LIVRE IV

AffLicsimii M là CTËraËnnc Mscmrayc ntnc CKGitroAt3BS.

n^gcê. 9 a donné ta ikêMim géo fii é t r î epie ée» e a ^ie liag e s «ylÎBdricfrai i ^cjr*

driqueset coniques à lanternes. Iladév e l»pf 6 fc fbéwie 4es ^f ^unïWfaes droiles,

Moiis tl fl a pMfit pwM très autres di^pmsfi'es ^ ^&t n fi^ nii qfi vfi viqC 9vr ft VIS atiis fin , €t il cite setifeoseM tes «ttgremges de Wîiiie' dhmt tl «goorsift It tliéerie.

Je s«ppese €|iie Ton eomtaisse , «Tant de tire <^ qMt f ic a e tiwt » letlMiftlm eerU par tiachki ic "Sht les enst^mages j el je ceRlHine les ffBeiWf€iws ^waM*^ UTMfaes sur ce srijet important.

Fhisieurs des mémoires confenes êBtns ae qwat t i èBie Ihm 0tH déjà #lép«Mié0y les uns dans le Journal de F École polytechniquep d'autres dans le Journal deê^mti^ viatiques pures et appliquées^ rédigé par M. Liouville ; plusieurs sont inédits et sont déjà anciens, car ce que je dis : 1"* sur les engrenages cléipsydres, a été écrit lorsque j*étais élève de TÉcole polytechnique en 4815; et 2* sur les engrenages à frottement de roulement et à vitesse variable, a été écrit à FÉcole d'application de Metz en 4817, dans mon mémoire sur le projet de machines, projet que je devais rédiger comme sous-lieutenant élève d'artillerie.

J'ai classé par ordre de matière les divers mémoires dont se compose ce quatrième Uvre, sans m'inquîéter des Sates de leur publfcation antérieure.

Apres avoir lu ce quatrième livre, on devra lire l'ouvrage que j'ai publié en 4842 , et qui a pour titre : Théorie géométrique des engrenages destinés à transmettre le mouvement de rotation uniforme entre deux axes situés ou non situés dans un même plan. Cette théorie est le complément nécessaire de ce quatrième chapitre.

car ce sont les diverses recherches ceMîgttée» dhiM' «e qfMinlme «hopître , qui m'ont coodttk ài la ibéorM i^néraleMpMéfi dans Vmm9gB puMléei* 49i3, ébcc

Mte te l ifcff a tr c ^é d tlwaiKt l^i»pri«e«r .

DBM ASM for WÉ wmx M» siwte f>iini6 tw wÈms nAir (^.

M. Lerebvre, Reatenanl-coronel d'artillerie a publié, dans Te deuxième numéro du Iffémoriaf d^artHlerie , une note sur les engrenages , et dans laquelle il décrit ïm procédés qu^iT a suivis pour la construction des roues dentées employées à la poudrerie du Bouchet et à celle d'AngouIftoie.

H a donné aux dlents la fbrme conique, la directrice de chacun des cônes étant me dévelbppante spfiérique; et ît démontre que cette courbe (la développante Spliérique) est prëfôrabîe à Tépicycloïde spîiérîque.

Rmnf fies avantages qne présenté Te système & d<êvetoppantes planes : l"* dé* teloppanfes plane» pour les engrenages cyTindiriques dans Te cas des axes parattéfes ; et S"^ développantes spTicrîques pour les engrenages coniques dans le cas des axes qui se coupent, on doit remarquer celui' de pouvoir à volonté changer de pignon, et par là de pouvoir rapprocher ou éloigner Tes deux axes dé ^engrenage, en augmentant on diminuant l'a vitesse de Faxe du pignon.

La transmission du mouvement uniforme entre deux axes, et au moyen des développantes, était connu depuis longtemps, mais personne , jusqu'à présent» iL'avait complétemeni déer44 le» propriété s dont jouît cet engrenage, et n'avait surtout fait remarquer qu'il permettait de rapprocher ou d'éloigner les axes en faisant varier le diamètre des pignons (^^)«'

(*) Extraitdu Bulletindela société d'encouragement pour rindustrienMtionaleÇaMiie i&29).

(**) On peut éloigner ou rapprocher les axrs , soit dans Tengrenage cylindrique , soil dans reagrenago conique , sans avoir besoin de changer le dianièlre du pignon. Seulement dans la cas où Toa conserve les mêmes roues de l'engrenage, on diminue le jeu entre les dents quand on rapproche les axes , 4A Ton augmente \ejeu entre les dents qnand on éloigne les axes. Cet engrenage ( par dévalopfaolffs ), q^'il soil cylindrique ou qui! soit conique, a donc un grand avantage » c*est de permaUr»4k maiataMr lo /m* constant entre les dents à mesure que le frottement usant les dents tend à ingmfintei leira^

A ce Kuiei M. L^ebtre 8*eiprime aiBsi :

« Il peut arriver que Ton ail i transmetlre le mouvement d'une roue a une « autre 9 en se réservant défaire varier la distance de leurs axes; alors les don- • nées primitives étant changées y la forme des dents ne satisfait plus aux condi- » tions exigées et ne convient plus dans beaucoup de machines , surtout dans » celles qui doivent fonctionner avec une grande précision , telles, par exemple , » que les machines à tailler les vis.

f On 7 fait varier les vitesses angulaires en employant des pignons de diamè- » très différents qui engrènent avec la môme roue ; or un seul de ces pignons » engrène exactement, les autres ne peuvent être tracés rigoureusement, puis* » qu'en construisant ce premier pignon on a arrêté la forme des dents de la roue, » et que cette forme dépend de son diamètre ; d'ailleurs le seul effet du frotte- » ment suffit pour changer cette forme.

» Ces inconvénieuts indiquent déjà suffisamment que la forme épicycloidale » n*est pas la plus convenable; la développante du cercle, exempte de ces dé- » fauts , est donc préférable ; cette courbe jouit encore d'autres avantages que » nous ferons connaître , etc., etc. (^). »

J'ai remarqué que les engrenages cylindriques (les axes étant parallèles) dont les dents sont terminées par des développantes planes, jouissent encore d'une propriété remarquable , et dont les mécaniciens pourront » je crois ^ tirer un parti avantageux dans diverses circonstances. Au moyen d'un engrenage cylindrique à développantes de cercle il est possible (lorsque cet engrenage est extérieur) de transmettre le mpuvement derolation uniforme entre deux axes non situés dans un même plan , et comprenant entre eux un angle quelconque ^ depuis l'angle nui jusqu'à l'angle droit*

Ce problème mécanique n'a jamais été résolu jusqu'à présent, en employant seulement deux roues dentées ; on ne connaît encore que le mécanisme nommé w êOMJinj qui résolve en partie ce problème.

(*) On doit remarquer qoe Too peut oependant , avec la forme épiqreloïdale, faire varier les diamètrea des pignons sans nuire à la précision du mouvement; mais, alors, au lieu de prendre pour le flâne de la déni du pignon , le rayon de ce pignon , on doit prendre l'épicycloïde inlérieure engendrée par le cercle qui a servi à décrire Tépicycloïde extérieure qui termine la dent de la roue*

Ainsi , quant à la facilité du changement de pignon , M. Lefebvre est dans Terreur, ce changement peut s*opérer dans les engrenages tracés avec des épicydoïdes, tout aussi bien que dans ceux qui sont tracés avec de! développantes, et cela , que Tengrenage soit cylindrique ou conique.

Mais ce qui doit foire donner la préférence à la développante , c'est que dans les engrenages ainsi tracés on peut rapprodier les axes , ce qui n*est pas possible dans les engrenages épicycloïdaux , et de plus c*esl que, dans les engrenages à développantes, le pignon peut indifféremment conduire ou être conduit, ce qui ne peut avoir lieu aans aroqueboutement dans les engrenages épicycloïdaux.

Cette propriété remarquable, dont jouit un engrenage cylindrique & âével<^* panteet extérieur, peut permettre de construire un engrenage oscillant; ainsi pendant que l'axe de Tune des roues restera immuable en sa position , on pourra faire varier suivant une loi arbitraire la position du second axe par rapport au premier, en ce sens que si Ton prend la plus courte distance entre les deux ax^s, on pourra faire mouvoir le second axe autour de la plus courte distance et d'une manière variable , pendant que les deux roues dentées se conduiront uniformément.

Et en effet on sait :

V Que si Ton trace sur un plan deux cercles C et C {fig. 1), et qu'on leur mène une tangente commune aa'y on peut prendre un pointarbitraire m sur cette tangente; et que, considérant tna comme un fil, en Tenroulant sur le cercle G, le point m décrira la développante plane d\ que, de même, considérant nuie comme un fil et Tenroulant sur le cercle G', le point m décrira une développante plane (T.

2"" Que lorsque le cercle G tournera uniformément autour de son cenlre o, la développante d conduira la développante d\ de telle manière que le cercle G' tournera aussi uniformément autour de son centre o', le point de contact des doux développantes ( qui est primitivement en m) parcourant la tangente aa\ et que

les deux développantes auront en leur contact m une tangente mt perpendiculaire à la droite aa, et que cela aura lieu en les divers points de contact m, m', m'\..

Tels sont les éléments du tracé de l'engrenage cylindrique et extérieur, dont les dents sont terminées par des surfaces cylindriques (d) et ((/') ayant -pour section droite, pour l'une des roues (G), la développante d, et pour lautre roue (G'), la développante d\

Dans l'engrenage ainsi construit deux dents sont en contact par une portion de la génératrice droite de contact des deux cylindres (d) et (<f% et le plan tangent Cbmmun à ces deux cylindres est perpendiculaire au plan (aa') , qui est langent à la fois aux deux cylindres (G) et (G').

Ainsi, ayant un engrenage cylindrique et extérieur dont les deux axes (o) et (a') sont parallèles, si on le coupe par un plan perpendiculaire aux deux axes, et partageant Tépaisseur des deux roues en deux parties égales, on obtiendra pour secdon la fig. k. (Je nomme ce plan , flan milieu.)

Cela posé, on voit sur-le-champ que si, supposant que la roue (G) reste ho-* rizontale, on fait tourner la roue (G') autour de la ligne aa\ il arrivera ce qui suit : f

i* Le centre o' d» cercle G' (fig. 2) décrira un cercle y, dont le plan sera perpendiculaire à la droite aa\ dont le centre sera le point a' contact du cercle G'

éaiîïvm ymkm m{9'^'i hid t i lu pfâ mte ^pfeti^a^mepcsiliaa rf^^tUiiooa iiBmfc

(€0 piwdA «M poHMn (C'').

9r L'ne {^T) ée h nme (C") m wrt plw m mmm dat m aitee plu mk Pse (•) de iâ 0MedMiée<C>.

ir Le> dgPK<qrli«iiii<<0 1 (0«e wmoM ylt ea omNmI |>ar «le fwcwn de gteéniriee dfoile, «m MsimMot ptr «n fmnt m, 4pB Mm eihii &m CMtael^ »golaire des deux développaotes rfel if tracées dans le planmiliem.

Â"" Les deux dé?eIoppantes d et cT' n'auront plus au poiat IftogMlM, nM des taûfeiieS' d iaii tt et mi et m^\ qm mm aagleégai à oel«î q^ iMt aetoctteaMit (apfèa i tàm de <a dreîle «■') les dt« ans (e) «t (e''), etqvi yendicalaire i la dMile atf^ eleeplan eem «la ph» tngeat4eo«HDni e«x deaic cylindres <d) el (d^

Et 5' la roue (C) transmettra toujours son mouvement de rotation unîiwaw i la roae {C% qael que soit renfle efti p ti sel r e les de«K »es(s^el (O ; <St mAme jMmdaat que Taxe (e'^ s'iaeliaerait saceeseîveaieM par rapperl i faxe (o), et qveile ^ie CM d'aîilears la loi de seo mea^emeal de roMlioa aalevr delà droite mitj et cela peadaat que la roue (C*) loaraera «utear de een se (0*') , eoadaiie <qv'cUe est par b reae (G).

4u8sû6tqae lesdeax aaes (p) et (a") ae aerasd pfass paralMes ^ ies deala me m^ liHit pkis ea eeniact qae par «a poiaty aa lieQ de f être pw wa portkm de dM dés lors toale la pMssioa s'exercera aar eepeâattk A#lieaMataBra«agalHae al aon direet, ei H sera, par eeaséqaeaty pias graad spie ia InsUeaMS

Le nouveau mécanisme proposé semble pouvoir èlre employé a dans les oMchiaes aa Vmm aa eoosidéfara pas la. forw dépeasée, «I aà i'ea B'emploiera que de^ forées qui ae eèroal pas tràs-craodaa.

La % 3 représeaie l'ea^aenape daaa la cas oa las daax roues dadées R «ift' sont horizontales, leurs axes étant parallèles.

Les développaaies ^ tarawnai Jas deats ont posr oarcb géaéiaÉear , samsr : V celles des deals de la rsue R« leaelaie (ct^) (désigaanl leaende par aparajrea) eiâ*" œUesdesdeals de la naae il ,ia œsele (ai).

La ligne droite aa\ tangente oaaaBuae à ces deax aanias, est b Ugae pareosH rae par les ceatacU saocesails des denU, pcadant le la aam— t de rolaûon ttaÂANnme.

La roue R' est portée par une manivelle coudée H, tellement disposée que Vmae de la poîgoée est dans le prolong eraeat de la droite ma' des coataoki; ea sorte que si Ton Caii tearaer danssea bfeiaeat la poî^aëe ds ia ttaaiselie.

de la roue R' prendra oa- BMaveiDCDi de x«)talion autour de la Ugpe droite aa'\ dèft lors les- deui. axee^^es roues R el &' ne seroul plus situés dans un même plaa.

La iig» 4 représente TeagreDege dans le ea& où^ ayant imprimé up mouvement de routioa à la maniveUe coudée qui porte la roue K^, le plan de celte roue R' sérail devenu oblique par rapport k celui de la roue R^ lequel est resté hori** xoatal.

Diaprés les fig. 3 et 4 , on voit que Ton peut donner» au moyen de la manivelle H eià Taxe de la roue R', toutes ie& inclinaiepas possibles; eique, par conséquente les deux axes dea roues de Fengrenage peuvent comprendre entre eux un angle quelconque, depuis Tangle nul jusqu'à Tangle droit. ,

N^. On doit fiiire remarquer que le Iracé tel qu'il est représenté par la Qg. 3 n'a été adopté- que pour mieux conoevoir le système. Les dent& y sont trop longues et le contact se^ fait trop avant et trop après la ligne des ceaures^ ce qui est défectueux.-

Le mouvement de rotation de Taxe {p) de la roue R' autour de la ligne aa! des contacts peut s'obtenir par d'autres mécanismes que la inanivelle M^ l'on devra donc chercher le mécanisme le plus convenable, suivant leJ^eapsi de la machine à laquelle on ferait l'application du système nouveau et décrit succinctement dans cette note.

H me semhie que ce nouveau système é'engrenage peut recevoir le nom d'^n-

oftÊMÊOûe exÈériâMt ùSciUûMim

AP»UC4T10H Wi LA «ÉOEiS WS iUYONS DR COUSBURE »ES ttPlCYCLOÏDES SPHÉRIQUES A LA CONSTRUCTION DES ENGRENAGES CONIQUES (^)»

Lorsque l'on veut transmettre à un axe la force appliquée à un autre axe, on emploie des roues dentées, et l'on donne au système le nom d'engrenage. Les a^es peuvent aflEecter l'un par rapport à Tautre trois positions : 1* Ils peuvent être parallèles ; T ils peuvent se couper ; 3* ils peuvent faire un angle entre eux sans se rencontrer.

(*) Elirait du mémoire publié dans le 23* cahier du Journal de TÉcole polytechnique. C'est la seconde partie de ce mémoire que je publie de nouveau ici, Yo3Fez les Compiêmeniê êe géômétrU diicr iirtî t r , diap^ 21, sft U Biéaoire d« S caaieoila i"* partie.

On donné k nom d'engrenage cglindtkfue au système de deux roues dentées qui servent à transmettre le mouvement de rotation , entre deot ates parallèles , parce que ordinairement on emploie des surfaces cylindriques pour terminer les dents.

On donne le nom d'engrenage conique au système de deux roues dentées qui servent à transmettre le mouvement de rotation entre deux axes qui se coupent, parce que ordinairement on emploie des surfaces coniques pour terminer les dents.

La base des surfaces cylindriques ou coniques qui termtnenent les dents peut èlre arbitraire, en ce sens que celle de la dent qui conduit étant déterminée , on conclut celle de la dent qui est conduite , de manière à ce que la condition suivante soit satisfaite, savoir : que les vitesses des deux axes soient dans un rapport donné , constant ou variable suivant une loi donnée.

Dans les machines il est presque toujours indispensable que le rapport des vitesses des axes soit constant ; et il serait i désirer que Ton pût, par le tracé seul, introduire une nouvelle condition, celle de Tuniformité de mouveinent ; mais les frottements s^y opposent , et cette condition ne peut s'obtenir qu'au moyen d'un volant*

Les mécaniciens emploient deux formes de dents pour les engrenages; dans i^ uns les dents sont terminées par des épicgclmdeSj dans les autres par des dévehp^ pontes , parce que avec Tune et l'autre forme le rapport entre la puissance et h résistance est constant; mais avec Tune et l'autre forme, le travail du frottement est variable; en sorte que, pour que l'uniformité de mouvement subsiste , il faut nécessairement employer des trotte pour régulariser le mouvement de rotation.

Dans les engrenages à épicycUndes la pression entre les dents est variable, tandis que la pression est constante dans les engrenages à développantes.

En sorte que les dents se déforment par le travail, suivarit des développantes dans le second engrenage, et non suivant des épicycUndes dans le premier engrenage.

Cette propriété des engrenages à développantes doit les faire préférer avec raison par les mécaniciens.

Cependant une légère variation dans le frottement ou dans le rapport entre la n^istance et la puissance pendant le temps employé par une dent pour conduire son homologue, ne peut être nuisible dans les grandes machines, et cette considération permet de simplifier le tracé des engrenages cylindriques et coniques en substituant aux arcs d'épicycloîdes ou de développantes ^ qui doivent servir de bases aux surfaces cylindriques ou coniques qui terminent les dents, leurs cercles osculaleurs (sauf à établir des volants pour régulariser le mouvement de la machine ).

Jusqu'à présent, les mécaniciens ont employé des arcs de cercles pour terminer

les dente des engrenai ges ; mais le centre de ces cercles y ainsi que leurs rayims étaient mal choisis, car ces cercles n'étaient point les cercles oscalaieurs des arcs de courbes qu'ils devaient remplacer* Aussi est-on obligé de donner un grand jeu entre les dents de lengrenage. Aussi remarqnc-t-on que lorsque deux ou trois dents sont en prise , elles no fonctionnent pas toutes en même temps , mais alternativement; ce qui produit des chocs et des intermittences qui sont nuijïiblesà la durée de Tengrenage, et de plus donnent naissance à des vibi^ations qui, à la lon|i^ue , débottent et déchaussent les assemblages des diverses parties de la machine; et de plus encore, les vibrations dues à ce tic^^ac perpétuel con* somment une partie de la force motrice.

il n'est donc pas sans quelque importance de connaître une méthode géométrique simple au moyen de laquelle on puisse construire promptement le centre de courbure d'un arc d^épicycloide plane ou sphérique, puisque Ton pourra en faire des applications utiles aux tracés des engrenages cylindriques et coniques.

J'ai dit plus haut que Tinvariabilité de la pression entre les dents devait faire préférer les développantes planes et sphériques pour le tracé des engrenages cylindriques et coniques; mais il existe encore une autre raison non moins importante et qui est évidente, c'est que Ton est forcé de placer rigoureusement les ax^ dans la position déterminée en vertu du tracé, lorsque Ton emploie des épicycloiJes (et cela a lieu pour les engrenages intérieurs et extérieurs) , tandis que l'on peut, pour Tengretiage extérieur seulement (mais dans les machines on se sert plus d'engrenages extérieurs que d'engrenages intérieurs), éloigner ou rapprocher les axes, en les laissant parallèles dans les engrenages cylindriques, ou en les faisant se couper et toujours au même point, dans les engrenages coniques, lorsque Ton emploie des développantes.

De sorte que l'emploi des développantes facilite la pose de l'engrenage extérieur ; et (Te plus, lorsque les dents s'usent, on peut rapprocher les axes , pour diminuer le jeu entre les dents; et ce rapprochement des axes s'effectue sans troubler le rapport existant entre leurs vitesses, ce que l'on ne peut faire lorsque Ton emploie des épicyclotdes.

Ajoutons encore que le tracé de l'engrenage conique est très-difficile lorsque l'on veut le construire rigoureusement avec des épicycloides , et que c'est ce motif qui engagea M. Poncelet à chercher une méthode approximative suffisante pour la prat'que^ tandis que le tracé rigoureux de l'engrenage conique avec des développantes sphériques eigt presque aussi simple que le tracé de l'engrenage cylindrique avec des développantes planes.

Et à ce sujet je vais entrer dans quelques détails ; mais avant je terminerai ces considérations générales, en disant quelques mots touchant la troisième position

— aiô —

4«e les M«» ^msmkvffeiiUSf celle où ils ne sont pa» silué^Janft ua inèaiA|^a&.

Oa n'a<6Ûi ene^^ p» ^^u moyen d'ua eagreBage compMé sevleHieBtile dfiu iMies, tranMMllro le mouvecoeAt de rotalMHi entre deu& axes ainsi aLLués^ excepté dans le cas où ib étaient perpendiculaires entre e«x ^ car alors on ooQr naissait la vis soiisyîii, mecaaisme <}ui ne poavait cepeadani être employé ^ue lorsque Taxe perlant la roue déniée devait se meunoic irèsJentement*

En Ifôi, î'aL iaiLeiéeoter un modèle SMiaionnant, (|ui est dans le cabingt ée VtmsÀi polytechnique (et, avants la Société d'encouragemeot en avak fait esér euter un, a ses firaia, du même genre),, qui montre c|tte le problème, insoluble jusque alors, peut être résolu Irès-facilement. L'unedes roues est à denta cjUn* dri^iies ayant pour base de» développantes de cercles^ l'autre roue a sea dents termoées par des surfaces héUemdu dévêl^pfmUéi |^),

Beê engrenages cylindriques à dévetappantes planes.

l/engrenage cylindrique peut être extérieur ou intérieur.

De Vengrenage extérieur. Daas une note publiée dans le Butlaim de la Société d encouragement pour Cindusirie nationale (octobre 1829)^ j^ai montré les diverses propriétés dont jouissait Tengrenage extérieur , savoir (^*) :

V De permettre de rapprocher ou d'éloigner les axes *, T de permettre de faire tourner Tune des roues dentées autour de la droite parcourue par le point de. contact de deux dents, et d'obtenir ainsi le moyen de transmettre le mouvement de rotation entre deux axes non situés dans un même plan.

Je fis alors remarquer que Teogrenage qui pouvait être employé comme eqgrenage de force, lors du parallélisme des axes (puisque Les dents étaient en contact pax^ une droke dont la longueur variait suivant la hauteur du cylindre qui les terminait, et que, dès lors, l'effort était réparti sur Les divers points de celle droite de contact], ne pouvait plus être considéré que comme engrenage de précision, lorsque les axes faisaient entre eux un certain angle, parce que alors les dents, pendant le mouvement de rotation ,. n'étaient plus en contact que par un point.

Je fis remarquer aussi que, pendant le mouvement de rotation, Tangle des axes pouvait varier à volonté, soit d'une manière intermittente, soit d'une ma-

{*) Voyez dans Touvrnge que j*ai publié ( en 4 S42 chez M. n«idMliar » liJM^iitft éditeur)» sous Lu titre : Théorie géométrique des engrenages destinés à transmettre le mouvement derrotation uniforme entre deux axes situés o« non iftués dam un même plan , le cliap. !!, p. ti et sùiyanfes.

(**) Tiàj'W d-de8âU8 le miteioiro «» I •

nière eontnme; et enBn je 4s t!%serTer que, lorsque les axes n'éUnent.pfait^pamIKIes , rengremge tie pewait Sire i reteur , c^esl-à-Klire , qQ*on ne pa«?ait indmtnicf ement dire iournef à droite oe à gniiehe le roue q«i ceivivisatt ou qui éleit eottdeite.

Je ne m'occupais point dans cette note de Tengrenage inlcricur, liont les fvopriétés diffiN^irt en plusieurs points de eelles de l'eBgnennge exiértear.

Be Pmgrmage Intérieur, fieient C et C (fig. 5 ) éevx cei^les taogeifU ea «t (le cercle C enveleppanl le oeréle G) ; Mtl TT' b tangenle eenuiuine i oe& deui cercles^ regardés cemnie les cercles primttife, et ayant dès 1ers leure tayons dam le rapport inverse des-vite$ees qoe doivent aiK»ir les axes 4 et Rptrallèles entre enx et passant par leurs oentres.

Si ToB trace les deux dé^atoppantes titr 4A mv du oercle C et 4es dmx d é i clo y pantes mr' et mv' du cercte G', on toit que si Tengrenage tourne de gaucbe à droite, la développante mv conduira la développante tnv^ les eontads pareouHM la tangente commune triT.

Et que fli, au contraire, Tengrenage tourne de droite à gauche, ce eeim ii développante mr qui conduira la développante mr, le contact parcourant la tan» gente commune mT\ •

On voit aussi 'sur4e*diaflip : f* Que f engrenage est à retour, mais qae ie cou-' taet des dents parcourt toujours la môme droite TT', que Tei^enafe loariie dans un sens ou dans un autre, tandis que dans fengrenage extérieur le contact parcourait une des tangentes aux cercles primitifs, lorsque la rotation avait fieu dans un sens, et parcourait la seconde tangente aux mêmes oercles, lorsque ia rotation avait lieu en sens inverse ;

2"" Que la position des axes doit être in'variable; on ne peut les élotgaef ni les rapprocher eomnie dafns Tengrenage extérieur ; ce qui rend la pose de ces engrenages intérieurs plus délicate que c^le des engrenages extérieurs;

S* Que le traeé est très-simple et très-facile, cl beaucoup plos simple et plus facile que pour Tengrcnage extérieur, pour lequel il faut iiéeessaîremeot que les deuK tangentes aux eercles prinntifs se coupent aous un angle obU»; et, de phis, pour lequel un tAtonnement est nécessaire lorsqu'on irient à déterminer la coursa de la dent et le jeu à conserver entre les dents. (On pent iroir i ce sujet le mé* moire public par M. Lefebvre, colonel d*artillerie, dans le deuxième aamérodn WêmoTht ifarMterie. Dans ce mémoire M. Lefebvre ne s'est oeeiq)é qae de Tengrenage cylindrique et eoniqué extérieur.)

4* Effdin que la puissance doit loujonrs être appliquée i Taxe de la roue intérieure, si l'on veut que les dents se conduisent à partir ée la ligne des cenlieSt et non avant celle ligne.

lettonne deox Iracés. Dans la fig. 5 , la$ denU ne sont point 6é(>arées par un creux ou intervalle. Aussi ce tracé ne serait applicable que pour de petites roue9 employées dans des machines de précision, la pointe aiguë des dents pouvant être promptement érooussée ou brisée, si Ton employait ces roues dans des machines de force.

De plus, comme il n^y a pas de jeu entre les dents, Tengrenage tournera dans un sens ou dans un autre sans perle de temps; mais il faut alors que la dilatation des dents soit pour ainsi dire nulle avec les variations de température.

Dans la fig. 6 , les dents ont une certaine épaisseur à leur extrémité, et sont dès lors séparées les unes des autres, sur chaque roue, par un creux ou inter^ valie. On peut de plus ménager un jeu avec la plus grande facilité, et rendre oa jeu aussi grand ou aussi petit que Ton voudra. Il suffit pour cela de rogner chaque dent de Tune des roues, au moyen de la développante KK\ distante de la développante primitive kd\ de la quantité voulue pour le jeu. Ce tracé doit être appliqué aux engrenages de force, et le jeu permettra aux dénis de se dilater par les changements de température, sans que la marche de Tengrenage se trouve entravée.

Si je suppose que Taxe B {fig. 5 et 6) restant fixe, la roue C tourne autour de la tangente commune TT', comme charnière, alors Taxe A viendra couper Taxe B, et sous des angles différents, suivant la quanlilé angulaire dont la roue C aura tourné autour de la charnière TT\

Mais on conçoit que si les dents sont terminées pour Tune et Taulre roue par des surfaces cylindriques , parallèles à Taxe B avant le mouvement de rotation autour de TT', ce mouvement- de rotation ne pourra s'exécuter, puisque Tune des surfaces cylindriques est concave et l'autre convexe.

Il faudra donc terminer la dent convexe de la roue intérieure par une surface canale , et la dent concave de la roue extérieure par une surface cylindrique; mais alors los dents ne seront en contact que par un point , quelle que soit rinclinaison de l'axe A par rapport à Taxe B.

Cette construction permettrait de construire des engrenages de précision, mais non de force, et tels que Tun des axes pourrait prendre, d'une manière intermittente ou continue, toutes les inclinaisons possibles avec l'autre axe, depuis le parallélisme jusqu à l'angle droit.

Les deux axes pourraient aussi , tout en tournant sur eux-mêmes, prendre ensemble un mouvement d'oscillation dans le plan qui les contient.

Remarquons que pour Tengrenage intérieur, le retour sera toujours possible, c'est-à-dire que les deux roues pourront à volonté tourner dans un sens ou dans un autre, quel que soit l'angle sous lequel les deux axes A et B se coupent, m

supposant que, pendant le mouvement des roues autour de leurs axes , les plansmilieux de ces roues tournent aussi eux-mêmes autour de la tangente commune TT' : propriété remarquable dont ne jouit pas l'engrenage extérieur.

Des engrenages coniques, à développâmes spliériques*

L'engrenage conique peut être extérieur ou intérieur.

Engrenage extérieur. Concevons deux cônes de révolution {fig. 7), ayant même sommet en S, et pour base, Tua le cercle C^ l'autre le cercle C\ les apothèmes Sm et Sm' de l'un et l'autre étant égaux.

On pourra toujours construire deux plans tangents communs i ces doux côneSi et dans chaque plan tangent tracer un cercle ayant son centre au sommet S^ et pour rayon l'apothème Sm ou Sm'de l'un ou l'autre des cônes.

Ainsi , Ton aura deux cercles ayant pour centre commun le point S, dont les plans se couperont suivant la droite SP, et tels que le cercle D sera tangent en m i la base C, et en m à la base C, et tels encore que le cercle D' sera tangent en n à la base G , et en n à la base C'.

Gela posé :

Supposons que le cercle D roule sur le cercle G et ensuite sur le cercle G'. Un point du cercle D décrira, par ce double mouvement, d'abord une développante sphérique d pour le cône (S, G) et ensuite une développante sphérique d' pour le cône (S, G').

De sorte que si l'on suppose que les cônes tournent autour de leurs axes, les développantes d et ^ se conduiront l'une l'autre, leur point de contact parcourant le cercle D et les vitesses angulaires des axes étant dans un rapport constant.

Il en sera de même en considérant le cercle D^

On pourra donc placer sur le cône (S, G) une dent conique, ayant pour basey savoir : pour la face droite^ un arc de développante décrit par un point du cercle D, et pour h face gauche , un arc de développante décrit par un point du cercle ï)', et apnt pour sommet le point S.

On pourra faire la même construction pour le cône (S, G'), et l'on voit sur-lechamp que la construction de cet engrenage conique offrira des difficultés analogues à celles signalées pour la construction de l'engrenage cylindrique, lorsqu'il* s'agira de calculer le jeu entre les dents et la course d'une dent.

Dans son mémoire, M. Lefebvre propose de construire Tengrenage conique, à développante sphérique, de la manière suivante :

(Extrait du deuxième numéro du Mémorial d' artillerie y page 342* ) ft Ayant des roues coniques à construire, on les tracera sur une sphère d'un • diamètre médiocre et exactement déterminé; on se servira avec avantage d'une

as

t équerre sphérique du même diamètre pour Iracer des ^cs de grande. cerci^

> tangents à des circooférenees^ elc ; les développantes sphériques seront Iraf cêes avec le compas par la mélbode indiquée; on peut même les décrire aussi

> airec un fiT, car s^l est constamment tendu sur une surface sphérique lisse^ il

> sera toujours dans le plan d'im grand cercie. Connaissant ie tracé des dents » sur cette sphère, on en rapportera toutes les. dimensions au rayon que Ton

* veut avoir, au moyen d^oae édielie de 14gDes proportion neîlcs ; on aura ainsi k 9 mcè antérieur; on acliévera la dent en menant par les points de ce tracé des

* lignes au point du centre, ce qui formera un cAne dont on prendra une portion » égale à la longueur que Ton veut donner à la dent, d

R mTa semblé que Ton pourrait avec avantage remplacer la méthode proposée ^r M. Lefebvre par la suivante :

Ayant déterminé d'abord {jpg. 8) Fépaisseur ab à la racine de la dent sur le cercle inicrîcur D du tronc conique noyau ou prhnUyqux doît porter les dents coniqties, et ensuite le creux ou intervalle ba qui doit séparer deux dénis sur ce même cercle; en un mot, ayant opéré la divkion de la roue dcnice, on tracera les courbes ag^ bg intersection du cône ayant son sommet au sommet du trôna conique noyau , et pour base {es arcs de développantes sphériques, avec le plan même du cercle D, et Ton emploiera à cet effet la construction géométrique indiquée dans le mémoire sur les développantes spbériques (^) \ et Ton se rappelle que ces courbes ag et bg se tracent avec la plus grande facilité sans avoir besoin de connaître les développantes sphériques.

On remarquera ensuite que si Ton coupe la dent conique par le plan du cercle supérieur D' du tronc conique noyau, on obtiendra deux courbes AG et BG, sembKibles aux courbes ag et bg par rapport au centre o qui sera le pôle ou centre de similitude des courbes; de sorte que , connaissant la courbe ag^ il sera facile de construire par 'poxnU la courbe semblable AG. En effet, on mènera les rayons oa, om^ og, etc., et Ton prendra les distances aA, mM, ^G^ etc., égales entre éfles et â Ta différence des rayons des deux cercles D et D' bases du tronc conique noyau^ on obtiendra ainsi autant de points A, M, G, etc., que Ton voudra de la courbe AG.

Ce tracé exécuté, et il est presque aussi simple que celui exigé pour la construction de Tengrenage cylindrique, on le rapportera sur un tronc cylindrique capable de contenir et le tronc conique noyau et les dents qui doivent être distrifiuëes sur sa surface convexe.

Pour cela faire^ on appliquera (J!g. 10) le tracé fait pour le cercle D sur le

(*} Voyez dang les DéveloppemenU de géow^tns deuripUte^ le chap. II, ménoire a* t.

plan P<}c la base inférieure an tronc cyRndrtque, et Fo Inrcéfeft pour leccrcîe D' sur le plan P'cle fe base supêrîeure Ai tronc cyffnchn que, ayant soin que les rayons homologues o'^Q' et 9Q aténc leurs extrémrlés Q' et Q sur une génératrrccr Qiy du tronc cyffndrfque*

l! suffira ensuite (favorr numéroté des poîntï^'", 2', 3', 4^', etc., et f, 2, 3, 4, etc., respectivement homologues, sur les courbas A6 et cry, et au moyen d'un rabot (ou de tout autre oulîl), d'eKéentcr les génératrice t\ i — 2'.2— 3^^ — 4^ 4 — efc, de !a dctit confque.

Ayant ainsi exécuté séparément les deux roues dentées, il arrivera, iorsqu'oo tes mettra en présence, que, dtr eOlé des grandes bases, îes dents feront une sailKe en dehors. H sera bien dVnfever cette saSfie, q ni donnerait mauraise grice * Tengrenage; pour cefer (fiff. ^ on placera dwcpie roue sur te tour et Ton enlèrera Texcédant rga en la parité mférîcure de fo dent, en dirigeant Toutît normalement à la génératrice a/L du tronc conique noyau. On pourrait en faire autant pour la partie supérieure de la dent etenfever aussr rexcéchint ér'A.

Les engrenages coniques extérieurs à dé^oppantes sphérîques jouissent des propriétés suivantes , saYoir r

I* Les pressions sont constantos en chaque point de ht même développatite sphérique, ce qui n'élabfit pas que le travtril du frottement sott constant , maïs . ce qui démontre que Tusvre des dents sera uniforme. Ainsi les dents se défermerunt sans cesse, mais toojotrrs suivant des cônes ayant pour base desdévelop- . pantes sphériques;

2* On peut éloigner ou rapprocher les axes, pourvu qu'ils se coupent toujours au même point; mais on ne peut pas faire Tarrer la position des axes, en ce sens qu^îls cessent de se couper, ainsi qtre cela a pu se ferre pour les engrenages cylindriques, puisque Ton peut ne pas les rendre parallèles.

On doit remarquer que, de même que pour les engrenages cylindriques extérieurs, il fallait que les deux plans tangents aux cylindres noyaux ou primitifs se coupassent sous m angle obtss^ et que, plus cet angte étaît grtmd , plus le tracé devenait facile; de même aussi il faut pour les engrenages coniques extérieurs que les deux plans tangents aux cônes noyaux on primitifs se coupent sous un angle obtus.

On pourrait cependant ne pas s^astreindre à cette condition; mais alors il faudrait supprimer les dents adjacentes de ccHe qui est en prise, lescfuelles arriveraient à se rencontrer sans se mettre en contact. En un mot, il faudrait supprimer toutes les dents qui, en vertu du tracé, ne permettraient pas à f engrenage # de subsister, les dents tendaiM dans ie mouvement de rotation à s^ntercepter le passage. I>e sorte cfue èenx dents se mettant en prise, deux nouvelles dents ne

tiendraient pas se mettre en contact aussitôt que les deux premières cesseraicDi de se conduire; el alors il faudrait » pour que le mouvement de rotation se continuât, placer sur le même axe plusieurs étages de roues dentées juxtaposées, el tellement disposées que, lorsque deux dents cesseraient d*êUreen contact pour h premier étage, deux dents de l'étage supérieur arriveraient au contact^ et ainsi 4e suite. Ce mode de construction permettrait de faire des dents très-longues ou très-courtes, à volonté, et simplifierait le tracé, puisque Ton n'aurait plus i combiner le nombre des dents, de manière à ce que deux dents soient toujours en prise.

Ce fut en 1816 que je vis pour la première fois une machine dont Tengrenage cylindrique était construit diaprés ce principe. Cette machine était disposée pour étirer les tuyaux de lunettes et a\ait été exécutée par Savart père, dans les ateliers de construction de FÉcole d'application de Metz. Ce fut en Texaminant que je fus alors conduit à la démonstration géométrique des engrenages de Wiihc, de ces engrenages qui jouissent en même temps des deux propriétés suivantes , savoir : 1* vitesse angulaire constante; 2* frottement de roulement : propriétés qui avaient toujours été regardées, depuis Euler, comme incompatibles; et ce ne fut qu'en 1825, lorsque je présentai les mémoires que j'avais écrit sur ce sujet. à rinslitut de France, que cette incompatibilité cessa d'être une vérité en mécanique.

Engrenage inlérieur. Dans le cas des engrenages intérieurs^ (fig. 11), les deux c6nes noyaux ou primitifs sont en contact par une génératrice , et n'ont qu'un seul plan tangent commun.

La construction est la même que celle employée pour les engrenages extérieurs. Les propriétés dont jouissent les engrenages intérieurs sont aussi les mêmes que celles dont jouissent les engrenages extérieurs, excepté toutefois que l'on ne peut éloigner ou rapprocher les axes à volonté; leurs positions sont invariablement déterminées en vertu du tracé.

Construction approximative des engrenages coniques.

Je ne parlerai ici que de la construction approximative des engrenages coniques à développantes sphériques , M. Poncelet ayant donné un tracé approximatif pour les engrenages coniques à épicycloîJes sphériques.

Le tracé rigoureux de l'engrenage conique à développantes sphériques est assez simple par le procédé que j'ai indiqué, pour que l'on puisse se dispenser d'avoir recours à un tracé approximatif. Cependant on pourrait substituer aux dents rigoureuses, dés dents approximatives qui seraient terminées par des cônes de révolulioi\ oscu la leurs aux surfaces coniques ayant pour bases les développantes sphériques.

I^a Goostruction des dents approximalives esl facile » sait dans le tracé graphique, soit dans la conslruclion en relief dos modèles ^propres aa n^oulage, lorsque les roues dentées doivent être coulées en fonte ou ein cuivre.

Rappelons-nouS ce qui a été dit (*} au sujet de la construction géométrjkilie du centre de courbure pour un point d'une développante sphérîque^

Je suppose que le cercle D {Jig. 12) est la base du cône noyau ou primitif die l'une des roues dentées , et que l'on ait tracé sur son plan les courbes ag et bg^ intersection du cône à développantes spbériques qui termine une dent rigoureuse.

Sur ag et bg je prendrai les points milieux m et n. Je mènerai par m et it deux tangentes mqeinp au cercle D.

Les droites mg et np seront les rayons de courbure des développantes spbériques engendrées par les points m et n; et si par 1119 et iip je mène des plans perpendiculaires aux génératrices du cône noyau dont les projections , sur le plan du cei*cle D, sont og eipoj on aura les plans des cercles osculaleurs des développantes spbériques engendrées par les points m et n.

Il sera dès lors facile de construire en relief C/^. 13) la dent conique approximative^ ayant son sommet au sommet du cône noyau, et ayant pour base,*-des arcs de ces deux cercles osculaleurs.

Car, si l'on suppose un cylindre AB capable de contenir la roue dentée*, ce solide étant- terminé par deux faces parallèles AR et BT, on tracera sur la lace supérieure le cercle D', et sur la face inférieure le cercle D, leurs centres o' et étant sur une perpendiculaire aux plans parallèles AR, BT (ainsi qu!on a opéré dans la/9. 10),

Sur le cercle D on fixe les points p et 9 tels qu'ils sont placés dans la ûg. 1^. On trace les tangentes pr, gr se coupant au point r. ', •• • m*

On exécute detfx plans passant par ces tangentes et perpeadiculaiiH^neniiaux génératrices G et G' du noyau ; ces deux plans se couperont suivant une^iloîte ry 'qui tendra à aller couper l'axe du cône noyau en un point x^ {tans ch^oun dé ces plans on iraceradespoiQtspetg comme centre et avec le môme rayon que ceux ^aaploycs (fg. 12), des cercles qui se couperont en un même point y de la droite ly. Chacun des plans normaux aux génératrices G et G' coupera le cône .noyau suivant une section conique; chacun des cercles osculateurs tracés dans les plans normaux viendra couper la section conique en un point 0. i>ès' lors la dent approximative sera composée de deux cônes, de révolution ayant pour sommet commun le sommet du cône noyau, et pour base, T un l'arc de cercle G, l'autfe l'arc de cercle C'; ces deux cônes se CQuperont suivant une arèie K, et le premier

A*«a.M«aM*MM«M»a«#i

(*) Voyez dsins ïesDéoehppementi de géométrie deicripiive , le chap. II, mémoire- n* 2.

coupera le^dmîio^ gÉ Î Wii i -fe gén éirtticg H, et k second coupera ce même dhie fioysfr s«it«ti1 I» géftéfatrree if. -

Dans la pmiùftfê 9t ««ta préfémble (Tcnipîoycr la mclhode saFvante Iorsqu*on iftowAn e9ÊÊSfn\re un im^le en boi» pmrr eoaler une roue dentée.

On conslruîraf d^ftftorl le ffWfe conique rioyaa (fig. 14), on !è divisera sufvanl Ib nombre (le clMC^qtlf^eYnHifêCre^ppliqnées sur ta surface convexe; les génératrice» S, G^ fi^'^ eM., |>a^ân<paf fes poinfs de dtmien seront tes mitieux des é M Ét k Ainsi Isr génërârfrice 6 (;/%. 44) passera par fo point f (/t^ir. 12).

BemsirqiïMI ^im? lé- frerfc-ertifqire noyau (yTgr. i5) a pour <Ienii«'angTe au soQimet l'angle a que l'on peut calculer, puisque f on connaît fi hauteur dii Cronc

«I te.difléreiiee de» r^rymw étn deux bases; remarquant que fe pfan du cercle -^MCuiateQr base do cAta de rét^Itrtwn dont une partie doit former ta demi-dent ap{)rotiiM(ive , dott éCrt perpimdiinfcanrc h tme génératrice du cdne, on voit que le pbn X du cerele base inftrietire du tronc faif , ater le pfetn C du cercle base de la dent, un angle a; de ptas/ le Aemi-ûngle y au sommet au cône osculateur poum faeitemenf être cafeulé, piuisque Ton pottm càfculer ia longueur totale de rM génératrice G de nayav, el qiie foif eonnaft le rajon du cercle oscafateur.

On pourra donc (Jig. d6) construire un tronc contqnc Mff, ajant pour base fe œreie C ^aoé avce le rayon qm {fig. it), et ayant pour dcmi-angte au sommet un «igteyi ' . Qm p r end r a «n point 6f4M traire t sur le cercle C ; cfu tracera kr passant par le eeotref ; etfr étant j>ris« égal hgrâeHftg. f2 , on mènera ro perpendiculaire â kr] I>ar la droite kr on fera passer un plan X faisant avec le plan C un angle ^gaf au sup- '^éJKient;d6ranglea; ce plancoupera le cùnestrivaiil mi arcdfcdesectfon conique; dans ce plan X on tracera oq perpendicuhrire à Ar, et Ton prendra fe point o sur la droite ^saffisannaent profongée, de telle sorte que oq soit Igaf au rayon de la baae inférwiire d» trenc conique noyau ; on tracera sur le plan X le cercle D du foint # comme ceiytr^ et arec 199 poitr rayon, ce cercle coupera Tare cft au point d; mo 4r8N>0ra la giénératriee Sd du tronc de la dent, puis on joindra oetr par une droite qui eoupera fe cercle D en I; on exécutera la portion de surface coniqae eoMaw (SD)^ taqeelle alapplfqirerà sur la surface convexe du tronc noyau ; ia droite 61 s^appHquera snr la ^ofte G (fig. i4) ; on exécutera Te pfan S/r(J, qui , ietsqiie la deinî-dent sera placée, Si étant isur C (fig. f I), passera par Taxe du tpsae noyM el pair la ligne milieu G; on exécutera Ta demi-dent symétrique de la «lAnie maufère, et r<m pourrar ainsi exécuter et rapporter sur le noyau les dents qtri doivent être évstribnéea sur sen pourtour.

11 est iuuUle 4'e»irer dans fies de détails à ceaujet, car ce qde fai dit doit suffire à ceux qui savent la Géométrie deaerîpéve et qvr sont babîtoéir i s*en

servir el à apj^lîquer ie trait jwr Je boi&^.|Kwr «coMevoir 4e wiiei^h rp^i^di^.i. suivre dafts rcjHicution en relief des znod^es ^ui devrcAt serv^ au.m^ubgft.. H leur sera facile de suppléer À i^^u'il j a/l'ioeomplet 4aAS C6r qMfjrç^de ;. je n ai poiot vouiu eotrer dans toiss Je& détails d'^âcuUon , car î'avf^i^.déptusé le^ haraes imposées à oa mémoire daos lequel j'avais y lus ^ei rae d'^x^^osM la Ua^éoria ei ses a{))plicatiûns a bkpraUqii^^ que d'isnlrer daas iout les délaîU de la j^Uqw^,