LIV

Nous n'avons parlé des cadrans qu'en les considérant sur le côté du plan tourné vers le plan vertical élevé sur la section commune au plan incliné et au plan horizontal , parce qu*il est clair que le cadran tracé sur l'autre face serU parfaiteinent égal au premier, avec cette différence que le centre du cadran sera placé différemment y c'est-à-dire qu«, si dans le premier le centre du cadran est vers le haut du plan, il sera vers le bas sur l'autre côté du plan.

VB& -'

fiAr.

Jusqu'ici nous avons supposé que le soleil faisait constamment sa rétolation .

journalière autour de la lerre en iringt-qualre heures, mais on a reconnu par

observation qu'il emploie iiuelquefois plus et quelquefois moins de vingt-qbatre

heures à faire cette révolution , en sorte que le calcul du temps, à raison de

vingt-quatre heures par jour, ne cadre pas exactement tous les jours avec le temps

vrai, cependant, au bout d'une année, il se trouve que le soleil a fait le même

nombre de révolutions que s'il avait employé viogt'-quatre heures exactement à

faire chacune d'elles. L^année, partagée en jours égaux de vingt-quatre heures ,

c'est ce que l'on appelle le temps moyen. C'est celui diaprés lequel sont réglées Temps moym.

les horloges, parce qu'il n'est pas possible de les assujettir aux différentes varia*

lions que Tinégalité du mouvement du soleil fait subir à la longueur des jours.

Il suit de là qu'une horloge bien réglée marquera ordinairement midi lorsque

le cadran solaire marquera une heure différente; et que les cadrans faits comme

nous Ta vous dit ne donnent que le temps vrai, et ne peuvent pas servir à régler

les horloges.

Mais comme on sait par les tables faites d'après l'observation , la différence du temps vrai au temps moyen pour tous les jours de Tannée, qui est ce (|ue l'on nomme l'équation du temps; et que l'on sait par conséquent, dans quelque jour que ce soit, à quelle distance du méridien du lieu ou à quel point de Téquaieur le soleil se trouve lorsqu'il est midi au temps moyen, on pei^t, par les règles que nous avons données^ déterminer pour un jour quelconque le point où le soleil marquera son ombre lorsqu'il sera midi au temps moyen. Là courbe tracée par les points d'ombres ainsi déterminés pour tous les jours de Tannée, (orme ce qu'on appelle la méridienne du temps moyen, parce qu en effet il sera midi au temps moyen toutes les fois que Tombre se portera sur celte courbe.

On voit, par exemple : dans les tables de Téquation du temps que le 2 novembre il est 11*" 43' /i.6" au temps moyen lorsqu'il est déjà midi au temps vrai , il faudra donc chercher sur la ligne de 41^ 43' 46'' le point où se porte Tombre du soleil le 2 novembre (§§ ^^ ' ^^' ^^ XVII), ce point appartiendra nécessairement à la méridienne du temps moyen : on trouvera les autres par la même méthode.

La courbe ainsi tracée, à commencer du 24 décembre où le temps moyen •'accorde avec le temps vrai, partira de la ligne qui marque sur le cadran le midi du lieu, elle s'en écartera ensuite progressivement pendant un certain temps et viendra la recouper le 15 avril, puis'elle s'écartera de nouveau du côté opposé, et s'en rapprochera de manière à y arriver le 1 5 j uin ; de là la courbe repassera au

M<hridl6niM

da

taupe moyfm.

vis- 41

premier côté de la méridieDoe, el après s'en être éloigné d'une certaine quantité, elle tiendra la recouper le 4* septembre; enfin après s'être écartée de Fautr côté pour la deuxième fois, elle viendra se refermer au point du 24 décembre» Eo sorte que cette courbe doit avoir à peu près la forme du ekiffreS Ira versé è peu pfès dans son milieu par la œérîdieone du lieu.

1 LVl.

Nous n'avons, dans le § LY, considéré qu'une seule des faces des plant pour y tracer des cadrans. 11 est évident que ceux que Ton traceraii sur la face opponée , sont parfaiteipent égaux aux premiers , aveo oette différence seulement, que si le centre du cadran occupait dans le premier cas la partie baute du cadran , il «era placé dans4e second vers la partie basse, et réciproquement : parce qu'ils foai alors iace à des pûles opposés»

DéfdoppeaMBi ée qnetqoM proMèH^M de gnomonlqiie

par la trigonomélrio spbériqne.

( Extrait da démoiie de M. Pkabt en 1S99 ).

Plandieiv. Deiu; points (fombre étant dauués par observation^ trower ta luaOewr du pôle mar k plan , et la ligne souHylairCy mppos4 comme la déc l i na ison d» soteiL

On mesurera la hauteur AC du style, et les distances AB, AD du pied do style aux points d'ombre B el : avec cette hauteur et chacune de ces distances^ on formera deux triangles rectangles ; l'angle ACB de l'un et Tangle ACD de Taiitre, exprimeront les distances du zénith au soleil dans les instants où les points cot^ respondants B et D ont été observés. On mesurera ou Ton calculera aussi l'angle BAD que font entre elles les deux lignes d'ombre AB et AD* Pi. ^^ Gela posé , u l'on rc^éseate par AGBK le méridien du plan ; que P soit le pôle

du monder, C le ^éoith du plan, et le soleil supposé aux points E et F dans les momentd oà Ton a observé les deux poiats d'ombre : rare CE swa exprimé pat lanfile AC&, et l's^ CF pa^ l'angle ACB. Avec «es deux côtés, et Tangte EGF qui Mt colui des deux Ji|^es d'ombre^ ou ealcuilera dans \ù triangle EGF la dîstaMa SF entre lea deux positions di^ soleil dans b^ inHiNits ou les obserwtiaas enl été £aiUea ; on tôlculera 4ussi rai^ £FC.

Si Ton iins#iMopauîieksar€si^etPFi«(wài4«pAbi mx pointe 4^ poMikA

du soleil y ces arcs étaot iea wgplémante d« kl décUaftiMM seroai ctenos, nais nous venons de calculer EF^aÎQsilea^rMacâtégcki uîm^ VWEaeÊMA comma; ott pourra donc calculer l'angle PFE. I^ diSérMce Mtfeiet angle et Tattgte câlcolé EFG fera connaître l'angle PFG du triangle PFG , dans lequel on .Monli d'«l« leurs les deux côtés PF et CF. On pourra donc cakmler te cùté PG qui est la distance du pôle au zénith du plan^ et par coi^séqaeat le ooim>lé«Qie0 do la hâuteot du pôle sur le plan ^ première chose cherchée. Oa cstcutea auMt l'angle FGF qui est celui que la soustylaire fait avec la lign^ d'aniMra AD| aînaî h Muatyiaire sera aussi trouvée ; c'est la deuxième partie du problème*

La êouêiglabre et un priai dmére éùmi érnméê, trûtwer ta hontenr et pâk sur le pUaif 9Mfifmé qtdm êoeke la âéelmâion et mUt m moment a& k pabu âanéreaéii observé.

Au BM^en de la longueur de Tombre observée et de la hauteur du style , on ng. ». connaîtra comme au problème précédent la distance GF du zénith C du plan au <>

soleil , au moment de l'observation ; et la soustylaire étant donnée on prendra ^

l'angle qu'elle fait avec la Hgne d'ombre , ce sera l'angle PGF du triangle PGF, dans lequel, outre cet angle et le côté CF> on connaîtra encore le côté PF complément de la déclinaison du sirfeil j ainsi fon aura assez de données pour calculer le troisième côté PG qui est le complément de la hauteur du pôle cherchée.

s* PRQ&LfeME.

La hauteur du pôle sur le plan , un peint d ombre et la déclmAson du soleil étani ém^s , iromer t angle que fait la soustylaire avec la ligne Nombre.

L'arc GP est le complément de la hauteur du pôle donnée^ on calculera» au ^ ^* moyen du point d'ombre et de la hauteur du style » Tare GF qui est la distance du zénith du plan au soleil , enfin le côté PF eat le complément de la déclinaison donnée du soleil dans le triangle G PF; les trois côtés seront connus, et Ton pourra par conséquent trouver l'angfe PCP qui est l'angle que la ligne d'ombre fait avec la aouatylairey ov son auppléaient

V angle de la soustylaire avec la verticale, la hauteur du pôle du lieu et Cindùmson . duplan, sHlyen a , étant donnés^ trouver la hauteur du pâle sur le ptaUf la différence des méridiens 9 et la déclinaison du plan.

r«. €. Soit représenté le méridieo an lien par le cercle PGBR ; soit P le p61e le ptos

Yojsio du léoiib G da Hea ; PCB le méridien du plan , en sorte que C soit son léoilh; CGR sera le Tertical commun et C6 h distance du zénith du plan au zénith du lieu.

Or dans le triangle GPG , GP est donnée c'est le complément de fa hauteur du pôle du lieu ; GC est aussi donné par Tinclinaison do pian , et Tangle PCG est Clément conoa , puisqu'il représente celui que la soustylaire fait avec la verticale. On pourra donc calculer les autres parties de ce triangle, savoir : le côté CP, complément de la hauteur du pôle, sur le plan; l'angle CPG, qui est la diflerence des méridiens du lieu et du plan; et, enfin, l'arc GP, qui exprime la déclinaison du plan , ou son supplément.

Remarque* Dans le triangle CPG, on a : sin : GC : sin PG :: sin CPG : sin PCG, ainsi sio CPG = sin PCG multiplié par sin : GC, divisé par sin PG, c'est-à-dire que le sinm de la différence des mérûUens ett égal au produit de rangle de ta son- $tylaire avec la verticale par le sinus de t inclinaison du plan^ dimsé par le cosinus de ta

hauteur du pôle du lieu.

Dans le même triangle , on a :

iin P : mdG :: fiînCG : sin PG Ainsi :

. «^ shiGCxsioG tinind. xsindécl.

8mPG= 1—5 == r— rr

8ID P Sin P

mettant pour sinus P/sa valeur trouvée ci-dessi^, on a :

. ^^^ m déd. X cdB kL

•m PC = : — ^pr^

sinPCG

G'est-à-dire*que le cosinus de C élévation du pôle sur le plan est égal au sinus de la déclinaison du plan multiplié par le cosinus de la latitude du lieUj divisé par le sinus de l'angle que la soustglairefail avec la verticale.

r PROBLÈIIE.

La plus couru ombre ou la hauteur du pôle sur le plan , ta hauteur du pôle du lieu et l'inclinaison étant données^ trouver la soustylaire^ ta différence des méridiens et la déclinaison du plan.

On connaît par les données du problème les trois côtés du triangle CPG, car

PG est le complément de la latitude du lieu ou de la hauteur du pôle du lieu,

. PC est le complément de la hauteur du pôle sur le plan , et CG, la distance du

zénith du plan au zénilhdu lieu , est donné par l'inclinaison donnée; on pourra

donc calculer les trois angles, qui sent les inconnues cherchées dans ce problème

Fig. e.

Il finit remarquer que la détermination précédente par l'angle de la 80U8tylain& avec la verticale, est préférable à celle-ci lorsque le plan décline peu, parce qu'alors pour beaucoup de changement à Tangle de la soustylaire avec la verticale 9 il en arrive peu à la hauteur du pôle sur le plan ; mais quand il y a beaucoup de déclinaison du plan, c'est tout le contraire.

Ce problème et le précédent sont , dans la pratique , toujours préférables au

4* et au 5%

Vn point (tanibre , la déclinaUon du uAeil, la hauieur du pôle y du lieuj et tincU-naiêcn du plan étant donnés, ifouver la hauteur du pôle mr le plan.

F étant supposé au pôle, G au zénith du lieu , et G au zénith du plan, et le soleil placé en S au moment de Tobservalion , le point d'ombre donné fera con- ^^ ^' naître la longueur de l'ombre, et par la hauteur du style la distance du soleil au zénith du plan : c'est l'arc GS ; la distance GG entre les deux zéniths est donnée par l'inclinaison du plan; enfin l'angle GGS compris entre ces deux côtés est égal à l'angle qu'u ne verticale du plan fait avec la ligne d'ombre ; ainsi dans ce triangle on pourra calculer SG , qui est la distance du soleil au zénith du lieu, ainsi que l'angle CSG.

Mais dans le triangle PSG nous venons de trouver SG; PS est le complément de la déclinaison du soleil , PG le complément de la hauteur du pôle du lieu ; on pourra donc , dans ce triangle , calculer l'angle GSP ; la différence de cet angle et de l'angle CSG trouvé dans le premier triangle donnera l'angle GSP, en sorte que dans le triangle PCS , outre cet angle, on connaît les côtés PS et CS entre lesquels il est compris, on trouvera donc CP, qui est le complément de la hauteur du pôle sur le plan. Ce qu'il fallait trouver.

Si le point d'ombre était pris sur la verticale du pian, le problème aurait une solution plus prompte et plus simple ; en effet le soleil se trouverait alors en un point S du vertical commun , et l'on connaît GS par la longueur de l'ombre et pi^ ^ par la hauteur du style, GG est connu^par l'inclinaison du plan; ainsi on con^ naîtra GS par une simple soustraction , de manière que les trois côtés du triangle GSP seront connus; ainsi on pourra calculer l'angle PSG, son supplément sera Tangle PSG du triangle PSG, dans lequel on connaît d'ailleurs les côtés PS et CS ; on trouvera donc CP, complément de la hauteur cherchée.

Le mêmes choses que dans le '8* problème étant données , trouver la déclinaison du plan.

On connaîtra GS et l'angle G6S comme dans le problème précédent , on cher- ng. a

5fiO —

' de cet angle avee l'angto GGS dcoiiera Vm^ P6C , qoi est la décliiiakon évfpha .00 son suçfléam^^

iO- PROBLÈME.

Par C observation du satàl qui est faiie larsquHl rase le ptan^ trouver la déclùms^ du plan, supposé que ton sache la 4tcknés9n du êoleily ta hauteur du pôle du lieu et timclinaison du plan.

Pour connaître par observatian qvaiMi le Mieil rase le pla« , c'esk-^à-dife qoattd il est dans le plan du cadnw f il faat a?oîr uae grandie régie sur le plat de laqfaelle il 7 ait deux pînnules dressées aux de«x boots, dont l'une soit percée au centre pour laisser passer les rayons du soleil , et Taulre disposée de ■nméte à les recevoir sur un cercle dont le centre sait correspondant au trou de la prenisèce pinule; cette règle , sâasi ptéparée^ sera appliquée de plat coAtre le plan, et pointée continuellement vers le soleil , jusqu'à ce que Timage du soleil timibe justement dans le cercle de la deuxième pinnule ; alots sans dq>lacer la règle aé tracera une ligne qui représentera le rayon du soleil au moment où il auia rasé le plan , supposé que le côté de la régie soit bie» parallète à la ligne des oestres des pinnules*

On mesurera ensuite l'angle que la ligne ainsi tracée fera avee la verticale, fis. r. ^ «c A. Soit ÂD le grand cercle de la sphère parallèle au plan du cadran ; C son xén i fh ;

P le pôle élevé sur le pian; G le zénith du lieu qui sera dans le plan eu cadcan s'il n'y a point d'inclinaisou ifi9*f)i ^ '^ centre du soleil j^acé dans le plan du cadran au moment de Tobservation ; H le point d'intersection du même plan arec la verticale commune C€L L'arc SH sera mesuré par Tangle formé par la verticale du plan et par le rayon mené du pied du style au soleil au moment où il rase le plan.

Ainsi dans le triangle SPG {fig^f )j lorsque le point G se confond avec lepoânt È à cause de l'inclinaison nulle, on connaîtra SH et SG par l'aagle de ta vert»** cale avec la ligne tracée dans l'observation ^ PS complément de la décUiiaison dm soleil, et PG , complément de la hauteur du pôle du lieu, on pourra donc cal-*culer l'angle SGP dont le complément CGP sera la dédînaison du plan.

Si le plan est incliné , le zénith G du lieu se trouvera hors du plan. Mais le triangle GSH sera rectangle et l'oo j fMoattra SH comme au cas précédent, et GH par l'inclinaison du plan : on trouvera donc SG et l'angine SGH ; en sorte que &ns le triangle SOP, où PS et PG sont donnés par la déclinaison du soleil etp^iff la latitude du lieu , on connaîtra les trois côtés avs^ lesq^uels on calculera l'angla

lâSP ;, ainsi en prenant la somme ou la différence Aq cet ^ngle et da ÎAHigle S&B^ on aura fangle PGG qui détermine la déclinaison*

il* PROBLÈME.

Im déclûmi99n (tu plm yéUwt dmmde^ trotmarla ha$itmf éb^ffUe m» k fim^iaUfne êaustykdre et la différence (Ifis méridiens , $vtppo$é la hauteur ém pôle du lieu et tiueii^ naison du plan»

Par Les données oa connaît ian& le triangle PCG^ CG distance du sénîth da ^ ^ plan au zénith du lieu , connue par l'inclinaison du plan, JPO <H>iiipléme!nt de la hauteur du pôle du lieu , et Tangle PGG connu par la déclinaison ; on pourra donc calculer toutes les autres parties de ce triangle; le côté PC sera le complément de la hauteur du pôle ^^ur le {dan^ l'angle PGG , ^ui e«t .cehii ^we la BouéiylaiFe fait avec la verticale, et enfin l'an^flç CPG, qui est la différence des jnérîdîensdu lieu et dq plan. *

La dédinaisan du plan et son inc&naison étant donnée , trouver fobUqtâU de taUgne méridienne*

Dans les fig. f, g eth^ la ligne méridienne du lieu sera dirigée du pied du slryle au point où le m^idien du lieu PG est coupé par le plan du cadran ; or dans la 6g: /, où rinclinaison est supposée nulle , le méridien du lieu ne rencontre le plan du cadran qu'au zénith G ] ainsi dans ce cas la méridienne du lien est verticale dans le plan du cadran.

Dans les iig. ^ et A , la méridienne du lieu va du pied du style au point où le méridien du lieu PG eat ^e^Mipé par h ^n du cadran ; or dans k fig. /, où l'inclinaison est supposée nulle , le méridien du lieu ne rencontre le plan du cadran qu'au zénith G ; ainsi , dans ce cas ^ la méridienne du Ue^ est verticale dans le plan du cadran.

Dans les fig. ^ et A la méridienne du lieu va du pied du style au point I , et la verticale du plan va au point H , où ce point coupe la circonférence GG du vertical commun ; ainsi Tare Ul sera la m^swe de Tobliquité de la ligne méridienne ; mais dans le triangle GHI , GII est connu par rinclinaison ; l'angle ifiG est droit , et l'angle IGH est la déclinaison donnée du plan ; on poiirra donc ealculer l'angle ou l'arc cherché GI.

RcMARQUii. Dans le triangle rectangle GHI on a ;

„. tang IGI X sin GH tapg.HÏ = —5 g

c'est-à-dire que Ux Êtmgente de Cangte qiœ la méridienne du lieu fini avec la duplan, e$t égale à la tangente de ta dédinaisan du plan muU iplié par le connu» de son tndinaiMî , d&oisée eneuiie par le fagon.

^ La différence des mérid&eni étant donnée , trauoet F heu redela Mu$tylaire.

Oh réduira cette diOTérence en temps à raison de IS"" pour une heure, et le produit en sera compté depuis midi si le plan est vers l'occident; si au contraire le pian tourne à rorient, ce produit sera retranché de 12 heures, le reste sera rheure de la soustylaire.

ii' PROBLÈME.

Fig. i. La hauteur du pôle étant donnée ^ trouver la moitié du plus grand jour.

Soit HL Thorizon parallèle au plan du t^dran , AQ léquateur, P le pôle , S le point de Técliptique où le soleil a la plus grande déclinaison. Si Ton imagine Tare PS mené par le pôle au soleil prolongé jusqu à Téquateur qu'il rencontre en D, Tangle D sera droit et Tare OD marquera l'excès de la moitié de l'arc diurne du plus grand jour sur la moitié XO de l'arc diurne équinoiial , c'est-à-dire son excès sur six heures. Or dans le triangle rectangle OSD on connaît DS , qui «st égal à la plus grande déclinaison du soleil. ou à l'obliquité de Fécliptique; on connaît aussi l'angle O, qui est l'élévation de l'équateur, et par conséquent le complément de la hauteur du pôle du lieu; on connaîtra donc l'arc OD, quel'oD réduira en temps pour l'ajouter à six heures et avoir pour leur somme la moitié du plus grand jour.

Or : sin 0D= 22L22yî!5L5Ë, ainsi le sinus de Fore qu'il faut ajouter à 90* pour la

moitié du plus grand jour, est égal au produit de la tangente de la hauteur du pôle du lieu par la hatUeur de Cobtiqmtéde técliptique, éansée par le rayon.

Déterminer les heures qui doivent être marquées sur un plan donné.

Si le pian est horizontal, le problème se trouvera résolu en déterminant les heures du plus long jour.

Si le plan regarde le même pôle que le plan horizontal , il fendra chercher l'heure de la soustylaire, en retrancher la moitié du plus grand jour du plan pour avoir l'heure du lever relativement au, plan, et ajouter à celte heure de la soustylaire Ja moitié du plus grand jour du plan pour avoir l'heure du coucher pour

ce plan : mais il faut savoir si le soleil , aux* heures trouvées , sera sur rborizon du lieu ; ce qui est facile , en employant l'heure du lever ou celle du coucher au plus grand jour du lieu.

Pour les plans méridionaux dans un lieu septentrional j au contraire il faut trouver C heure à laquelle le soleil se couche oit se lève à F égard du plan proposé; ce qui suppose la hauteur du pôle du lieu et la déclinaison du plan : on fera donc (la proportion), comme le rayon est au 'sinus de la hauteur du pôle du lieu f ainsi la tangente de la déclinaison du plan est à la tangente dun arc, qu il faudra ôter de 90" ou de six heures si le plan est oriental^ ou bien quHl faudra ajouter à six heures si le plan est occidental. V heure ainsi trouvée sera la première ou la dernière quHl faudra marquer sur le plan.

Cette partie soulignée de la solution du problème est copiée littéralement sur le mémoire de M. Picart ; mais il paraît que la proportion qui fait connaître la quantité qu'il faut combiner avec six heures est fausse, car dans le cas*dont il est ici question , le plan du cadran et le plan horizontal font face à des pôles opposés. Ainsi, quand les arcs diurnes croissent pour Tun, ils décroissent pour l'autre, et le plus grand jour pour l'un et pour l'autre, en supposant qu'ils puissent se porter empêchement respectivement par leurs horizons , sera celui où le soleil se lèvera ou se couchera au point d'intersection de ces horizons; et ce plus grand jour qui a lieu pour le plan , parce qu'en effet il reçoit empêchement par Thorizon du lieu, ne sera jamais de plus de douze heures, parce que les deux horizons se coupent en des points communs avec l'équateur et le partagent en deux parties égales : ce plus grand jour sera donc au temps de Téquinoxe. Or, le soleil élant.dans l'équa* teur, la différence entre les origines des arcs diurnes pour le plan horizontal et pour un plan vertical déclinant est évidemment égale à la différence de leurs méridiens ; et quelle que soit l'inclinaison du pian supposé, son horizon coupe l'horizon du lieu aUx mêmes points où celui-ci est coupé par l'horizon du plan vertical , de même déclinaison que le plan supposé. Ainsi , quelle que soit la situation du plan supposé, ladifférence de l'origine de son arc diurne aVec l'origine de l'arc diurne du lieu sera égale à la différence des méridiens du pian horizon* tal et du plan vertical de même déclinaison que le plan supposé : c'est-4-dire que^ s'il est oriental , le lever pour le plan devancera six heures d'une quantité égale à cette différence des méridiens^ et s'il est occidental il retardera au contraire de cette quantité. L'inverse aura lieu pour le coucher.

Mais ( § XXXI) la différence des méridiens du plan horizontal et d'un plan vertical déclinant est égale au produit de la tangente de la déclinaison multipliée par le rayon , divisé par le sinus de Ja hauteur du pôle du lieu. Ainsi /la propor* tion ci-dessus est fausse; car elle donnerait cette différence égale au produit de la tangente de la déclinaison multipliée par le sinus de la hauteur du pôle divisé

imrtofttyoft. Wmc ia ttidme formuTe 'qm sert à tfoaver la susdite âîÏÏSrence dep «éiitfefiS senin A la solution de ce problème.

DaeDomon

et de la Miistylaiie.

De

te déeUoaison.

Méridienne.

Ce qu'il ftiQt eonnaltre

pour

fidie on cadran

flnronplan

donné.

Flg.I.

fiquinoxial.

Umites de rombre.

Grandenr

do cadran, on

haatearda point

portent l'ombre.

i. Um pbfM opaque, peiw^te 4'wi imii -ifsiàé pMr Jaisser paner KhrmMfll un TAif^aé^ liipiise^, ^oi aMteiHie au-dessus d'vn pho ao awfên dNm o« ptu»» ^îmrs svpp^fte^ 4iwr9e wi g^eafiMi* Le pci^t-qui i^épmA dm» le pilm perpendl^ cttlaircniaaiA» i»#u de la j^aque «et Je pied en gaenMB, Si ^u pied <lo gnomra on trace ^m ^M de eevelesur le plam, et ^«e Ten marqve but eet dro tes detnr pwita eè la kimière eu aeleîl se portera en passant m tmers du gtiomon , et qieTee divise la partie âe eet arc comprise entre les deux points observés, par «ae UgBeMeaée du pied du gnomeii, eette li^fse sera ia soos^lavre du plan.

S. Si Ton imagine un plan quelconque coupé par un plan horizontal sur lequel eSL a tracé, comme nous venons de le dire , une soustjfaire on une méridienne ; Fangle que la m^idiene fera avec la section de ces deux plans marquera la dé^ cliBatsaD du pim qui n'est pas horizontah

8. La sowtylatre se confond ou , pour mieux drre , devient effe^mème fa mëridienne du liev eà l'on est , lorsque la déclkiaison du ptan sur lequel elle est située est nulle*

A. Il aafih de connaître la soustylaire d'un plan ou sa décf tnaison pour y pouvoir tracer un cadran , pourvu que Vim connaiase aussf la latitude du lieu et la situation du plan rdativement k ThoriBon du lieu.

5« Soit tirée fa ligne ab (fig. I) pour représenter «ae méridieme et ayant ftil l'angle bac égal à fa larlitude du lieu , soit menée par un point queloenque c de fa MigÊA ae la perpendiculaire eà (*) : le point b ainsi déterminé fixera la position de fa ligne équinoxiale)^, que Ton méineffa par oe point b perpendieufairement à fa mérJcbeane.

Si f on fait ckacun des angles bœ , bcd, de 23^ 28^, les points e et df ainsi déler«minés eeront les Umî^eB de l'ombre du point c du style « sm^ fa méridîeiHie^; ainsi rosnbreéa ssyle enésr oeeupera fa longue^ir ad. Mais si, au Keu d'un style on n'earipfaae qu'un seul point c, comme le Irou d'une pfaque, alors il suffira de donner au cadran la longueur edy pour que l'oiubre soit (oufours^à midi sur le plan.

'6. Lorsque l'on emploie un style, il n'importe guère que l'ombre soit terminée anr le plan : mais c'est d'après ce que nous venons de dire que Pon peut toujxyurs juger de fa grandeur que doit avoir un cadran , lorsque le style en donne ta

(*} el esi perpendiculaire à ac. T. 0.

— 25ft —

^ndeur ; ou de la hauteur oue doit avoir le poini c au-desftvs d« plain, û e'eat la grandeur du cadran qui est donnée*

7. La méridienne AB d'un plan horijfOjQlal iUpt d^uiiée, iracef la M<fcaA d^ Figi n. manière que les heures soient niarquées pai* un style.

On déterminera Téquinoxiale GF (m"" 1) ; puis, ayant pria sur ÀB, 4 commencer du point B d'un côté ou de l'autre, la ligne BVii=^bç{fig. I) , on déevira dupoifll H, comme centre ^ la demi-circonférence IRK à laquelle GF sera tangente ; en* suite oa divisera. ceUe demî-circonférence en douze parties égales aux points i, 2, 3, 4, etc.-, on mènera ^ par ces points de divinoa, des rayons prolofigés jusqu'à Téquinoxiale GF, et du point A on mènera aux points où cette ligne aura été coupée des lignes qui marqueront les heures comprises entre six heures du matin et six heures du soir. La ligne YI — X — VI, menée par le point A perpenr diculairement à la méridienne, sera la ligne de six heures tant du matin que ^ soir. Les lignes qui doivent marquer les heures, avant ou après, soni déterminées par le prolongement de leurs correspondantes déjà tracées ; en sorte qu'en prolongeant, par exemple, la ligne de cinq heures du soir, on aura, de l'autre côlé du point À , la ligne de cinq heures du matin ; ainsi des autres» Les lignes ho raidies étant tracées, il ne reste plus qu'à placer le style mc (fig. I) dans le plan verti cal élevé sur la méridienne , le point a sur le point A et de manière qu'il fasse avee AB un angle égal à Tangle bac {fig. I).

Si Ton voulait avoir des lignes pour les demi ou les quarts d^heures, etc., il n^y aurait qu'à subdiviser proportionnellement les arcs 12-1 ^^l^-^il^ 2-3, etc., qui ont servi pour trouver les lignes des heures entières, et achever la construcUoni comme pour les heures.

8. Si au lieu d'un style on voulait employer un gnomon, il faudrait faire Fig. iietm. AO c=: ao (Jig. I) , et placer le gnomon de manière que le trou de sa plaque fût

élevé perpendiculairement au-dessus du point O et éloigné de ce point d'une *

quantité égale à co {fig. I).

Si le gnomon était placé d'avance sur le plan, le point serait donné et le point A P^e- ni. indéterminé. On porterait alors la hauteur connue oc du gnomon sur un côté on d'un angle droit moriy et parle point e ainsi déterminé, on mènerait la ligne ca qui, faisant avec co l'angle aeo égal au complément de la latitude du lieu , fixerait suf l'autre côté de l'angle droit la longueur ao, que l'on porterait de O en A {fig. Il) le point A ain^i trouvé, on cQnstruirait le cadran comme il a été dit ci-dessus,

9. Pour marquer te point où doit se porter l'ombre d'un point déterminé c du. Fixer le pointoà style {fig. I), où la lumière passant par le trou e d'uae plaque dans un instani^ ^^^^Sf^ donné, dans lequel on connaît la déclinaison du soleil, il faudrait revenir auj^, toftiant donné, lignes qui ont servi à la construction.

ngp n et IV. Ayant fait ôr =»à la partie AR dû la ligne horaire qui répond à rinstant donné, compriâe entre le point A et Féquinoxial, oh décrira sur cette ligne une demi- . . . circonférence sur laquelle on marquera le point c, en faisant ac=k la' partie du style comprise entre le point donné c et Forigine A du style, ou égale à la distance du troQ de la plaque au point A, et Ton tirera la ligne cr; on fera ensuite Tangle tes égal à la déclinaison du soleil , ce qui déterminera le point s en dehors de Tangle ocr, depuis Téquinoxe du printemps jusqu'à réquinoxed*automne,et en dedans le reste de Tannée ; on portera ensuite rs sur AR , de R en S, et Ton aura ainsi le point S que Ton cherche.

Méiidieniie ^0. On tracera par celte méthode une méridienne du temps moyen , en mar-

datanpsmoyea. quanj Tombre du point cpour tous les jours de Tannée, ou au moins de cinq en

cinq jours , à Finstant où il est midi au temps moyen , ce que Ton connaît par les tables que l'on trouve dans certains almanachs. Si Ton sait, par exemple, «que le 2 novembre il est midi au cadran tandis qu'il n'est encore que onze heures quarante-quatre minutes au temps moyen , c'est-à-dire que Téquation du temps est de seize minutes, on cherchera Tombre du point c sur la ligne de onze heures quarante-quatre minutes, en employant Fangle rcs pris en dedans de H'' 48', qui est la déclinaison du soleil le 2 novembre. On trouverait de même les autres points de la courbe que Ton nomme la méridienne du temps moyen.

Cadran vertieti II. Pour tracer un cadran vertical déclinant dont on a la soustylaire , on choi- ^^^'rt^iw ^^ ^^ point c de cette ligne pour être le centre du cadran ; de ce point on abaissant donnée, sera la verticale indéfinie CM , sur laquelle on prendra CB à volonté , puis ayant Fi vetvî *'^^* ^^^ ""^ ligne indéfinie ab (/jr. VI) la perpendiculaire 6c=CB, on fera l'angle bca égal au complément de la latitude, ce qui terminera' la ligne ab] on tirera par le point B une ligne horizontale qui coupera la soustylaire au point E, et à ce dernier point on mènera une verticale indéfinie que Ton recoupera en un point A , en décrivant un arc du point B comme centre , et avec ab pour rayon. On fera ensuite EF perpendiculaire à la soustylaire et égale à EA , et Ton tirera la ligne CF sur laquelle on mènera , par le point F, la perpendiculaire FK qui déterminera sur la soustylaire le point K de Téquinoxiale GH qui doit être perpendiculaire à la soustylaire. On prendra sur la soustylaire, à commencer du point K, KL=: KF ; ce sera le rayon du cercle qui doit servir à trouver les lignes horaires dans ce cadran , comme dans un cadran horizontal ( n* 7 ) . Mais , au lieu de commencer la division de la circonférence au point tangent K , il faudra la commencer au point N de cette circonférence déterminé par la droite menée du point central L au point M, où la verticale CB, abaissée du centre du cadran , eoupe réqoîQoxiale GU , parce que cette ligne Terticale est celle qui doit marquer midi pour le lieu.

On placera le style dans le plan élevé sur la soustylaire CE perpendiculairemen{ au iplan Teriical , de manière que rorigine du style soit au point c , et qu'il fasse avec la soustylaire un angle égal à Tangle E€F.

12. Si Ton voulait, au lieu d'un style , employer un gnomon , on porterait dans l'angle ECF, perpendiculairement à CE, la hauteur SQ que Ton voudrait donner à ce gnomon , et on le placerait perpendiculairement au plan au*<lessus du point Q ainsi déterminé.

i3. Si le gnomon était placé d'avance sur le plan ; si, par exemple , on voulait employer i marquer les heures celui qui aurait déjà servi à trouver la soustytaire (n"" i ), son pied Q serait donné sur la soustylaire , et sa hauteur SQ serait déterminée. Pour achever le cadran , on mènera par un point quelconque G de la soustylaire une verticale CB, et Ton déterminera, comme ci-dessus (n* 11 ), la position de la ligne AB, au moyen de Tborizontale BE prise à volonté; puis ayant mené par le point Q une Kgne horizontale QT indéfinie et une ligne verticale QR égale à QS, on mènera par le point R la ligne QT parallèle à ÂB, qui, par son intersection avec Thorizontale QT, fixera le point T par lequel on mènera une ligne verticale TX , qui coupera la soustylaire en un point X qui sera le centre du cadran. On tirera la ligne' SX en se servant de cette ligne et de la ligne SQ perpendiculaire à la soustylaire, comme on a fait (n* 11) des lignes GF, F£ (n* 5).

14. L'angle BAE, déterminé comme nous l'avons dit (n* 11), exprime la déclinaison du plan.

15. L'angle KLM est la différence des méridiens du lieu et du plan du cadran. Quand l'angle se portera sur CM, il sera midi pour le lieu , et quand elle se portera sur la soustylaire CE , il sera midi pour le plan ou pour l'horizon de la terre qui est parallèle à ce plan.

16. Ce que nous avons dit (n"* 1 et 2), pour ce qui concerne la grandeur des cadrans relativement à la hauteur du gnomon , peut s'appliquer ici , en raisonnant sur le triangle CSQ (/jf. V), comme nous l'avons fait sur le triangle aco {fig. I). Il en est de même pour tout ce^^ui a été dit concernant la méridienne du temps moyen ( n"* 9 et 10).

17. Pour faire un cadran sur un plan vertical déclinant par le moyen de la déclinaison connue de ce plan , on fera l'angle mon égal à cette déclinaison , puis, ayant mené dans le plan une verticale indéfinie CZ pour servir de ligne de midi du lieu, et pris à volonté le point C de cette ligne pour être le centre du cadran, on mènera par un autre point B de cette ligne, pris à volonté, l'horizontale indéfinie BK, dont on déterminera la longueur en faisant l'angle BCK égal au complément de la latitude du lieu. On portera la ligne BK suiv un des côtés de l'angle mm {fig. VIII) en or, et par le point r ainsi détermina» on mènera lyper-

fig. V.

Flg.V€l t

Mefinatomi

do pIlB

détenidiiéc pw

la soustylaire.

DuKrenaa des méridiei».

Fig. y.

Fig. Vil! et XIX.

CsdiWM

toT det plans

déclinants «ayteotiionaiix.

(Cadrans méridionanx on Mpteotrkmanx.

CadTans

orientaux

ou occidentanx.

Fig. X.

Cadran

t'quinoxial.

Cladrans •

»ur dea plana

inclinas.

peiulicolainrioeat sur Fautca cûlé du mèaie aagle, ce ^|^ dloaMrtt 'n tif wî vp que loBporti^ra de E eu £ sur J'Iiorizontalû BK*; b.iigaieCCi tiré6 4li|^iM C au point B, sera la soustylaire du plan avaa bquaHe aalrafien WoMinm^^ommàil aélédil(nMl).

18. Les cadraAS dont <m \iaQt de parkr toot auffjaér Trif éff iurhi fm des plans verticaux qui est tournée irers le midi; siaîa k cadiaiA traça awr Tattra face est parfaitement égal à celui dont nous avons parlé, avec la a aa t e diffàraoee qa'il est dans une posiiion rcnvecséft :.Ie cenijrs qfiû^.dws>laa eadtana dont nous avoas parlé , était placé vers lekautdu cadraa» saïui plaça patin UtaiHrosdianli partie îniërieu«e ^ ei toat ce que nouaavaDsdkpai» la oaMtracliaia dcapreataw cûttvknl pûriaitemeot aux seconds»

IS. Si U plan veitical a'axait point da tooideilécUonûsi^ mk.le mmUtnmtii coouna un cadran harizantal an anipk^aÀa,, an Uaifr de la hûtada du Ueu^ le eompLéaient de acttc latiloda* •

20. Si le plan, vertical déclÎMiLde 90% a^-estrîifdiae a'iiéta&kparfaiienMitoeMiatal ou oocideutal , la soustylaire C£ fieiaii , an»c la aartîaak CA ^ vm aagfe a^jil au complément de la latkude du lieu. JU cadi^aa a'aiirait paint da aaMra, le siffle n'aurait pss de haulieur ; MN oa MQ, hauteur priser i'wianAé^aaylattraiè amc des supports dans le plan élevé perpaadâcnlaÎBeinaat sw la aaaatj laines eidaoa une position faralléle à cette ligna. Toutealealigfieaboniires atrakaft parallèles à la soustylaire; et pour les placer on ferait PF perpendicuUtfe> k aaasAylaîrey ^t a;yao t pris aur la soustylaire, a coauB^miex d^ paiat B aù> eUa ast coupée par la perpendiculaire PF, un rayon AB:=:^MP oo =arHQ^ aa Uéerttaîl i*ae: deaûcircooféreniuî que Ton diviserait , ea commeaçanx au poiafi B^ 4 mmik de i5* pour cha(|ue heure ; les rayons menés par les points de drasiao paakn^és jusqui'i la tMfienle PF détecmineronL sur celte ligne uo'pQintzpaaaalumiia Ugae d'heures. Ainsi, en inenaat par ces. points des lij^s* pavatlàki i la saaalykîae, oa aarak les Kgaea hojrair^ du cadran ; la sous4^ixe marquarak aix kauaea <ki «atin ou six heuces du soir, suivant que le plan- aérait oBiental ou oaeidaataL LesrkaflKS du matin ne seraient que dans le premier, en aliam du. heral ea iMadufaadnui, et les heures du soû ,. daaa W saaaad » seuiameat aUcs y- sacaknk placées^ an aBant du basau haoi au cadran.

2U Un simple cercle , divké par das rafoos de W mi& paorka faauraaat propoctionnaUement pauv des fFactiaaad'faeuse,.ôiaoi Bravarsé pevpeaâicttlaipement pa£ nn aaa*,. servirait de cadaan.^ aa lerpkçaal de aiaaiiae ^^fae oeiaae §èi dana^Lû plaa vartkaLélaxé'SMJ^ uoaaayiindLenne hctfiaoalalay ak qu'il fit avec elle

an aogle égaL à la latkade du Iku^

Le pian pie u t dtce inebm ^ aièuM càté. q/M i\>ae 4uf avonda et a«^

(rmclhmtmfi qfie«îl MC,iC>i^ ïe premier eas ()fy. !M, X!», Xffï et XJV")^ ou èlre plus incliné que Taxe, c'e$l le deuxième cas {fig, XV^ XYI, WVi €ft * XVIIt).

Lesedeirx atilras «m «uppooeirtTinéTifMifson en sens contraire de faxe.

Hais , en comparant atnsî TîncTimtîson de Taite â ceHe flu pSan , on suppose les ^ !^j' ^m angles d'inclinaison vus dans le «nème pfam. La ronsfrcrcrion est la même pour etxiV; leus ees<ea« : nous «Rons te détaiTIcr de manTftre qtfon puisse la suivrt dans ^'Jl^^i^i^^ lès figures qm ont rapport -à chacun il*e«x. Ilous supposerons seulement la déclî- xix, xx, xxi naison t!ii pfen connue. xxni^^xW

Soit faix 1* un triangle rectangle ade , dans lequel Taujgle ead marque la lali- ^^ ** ^^^ tude du lieu (/^..XI, XV, XIX, XXlilj.

2* Un trisuigle vâcuagle ^^ èmx% lequel l'Migle/^fiaiarf ne rîncli9*ÎM>»du fbm prise dans «a plan peipendiciiiaire aux ligAM lio«iz«nlaAes de ce plM, c^Ml-^i-iUn Tanglfi que ce pUn £ui a^vec «n plan liorizûnlal {fif^ Xll, XVI , ^XX» XXIV ).

3*^ Un triangle iM également rectangle , dans lequeH rangtettf nrarqneladécl!* naieM 4iu pton {fig. XIH, XVII, XXf , XXT).

Cela posé on mènera snr te pTan une Tigne verticale HT! , ou pour mieux Jire une ligne perpendiculaire aux figues telles que op horizontales dans ce pTan , puis ayant pris sur le côté ad du premier triangle, la grandeur ab à volonté , 4 commencer tfu pointa, et mené 6c parallèlement à de^ on portera cette longueur db sur IMiypethénuse kt du troisième triangle de k en ç, et l'on mènera qr parallèlement à il y ou perpendiculairement à ki. Ayant ainsi déterminé la longueur Kr, on la portera sur Te côté 9/ du deuxième triangle de 9 en «3 du côté opposé à celui vers lequel penche le plan dans les deux premiers cas , et du même côté ^ers lequel il pendbe dans les deux autres, en sorte que pour les deux premiers cas , il faudra prolonger gf. Dans ce même triangfe on élèvera au point 9 sur g^la perpendiculaire ^ égale à 6c d« premier triangle ; on tirera ensuite st, qui, étant prolongé dans les deux premiers cas, rencontrera le prolîl gh du plan incliné au point V, on abaissera de ce point v sur gfla perpendiculaire vx\ cela déterminera la longueur gx qtre l'on portera sur le côté ki du troi^ème triangle de t en ^, et Von mènera &;; parallèle à : jf .

On prendra dans le deuxième triangTe gv^ et on la transportera sur la vertîcàTô . MN du plan , au-dessus et au-dessous du point B pris à volonté pour représenter sur le plan le point g du triangle, suivant que le point v se trouvera lui-même au-dessus 4)u au-dessous du point ^. Ayant ainsi déterminé la position dupoînf K sur le plan , on mènera par ce point une ligne horizontale KC égale S la ligne fiu du troisième triangle, à droite ou \\ gauche du point K, suivant qiie le plan

— aM —

aura sa décIioaMon occidentale ou orientale. On aura par ce moyen le centre C du ^cadran.

Du point t du deuxi^e triangle on mènera im perpendiculairement au prolil gv du plan incliné > et l'on portera la longueur 9m sur la verticale du plan, de fi en S , du côté du point K ; par le point S ainsi déterminé on mènera du centre C la ligne indéfinie CS, qui sera la soustjlaire du plan.

Du point S on élèyera sur cette soustylaire la perpendiculaire SQ , égale à ki ligne tm prise dans le deuxième triangle, et Ton mèiiera la ligne CQ, sur laquelle ayant pris à volonté CD, pour la longueur du style que Ton veut employer, on mènera par le point D la ligne DE perpendiculairement à CD; et par le point E, ainsi déterminé sur la souslylaire , on mènera , perpendiculairement à cette ligne, la ligne équinoxiale du plan, qui coupera en un point F la ligne' menée du point G. par le point B, laquelle doit marquer Theure de midi pour le lieu ; ensuite en prenant DE pour rayon , on décrira le cercle qui doit servir au tracé des lignes horaires comme dans les cadrans horizontaux ou verticaux , en observant de commencer h division de sa circonférence au point L , déterminé sur sa circonférence par le rayon mené du centre au peint F de la ligue de midi» .

On placera enfin le style dans le plan perpendiculaire sur la soustylaire, de manière que son origine soit au point C et qu'il fasse avec la soustylaire un angle égal àr angle EGD.

Si c^est un gnomon dont on veut se servir, on observera Hans le triangle CDF ce que nous avons dit qu*il fallait observer dans le triangle €ué {/ig. I) des cadrans horizontaux.

23. La construction des cadrans sur des plans inclinés, telle qu^on vient de

la vi^r, suppose la déclinaison du plan connue ; mais il est plus aisé de fixer la

position de la soustylaire sur le plan, que de déterminer la déclinaison; ainsi il

est nécessaire de savoir connaître la déclinaison diaprés la soustylaire, afin de

pouvoir ensuite tracer le cadran suivant la métfcfbde que nous avons donnée.

Tignm : Soit donc SR la soustylaire tracée sur un plan incliné par un point quelconque

^^^xxix^" s de cette ligne; soit menée une ligne SB perpendiculaire aux lignes horizontales

XXX, XXXI du plan , et par le point B pris à volonté une horizontale BR y ensuite soit menée

xxxin^^nxiv ^^*P^^^ ^ '^ ''S'^^ ^^ perpendiculairement à la soustylaire, et du point D où

et XXXV; elle la rencontre, soit menée sur BR la verticale ou perpendiculaire DE, pour

^^Vi^^ déterminer le point E.

Soit abc un triangle rectangle en 6, dans lequd ab représente une ligne nori* zontale, et Tangle bw la latitude du lieu.

Soit aussi g/h un second triangle rectangle dans lequel g/* représente une ligne horizontale, et Tangle^^ Tinclinaison du plan.

Cela pose, on portera DE sur le côté gh du deuxième triangle, de g en m, el Ton mènera mn parallèle k'/li, qui renconirera ^au point n, et l'on transportera la ligne gn sur ED, de E en 0; puis ayant pris aussi dans le deuxième triangle la ligne mn^ on la transportera sur la ligne horizontale ba du premier triangle, de b en p, et Ton mènera par ce point p la ligne pq parallèle à ac^ ce qui déterminera la grandeur bq.

Du point comme centre , et ayec la ligne bq^ dont nous venons de parler, prise dans le premier triangle pour rayon , on décrira une circonférence de cercle ; et ayant tiré la ligne OB, on décrira sur cette ligne, comme diamètre, un second cercle dont la circonférence coupera celle du premier cercle en deux points ; enfin par le point B et par celui K des deux points d'intersection des deux cercles, choisis de manière qu'ayant tiré la ligne OK, elle se dirige dans le même sens que la méridienne horizontale du lieu , que l'on connaît au moins à peu près ; par ce point K^ dis-je^ et par le point B, on mènera la ligne BK , qui Tera avec BK un angle RBK égal à Tangle de déclinaison que l'on cherche.

On remarque que la ligne OK étant projetée sur le plan horizontal serait parallèle à la méridienne de ce plan horizontal.

24. Nous n'avons considéré qu'une seule des faces des plana inclinés, celle qui regarde le midi quand l'inclinaison du plan est dans le même sens que F inclinaison de l'axe 9 et à celle des faces du plan qui, dans la situation contraire, r^arde le nord, parce que les autres faces des plans ont très-peu d'heures le scAeil dégagé sur leur horizon , et que d'ailleurs les cadrans à tracer sur ces faces sont parfaitement égaux à ceux dont nous avons donné la construction , avec la seule différence dans la position , qui est renversée : ce qui était vers le haut du plan dans les premiers, se trouvera vers le bas dans les autres, et réciproquement.

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