.

De plus^ lorsque plus tard cette propriété du plan tangent fut démontrée pour ^ la première fois, ai cela par VanalysCj les méthodes graphiques que connaissaient, alors ; les géomètres , n^étaient p:)s assez perfectionnéi^3 pour leur p^^r-r mettre de construire le contour apparent d*une surface, et par suite la perspective de ce t te s urf o o e, ^n-petit donc dire, avec raison l que ta perspective doit son développement le pliisesMOtiel i lu g»fnélr te descriptive ; «ti'on doit ajouftr, que Ton croit être dans le vrai , en disant que la géométrie descriptive elle-même n'a été fécondé, qu'en vertu de la propriété dont jouit le phnUageoteo Ufi pOMl d'une surface, et parce qu'elle a su déiennîner , construire et écrire y ce pian tangent (*) •

Ce second livre ne se compose que de deux mémoires, Tun de Mong^f qui inédit et que je donne éemUkelbmna^ e^r jI est des ouvrages que Ton doit respecter,

(*) ll«is<« lonMin'ii « ésrtiioii ouarst^ me la géoméirM dMcHpUiw , ouvrage qnll n*a point intîtolé : Ttmké , main aMkment jRro^aaMN^ ^ §4ométriê éêêsHpUtê , eomposé de 46S pnges qu'on no peut se \:\s>CT de lire, cnr à cha^Mt page un ératuve daë gorpo^a fécuiider, Mongb n'a iwtf songé a démontrer que : i€fia%q%i tftimoU(P^Js04mf l(Mi#naet ea mu a^mVtu fiù se moiMUemiidsÊtœsoÊÊtrèês C et C ira^fs sur une surface , *contenail les tangentes à timtes tes courlis qui^ tracées sur la même sitrfaee , ]M#« soient par ce point m. IIongb a iidmis , en un nai^ ]aj>n^riété dont juiiH le plan langent en un point d'une suifiice , propriété qui n*élait encore démontiée que |iar Vanatyse , et il s'en est servi pour

ot d'ailleurs on doit être heureux de pouvoir connaître d'une manière précise non-seulement les idées , mais encore la manière de les présenter^ du fondateur d'une science.

La méthode exposée par Monge était inconnue des anciens géomètres, et on comprendra sans peine que cela doit être, ptiisque cette méthode permet de' construire graplàquement le contour apparent d'une surface.

On n'a pas , je crois , bien compris tout ce qu'il y avait d'ingénieux dans cette méthode, et surtout on n'a pas compris combien cette méthode était générale, et surtout qu'elle était d'une exécution aussi facile que celle des points de concours, pour mettre en perspective des lignes et des points] et je suis porté à exprimer l'opinion que je viens d'émettre , en regardant l'épure de la perspective du piédouche qui fait partie de la collection des èpurei^ gravées de l'École polytechnique, rcttc épure est disposée de telle manière que la méthode donnée par Monge n'y apparaît pas d'une manière nette, j'oserai dire qu'on ne peut guère Ty retrouver.

Ce que je dis ici sera évident , je crois; lorsque Ton aura lu ce que j'ai écrit à ce sujet dans le second mémoire qui termine ce second livre.

Hachette a publié quelques pages dans la Correspondance de l'École {*) polytechnique, sur la méthode des points de concours, pour montrer, \l)k dit luimême, comment la perspective est une application de la géométrie descriptive.

Ce que ce savant^ ami do Monge , à écrit sur ce sujet est loin d'être complet ; j'ai donc cru qu'il ne serait pas sans utilité de reprendre le même sujet et de le traiter h ma manière ;Vest ce que j'ai fait dans le i^econd mémoire, qui a pour titre: De ta perspective considérée comme une des applications de la géométrie descriptive.

chet^es graphiques ultérieures. Mais une science ne peut en efet être considérée comme êdenee, qu^aiitanl-que ses bases sont établies d'une manière rigoureuse » et en vertu de principes , ou axiomes , qui découlent de Tessence de cette science elle-môme , et sans avoir besoin de s'appuyer sur des bases qui lui sont étrangères. La science des projections, ou , en d*aûtreâ termes, la géométrie descriptive ne doit rien emprunter à Vanalyge^ ni à la géométrie des anciens quand il. s'agit de ses bases fondamentales ; elle doit dès lors tout demander auprincipe des projectiam. Frappé de cette idée, que je crois exacte et vraie, j'ai cherché à démontrer la propriété dont jouit le plan tangent , et cela directement , en ne m'appuyant que sur la génération des surfaces, telle qu^elle doit être entendue en géométrie descriptive. Cest alors que j'ai donné la démonstration publiée dans les Dé9$lappemenU de çéaméMe descriptive, chap. VII , page 396. Je crois ne point me tromper, en disant que cette démonstration est rigoureuse et tout à fait dans l'esprit de la géométrie descriptive.

M. Foliée, auteur d'un Traité de géométrie descriptive estimé , a reculé devant la difficulté ; il a admis pour les surfaces le polyèdre infinitésimal , comme on admet le polygone infinitésimal pour les couriws. Pourquoi deux axiomes, quand un seul , celui dtt polygone infinitésimal, peut suffire?

(*) Voyez la Correspondance de r École pt^eehnique , rédigée par lUGfiffrrB^, tome I, p. 3<t (année 4 807 )«

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— lei —

(MÉBOUB UfÉDIT.) (*) BC LA PERSPECTIVE EN GÉNÉRAL.

1* La perspective est Tari de représenter, sur une surface donnée y des objets donnés tels qu'ils paraissent étant vu^*suivant des conditions données^ c'est-àdire que comme la lumière pent venir des objets à votre œil de trois manières différentes, ou directement, ou après avoir été réfléchie par des miroirs, ou enfin réfractée par les surfaces des différents milieux au travers desquels elle peut avoir été obligée de passer ; ia perspective doit renfermer trois parties , dont chacune donne la méthode de représenter les objets suivant Tune de ces conditions, La première peut s'appeler perspective directe; la seconde, perspective par réflexion; et la troisième y perspective par réfraction. Nous tâcherons de satisfaire a la généralité de cette définition.^ Commençons par le premier cas (^^).

Perspective directe,

V On sait que, dans un milien libre ou uniformément dense, la lumière se propage toujours en ligne droite; que nous ne nous apercevons de la présence et de

(*) Ce mémoire est de G. Monge, il provient de la bibliothèque de PÉcoIe de Mézières. Dans la collection des manuscrits de VÉCoIe d^application de Metz , il est coté': carton n* 4, pièce n*» 10. Ce mémoire, que nous publions ici textuellement pour la première fois, fut écrit à Mézières en 47S5.

(**) Extrait de Ta Perspective de /?o^tiI< (Œuvres posthumes, 4 682 ] :

La perspective est un art qui nous apprend à représenter les objets visibles comme ils nons paraissent ; c'est-à-dire un art qui nous apprend à tracer certains linéaments qui paraissent à nos yeux comme les objets mêmes nous peroîssent.

Ces objets peuvent être vous en trois différentes manières , savoir : ou par une velie directe , ou par réflexion , on par réfraction ; par une velie directe , comme sont vens communément tons les objets que l'on regarde \ par réflexion, comme le sont ceux que Ton voit par le moyen d'un miroir \ et par réfraction, comme le sont ceux que Ton voit au travers de quelque corps transparent, comme au travers de Teau > ou du verre.

Bt de là naissent trois parties de la perspective prise en général, sçavoir : la perspective, la catoptrique^ ei la dioptrique.

La première , qui retient le nom de perspective , nous apprend à représenter les objets qui sont veu5 d'une velie directe , et rend raison de leurs apparences.

La catoptriqne nous enseigne de quelle manière les objets peuvent être veus par réflexion, et nous en explique les causes.

fit la dioptrique nous montre <X>mmeQt le sont ceux qui sont veus par réfraction. C*est de la première dont f entreprends icy de MHtt. T. 0.

SI

la Cgure des objets que par des faisceaux de lumière envoyés ou r^écbis par diacun des points de leur surface visible ^ et qui , en entrant dans Tœil , subissent des lois qui les mettent en état d'agir distinctement sur l'organe de la vision , et de donner à Tâme Tidée de la conteur, de la graadeur, de la distance, etc., des objets d'où ils sont partis ; que chacun de ces faisceaux est un cône de lumière dont le sommet est au point d'énûssmn et dont la baae est afipuyée sur la prunelle de l'œil ; qu'enfin, lorsque les objets ne sont pas bien proches, les rayons qui comynenl ni^ fyiaaeau peuvent être regardés oomnie MnsiUemeiit parallèies mtre eux , et môme (eu égard à la petilease de Jla prunelle de l'neîl ).cMQiiBe confiiMMhis avec leur axe et ne faisant plus qu*one ligne droite avee lai : daasjBe^ena, il part de chaque point visible d'un o^t^et vvn rayon jde JuiBiere.qiii atrive «n ligne droite ài'œil , et l'asseaiblage de tous ees rayons forme une pyramide de ktinién , éoiui le sommet est au eentre de la pruneUe et dont h 'base est appayée sur les objets exposés à la vue..

^"CeJap^sé : seît (jE^.^) ABCJ)le pbn ouia|>rofealiatt.horîzenla)ed'un parailélipipéde qaeioattqwB qai poiaie ékm vu aaw «abalaefe far on ceil [dacé dans-on point donné projeté, pàt eaaa^e, an point Ë. Soient AE, BE, G£, «te., les projections des rayons qui, partis chacun des angles du parallélipipéde, aboutissent au centre de la prunelle etlSsmam ta -pyramide de lumière dont nous venons de parler; j'imagine ensuite que cette jpyramide. soit obligée, pour arriver à l'œil , de traverser une surface quelconque diaphane que, pour plus de sijnplicité, je supposerai d'abord plane, verticale et représentée aujplan j>ar FG; et concevons que chaqua rayon qui la compose, en^e tamisant au travers de cette surface, teij^ne le point par lequel il passe de la.eouleQr do .point de PobJQtd'oû il est parti.

II est clair que l'assemblage de tous ces petits points colorés formera unxableau que l'œil placé au point £ ne distinguera pas de l'objet^xn^na^j ixt gui ^era .par canaéqiMnt sa p ers pec tive vue du point E.

A^ La perspective d'un ol^et donné, peut donc &tre considérée comme la cojupe ou la section «d'une pyr^unide donnée tpar-iiuaeiSHrfeoe <qnelQQii<|iiB«iasi4 Mia ié > ide natare et de position ; et eette surface est cette en i&Meau sur lequel se doit dessiner la perspective.

6'' ttAoit«ii6i#e ide Jà ^fiie Ja perapeotive du eo>Kips ABdO^samraafennae.dans les limites /9, et que les différenis points/, a,b,g seront la projection des points du tableau , sous lesquels sont vus du jDoint JE les^oinls .correspondants de Tot)}^.

A"" fisÂtManéeianr/ÇG^ShperpwdieidakBe EU i}UJ., mmmruid iardiatance de Toril au tableau, s'appellera rayon principal; et concevons quç le point il soit la .projection d'une verticale tracée sur le tableau , qui , élant|^aiuCAn3équent coanueide

positioa , soit im tepme de comparaison auquel bous rapportions les différents points/, ajtjf, etc., et senre St distinguer, parmi les dimensions horizontales de h perspeetTfe , eelles qm senti A*oi!e et celles qui sont à gauche ; tiest clarr que chacun des points- dé là peiPspectiVe se trouvera sur le tableau éloigné de la verticale que nous venons d'imaginer, d'une quantité égale à la distance de sa projection au point If. Pap exemple, te point B mis en persp^ive sera â droite de la vertieale et éloigné d^eile d^une quantité égale i/H ; il en est delnême de tousles autres points. Cependant cela ne suffit pa3 peur les déterminer, il faudrait connaître la position de chacun d'eux à une autre ligne connue de position; c'està-dire que nous avons tontes les dimensions horizontales de Tobjet , en les rap* portant à une verticale dont on connaît la situation; chercluons donc toutes les dimensions verticales et rapportona-les à^une barÎMnCale connue, et il «erafiidile^ par la comparaison des unes avec les autres, de lesr iMttve en perspective; pour cela s £àisons une élévation ou une projection verticale dctoot ce que nous avons projeté au plan.

V Parmi l'infinité d'élévations qu'on pourrait feir&, choisîssoos, pour la plos grande commodité et pour des raisons que nous verrons iians.b suite, ont le dans laquelle le tableau est rcfiréMPté |Mr une seule Hgm» de terre el par conséquent perpemtieulaire à FG.

Sort donc IKLtf l'élévulion dii parallélipipéde, NO cdJè du tablea«, et P oelle de l'œil. De tous les points visibles de l'objet, menons au point P des droites IP, KP> e(e»,i qui Pepréaenleiit eoi élévation ka mêmes rayons de lonière que les droites A&, .BE^'^« repréeentent au plan.» €ela posé, faisons encore le même raLsaonenent. que nous, yemms de: faire» ei eensidârons que les points I , K ,./, m^ etx;. d'iatersection de œs^droîles avee 1% ligne NO soat, en élàiatioo, les points dû tableau sono let^piels Vmi plftc6«» P loît les pointa eorresfkondants de l'objet, eique U perspective du corps IKLM se ttouw renfetwée entre les limites tm; si dcgcMx nott^ meMn^i de «aêipe qii'au pba^ he rajroaprtKcipal PO perpendiculaire àaOy, dsi nouai cpMoveia mr h tableau une horiMtttale passant por le point Q, celte ligne cosMae da poskioa anra un nouveau terme At comparaisen auquel nous rapporterons les différente pointa i, ii, I, m, eiew, et servira à ébslinguer; parmi les dinansioas wtiealea ^ eeUes qui sont supérieures d'avec les inférieures, de nuuMce queda disiiAee doetoquo point de k pMspectîve kim ligne horiaMtak que noua, venaud'imigttiersma égale à L'inteniaUe ooa^ms estre lepainl Qet la projection de ee|K>HM[:à l'élâwtien; pa» esDeaipie, lepaâot K mis ea |Mrspec« ti ve %ara au-deoMaa d^ l'horianatak etéAaigM d'eilo de ki qmnctté KQ.

&' Ceeîb»siaQ»tenAi^ nanaiiâiiianl les. <teatances do tous hs points dvla pen» spective à deux droites données sur le tableau » l'ime iwrfeîealeet tfautre-lmnôcm»

taie , il sera bien facile de les rapporter ; et voici comment. Soit nofg le tableau TU en Tace , TV et RS les lignes verticale et horizontale^ Tune représentée au plan par le point H , et l'aulre dans Télévation par le point Q ; et supposons qu'il faille mettre le point B en perspective, nous savons qu'il doit être à droite de la^verli* cale de la quantité /H ; portons donc /H de W en X/ et menons par le point I une parallèle à TV qui renfermera nécessairement le point que nous demandons. Mais comme le point h est la projection horizontale de deux centres représentés en élévation par les points K, M , supposons qu'il ne s'agisse encore que du point K qui doit être (article 7") au-dessous de l'horizontale de la quantité KQ; por* tons donc KQ au-dessous de RS et de X en Z, et le point Z sera la perspective demandée du point B.

On mettra de celte manière tant de points que Ton voudra de l'objet en perspective et par conséquent tout l'objet.

9* On pourrait, sans mener de parallèles , porter avec un compas Tintervallie /H de W en X , et avec un autre intervalle QK de W en M, et de suite : des points X et M comme centres, et avec les ouvertures de compas, décrire deux arcs qui , par leur intersection, donneront plus commodément le point demandé Z«

10^ Le point W d'intersection de Thorizontale du tableau avec la verticale s'appelle le point de vue de la perspective et est celui vis-à vis duquel doit être l'œil du spectateur, à la dislance du rayon principal , pour que le lableau fasse l'effet que Ton désire.

IV II n'est personne qui ne se soit aperçu que des lignes parallèles exposées à la vue, et prolongées à une certaine dislance, paraissent concourir en un même point et former un angle par les extrémités, parce que, lorsque les objets sont hors de la portée ordinaire de la vue, nous jugeons de leurs dimensions (toutes choses d'ailleurs égales ) par l'angle sous lequel arrivent à l'oil les rayons de lumière qui parlent de leurs extrémités. Leur intervalle, en effet, qui est toujours le même dans tous les points (Jg. 2), doit, à mesure qu'il s'éloigne de l'oeîl , être vu sous un angle moindre , jusqu'à ce qu'enfin , si on suppose les lignes poussées à Tinfini, cet intervalle, qui est une quantité finie, devienne înfiniinent petit ou nul , par rapport à leur longueur.

12^ L'œil voit donc les lignes parallèles concourir en un seul point; mais, pour juger de ce concours , il imagine une autre ligne parallèle aux premières, qu'il fait passer par le centre de la prunelle et à laquelle il compare les autres qui lui paraissent se jeter sur celle-là. 0«'on se place, par exemple, dans «ne avenue d'arbres et presque sur une des rangées, les autres paraissent se porter sur «elle auprès de laquelle on sera ; de là nous allons tirer des conséquences avantageuses po» la perspective.

iS"" En eiïet : soit^ pour exemple, AFDCJG {fig. 3) le plan de Tangle d'un entablement d'archileclure composé de lignes parallèles horizontales. Soit QR le tableau , L le point de l'œil , et LK le rayon principal : suivant ce que nous menons 4e dire , c'est dans une ligne LM parallèle à CD ^ BE ^ AE, etc. que Fœil voit leur point de concours. LM peut donc être considéré comme la projection d'un rayon de lumière envoyé à Tœil du point de concours des parallèles et doit donner, avee son intersection avec le tableau, le concours des parallèles mises en perspective ; mais comme ces lignes sont horizontales, LH le sera aussi , et le point N , où elle rencontre te tableau, sera nécessairement dans Tborizontale du tableau } si donc on porte sur la perspective l'intervalle O de K en n , le point n sera la perspet^ tive du concours des parallèles dont il s'agit»

H"" En conséquence, si on met les points A , B, C en perspective par la m^ Uiode indiquée (art. 7, 8 et 9) , on aura les poinlsa, 6, c, par lesquels on mènem des lignes au point n , qu'on terminera suivant les conditions. Si les points D, E, F, par exemple, sont au plan les projections des extrémités des parallèles, on mènera les lignes DL, EL, etc., indiquant la position horizontale de ces extrémités; c'est-à-dire que celle de la ligne DG se trouvera en perspective à gauche de la verticale, de la quaniiié Ka; par conséquent si , sur le tableau, on prend sur on un point éloigné de la verticale de la quantité Kd^ ce qu'on fera en menant à même distance la parallèle TS , on aura le point demandé. On fera la même opération pour les autres points £ , F. On conçoit que ce que nous venons de dire pour un des côtés do i'eniablement peut aisément s'appliquer à l'autre.

15" Si les parallèles , au lieu d'être horizontales , étaient inclinées, le point de concours ne se trouverait plus sur Tborizontale, mais au-dessus ou au-dessous, suivant leur position. Soit (fg. A) DEGJ le plan de l'entablement d'un (ronton dont le sommet soit ABC ; que KN représente le tableau , et LK le rayon principal ; il est clair que , comme au plan , les deux côtés du fronton et le reste de l'entablement sont dans les prolongements les uns des autres, si on mène LN parallèle à DG, le point N sera la projection des trois différents points de concours qui appartiennent aux trois espèces de lignes qui composent l'objet, c'cst-à-dirè que ces trois points se trouveront dans une même verticale, éloignée de celle du tableau de la quantité KN. Soit maintenant tlfyi l'élévation du fronton, rK le tableau , et iK le rayon principal j. soient menées par le point l^ les lignes /m. In parallèles, Tune au côté ad du fronton, et Tautre au côté ot; les intersections m et n de ces deux lignes , avec le tableau prolongé s'il est nécessaire, nous indiqueront de coin-* bien les deux points de concours qui conviennent aux deux côtés du (roiiton. doivent se trouver au-dessus ou au-dessous de Thorizontale^ comme on le voit sor le tableau MNOP.

leo —

iiéifoiiti: inm CA KRCTÊCtrve corrsttoÉRÉÉ comEe une des applications

- OEXA GÉOlTÉTRrr DESCKHPTIVE'.

J'ai dirigé ce raéBfitrfre en iréfa parties.

Dbd« la première^ je mentre eeimnent) en effet, tes^ méthodes graphiques de la géométrie deser ipli^e ft'eppriqtient à la perspective , eni^isaiit voir que ce n'est qti'uQ cas paptiocilier d-nn problème plus généraf, savoir : Couper par un plan un système de droites divergeant (Tvn point tmyfue^ et que, dans ce cas particulier^ on suppose que le plao sécant » qui en perspective prend le nom de tableau, se trouve pavaiiéie au plan vertical et projection.

Bans la seconde partie, j'applique les méthodes grapiiiques, expesées dans la pfeoûère partie comme une eenséquence des principes fondamentaux de la géoméitte descriptive, à la perspective proprement dite.

Dans la troisième partie , je feis voir comment les principes de la perspective , cwisidérés sops un point de vue plus général , peuvent être employés utilement à la rec^erdis et à la découverte de certaines vérités géométriques, et. cela en se guidait sur Peiemple de plusieurs géomètres anciens qui ont fait de ta perspectÎM tui ffiéquent emploi dans leurs f^heréhes géométriques.

PREMIÈftE PARTIE.

i*- 3<HI dDDoéd la li^e de tanw- LT (/^ ii) el^ptr ooncéqoent les dteox plans Ter^ic^ ei bonzou tal de pnojeetio».

2* %fÀ%. dfltQSÀ \u point «^(a^Mik p«9r p »( j|co ti<Hig «' et «^) sSlué en arant du pl^B ffrlJMl de pr<geelkp, loaisitsmt, «tt au-d&aMM, ou au-dessous du plan hori^pn^l dd pi^dtlioK.

3* %À( 4p«i^« «il»4(oilea (ayMl povr pre^eodena D» et B*).

4* SQikd9mi4«Mkpbii V-parallàie au plan vertical de projeetion, mais situé enta» C4 pHi» «i le peim a.

09 d«maiMte4a.iCMisto«lf»k d»oit» B^ inteneetleir du plan T et du plan P déterminé par la droite D et le point o. "

Or, pour résoudre ce problème de géométrie desmptive, «ous savons qu'il suffit de mener par îe point o une droite D' parallèle à la droite D , cl de chercher les points d et d' en lesquels les droites D et D' sont respectivement coupées par le plan T. <

Dès lors, D,"" passera par les points cT et (/'% et D,* ne sera autre que la droite H' trjàoe horizontale du pjaa T, puisque ce plan T est vertical (ou ep d'autrès termes 9 puisque le plan T est perpendiculaire au plan horizontal jle pv^-

&i Ift droite D» au lieu d'avoir une position quelaonque gacjrappûrt au plan T, lui était perpendiculaire, la construction de la projection £/ sfifiut plus prompte; et en éSot , la fig. (é) nous &it voir de suite qu'il suffit de construire le point <r, car la droite D,'' passe par le point o% qui est (fonné, qui est dès lors un point fixé d'avance par lés conditions du problème.

Si la droite D était horizontale, la âg. (c) iiouâ montre que^ pour obtenir la solution 9 il faudrait effectuer toutes les constructions exigées dans le cas où la droite D a une position arbitraire dans l'espace par rapport au plan T, Toutefois il faut remarquer que , dans ce cas , la droite B'*' est hqfnzontale.