Appliquons ce principe à quelques exemples

1" exempte* Soit donnée une spirale d* Archimède d ayant pour équation : ^

p SB 0*»

Sa transformée A ( en coordonnées rectangulaires et par le premier mode de transformation ) aara pour équation :

Ainsi la transformée A est une parabc^ « et le pâle o est situé sur cette courbe A (figlh).

Si nous construisons la transformée A' pour lin rayon vecteur p faisant avec la droite X origine des angles <k> un angle m\ la courbe polaire i aura pour éqtta«lion : p «= a (» + m) , et la courbe transformée A' aura pour équation :

= (p^ + ai') ou *^=«»^+fiiV

Ainsi » la courbe A' sera encore une parabole ; et comme les équations des di* verses transformées A y Â', A".... ne diffèrent entre elles que par la valeur attribuée à m\ on en conclut que toutes les transformées de 4a spirale. d*Arckiaiéde sont des paraboles.

Gela posé : '

26. Voyons si toutes ces paraboles sont des courbea identiques ou non.

On voit de suite que si Ton fait lourner le jrayon vecteur p' autour du pâte o pour amener ce rayon vecteur sur la droite X, la courbe A' viendra en A,Vet que la courbe à! aura pour équation : .

7* = ay 4- m'x (5)

Il suffit donc de voir si les deux paraboles , ayant pour ér|uation Tune Téquation (1) , et Tautre Téquation (5) , sont identiques, sont superposa blés.

Or, en regardant ces deux équations » on voit de suite que les deux paraboles ont même paramètre^ et qu'ainsi elles sont deux courbes identiques.

27. Hais pour la suite de nos rechercbes , il est iiécessaire d'appliquer tout ce que nous avons dit précédemment et ainsi de chercher le point o' et les aies X, et Y, de la courbe A/.

Or^ il est évident qne les aies rectangulaires auxquels se trouve en ^ce mo-

ment reportée 4a. (itarabole 4/ soiu |>9raUâLsg am Mas jraoaqgvlaÎMft de Ja courbe A ! . ^

n suffira donc de changer Torigine de« caofdimnâea^ «a iajnm.«s:4^4t«<«t y=^y.+ 6, eltraosporianices valeurs dans l'équaiioa^â).

Oa 4MHW dès Jflw :

Identifions terme à terme les deux équations (5) et (6) , nous aurons deux équatioâS de condition , savoir :

I/équatlon H) dpnne :

et par suite ^ l'équation (8) donne :

On <Alti0iitr1lotie'di^ Valeurs réètles pour a et S coordonnées du point o^ Ayant construit ce point o, nous Tunirons avec le point o par une droite D / et en faisant glisser la parabole A/ dans son plan et parallèlement à la droite D » c^ie parabole A/ viendra se superposer avec la parabole A, lorsque les deux points o fime et o' moMA^se' svperpesen^nt^

Dés lors, si nous voulons connaître Tare ar de la parabole A qui roulera sur Tafc aa' de la spirale d'Archimède, il nous suffira de ramener le poiiït cl de la spirale i en a/ sur Taxe X , en décrivant du fôle o comme centre et avec

le rajon vecleuV oa' pour rayon ^ un cercle ; puis de supposer que la parabole A 9 glissé parallèletuent à elle-même en rasant le point fixe o pour prendre la jposition A/; et ayant construit le sommet s de la parabole A et le sommet </ de la parabole

à,\ nous prendroQS une ouverture de cottpaségaleà ^o, et laporiaol.de i.'t^n o' sur la parabole A.', nous jturoas la nouvelle or^ne o" (de telle sorte g/m les

droites o< et.oV ^9^i parallèles) y ensuUenous uoinoasles (pointai et m' far «ne

droite D , et nous mènerons par le point a/ une droite D' qui , ^^aptfllèfo àiD/oêu-

..p^ira Ja^i^alN^la ^ mjmjfiohal.T^.i^d^^m pmFnm^^^êSàmmar qur fia» fara-

bolique or est^égal en longoeur à Tarc^itMifiéMi^ 4/ttiÊafinhMkÊtéàÊÊèèè ^^

des diverses paraboles A , A/, 4^':;;^ ^

€m prMkKm^eÊt fanle &! réMuAve*, el* e» etH^ :

Sèfltwhv.pacoÉMdn A^ A.'» A.'"»*..- ^oi^MMeat fttr lapoiMfike'ai et êbm'UfÊt^ aies infinis sont parallèles entre eox^ panfentAirereptéieMées par TèqwAkMêt

:K^szaf + imr (11)

m étant une quantité qui varie dé parabole à parabole.

Si nous faisons y =0 dans Téquadon (11), nous aurons x;=; m, et dès lors :

sera rsteoissadlrwHBwel'Y^, r«npla««it'arpar-9a ^lèur(f9) dàivs^réquation (11% on aura : x^^ ^V + "^i <^^^ ^^^ ^^^^ P^^^ l'ordonnée du même sommet #«

Éliminant m entre, les équationa (12). et (13) • ii0ii& «UJl^MTé^puAiotiidu Hm géométrique des sommets s ; cette équation sera :

jr-*^Hr (I»)

En sorte que le lieu des sommets s est une parabole (ayant son somfnet au p(Ue o {fig. i ) et «font pour axe des y la droite Y paralicle à Taxe infini de chacune des paraboles A, A/, A/'v. et la parabole £ se trouve identique à la parabole A (puisqu'elle, a même paromèlre) , mais allB.4s& toursiie on swn^cffMé^

20. 2** exemple. Soit donnée une spirale hyperbolique 3 ayant-por équ a t ia» i

Sa transformée A (en coordonnées rectangulaires et par le premier mode 4l^ transformation) auM pour équation : .

(*) Voyez, dans les Développementidi géométrie descriptive, citàp. H, p. 434 et suivantes, remp!oi qod nous avons fait de la prepriété de celte parabole pour construire la tangente à la spirale d*Arclnmède.

iMMPvaZestlapreiwtr, àee qu'^l puralCj ^aï a iroiwé la prap riétA «It ia retliicaliQadtt la Jjririfo d*Àrchimède au moyen de la parabole; sa démonstration n*esl point parvenue jusqu'à dous« Sb/iH* Pascal a démontré celle propriété dans le mémoire qui a |)our titre : De légalité des lignes spirales et paraboliques. La démonstration que jo donne dans ce mémoire est tout à' fait différente de celle d«. Pascal; celle de ce savant est une démonstration géométrique au moyen des incréments et décrémeniSf celle que je donuf^est vériuiblemenl une démonslratioa méasmiçue. Voyez dans les Développemenis de géométrie descriptive la note placée au bas de Ta page 434 ; voyez aussi dans le Cours de géométrie dMcHpa've la note placée au bas de la page 290.

Am^ lé iraofeferMe'AMro^Hoè ligne droite.

Pour un rayon Yocteur ^^ Téquation de la .cMrbe d Mra :>(« + m') ;ssa > et Téqualion de sa transformée A' sera : Sf'+ mx'.^^as, :ll

La courbe A' sera donc encorerune ligne droite, et dès lors. on en ookidui i)Qe toutes les transformées A i Ik'i à".** .seront des lignes îdentiqnet et superposaUes, puisque chacune d'elles sera une ligne 'droile,

30. Si Top fail tourner la droite A' autour du point o comme centre pour ame^ ner le point a en a,', et la droite A' en la droite A,'» on aura poar équation :

ee qui noas apprend que toutes les traneformées, après leur mouvement de rotation autour du pôleoj forment une série de droites qui coupent toutes Taxe Y, mené par Je point o perpendiculairement à Vaxe X qui est Torigine des angles ^ , lequel est en un même point dont la distance au pôle o est égal à : aifig* k)-

31.' De ce que toutes les transformées de la spirale hyperbolique sontîdenliques et sont des droites y on en conclut que la spirale hyperbolique est une courbe rectifiable.

^^33. Cherchons Maintenant la longueur recliOéed'un arc on' de spirale hyperbolique. : . '^

Pour cela , nous amènerons la transfermée A/ en la posilion A,' en nous servant des formules :

X = X,COS<p + Sf,Stof + a I

y=:a*.8inr— y.cos<p4-^ I

Substituant les valeors de^^et^f , données pa^ les équations ({7) dans Téquaiion (16), nous aurons :

or.sinr— lf.oosr+6 4-««'(x.cos7 + y.8inr<4-«)=*

a\ Wn ? + tw'oosf ) + y, (m'sln f — coif ) as « — € — «f« ou

* ' msiof — cosf ««mf— coif

Identifiant terme à terme les deux équations (18) et (15), tm aura les éqna-

tiens de condition :

sinr+m'oosf bO (1*)

m'sinr — iXJSf réquation (19) peut s'écrire ainsi :

**"'^ + ■ ' **' > 0, 4'«ùI'«o a t tangf = ~ m' (91) Ki+iai«> Kl-|-Uiig*f

réqoaiion (20) peut s'écrire ainsi :

\V/l + langV

Remplaçant dans Téquation (22) tangf par sa valeur donnée par Téquation (2i). on aura :

m'« + ^-a=:^V/.m''+l (SS)

Ce qui nous apprend que Ton peut placer la nouvelle origine des coordonnées partout où Ton voudra, pourvu que ses coordonnées a et 6 satisfassent à l'équation (23), et que Ton pourra toujours, Tcquation (23) étant satisfaite, amener la droite à! à èiro parallèle à la droite A.

33. Mais, si Ton supposait , comme dans la fig. Ar, que la droite A ne soit pas parallèle & la droite X, et si dès lors la spirale hyperbolique Savait poar équation p (cd + m) =3 a ^ la droite A aurait pour équation :

y + mx=sia (24)

et la droite A. aura toujours pour équation : y + m'xzsza (16).

Alors, en idenliiiant les deux équations (18) et (24), on aura les deux équations de condition :

mCm'sînf cos<p)=siO7-4-m'€0Bf (9S)

réquation (25) peut s'écrire sous la forme :

m (m'tang f — 1 ) r= langf -h m!

d*où Ton tire :

tang r (mm'^ f) = m'+ M

d*oà

m'-|-fli ,^^

fiifii — 1

L'éqoalioo (26) peut s'écrire soos la forme :

m'&aogf— -I

Mettant dM«r<ivMi0n (28) la..«9lflpr aelan&sJfcjite »r. r^HWm. (27) , oa aura :

et nous retomboD&ftur un résultai toQL è fait seioblable à oelui que iiaus«aTioM trouvé précédeitiment, savoir : que Torigineo^'est indélerminée^ eu ce^seos qyttr. ses coordonnées a et 6 doivent satisfaire i Téqmilioo (29).

34. Le résultat auquel nous arrivons est conforme à ce qui doit être, et né doit pas nous surprendre; en e&t^ une fois qu'une droite A/ est parallèle à une droite A, on peut la faire mouvoir parallêtement à elfe-mème pour la transporter surladr^Ue.Ai diune* infini té de manières..

iSk» Tfbts vttf an done (fiie kf nétliede figtmrwnttfoi noBfta'pennv v dauatei cas der.te spirak é'AKfaâaèdtt deeoMiraire Vareila fa* pantanlè (flMBsCtenéB^i qui était égale en longueur à un arc donné de/l»spintai ë'JMlMiMe, m mmmmi enoiélauL Noiis.aainme8 doac foreés^deofeecahar unecatttedfOiéUKicta pour le ns pajTtkuXier deJa s|iiraie bjperlKdîqae^

36. Remarquons que la courbe d^éiasit.arrâvisc0'l[^ apséswioié tiwmétfufeuif du pôle f la tangente A est venue en A/^ et qu'en toutes les positions que prendra la courbe i en tournant autour du point o , la droite A prendra des positions correspondantes qui toulknif posmmnt par le poiwl q, f^^étaiit égaVàob

Cela posé :

37. Lorsque la courbe 9/ reviendra (fig. k) en la position 3] tè point a, viendra se placer sur le point a y le point a, tournant autour du centre o; et la droite A/ viendra se placer sur la drtwtc A , le point a/ venant se placer en r sur la droite A, ce point a/ ayant tourtté autour du centre q.

Dès lors il est évident que Tare a,\ de la spirale h jpefboKquO' aura roul6 sw

la droite A/ en se développant sur cette droite d'une, longueur égale à : ar.

Ainsi la droite or sera égale en longueur à Tare o/a., lequel arc est égal eu* longueur à Tare aa' de la spirale S.

38. Si donc on veut construire fa tongiieur rectifiée d'un arc aa de spirale hyperbolique, on mènera les deux rayons vecteurs ort et oa'; du point o comme cenire et avec le plus petit rayon vecteur m', a* décrira wt cwcio qui Iraiisporlera le point a' en a/ sur le gjfpand cajon vecteur oa ; on unira le point fixe q avec

le point a' ; et du point q comnrcreentre avec qaj pour rayon , on décrira un cercle

^GiHV^afQtU droite^ .4 is^^^^^^ t» «lo^pMAI r^ lOl ita <lMÎte:7a

sera égale à VmrG»rgGÙùi m' dfà l à. 9f is9 à e^ ^

39. Ce qui précède nous démoolre que, pendant que la spùrtffo^isOBéiiit sa tangeaie ,^cctte lan^eBle J^e^Usae pas sur le piDÛil Ave 9. Ifam mi Mirenffrquer que la spirale ifOniFnfanl nmformément màtoiBtÂe sojifik*B^ 'vaiMgeMe m 'tournera pas uniformément autour du point fixe q.

40. Si Ton suppose que la spirale i tourne autour de son pôle o jusqu'à ce que la tangente A prenne la position A en laquelle eNe^seraiparalléie à 4» droite X, alors la courbe d, en sa nouvelle position , aura^Ia droite A pour asymptote, et le point infini de cette courbe i sera^itué sur la droite A et du côté du point /. Et

si Ton a décrit du point q comme centre ^ et avec qr pour rayon , un arc coupant la droite A au point r', Tare infini de la courbe dV^ partir du p9iMa'yts0f%wefté* sente en sa rectification par la portion infinie r7de la droite A.

Mais, si Ton suppose que la xouriie 3 tourne en sens inverse, et que sa tangente vienne passer par le pôle Oj alors elle aura pris la position Y, et en cette position elle sera tangente à Ja nouvelle poeitiott prise par la spirale V-^en soil point asymptote 0.

Si donc nous décrivons <jhi pornt^ comnexentre et avec oq pour rayon (et nous

savons que (M/ = a) un cercle coupant la droite A en un point Ac, la portion rk de la droite Eaeraigale à Tare de la spirale compris entre le poÎDt^' et le pôle ou p(Ani asympiote o. En sorte que Tare a!o de la spirale hyperbolique n'a que Tappafence d'être infini ; cet arc a réellement une lonigueur finie.

41. Il cnest donc de la spirale hyperboli<)ue comme âc6 «#Htt , <;bez lesquelles, la somme de leurs termes en nombre infini est pour les unes aine quantité finie», et pour les autres une quantité infinie.

42. 3* exemple. Soit donnée la courbe polaire d ayant pour équation :

sa transformée A aura pour équation :

Cette transformée sera donc une ellipse ayant te pâle a pdur mnire, et ses axes

(•yVoyw (tans lechapwH dés Développements de géométrie descriptive, les .divers probtoealque iiieias««rocit^réi0itts«nr lfiBp«kB(by|HfboliiiBeen fiaû»'M9ni$téé\ef'lraMerùi»e(en (coordonnées recUngulaires) de colle courbe.

seront dirigés » Tud suiiraiii la droite X ofigine des angles w, et Tautre «olfiiit la droite Y meoée par le pâte o perpendiculairement à la droite X.

Cela posé : . .

Si Ton fait tourner la courbe i autour du pôle o pour prendre la position i^ { Tangle de rotation étant m') , Téquation de cette position d/ 8«<a :

ei r équation de la transformée A/ sera :

et après les rédactions , on aura :

ûnCx^

Nous remplacerons dans i'éqaation (31) x et y par les valeurs

et l'on aura :

« = j:, c« f -f- jr, 810 f + «

sin'f

am'cnuygjn

cosy Sm'sintpcosf

Ssiiivcasy

. / 1 , in"\ .

6cos^ 2m'^ sin <p

Sm'a*;

ssO