Dti nombre des dents en contact
Dans le tracé que j'ai donné (fig. A) l'on voit que trois dents de la crémaillère sont en contact (en prise) avec deux dents du pignon , les points de contact étant
wJI, ttelC; l'bfr wii:eBm6iii6ttmi»qiieIftd6iit.¥^V^de^
00 efimi€i«].pûmt C , cb même tonps, ateç kt dent deols E' et K du pigM»;
En sorte que chaque dent de la crémaillère ne cessa pas d'être , peÂdanl le WiuvèfQeatc^ en contact avec Tone des ^nts du pignon» ...fii.îejsupjposeqae le point K", extrémité de la dent du pignon, arriveeo^f/y peint d'inlersaction de la droite CD et dn cerde (ofr), il y aura, daM.c6lte posU tioQ de la crémaillère, par rapport au pignon, autant de dents en contact qu'il y aura d'extrémités de dents du pignon situées sur Farc (fip' et d'extrémités de dents 4e la crémaiUère situées sur la droite iïy les points d et d' étant les intersection» de la droite IZ^ avec les droites 90' et çd, qui sont respect! ^tement parallèles aux «fttte V^Y" et YV" de la dent de la crémaillère.
On pourra augmenter le nombre des dents en contact (ou en priÊt.) mk dinifi* nuant la base YY' du triangle qui forme la dent de la crémaillère; maïs alors le nombre de& dents du pignon augmentera^ et par aoite la longueur ou sojUtia dei ses dents diminuera.
6. Observations sur les crémaillères à dents reciangukdres et à dents triangulaires .
On doit observer :
r Pour la crémaillère à dénis rectangulaires, ta denl du pignon glisse constamment sur le même point de la dent de la crémaillère avec laquelle elle se trouve en.^nlact, tandis que pour la crémaillère à dents triangulaires, le point de contact change de position sur la dent de la crémaillère à mesure que ce point de contact parcourt la ligne brisée DCD' ;
. STDe ce que les développantes de gaucbe des. dents du pignon stML e« c^ntM^ ayec les eûtes de 4roite des dents de la crémaillère (%ue cette crémaillère ait dea dents rectangulaires ou triangulaires) afamt le rayon ea perpendiculaire à la direction de la crémaillère; et de ce que, en môme temps, les développantes de gauche des dents du pignon sont en contact avec les côtés de gauclie des dénia dff la crémaillère après ce même rayon oa; il s'eowit que, si le pjgnon s^ysmt lCArn4 de droite à gaudie vient à tourner de gauche à drortjsr, il conduira. Im. crémaillère, immédiatement et ^ns perte de tenq^tô, piuiaqa'il n'y ^ |m^. de i» entre les dénis du pignon et les dents de la crémaillère;
3* Dans Tengrenage à dents rectangnlaives , le cercle primitif (oG) (fig. 3) est en même temps le cercle développé de toutes les développantes qui terminent lee deatsdu pignon; mais dans l'engrenage j^ dMts triangulaires, le cerde priwiif (oC> {jiff. A} eai diiE^reuat (il eat wtre) do cercle développé de» cOTrIm
^^teloppantes qui lermiiient les dents da pi^on, car ce dernier ( le^cerde dé- Teloppé) est le cercle (pd). , ' '
Dans ce qui précède, fe n'di pas en égard à FtSpalsseur que Ton doit donnera la crémaillère et au pignon, épaisseur qui est déterminée par den^ plans pjiral^ - I&les entre eux et perpendiculaires &Taxe de rotation du pignon {*). • .
En ayant égard i cette épaisseur, I*on voH sur4e-chanijp que les ^entsde II crënaaillère peuvent Être ': -
i^I)es parallélipipèâeiB dre^lls eooti^qu^;
2* Desprismes triangulaires dfoits on ^Uîquei^, . "
7 • Cas oii les dents de la crimcSXlère sont des parallétijnpèdes au des frismes frkmgtirSrés
droits* . '
Itan^le cMôè ^s dcviH de ia erémaillère sont 4es porsUé^pîpédes.çu prismes triangulaires droits, il est évident que la surface qui termine Ja dent d« pigvon «e compose de denx cyl indres dont les géBératrtoessoot parsfiéles àl^axe du pignon , et dont les .bases (ou sections droites) sont respectivement les déve* Ibppantes de droite et de gauche situées 4an8 le pfeadn nnlèsadhi'iMgnatt^ciM^ la crémaitière. ^ ♦ ■ «. ' ,. . .
En sorte que rextrémité ou arèle saillante de la dent du pignon est une droilf parallèle à son axe, et qui n'est autre que la génératrice droj^e -inter^eetion des 4eux svifeces cylindriques {fig. 3 et 4). . * •
8. Cas où les dents de la crémaillère soniée^araUéiipipèdes ou desjnism}^ friangulalr€9
obliques. / ^ -^ j
Dane le cas -etu- les 'dents de la crémaillère soni dés para1Jé)ipî{iëdes ou des privés triaÎQgulaires obliques, h surface d'une dent du pignon se compose és deux surfaces dcveloppqblcs dont je vais examiner la nature géométrique.
Si f>jur un cylindre (C) droit et à base circulaire on trace une hélice J, on sait : . i*" Que toutes les tangentes à l'héiice d font avec l!éxe du cj^indre an même . aQgIc a et déterminent une surface déyeippipable I^ nommée I^Hande dévelt^ pable^ et dont Yarêie de rebrousseiritni n'est autre que rh'éllce'd» , 2* Que tout cylindre à base circulaire ; et ayan't même axe A^qne le cylindre (CX coupe ri>élicoide dévdoppable 2 suivant une hélice iiont les tâ^g^tes fiuitaiiec . Taxe A un angle qui est égal à«;*-
O Les iracéi donnée < /l^. S e(4| sddI supposés «Ooctués dm le p!ao miliov de l^ogreoage.
3* Que toàt pËn perpêBdicuIaWé à Taxe k coépè rhéliéoîdè développais X^
«uiiant deox dàreloppantes égales ^el tovmées en. seiis Inversé, ayant le cerale
,. base (ou section droite Vda cylindre priniîti?(C) pour dévelc^pée commune;
^ \a^ Que deux plans parall^es entre eux et perpendiculaires à Taxe A , coupent
^ deux q^pes de lîiéiicoide développable 2, suivant quatre dévelûft|Hig(is
égaies et tournées deux à deux en sen^ inverse , et que \m pSinie» 4f^ ^g<MHig
^ rb^icè i f |pitdrcep||es entre cesdiMCx plans , sont toutes égales entre elles ^
^'^ Que les nappes qui se tournent Tune à loutre leur concavité, et qui appartiennent i:<leilx hélîcoides développables 2 et 2" ayant pour arêtes de rebrousse- .j^aèçl respectives deux héUces ieii^ parallèles entre elles et tracées sur un même tyiindre primitif (C), se coupent suivant une hélice ^ située sur un cylindre primitif (C) ayant mène axe A que le cylindre (G), et dont les tang^ites ilaat avec cet axe A le même angle a que font avec ce mSme axe A les hélices ..d et d'.
Gela posé: - \
.. Skam incite levais on les dents de la crémaillère sont des pataUéHpiuièdeê oMîfiiet.
d^. Cendant le niwvenent ^ rotation , le plan de l'une, des faces obliques de la
dent de la crémaillère de ment tangei^elleraent à la développante de ^roite ou
de gauche de la. dent du pignon , en faisant .^ponstamment avec l'axe de Oe p^nott
HM angte cûosbml qui est le complément de Tangle 6 qui mesure Finclinaison de
' ^ tilte fiice oblique sur le plan milieu du tracé {fig. 3) .
La^ surface de la dent du pignon sera donc compmée de dMx surfaces dévAr ;loppables qui seront les enveloppes de Tespaee pareouru par les plans de Tune eC l'autie iace oblique de k dent de la crémaillère. . ^ D'aprter ce qui précède il «Kt dcAicéaidMt :
1*' Que la surface de la dent du pignon se ^compose /le deux happes se toor^ fiant leur cqjQcavtté et a^liaMenanl à deux hélicoîdes dèveloppables aya^t pMr arètei^ de rebroussement resp^tives deux hélices trac^ sut* le cylindre droii ayamt pour base (on section droite) le cércfe (dC) (Jig. 3}, et ayantpouraxe celui
dUpignoû^ \ . - .^ ' ^* ^ ;
T Que les tangentes à ces deux hélices font avec Taxe du pignon un angle qui eat. égal à celui que Time des facea obl^des do paAIlélipipède fait avec oet axe.
3"" Que l'es deux liéliceà sont parallèles entré dites et int^ceptent sttr les l^éné* Mmés du cylirkdre (oC), des parties égalés^ entre elles et à la disunce verticale h%" {fiff. 5) qui existe entre les plans des faces oliliques. hV et M&i' qui dètermînetit le creux existant entre deux dents consécutives de la crémaiâère. . "^ à"" Que Textrémité (Ou arête saiHaote) de la dent du pignon est une hélice dont 1^ tangentes font avec Taxe de ce pignon nn angle égal au complément ^e rangleS. \. ' - . . \. . , - • ' • — •
9* Coi ot< /e« den/f de /a crémcRUère sont des prwné$ trtangutairet obligés.
Tout ce que Je viens «Te dire sur la forme des ctonts du pignon conduisant une crémaillère dont les dents sont des parallélipipèd^ obliques , s'applique nM à mot à la forme des dents du pignon qui doit conduire une cfémaîUèré dont les dents sont des prismes triangulaires ôbliqdes; seulement Ton doit faire observer que dans ce dermer cas Té^ déinc^l^iGés parallèles entre elles , et qui sont les arêtes de rebroussement des deux hélicoides dével^ppables qui terminées la dent du pignon^ interceptent sur les génératrices du cylindre primitif (od) {fig. 4) des parties égales entre elles et à la distance veritcale etlstant entre les droites , qai sont les intersections du plan tangent au cyKndM primitif (od) suivait la génératrice (d) et des deux faces obliques ( C'V") et ( CV"') qui déterminent le creux de deux dents^ consécutives de hi cnèmaillère.
iO. Dh lieu des contacts des dents du pignon et de la crémaillère.
Le contact entre deux dents du pignon et de la crémaillère ^ se fera suivant une génératrice droite de la surface déveîoppable , cylindre ou Isélbxndej qui termine la dent du pignon ; la face de la dent de la crémaillèfie étant un plan tangent à cette surface développable.
Pou^ la crAmaillère à dents paralMipipèdes droits ou obliques y la droite dé contact se meut dans un plan parallèle à Taxe du pignon et passant pir la droite ZZ' (fig. 3). Cett& droite de contact est toujours la même sur 4a face plane de la derft de la crémaillère , en sorte que le frottetnant s'^ferce to^îours atfx mêmes points sur la fSice de la dent de la crém^Ilère.
Pour la crémaillère à dents prismes triangulaires droits ouqbliques, la dent de contact se meut dans deux plans parallèles à Taxe du pignon, et laissant, Tiui par la droite DCP\ et Tautre par. la droite B'GP (j^^. 4). La droftte de contact change de place sur la face plane de la dent de la crémaillère / en sorte que le frottement ne s'exerce pas auV mêmes points sur cette face de la dent dé h crémaillère.
V ^1. Tracé de la projection horizontale du pignon.
D'après ce qui précède il est facift de tracer la projection, borizontale du pignon dbnU les dents sont terminées par des surfaces hélicoidos développâblcs.
Eneffatj ayant tracé les fig. 3 et 4, il suffira de supposer que ces figures tournent re^ectivement autour du aenire o d'un aogle tel que l'arc ak {fig. 5) soit
égal à la^prQJecUoD éB la j^rtie (iûlerce{>lée ^ntre Iqs dLeux^ plans paraHMes déterminaDt ^épaisseur du pignon) de Thélice tracée sur le cylindre primitif, et dont les^ttingentes font avec Taxe du pignon un angle, é^l au complément ds Fangle S.
AJnsi dans la iig. 5 qui représente la projection horizontale du pignon et de la crémaillère dans le cas où les dents sont de^r parallélépipèdes obliques, Tare àA 4tAnt recti&fecst égal à la droite eE.^roJeclion boria^ontale de Tarète MM' de la dent de la crémaillère (*}.
1>es ifwgens méamiqnes ipd peuvent être emphyts pmr Hntter ks êtntg ih'ph^on.
