LIVRE III

APPLICATION DE U GÉOliÈTRlE DESCRIPTIVE A LA GNOMONIQUE. .

^ DE Là GNOMONIQUE.

'* (mémoirb nféDIT.)(*)

Le mouvement continuel du soleil autour de la terre ne $e fait pas journenement dans le même plan ; on voit à l'œil simple que , pendant six mois de Tannée , il décrit des arcs diurnes continuellement plus prèà des points du ciel les plus élevés 9 et que, pendant les six autres mois , il décrit des arcs diurnes qui se rap« prêchent^ au contraire, de Thorizon. Mais on suppose, sans beaucoup d'erreur, dans la gnomonique , que les différents cercles dans lesquels le soleil se meut sont parallèles entre eux. Celui de ces cercles qui est moyen entre celui qui s'éloigne le plus de r horizon et Ciel ui qui s'en éloigne le moins, est nommé Véquateur. La ligne perpendiculaire aux cercles que le soleil semble décrire chaque jour se nomme Vaxe du monde, parce qu'en effet tous les aslres paraissent faire leurs révolutions autour de cette ligne. Les extrémités en sont les pôles : on les suppose dans la surface de la même sphère dont l'équateur est un des grands cercles.

(*) Ce mémoire fait partie des manuscrits de la bibliothèque de l'École d'application de Metz.

On pense qu'il est de l'abbé Bossut, ou tout au moins qu'il en a rédigé une partie. Au reste, il est certain que ce mémoire a été écrit pour l'iDStruction des jeunes officiers , élevés à l'école du génie de Mézières.

Je m'empresse ici d'adresser mes remerciementâ à M. le général d'artillerie Peon, commandant de. r&ûle d'application de Metz , qui a eu l'extrême obligeance de me faire faire une copie eollali(mné9 de ce mémoire et des dessins qui l'accompagnent.

Quant aux deux mémoires de 6. Mongk et au petit Iraité des onibreB publié dans le livre praMier (ci-dessus) sous le n* 4 , j'en avais pris copié dès 48IS , alors que j'étais attaché à l'Ecole d'application de Metz, comme lieutenant d'artillerie à l'état-major. T. 0.

La quantité dont le aol^l se troaye éloigné de Féqualeiir se nomme la décima-^ son du soteil; elle est mesurée dans Farcperpendicalaire à l'éguateur j^ssant par le pôle et par le soleil , en sorte que la distance du soleil au pôle le plus yoisin est le complément de sa déclinaison.

On suppose que le centre de la terre est au centre de la sphère céleste , et par conséquent au centre de réquateiir^ la section de la sueface de la terre par le plan de ce cercle est nommé l'équateur terrestre : on voit aisément que la déclinaison du soleil peut être mesurée par Tangle formé par deux lignes partant du centre de la terre et allant l'une au soleil et l'autre au point de l'équateur qui répond perpendiculairement à cet astre; de manîè f e -que ce point , l'astre et le pôle soient dans le même grand cercle de la sphère céleste.

L'équateur se nomme aussi lé cercle équinoxial , parce que l'arc diurne est évidemment alors égal à l'arc nocturne, puisque l'horizon coupe ce cercle en deux parties égales.

Les cercles extrêmes du mouvement du soleil sont nommés tropiques ; on les nomme aussi solstices , parce que le soleil s'arrête là dans son mouvement prp» grossir vers le pôle voisin pour retourner vers le pôle opposé.

Le soleil ne passe pas tout d'un coup du plan du cercle qu'il a déorit m veine au cercle qu'il décrit daos^le jour même; sob mouvement vrai tra^e^ i^lieu de cercles perpendiculaires , une espèce de spirala qui s'étend de Téquateur auxwl^ stices et ^i recommence des solatices vers Téquatenr \ .en sorte que , dan» le HfêU Taxe du monde n'est pas perpoadiculaire au plan dam lequri ^e lait le ei^nvotoea* du soleil, puisque le soleil liasse continueUenmBl d'un plan dsAS «m autre; il &ut en excepter les cercles des.sol&tices, où le fioleil.reste 4euxiou tMÎs Jimips Bun que l'on aperçoive aucune variation dans sa d^ioaison : Jes oerolesdss soiatiws sont donc les seuls perpendiculaires à l'axe du monde. G'estaussi dans le temps que Je soleil s'y trouve, que l'on peut faire des obswvalioiis justes :pwi^ la constTiUction des cadrans : dans tout autre temps , cas obaervayU^os «ont tsujettea 4 quelques corrections dépendantes de la variatMu^de la déolânmoiv du MlnK

Piff. 1. te^plto'i^iFGiditfre du mrafenent du soleil étant perpendtculaite i îaxe du

nïon^e, et sa i^évdlution s'accomp1is$ant en vingt-quatre heures ; si on imagine un cercle XXI y X\, X, IX , dont la circonfénenee entièiie eoî4 draaée lea vingtqtiMre parties , >c'esHh-Afë>'en'p«rt4«s de t6 de|;t^ ehacune , et que f on p/lace ce cçriçle de manière queTaxe du monde lui soit j)erpendiculai£e<et. passe par son

TV

lw|)OiBUuiedifÎ8Î6iid«*lai eircmÛrence et ee êerde réponclraa't aux poinii

Si l'on suppose, oùlre cttàj ^foéfm» éo mofiife est une ligne on plutôt une ^eqge opMfoe , on:f€tra qffe le soleil étMl aux peints t2 , f 4 , W, etc. de h cirewÉiërfMB qu'il pwcoQrt, Vsofi R portera son ombre aux points diamétralement exposés XII, XI, X^ ete.; en sorte que le cercle XTI, XI, X, divisé et placé eomme nous FaTons A , foemerait un cadran solaire sur lequel une subdivision plw délaittée ferait voir toutes les beures et les parties de ces heures.

C'est sur ces notions qu'est fondée toute la goomonique, et la grande distance du soleil à fa terre permettant de prendre pour l'axe du monde une ligne quelconquç, qui lui est parallèle, à la surface de la terre , cette science se réduit à fixer la position de cette ligne et à déterminer ensuite les points où se porte son ombre dans les différentes heures du jour sur des plans ou sur des surfaces situées d'une manière quelconque à l'égard de cette ligne.

s IV-

Si l'on imagine un grand cercle de la sphère céleste passant par les pôles du monde et perpendiculaire à l'horizon , ce cerclç , que Vou nomme le méridieB du lieUf coupera l'arc diurne du soleil au point le plus élevé de cet arc; et si l'on détermine la section du méridien avec l'horizon,^ on sera assuré que l'axe du monde sera placé dans le plan élevé veriicalement sur elle* Cette sectioid^du méridien et du plan horizontal se nomwe le méridien du lieu*

Si on élève un gnomon perpendicuiairea^nt mi plan IwvlavoBtftl, le point tlô- Pronière terminé par la pki& eourte ombre portée p«r eeignpnwL népenéra au>()pîM de b "uium^ime'* plusgroadebaut^iirdiimkiil rarJ'lHdso». On<MtaHfcpanb*Mifiieiir det'efBib^ méridienne, la distaoM du p^iut où m portA rk>«ibreMr la pivi bariiwift an pied Ai goo* «Lon , e'est«àndim au.peÎAld^.ee fkm. ^m réyaié rfmti éa à uù mkl au ^MiMn. Or ie poioi4e Uplw flKandebairieUi du soteil et to|poaBl)d«vgBoiBon portant ronftx» sont dans le méridien suivant la définition de ce cercle ( § 1 V ). Ainsi le potM

d'ombi» mw^uéi wriftiAmlMMiite^ le

UeaxSèPie

méthode pour

tmoerune

— .afâ —

pied du gDOoalon est aussi dans le méridien ^ il s'ciasoit <{ue la ligne tirée du pied du goomoD au point déterminé par l'autre la plus courte est la section commune au méridien et au plan horizontal ou la méridienne du lieu (§ IV ).

Puisque le méridien est perpendiculaire au cercle que décrit le soleil et qu'il divise l'arc diurne en deux parties égales , parce qu'il est en même temps perpen* diculaire à Thorizon, il est clair que le soleil aura des hauteurs égales au-dessus de l'horizon, lorsqu'il se trouvera à des distances égales du méridien ; et, réci-* proquement, il sera à des distances égales du méridien, lorsqu'il aura des hauteurs égales au-dessus de l'horizon. Ainsi , en observant dans un même jour deux lignes d'ombre égales portées par un gnomon , la ligne qui divisera en deux parties égales l'angle formé par ces deuxiignes d'ombre sera la section du méridien et du plan horizontal , ou la méridienne.

' Pour observer deux lignes d'ombre égales, on trace, sur le plan horizontal du pied du gnomon pour cenire , un arc de cercle passant par un point d'ombre observé avant que le soleil soit parvenu au méridien, et l'on marque le point où l'ombre recoupe le même arc lorsque le soleil s'éfoigne du méridien.

La portion de l'arc comprise entre les deux points d'ombre ainsi déterminés étant divisée en deux parties égales par une ligne menée au pied du gnomon , cette ligne sera la méridienne.

§ VI

Ces deux méthodes pour tracer une méridienne ne sont ni l'une ni l'autre parfit îtement exactes.

Pour la première, la longueur de l'ombre varie si insensiblement au moment où le soleil est voisin du méridien, qu'il est très-dii&cile de marquer le point où la plus courte ombre se porte, a moins d'un gnomon Fort élevé , ce qui n'est pas à la portée de tout le monde et qui demande une attention infinie pour le placer, pour en déterminer le pied et pour s'assurer que le grand plan sur lequel se porte l'ombre est bien horizontal.

La deuxième méthode suppose que la déclinaison du soleil est restée la même pendant qu'il a été aux deux points de la circonférence qu'il parcourt et desquels il a marqué les pointa d'ombre observés. Maïs cette supposition n'est vraie que dans k temps des soktieés (§ I) : ainsi, si l'on voulait beaucoup d'exactitude ^an^ Ja méridienne. traoée suivant oette méthode dans tout autre temps, il faudrait . ji ^àive entrer une ta^rection^ dépendante du changement de la déclinaison du

1 II ^ eiair, eu eflet y qilesi-Ui déotinaisona augmenté dans 1 -intervalle de la pre*-

- ait-

filière à la deuiiàme observation , le soleil arrivera à une bauieur égale à celle tiu'il avait an BoMnent de la première observation , quoiqu'il se soit éloigné du méridien vers le couebant d'une plus grande quantité que celle dont il s'en irou-^ vait éloigné vers Forient dans le premier instant. Ainsi la ligne méridienne tracée par cette méthode relardera l'heure de midi ; elle l'avancera au contraire > par ilne raison semblable , si la déclinaison a diminué dans l'intervalle de la première i la deuxième observation. , ,

§ Vil.

Ayant ainsi déterminé le plan do méridien dans lequel nous avons vu que doit se trouver l'axe du monde , il faut aussi trouver dans ce plan les p6les du monde, et la position de Taxe sera fixée.

Si dans le triangle rectangle CPO , formé par la hauteur GP du gnomon ^t par fîiç. 9. la plus courte ombre PO (§ V), on calcule l'angle GOP, on aura l'arc SR de la surface céleste qui marquera l'élévation du soleil à midi au-dessus de l'horizon. Son complément ZS ou l'angle PCO sera la distance du soleil au zénith ou au point de la surface de la sphère céleste élevé verticalement au-dessus du lieu où se fait l'observation.

La même observation étant faite tous les jours de l'année, on verra que cette haujteur RS augmente depuis la fin du mois ^e décembre jusqu'à la fin du mois de juin , et qu'elle diminue ensuite dans les six mois restant dans les contrées situées au nord de la terre, le contraire arrive pour les contrées situées au mj[di.

La hauteur moyenne entre la plus grande ef la moindre, qui sont regardées comme constantes, détermine le point où le soleil est à égales distantes des deux pôles, c'est, suivant ce que nous avons dit (§ I), un point de i'équateur. On irouve dans les tables des astronomes et même xlans les almanachs , sous le nom de déclinaison du soleil , la distance du soleil , pour chaque jour de J'année , à ce point d.e I'équateur.

Soit Le Aorn la section du globe terrestre par le méridien EPRO ; L le point où pj^. 3. est l'observateur^ Ulsera l'horizon. Mais, à cause de l'immense éloignement du soleil , nous pouvons supposer le rayon CL de la terre nul et prendre , au lieu de l'horizon HI , le diamètre MN qui lui est parallèle , et confondre le point L avec le centre G de la terre. Soit ER le diamètre de I'équateur dans le plan du méridien , le diamètre PO perpendiculaire à ER sera l'axe du monde. Ainsi, si par l'obser^ vation du soleil , nous parvenons à fixer le point E ou le diamètre ER , il n'y aura plus qu'à lui mener une perpendiculaire pour fixer la position de l'axe du monde; or, si Ton ajoute à ta distance LS du soleil au zénith observée comme nous l'avons

dit ou d'uM autre manière qudooD<{a6) la déclimi^aa £S dQaoéeik^r Ifi io^iri^ se fait r^bâof vatioii , on aura la distaitee £Z da l'équatew au :/éviÛki c'e/fi^ qn'oB somme la latitude du lieu. Elle est égale à la hauteur Nf du pôlQ au-*4wr sua de rhorizoo ; car si , de chacun des deux angles droits ECP, ZCM, oq retraxtche le même angle ZCP, on aura EGZ =2 PCN ou £Z c=: PN. Ainsi , TobservatÎMi ^ iera connaître la distance ZS du soleil au zénith suffira pour d^erminer la bdu«teur du pôle sur l'horizon du lieu.

En disant qu'il faut ajouter à la distance ZS du soleil au zénith la déclinaison SE on suppose que cette déclinaison est du même côté de Téquateur que le lieu où se fait l'observation; car si cet astre était d'un côté opposé, il faudrait retrancher |à déclinaison de la distance du zénith au soleil pour avoir |a distance du zénith i l'éqnateur. D'ailleurs la latitude ou la hauteur du pôle du lieu où l'ou est, etf ordinairement connue^ au moins par approximation, avec de& lieux voisins, elï^ péra|ion dont nous venons de parler comme propre à la déterminer n'est rappor* tëe ici que pour faciliter l'intelligence de ce qui doit suivre.

Nous avons supposé que le plan sur lequel on avait à tracer une mëridientiey et au-dessus duquel il ftiHait fixer félévation du pôle, était horizontal : mais il est clair que tout ce qui a été dît (giV, V, VI et VII) "pour un plan de celte espèce peut s'appliquer à tout autre plan^ quelle que soit sa "isituation. Ce plan aura un pl^ parallèle horizontal pour quelque point de la terre, et les opérations que Ton ferait en cet endroit sur ce plan, au moyen de lignes verticales et horizon* taleâ, en suivant ce qui a été dit précédemment, auraient le même résullaf que celles que Ton ferait ailleurs sur un plan qui serait parallèle à celui dont nous veinons de parler, au moyen des lignes perpendiculaires à ce plan et des lignes tra^ cées sur ce plan même.

On peut donc , par les méthodes que nous avons données , ttaoer une ttér b* dlenne sur un plan quiconque , au moyen de la courte ombre portée par un gnomon sur ce plan ou par des lignes d'ombre égales ( | IV et V ) ^ on irourera aussi rélévation du pôle sur ce plan par la plus courte ombre.

Si, Ton trouvai^, zéro pour la hauteur du pôle rar \e plan» cela prouv^ait fuç , p^éftdienn^ t;»çé^ aw le:plaa est elleHuâmçi parallèle à l'axe du inQj^e««

Dèn qne la mérnlkniîe sera tracée sur le ]^hrii où doit être traofr un <Adnh ro^ Mire, M moyen de félèvation connue du p6le, on plaeera au^^essus de cette ligne^ dams le {flan perpendiculaire an plan dn cadran, une ligne ou verge qui soit in-^ dlinée sur la méridlienne conformément à l'élévation du pôle ; c'est-*à-dire que si AB est la méridienne, il faudra placer la ligne AG dans le plan perpendiculaire au plan du «adran, de manière que Fangle BAC soit égal à Télétation du pèle sur pig. ^^g^ ee dernier plan , et qu'elle soit dirigée vers le pôle. La ligne AG {fig. 4) ou une partie CE de cette ligne {fig. 5), ou un point G de cette ligne {fig. 6) serviront à porter Fombre qui tioit marquer Jes ^heures sur le cadran.

La ligne AB étant la méridienne du plan , et AG étant placé au-dessus de cette fi|^f^ ligne, dans un plan perpendiculaire au plan du cadran, pour tracer les figues horaires, on mènera GB perpendiculairemait & AG, qui rencontrera la méridienne en nn point B ; par ce point B Ton mènera dans le plan du cadran la ligne TZ perpendiculaire à la méridienne, puis ayant prolongé AB d'une quantité BE=:GB : du point E, comme centre, on décrira la circonférence 'WBP, que l'on divisera en douze parties égales aux points B, L, K, ï, H, etc., et Ton tirera aux points de division les rayons EB, EL, etc.^ qui couperont par leurs prolongements la ligne TZ aux points M, N, 0, etc., par Jies points ainsi déterminés sur cette ligne, et par le point A, on tirera les lignes AM, AN, ÂO, etc., qui seront les lignes horaires que le style AC marquera par son ombre entre 6 heures du matin et 6 heures du âoir, et en prolongeant ces lignes au delà du point A, les prolongements marque* ront les heures qui précèdent ou qui suivent celles dont nous avons parlé, de manière que la ligne de 7 heures du soir, par exemple, sera marquée par le prolongement de ta ligne de 7 heures du AHitin. La ligne VI — A-^^VI, menée par le point A perpendiculairement à là méridienne, sera la ligne de "6 henrea du matin au côté occidental et du sèir au jsô86 oriental;

Pour entendre cette construction : sur le diamètre WF prolongé des deux côtés et du point E comoM centre, avec un rayon E— 12^ que Ton imaginera infiniment grand , soit décrite la circonférence 6 — 12—6 : les rayons EL, EK, El, etc., prolongés, la rencontreront et la diviseront en douze parties égales aux points 11, 10, 9, etc. Gela posé, imigi^onsleplautd^s deux demi-cercles WBF et 6— 12— 6 relevé et appliqué perpendiculairement à la ligne AG, aussi relevée sur AB, le

point E MF le pmot C, el le rayon BE sur BC« II est clair qne AC étant, comme nous Favong dit » parallèle à Taxe du monde, on peut supposer que le point C est au centre du mouvement du soleil que Ton imagine se faire dans la circonférence l6 — i2r^-e : à midi le soleil sera au point 12, dans les 6 heures précédentes il sera trouvé aux points 6, 7, 8, 9, 10, ii, et dans les 6 heures suivantes il ae trouvera aux points 1 ^ 2, 3, 4, 5 et 6 , en sorte que si le point C est opaque , il portera son ombre à midi au point Bdu cadran ; à onze heures » au point M de ce plan fixé par les rayons en lignes droites 11 — E et EM ; à dix heures , au point N ; ainsi des autres. A midi , il portera également son ombre aux points correspondants de la li^ne BT, et lorsque le soleil sera au point 6, Tombre du point C se portera à une distance infinie sur la ligne TZ, en sorte que la ligne A — VI, menée par le point A à ce point d'ombre , sera parallèle à T2,

Mais l'ombre portée par le point A du style, qui est dans le plan du cadran, passera nécessairement à ce point pour toutes les heures. Il s^ ensuit donc que Fombre portée par le style AG sera sur les lignes AH , AN , AO , etc. dans les différentes heures du jour, depuis six heures du matin jusqu'à six heures du soir.

Quant aux autres heures, il est clair qu'elles sont marquées par les prolongements des premiers; car le soleil est placé, par exemple, à huit heures du soir, relativement à l'axe , comme il l'est à huit heures du matin , .mais du côté opposé. On se convaincra encore mieux de cela en achevant les cercles dont 6 — 12 — 6 et WBF sont les moitiés.

• S XII

La construction que l'on vient d'expliquer est difficile à exécuter dans les grands cadrans et sujette à de grandes inexactitudes, à cause des intersections obliques aux points éloignés de la méridienne. Il est bien plus aisé et plus sûr de calculer les angles BAM, BAN , etc. que les lignes horaires doivent faire avec la méridienne

et de les rapporter ensuite sur le plan.

CB X B Or, dans le triangle rectangle BAC , on a : AB = . , ' ^ ; dans le triangle BEP,

aussi rectangle , on a :

- EB X tangBEP = BG X UngBEP PB= ^ ^

dans le triangle rectangle BAP, on a : tang BAPs= — Tû^y ^^' eninettant les valeurs trouvées pour BP et pour AB i

^^3^p^5ngBEPx«BAÇ

— ai7 —

C'est-i-dire que la tangente de Vm^te qu'tme ligne horaire quelconque fait atec h méridienne e$i égale au prodmt fdU de la tangente de tare de Cétfuaieur qui répond à (heure dont H iagit par le iinus tk ta hauteur du p/^le 9ur leplan^ <Bmé par le rayon.

Si l'on veut trouver par exemple la ligne de trois iieures et demie du soir et de huit heures et demie du malin , en se servant des logarithmes, on sait que trois heures et demie répond à un arc de 52"* 30' de Téquateur, à raison de i^" pour une heure, ainsi on ajoutera le logarithme de la tangente 52* 30' au logarithme du sinus de Fangle de hauteur du pôle , et on retranchera de leur somme le logarithme dtt.rayon : cette dernière opération se réduit à retrancher 10 de la carac^ léristique trouvée pour la somme des deux autres logarithmes.

i XIII.

Lorsqu'on aura calculé suivant la manière précédente les angles 42 — A — 1 ^ ng. i. 12 — A — 2, etc., que les lignes horaires font avec la méridienne, au lieu de rapporter ces angles sur le plan du cadran , au moyen d'un rapporteur^ il sera • plus sûr de calculer les distances 12 — 1, 12 — 2, etc., prises sur la ligne perpendiculaire à la méridienne. Pour cela , on prendra à volonté la longueur de la ligne A — 12 qui fixe la longueur du cadcan , ou la ligne A — 6 qui fixe sa largeur.

§ XIV

Si , au lieu d'un style entier, on ne voulait en employer qu'une partie , comme Fig. 9 «t lo. dans la fig. 9, ou si Ton voulait follement se servir du trou d'une plaque pour marquer les heures , comme ^ns la fig. 10 , le centre A se trouverait hors du cadran , mais la méridienne A — 12 du plan étant tracée et la hauteur BAC du pôle déterminée, on calculerait également les apgles 12 — A ^1, 12-- A — 2, etc. que les lignes h^rair^ doivent faire avec la méridienne ; puis, abaissant du centre de la plaque la perpendiculaire CO que l'on mesurerait, au moyen de cette ligne et de l'angle BAC de hauteur de pôle, on calcutcrait la distance OA d|i point O au centre A du cadran, ddns le plan supposé prolongé; ensuite, fixant les limites du cadran à Ja longueur prise à volonté MN et à la largeur aussi choisie^EF ou GH , on mesurerait les deux lignes OM et ON. L'une de ces lignes, ajoutée à OA, et l'autre en étant retranchée, déterminerait les ligues AN et IlM avec ces lignes ^t les angles calculés N-A-11,N-A-10, N-A-9,elc., on irouverait les langueurs des lignes N-ll, N-10 d'un côté du cadran el,de0 lignes M-11, M-10, elc, du haut du cadran. Les lignes telles que A-9, terminées aux cùlés du cadran, seraient tracées

«DidétonÛMPit iftiigm &0 ma vMfyeB de AG el de 1*»*^ G-A-9 eoiapléiMiit def«ig|le^^akRilê M^k-ê; pois, en retranchuH de œlte KgiieG-^ Ifr l e agMor AV, ott'-eonrit ta longiievr de E«0, oe^qni fierait eur le cadran le peini 9. Fig. t. Dans ie eas oè Ton ne wudrah employer qu'une partie RC de1*aze, on slippo-

aérait OC de longueur Goniranable et priée à yoionté , atee cette ligne et Pangle de bauteup de pôle EAC , on calculerait AO. Puis , prenant Oft de grandeur propor^ lioonée à la partie RC de style ^e Ton veut employer, on calculerait, au moyen deAK = AO -- KO et de Fangie BAC, la ligne KR : cette ligne et la Hgne OC senriront à placer la partie RC de style dans sa vraie situation aunlessus de la méridienne. On trouverait d'ailleura , comme dans le cas précédent , les lignes horaires en partant du point O et mesurant les lignes ON et OM de longueur du ^ cadran , et ta lai;geur EF = GH.