S VI

En menant un plan parallèle à la tangente 0' de la fig. 8 , on obtiendra la fig. 7 relative aux ellipses et celles relatives aux hyperboles, et cela, suivant la direction ou rinclinaison du plan sécant.

Ainsi Ton voit que les paraboles nous donnent les fig. 4 et 8, que les ellipses nous donnent les fig. 5 , 7 et 9, et que pour les hyperboles nous aurions aussi trois figures qui seraient les analogues de celles relatives aux ellipses.

D'après ce qui précède. Ton doit tout naturellement se demander si Ton ne peut pas obtenir, pour les paraboles, une fi^^re analogueà la fig. 7, laquelle existe pour les ellipses.

Pour reconnaître si le théorème relatif aux ellipses et représenté par la fig. 7 peut subsister pour les paraboles, il suffit de prendre la fig. 7 comme étant sur le plan boiûzontal la base d'un système conique ayant pour sommet un point s de l'espace situé hors du plan horizontal et de couper ce système de manière à avoir des paraboles.

Or : tous les cônei^ i base elliptique («, P,) et (i , M.)... auront une génératrice droite commune «p. Toutes les cônes («, M,)... auront entre eux un contact du second ordre tout le long de cette génératrice sp, et ils n'auront chacun, et suivant cette même génératrice sp , qu'un contact du premier ordre avec le cône (s, P,). Le plan («, 0') sera tangent à tous les cônes (s, P,)et (s. M.)....

Donc, pour couper le sjstème conique suivant des paraboles, il faudra mener un plan sécant Z parallèle au plan («, 6') ; or, il est bien évident que les courbes de sections ne pourront avoir qu'une seule tangente commune donnée par Tinter^ section du plan Z et du plan tangent (#, 9), puisque, pour qu'il y eût deux tangentes communes, il faudrait que le plan Z coupât le second plan tangent

Ainsi la propriété représentée par la fig. 7, et qui existe pour les e//^p#^, et aussi pour les hyperboles, ne peut exister pour les patàbotes.

I3àtsq«e Ton iMt en perspective tiAe droite S aittiée mn te yha féùm é tn â ^ ôH fait passer par TcgM <y uae droite B' 'paMiIftte à B et p%rçÊM te Éùêkmê t «t» pow» ^ et en unissant le point V aptec te péiit'^eiv teqiieMfl <Ifoîle B pcihse te igtfpgt T, ^n a nue dtoite indéfinie B,- q«i'est la penpeNim dtf la dtmle IL

Da droite B' est divisée en trois parties distinctes , dent parties infinies et (me partie finie.

La partie finie est comprise entre 1'^/ 9 et le point b\

Les deux parties infinies sont : Tune, la partie qui part de Vœil et qui s'éloigne Indéfînimeiït du tableau; et l'autre, la partie qui part du point é'ef qui /kM derrière le tableau.

La droite B, , considérée comme ligne droite, est divisée amsi en trois parûtes : f titre jiftié, comprise entre les points b et b\ et les denx^ autres iatféjfities > la première située & partir du point b au-dessous du pied xy du idMnth , et la secotMfe partant du point b\

Or, à quelles parties de la droite B correspond chacune des -trois pai^ss* qui composent la droite B, ?

Si par ïoeil o je mène une droite qui passe par le point de la i)f(s^ite B qaî est situé à nhfîni derrière le tableau, la perspective de ce point sera te point if. "" ^ par Vadl je mènetirre décile qui passe pur le point b de la droite B, , la patspective de c^oint b ne fSém autre que ce point à lui^-mème ;'ainsi la ^anienfinie de h droite B située , à partir do point b , derrière te toM^oa , a fcmt perifmaHe

une droite finie bb\

Si par Vœil je mène une droite paraHèle au tableau j et coupant la droite B en un point a^ (jui sera toujours situé en avant du tableau ^ je vois que la portion

filÂ^4fr da la droite B| aura|iour perspective la portion infinie de la droite B. située à partir du point b au-dessous du piedxif du tableau f et que la partie infinie d^Ia droite B) qui /piii à partir du point a en avant du tableau, aura pour perapeclivi^la paiplia infinteda la droite B, qixifait, à partir du point b\ au-dessus de la %Heiav«

Ueltrkpaaé :

âliAteBiÉQbd^Mtf'^teiiaiiteaii'dvujt ^uii)aa>^ et^C! ayant un potni conmiun m situé sur lsi iigne d'horizon , et qu'on les regarde comme les bases de deux cônes ûi^màii npa<ffttartNtf»M» iW i H ^i t aoiaroMin^ aaa daitt4)âaas sa cxmpjeront suivant une génératrioe am qui ser»4iaiii;($wtateîrdAs-i«i^ coumera les

fini et qui sera rinteroaotioiivde tatgéaéioitrÎA^ ;9#i^du pbi|i)g(tow6trah ,

il^s d«ax GMvbes &fetfi'<«iiPaAt ^ire eUes ufie lowièce^d'^&tnej 4it r4Ui6 j^r rapport à l'aiiire^Mft^eafpûibêUii^Al'ÎAfimt» mmièm d'étfe qiui Haug«MDii^|ée par la manière d'être , entre elles et au point m y des deux courbes G et G'.

Ainsi : 1* si les deux courbes G et G' se <îwp^nt au point m , les deux courbes B et B' tendront à se couper à l'infini ;

%"" St l^s.dcw courbes G «t. C' ont un ^eont^^t du* prenier ordre en le point #n , l^s^deux courba B et B' ainrQnt un contact du premier ordre à l'infini ;

^"^ Si les deux courbes G ^t G' ont un conlact du deqxième ordre en le point 191, les deux courbes; B et B' auront un conjLact dju. deuxjjèine ordre ^ J'infini y etc. > eto,

yQu vQJt dooCf par. ce qui i^récàde, qu'au moyen de la perspective » an peut ameiiep uapgint si|U)i à l'infini sur le plan géométralj en un point ^itué k distance 6nie^.snr Jie tabkmj.ei que ee point sera toujoura situé sur ja Jigne d'horhion*

.IXè^ lor^s on cao<}oit. de quelle utilité peut ^tre la perspective^ pour connaître 1^^ manière d'être entre elles des lignes courbes situées sur un même, plan et qui passent par nn même point situé à Tiofini.

Nous allons appliquer ce qui vient d'être dit à la recherche de quelques pto^ priétés relatives aux sections coniques.

î vni.

Plaçons la fig. 7 sur le tableau , de manière à ce que le point p soit sur la ligne d'horizon.

On pourra donner à la fig. 7 deux positions : ou 1* la tangente se confondra avec la ligne d'horizon , ou 2* la tangente sera inclinée par rapport à la ligne d^horizon.

Dans le premier cas, les sections faites par le plan géoméiral dans les divers cônes ayant Vœilo pour sommet commun et pour bases les diverses ellipses P, et M,, M/yM/',... seront des paraboles.

Dans le deuxième cas, les sections faites par le plan géométral dans les divers cônea seront des hyperboles qui auront une asymptote commune, laquelle sera donnée par l'intersection du plan géoméiral et du plan (o , 6) tangent à tous les cônes suivant la génératrice (0 , p) qui leur est commune.

Dans le premier cas y toutes les paraboles intersections du plan géométral et des cônes Ipy M,), (o. M/), (o, M/'),... auront un contact du second ordre à l'infini, et ce contact aura lieu pour chaque are infini.

Dans le deuxième oei^j toutes les hyperboles sections faites par le plan géométral

dâ&s ieg Gôaéft (o , ■,) , (o y H/) , fo, V.'') ,.<^. Mronl un COBIMI do seeond ordre à rinfini , et settlement entre les arcs qni ont même asymptote*

Il sera Tacile de constraire l'épare et d'énoncer divers théorèmes. Ainsi , pour les paraboles , on voit de suite qne Ton peut énoncer le théorème suivant ;

Étant donnée une parabole P/ {Jig. 10} , une tangente 0' en on point p' de cette courbe et son diamètre infini A' passant par le point de contact p'; menant une suite d'ordonnées mV, nt'n"j.,. parallèles à la tangente 0' ; prenant les points mi- Keux q\ q\.. de ces ordonnées , et menant par ces points des droites h\ B'V*parallèles entre elles et au diamètre A', ces droites B', B'\.. couperont Ja tangente 9' en les points t\ t^... Cela posé : si Ton cons truit une suite de paraboles N', M'V . . respectivement tangentes à la droite 0' en les points r\ t'\... et ayant respectivement pour ccrdcÈ les ordonnées mV, mTn'y... toutes ces paraboles auront entre elles un contact du second ordre i l'infini , et ce contact aura lieu pour l'un et l'autre arc infini j et ainsi pour les arcs situés à droite > comme pour les arcs situés à gauche.