TROISIÈME PARTIE
JLas anciens géoniétren ont souvmt fait usage de la per^peaivepour démonlrer certaines propriiHés^ géoiQé|riq^9«i |. surtout pour- les .propriétés dites-ifsi inm$-
Supposons» P^^ eiempk, que je veuUle démontrer le théorème vivant ;
jSUQinldomié/f9{fig»3)deu» înÀie^ A««ç fi« as coifMuU m tm paîaip, et me droUe Iky et9UT cette droite m-fimni d ,. <i /^ vaène par U point d deux, droUe4 D^ ^ Ai' ^ou* pont les droites A, el B, en quatre points sommets d'un trapèze , et si je construis les dioffouaU^ i^^ R« de cç trapèze ^^ces dia^emaks iront couper la droiie X en les points
GstA f^n : si^mis le sommel^J et le poinLk , le sommet b/ et te point r. J'aurai l^ diagwales 4'^^ U(W>eau trapèze tel que les, sommets a." et h" seront en Ugne droite
(*) Voyez ce que jgtous ^vpns dit dans les Compléments de g^ow^trie descriptive, au sàjet des pro 'tM^QùsstéréùfraphiqUes.
je Ten dénioolrer y «db MdM#e^
Dès lors je «nppOTeroî , par enewf toy tran dmtdwjil: , B>, C dfigft^ f>, leHw qM^' la droite G divise en deux parties égales rangle(2a) que font entre elles les droites A ei B; o i s i ike je» mènerait wiestiite de éroiles D^ 1>^, D^'.., panailéies'ecilpe^leB'et p e r pm dîeiiaines^ à la limite. G. Ceffdroites/l^^muferomlatfraue A'enleB'P^^ a\ a'\... et elles couperont b droite AM' les points ^,i<^^ b^..., et^fest.#vidMt qtte^ les diagonales des trapèiees aa'6fr', aWb'b^'... se croisent en des points- c, </] e''..., qùi'seron^ en ligpe droite avee le point p €onoeur«^ des droites^ A> et BV et que cette droite (c , c\ c"j... p) ne sera a«tre qoe la dMifeG;
Et il est évident que j^ puis toujours espacer entre êHëe^W^h^iiei O; D^, V}.*^ de manière à ce -^e» les Jia|{eBàiq[iider tttipèzés.fotttHeiit^OT^ftttseeaiiig de d»eitès parallèles, ainsi que le montre la fig. 1.
Cela posé:
Concevons un point o.dan& l'espace, et.unplaji^ vertical IT^^ieA apposons 4p fig. 1 soit tracée sur le plan horizontal. Nous considérerons le point o comme Vceil du spectateur, et te plan T comme m raéifaati iiqr ilequel on doit faire la perspective de la fig. i située au géamétral.
N'est-il pas évident^ pourrait-on dire> qoelèabéortme énoiiieé'se'trauvera vérifié par la figure-perspective que Ton obtiendra?
Cependant il ne faudrait point admettre de suite la démonstration ainsi faite, comme étant rigoureuse j car, pour que cette démonstration soit rigoureuse, il faut', quelle que soit la fig. 3 en perspective, pouvoir passera' la fig. 1 au géoméiraL
Or, étant donné sur le tableau T trois dÉ*oifes A^, B. et C. concourant en un même point, mais arbitraires d^ailleurs, il faudrait chercherl'a position que Ton devrait donner à Vœil o et au plan horizontal , pour que Ton obtint sur ce plan horizontal (ou au gëemétrat) trois droites A , B; 0, tdfes que la droite C divise Tangic (A, B) en deux parties égales ; et il faudrait pouvoir'démontrer que cela est toujours possible. Or, c'est ce qui n^est pas ; il y aura teHe relation de position entrele^ droites A., B.et C,, pour laquelle évidemment' on m^ pourra pas trouver au 7^<miéira< trois droites A, B, G', telles que Iv'droite CdlVTse eh deux parties égales^ Tangle des droites A et B. On voit donc que, pour démon trerie iftéoréme éiK>ncé,'^ on nepent'pas partir de ta flg, i', parce qu'elle ne condiiiîrait qo*S crnicas parti-* cuîier du théorème j[énéraK
En sorte que ce qui précède nodr apprend qa'if faluv; ttmt en prenant tme jî^oret «iff^/ey snrië ^^(m^fra/; h choibk cependàM dé manlèi^ à" ee que Ton '{ralste ft*
cUement r6t d^os tous leacfts y ç4 avec toutes les doonées possibles, y rovenir en partant de sa perspective.
Dès lors nous sommes conduite supposer {fig. 2) deux droites A, et B,et à les couper par deux droites D. et D'. parallèles entre elles et de direction arbitraire. Les diagonales K, et R. du trapèze a/OLJbjb! se croiseront en un point c.«
Cela posé :
Nous mènerons par lei pqint a.' une droite K/ parallèle à K.^ et coupant B. au point bl\ nous mènerons par le point 6/ une droite R/ parallèle à R. et coupant A. au pointa/'; les droites K'.et R/ se couperont eo un point cj.
C^la posé :
Je dis : l"" les points p, ^ c^ et c! sont en ligne droite G, ; l"" les points a" et ^/' déterminent une droite D," parallèle aux droites D.et D/.
. Et en . eflet , par. conslruclion :
V Les deux triangles pfljb, et p/a>/ sont semblables i on a donc :
' ^ Les deax triangles ajcjb, et a.'c,'b,' sont semblables ; oo « donc :
Des proportions (1) et (2) on déduit : .
Or la proportion (3) démontre que 1rs trois points p., c, et c/ sont en ligne droite (Ton voit de suite sur la fig. (2) comment Ton déduirait, de ce qui pré* cède, que la droite a,"bj' est parallèle aux droites D. et D/).
Cela dit :
Si Ton place la figure (2) au géonpéiral et qu'on en fasse la perspective, on aura la figure (3), et si Ion prend la figure (3) on pourra toujours passera la figure (2), et cela sans embarras ; et en effet :
Traçons sur le lableau T deux droites A. et B. se coupant en un point p. (Jig. 3), et menons une droite X qui soit la ligne d'horizon, et prenons sur cette droito X un point d arbitraire.
Menons par le point d deux droites D, et D'^ coupant A, et B. en les points a. et *•» a\ et b\'y les droites ajk\ (ou K.), a'.6. (ou R.), couperont la droite X en les points k et r, et s*ettire-couperont en un point c.»
Menons la droite R'. qui unit les points r et b'^ et coupant A, au point a''.; me-
tadrohe K'.qoî unit les points ilret a', et coupant B, au point V\*^ \e» iflroites R'.et K^ se couperont en un point c\.
Cette construction effectuée, il faut démontrer ce quî^H :
1* Les points p,, c,, c\ sont en ligne droite ;
2* Les points a'\, b\ et dsont en ligne droite.
Pour effectuer la démonstration passons de la fig. (3) en perspective à' ta fig. (2) wigéamiiraL
Le plan géométrai sera perpendiculaire au tableau T et parallèle à la ligne d'ho* rizon X; dès lors les droites qui divergent en perspective des points iEr, r et rf, donneront au géométrai des faisceaux de droites parallèles, et nous jretorobons évidemment au géométrai sur la fig. (2), et complètement, avec toute sa construction indiquée ci-dessus ; donc, etc.
§ II
Pour rendre encore plus sensible ce qui a été dit ci -dessus, § I (3* partie), prenons un autre exemple. . *
Je suppose que l'on veuille démontrer la propriété des quadrilatères inscrits et circonscrits à une section conique (*).
Il est évident que ce qu'il y aura de plus simple , et ce qui se présente en effet immédiatement à l'esprit, c'est de prendre un cercle C et des rectangles inscrits' et circonscrits à ce cercle C ; en sorte que Ton aura une figure plane composée d'un certain nombre^e faisceaux de droites parallèles.
Puis, Ton dira : ce cercle G peut être considéré comme la section droite (ou la base) d'un cône 2 droit (ou de révolution ) ; si dès lors on coupe tout le système par un plan P, on obtiendra suivant la direction donnée à ce plan P une section conique E, qui sera ou une ellipse, ou une parabole , ou une hyperbole; et les rêc^ tangles inscrits et circonscrits au cercle C , deviendront , sur le plan P, des fwdrilatères inscrits et circonscrits à la section conique £; dès lors l'on pourra énoncer les théorèmes dont jouissent les quadrilatères inscrits circonscrits à une section conique.
Cependant , il ne faut pas beaucoup d'attention pour reconnaître que oette manière de raisonner ne sera admissible qu'autant qu'elle sera rigoureuse , et dès lors à l'abri de toute objection ; et elle ne sera rigoureuse qu'autant que, partant de la figure en perspective située sur le. plan P, on pourra revenir, et toujours, et
(*) Voyez le Cow$ àê §éùméîriê éescripthe > V partie.
coniqtfe E donnée, et quelle que sôit cette secti^p iH>^îqH6 t^t'^'fuMfi^» ttîs^» reTenir à la figure d^^ow^lrAff*i^.aiMi.à ç;i4kd\d^ efi/ii^'C^'àk^ inscrits et circonscrits.
Or : si l'on donne une section 4;oMqueJG ^ IW qM^dril^tère îosorit à c^e dwrbe et ^ ïm iwt.jp^dser^ftar (leUewCowb^ £.un otoe droit ( un c6ae dd.révotation ), il faudra évidemment chercher parmi tous les sommets des o6AM<dip(9* qui' fistfSiQi»^ . jpar mUGcowhfi £9 aelui pour lequel le plan de^ctioA diroîte du câiPQ^ donpeca UD rectangle imicxil. au, cercle qui estc^i^eaion droibe*
Il faudra doiu; fxonrrswlement conn^Ure les propriétés des/<)ca^.des.;$aatiooa cQniij(ue5> il faudra de plu^s^voû* les con^tr^ire tout en tescoxnnais^aiU, ipai3 encore il faudra ybrcém^nl résoudre ât< préalableun problème assez difiiciJ^r
Ne vaut-il pas mieux dés lors partir toujours d'une jî^iir^ simplg, mais autre que celle des rectangles inscrits et circonscrits à un cercle^ et ainsi des parallélo^ grammei inscrits et circonscrits à une eUip$ft ? car alors on pourra faire'passer un c6ne droit 2 ( et le premier venu ) par la section conique E donnée , et à laquelle s^'tMHV^nt ÎQseritSv^t diFOOfisetito les ^apdM&iférat, et roq poan«toii}#i»s eouper le cône 2 par un plan Q, de manière a ce que sur ce^filBn oa lit fmc <llipM'& téU^tffVt^i^iliêaéHkùiiw îworKs ei ^inooBMnitsik la seolîon eoii«que<loitBée E se trouvent transformés en paraUéhgramme^m^mtA^eiAmoQm^fk/itk TeHipse E^
<i|9iMdfO«4it te0 4lPMWis^4iiNe)i«6 ^l S8iS0nli fieviM 4«ila $hêihml^ cfei <a»pera|Mc(ft;f pQW démMtMn istftAioas pro|Hriétéside0 MsttcfDtiCMiqu^ (ea ckeniliairt iMbo»^ n|M^i^.foi«e)|lM«er:lMipr^prié<féa ém$erdit*Mft]M.9ectiani*mtikim8}j on r^flMftrque assez souvent un défaut dexigmw ^^knnélRfMe dans ieuts dénonfitrâiflMfi. €e qui
sur;
^La^oBiàfirféSëMtifrtlve^feH très-souvent usage de la méthode delà perspeciitre ; aiMJ» étant )lomfée une fig. (A) sur un plan P, les propriétés de cette fig. (A) étant oofinutls , ^fle éHerche à faire 9ubir*à cette fig. (A) toutes les transformations posflAMes'potHT lesquelles tes mêmes propriétés subsisteront. Pour cela eBe conçoit tm point s dans l'espace (hors du plan P) et elle fait passer par le point s et par charquè ligné droite ^ fô fig. (A) des plans, par le point s et par diaque ligne o&ufbè dèliftJfig.'^Â) tfes dettes ^ par te point s et par chaque point de la fig. (A) des éhMesy et èllexJ^eriôutle système corâque et pyramidal par tin plan Q, dont la dfree(Nmi.eKt a^b'rtràîfe ou déterminée par «les conditions du proMème à résoudre et a insi p a r la p artiettlarité do ia t ransforma t ion que Ton ^eut ob tenir polativomont à la fig. (A).
Nous a\0D8 fait un fréquenl emjilol de ce procédé dans nos ouvrages sur la géométrie descriptive , nous aHons en donner encore un exemple ici , car c'est vraiment le lieu, pw)M|ue nqusnoii? occupoiis d'uiie. q^ffi^ spéciale 4^ l^pertpwUve et de son utilité comme application k la réchencbî^ de (^ept^ipçi» ^flffM^ fjéamétriquei.
