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il. Ce que nous venons de dire touchant la transformation d'une courbe polaire en deux courbes distinctes en coordonnées rectangulaires , suivant que nous emploierons le premier et le second mode de transformation exposé ci-dessus , peut aussi se dire de la transformation d'une courbe à coordonnées rectangulaires
en une courbe polaire. On doit donc remarquer qu'à la question résolue précé* demment correspond une question réciproque.
Dans les applications suivantes, nous ferons usage tantét de la tramfimrmation d'une courbe polaire en une courbe k coordonnées rectangulaires ^ tantôt et réciproquement de la transformation d'une courbe à coordonnées rectangulaires en une courbe polaire.
Propriété remarquable dont peut jouir certaine transformée eh coordonnées rectangutaireê (et obtenue par le premier mode de transformation) par rapport à sa c&arbe polaire.
12. Supposons une courbe polaire d (fig. f) ayant pour équation /(p, a>)=±0 , le point o étant l'origine des rayons vecteurs p ou le pôle de la courbe, et la droite X étant l'origine des angles a>. Supposons que la courbe i coupe TâKe X au point
a, et que nous construisions pour le rayon vecteur pc= ao (l'angle od étant alors nul ) la transformée en coordonnées rectangulaires A , dont l'équation sera :
f(x9-^=:0'^ la droite X étant l'axe des x et la droite Y ét^nt l'axe des y, le pôle
a étant l'origine des coordonnées rectangulaires de cette courbe A, les deux courbes d et A seront tangentes l'une à l'autre au point a. Cela posé :
13. Prenons.un point a' quelconque sur la courbe polaire d, son rayon vecteur sera oct ; prolongeons ce rayon vecteur et désignons-le par X'. Transformons la courbe 3 à partir de la droite X' comme nous avons transformé cette mémo courbe à partir de X , nous obtiendrons une courbe A^ tangente en le point a , à la courbe 3.
14. Si du point o comme centre et avec un rayon égal à l'unité, nous décrivons le cercle C , nous pourrons représenter l'arc pq' de ce cercle G par m', et dés lors 'l'équation de la transformée A' sera en coordonnées rectangulaires (les axes étant X' pour les abscisses x'y et Y' pour les ordonnées y', et le pôle o étant
l'origine des coordonnées) / ïx', (^ + m j 1 = , l'équation de la courbe 3 étant»
par rapport à la droite X', prise pour origine des angles (ù\ f\p , (<o'+ m')] =: 0.
Cela posé :
i5. Si l'on fait tourner la courbe 8 et la courbe A' autour du pôle o comme centre de rotation (et dans le sens indiqué par la flècbe F) pour amener le point
a^a^' sur JflMlvoît^X^ ai#r8' l'^i^ X' m sv^pe^ff/Bswai swr TaM X^ at' Taxe Y' se superposera sur l'axe Y; la courbe^. ^^adi^aJa posiimi.^^ (eiialraMibriaae à! pMMka la |M>6kkiD d/** Dit lom réqfuaison de la OMdbé d,' aem /f jr> /^ n^m^l^csO.
Cène courbe a/ sera rapporlée, ainsi qae fa courbe A, au même centre o et aux mêmes axes rectangulaires X et Y.
Cela posé :
16. La courbe A/ identique et superposabie à la courbe A' sera-t-elle identique et superposable à la courbe A?
»mr.<yw>fei4<mt <QMiib6»A « ^' s«ÎMt îdefttiquM #4 tuf irpoi^M w » tt Aur évidMMMi^4raMp#rter rMâgwe «des «MnfoMiétfs « (^. g ) m Hû pmmà #'(«jmc pour coordonnées a et 6)^ et changer les axes rectangulaires X et Y en de nouveaux axes rectangulaires X. et Y, , les deux axes X et X, comprenant entre eux un angte ^ .
Ce double changement s'opérera^ n substituant dans Téquation /j:!:, f'^+m'^l^âO
de la courbe A/ à la place de x^ (xs=a;, C0S9 -h y* sin({ + «) 9 et à la place de y, (l^=:a:, sinf — |^«coSf +6).
Et dès lors Téquation :
sera féquation de la courbe A/ rapportée au point o' comme4>rigine des coordonnées rectangulaires dont les axes seront les droites X, et Y,. Cela fait :
17. On fera tourner îa courbe A/ autour du point 0' comme Centre de rotation et dans le sens IncTiqué par fa flèche P^ pour amener Taxe X, à être eu X, parallèle à l'axe X , et Taxe Y, en Y, parallèle à Taxe Y, la courbe A.' prendra dès tors la position a/.
Or, si les deux courbes A et A' sont identiques et superpôsables , les deux courbes A et A/ seront aussi identiques et superposabtes , par conséquent il sufûra de faire glisser fa courbe A/ parallèlement à la droite 00' jusqu'à ce que le point o' 9ê ecMifonde avac la peint d p^ur qae c^s deux comtes A/ ai A se superposent,
18. Toutes les opérations géométriques et mécaniques que nous venons d'indiquer se traduisant en amdyse d'une manière iacile, i^ar il sulBt de dire que les deux équations
(2) r(^.|) = et (3) A[f«^C9>y^f^t4-^),( ^^r;^ . y?^.t^ 4'*^)] «»<»
«eront identiques terme à terme.-
Si ilonc t'en identifie ternie à terme les deux équatiens (2) et (3), en aura un «ertain nombre d'équations de condition, qni serviront à détermner les indéter- «Mnées ffyotetS*
Si la solution de ceséquatiens comlvH i desiraleim réeHes pour «p, a et 9, alors la courbe pehtire 9 awa toutes ses transformées A, A', A'\.. identiques et superpesablos.
19. Ojô y^i de i»uite que de même que paf*mi les.courbes pianos^ le cercle est la seule courbe dont toutes les dévelofupaates sont identiques et syperposables, de ni&niâ U doit: arriver qfi^il a y ait qu'un nombre limiié de courbes polaires pour Ic&quelles toutes les trausfaitnées eu coordonnées^ i ectaogulsiirea ( et obte^ nues par le premier mode de U:ausformaUon) sei^oMit ide^Uquesi, seront sup«r^ posabJes.
20. Si par hasard il existe une ou plusieurs eoau'bes palalnei» ^ÎPUiJi^^^at de La propriolg d'avoir toutes leurs traoslormyées A ideurti^^»» > ^^Hp^pos^^le^ , ileaiistera en ire la courbe polaire dei la transformée ^ H»e jfF^i^tà EiwaiïquAble et que nous alleius étudier^
21 . Si nous avons une courbe polaire S coupait i'axe X (prigiue des angles <a) en un point a €1 ayant un point o pour pôU et paur équatioa^ /^,. <«>);;;:; \ el si nous avens construit pour le poiui a la transformée A> qui aura dès lors pour
équation flx^ — j = 0. Et si la courbe i est telle que pour un quéleonque de-ses
points a sa transformée à' soit identique et superposable à la courbe A, alors, en faisant tourner la courbe 3 autour de son pôl^ o comme centre de rotation , elle imprimera à la courbe A un mouvement peud^nt lecjgel ces deux courbes d et À rouleront Tune sur Tautce.
El en effet :
2t. fmaginmis la courbe polaire i^ la droite % origine des angles <ù (fg. g), le pâle o, et concevons la transformée A par le point a en lequel la courbe d coupe la droite X. Nous savons que les deux courbes A et d sont tangçntes. Tune à Tatftreen'ce poivt a.
CSefat posé :
Tinncnvons les points ^^ ^^4if «.^ successifs el îofin i monl voisins de la courbe i. La courbe A aura en c.(unmun.avec la cpurbe i Içs deux DOinAi ^SUÇCesAllis a^Ul't ou, en d autres termes, Télément rectiligne aa', puisque ces deux courbwâ^l A
8onl tangentes l'une à l'autre au point o. Piftr conséquent les points sueûesiifs et infiniment voisins de la courbe à seront a, a\ b'\ b"'....
Lorsque j'imprimerai à la courbe i un mouvement de rotation autour du pâte o pour amener le point a' en a/ sur la droite X , j'aurai amené la courbe A en la position A,\ et la courbe i en la position it ; le point b" de Ja courbe à sera venu en b" sur A«\ et le point a" de la courbe S sera venu en a/' sur d/. Or, il es4 évident que sur la courbe A/ les deux points a/ et b" seront des points successifs et infiniment voisins, et qu'ainsi les points a/ et a/' seront sur la courbe d/ des points successifs et infiniment voisins (*) ; et comme les deux courbes d/ et A/ sont tangentes au point a,\ il s'ensuit qu'elles ont en commun les deux points
'" et 6/', on ) en d'autres termes y que les deux éléments rectilignes ajaj^ de la
courbe S,' et a^b" de la courbe A/ se superposent.
Et il en sera de même en continuant le mouvement de rotation de la courbe polaire à autour de son pâte o , comme centre de rotation. Ainsi , chacun des côtés du polygone infinitésimal (aa'a!'a"\...) qui remplace la courbe d vient, pendant le mouvement de rotation , se superposer avec le côté qui lui est homologue et appartenant au polygone infinitésimal {aa'b"b"\...) qui remplace la courbe A.
23. On peut donc aflSrmer que les deux courbes d et A roulent l'une sur l'autre pendant le mouvement de rotation.
24. Puisque les deux courbes 3 et A roulent l'une sur Tautre, elles auront des arcs égaux, par lesquels elles se rouleront ; et ainsi , supposant la courbe d et sa transformée A tangentes entre elles au point a , prenant un arc aa^ sur d , on devra pouvoir constraire sur la courbe A un arc or égal en longueur à l'arc aa'.
Et en effet :
Si nous revenons à la fig. /, nous devons nous rappeler que , pour passer de (a courbe A/ à la courbe A.', il a fallu construire la nouvelle origine o et faire tourner la courbe A/ autour du point o' d'un angle y égal à celui que la droite X. des tibscisses x, faisait avec la droite X origine des angles cd. Le point a/ viendra donc en a/ sur la courbe A,\ et ce point a/ s'obtiendra en décrivant du point o' comme
centre et avec oVpour rayon un cercle qui coupera la courbe A/ au point a/ demandé.
Gela fait :
On sait qu'en faisant mouvoir la courbe A,' parallèlement à la droite oo\ elle viendra se superposer sur la courbe A. Si donc on mène par le point a^ une
n Voyez ce que j*ai dit au sujet des infiniment petits , chap, VU des Dé^donemvnU de géamUrU deêûripH^e*
droite parallèle à oo\ elle viendra couper la courbe A en un point r, et Tare ar de la courbe A étant rectifié sera égal en longueur à TarcW de la courbe polaire i, ce dernier arc étant aussi supposé rectifié.
