S VII

92. Dans tout ce qui précède, nous avons ex|>osé les principes géométriques d'après lesquels devaient être construites les machines A tracer une courbe voulue; nous allons indiquer très-succinctement certaines dispositions mécaniques qui permettent de réaliser la conception géométrique.

93. Lorsque l'on doit employer une courbe 3 pour diriger une pointe m , la

courbe 3 tournant autour d'un point a , et la pointe devant prendre un mouvement de va-et-vient le long d’une droite X, il faut matérialiser cette courbe 3, ainsi que la pointe m. *"

94. Or il y a en général quatre manières de matérialiser une courbe, savoir : de faire : ou 1* une rainure ayant la forme de la courbe 3, comme l'indique la fig.^, ou 2’ de prendre une verge et de la plier suivant la forme de la courbe 3 comme l'indique la fig. A , ou de découper une plaque suivant la forme de la courbe 3, et dans ce cas il y a deux manières de découper la plaque , ou 3* suivant la forme convexe de la courbe 3, comme l'indique la fig. ^ , ou 4“ suivant la forme concave de la courbe 3 , comme l’indique la fig. | (*).

95. Maintenant la pointe m devant prendre un mouvement de va et-vient dans le sens de la droite X, son mouvement doit être dirigé.

U y a en général deux manières de diriger le mouvement de translation de la pointe m : ou t" en faisant glisser cotte pointe dans une rainure A , comme l’indique la fig. ç, ou 2* en fixant la pointe m à une règle M qui glisse dans deux douillet ou guide t fixes N et P, comme l’indique la fig. A ( la fig. A' est nne coupe horizontale qui permet de voir comment la courbe 3 agit sur le manche de la pointe à tracer wi. ).

96. Dans les fig. q et A , le mouvement de va-et-vient de la pointe m est complet.

(•) Voyez ce que j'ai dit au sujet des surfaces terminant les outils i employer pour fofim nrr la ma- 4 lii>re et exécuter les dents d'un engrenage , dans l'ouvrage que j'ai publié sous le titre : Théorie géométrique iet ngmaget , etc.

Mai» dans les fig. et £, le mécanisme appliqué à la poinle m ne suffirait plus, il ftitil que, lorsque les divers pnints de la courbe 3 arrivent successivement sur I* droite X, la pointe ni soit forcée de suivre ceS points, et qu’aînsi elle se rapproche ou s'éloigne du centre o à mesure que cé sont des points de la courbe 3 plus éloignes ou plus rapprochés du centre o qui viennent passer sur la droite X.

-Aussi, lorsque l’on emploie la forme concave ou convexe de la courbe 3, faut-il, outre le guide de la poinle m, placer un ressort S qui se trouve comprimé par la courbe 3, ou qui presse sur cette courbe 3 suivant que la pointe m doit s'éloigner ou se rapprocher du centre o.

Les fig. y et £ indiquent ccttc disposition.

93. Nous devons faire remarquer que lorsqu’on matérialise la courbe3en lui donnant la forme d’une rainure, 'comme lig. g , ou la forme du no barre rigide, comme fig. A, les faces latérales ne sont point terminées par deux courbes identiques à la courbe 3.

98. Ainsi (fig. A) pour tracer les deux courbes 3’, 3" qui doivent terminer la rainure à droite et à gauche, il faut supposer que la tige de la pointe sera un cylindre vertical U d’un certain rayon p, et portant en son centre la poinle à tracer m, laquelle devait être conduite par la courbc3; et en décrivant des divers points v, v', v", de la courbe 3 comme centres et avec un rayon p, les cercles V, \”, V", V'",,,. les courbes 3 ' et 3” tangentes à ces divers cercles, détermineront la forme et la largeur de la rainure dans laquelle se mouvra la lige cylindrique D.

99. Ainsi {fig. 1$) pour tracer les deux courbes 3,, 3 t , qui doivent terminer à droite cl à gauche la verge rigide, il faut supposer que le point m, milieu de la

distance i i' des deux rouleaux entre lesquels la tierce courbe doit se mouvoir, parcourt la courbe 3, puis du centre o on mènera les divers rayons vecteurs oc, oa, ok, op,... de la courbe 3 et sur chacun d’eux on portera à droite et à gauche du point de la courbe 3, des ouvertures de compas égales entre elles et à ~ 1 ( l étant la distance n des deux couteaux ); on obtiendra par ce moyen les points d, b, v, r,.. . par lesquels passera une courbe 3,, et les points di, b', v', r',... par lesquels passera une courbe 3,, et ces deux courbes détermineront la forme et l’épaisseur de la verge rigide et courbe qui doit conduire la pointe à tracer qui sera fixée au point m de l’équipage qui porte les couteaux.

DE LA NATURE GÉOMÉTRIQUE DES DIVERSES ESPÈCES DE FROTTEMENTS QUI PEUVENT EXISTER ENTRE DEUX COURBES ET DEUX SURFACES (*).

Il existe huit espèces de frottements entre deux courbes ayant un point cornmu», savoir:

Frottement de

roulement ( . . 1

(angulaire, (

.. > avec ou sans pivotement.

glissement ( , \

° (angulaire, J

Il existe seulement quatre espèces de frottements entre deux surfaces en contact suivant une ligne courbe ou droite , savoir :

I roulement

glissement

direct.

angulaire.

direct.

angulaire.

Par rapport à deux courbes : ,

J'appelle frottement direct celui qui a lieu outre doux courbes, ayant au pomi de contact et à chaque instant du luouveineut, même tangente ;

El j’appelle frottement angulaire celui qui existe entre deux oourbes, ayant au point commun et à chaque instant du mouvement, des tangentes diffiéronlea.

Lorsque, à iliaque instant du mouvement, l'angle formé par les plans des cercles osculateurs correspondants, pour chacune des courbes, au peint commun ou do contact , est constant , alors ü n'y a pas de pivotement ; si cet angle varie, le pivotement a lieu.

Par rapporté deux surfaces:

J'appelle frottement direct celui qui existe lorsqu’une courbe quelconque f étant tracée sur l’une des surfaces, elle laisse sur l'autre su rfaoe, pendant son mouvez ment de rotation, uno empreinte g', telle qu a civique iustant du mouvement , les courbes <j et y ont en leur point de contact même tangente;

Et j’appelle frottement angulaire , celui qui a lieu lorsque leu courbas et ■>' ont au point qui leur est commun des tangentes différente».

[') J'ai fait publier ce petit mémoire en ( juillet ) 4SÎ7: on n’en lira qu’un Irès-petit nombre dViem-

ptairea. IUuhkttk parta do ce mémoire data uno noie placée à la fin du diapîtro sur I» engrmafei , dans b 1* éditkm d« m» Trait* du macMnr*. T. 0.

Exemples des divers frottements existants entre deux courbes.

1* Frottement do roulement direct et sans pivotement.

Je suppose deux cônes droits ayant même sommet; les cercles-bases, correspondant à une même longueur d'apothème , jouiront de colle espèce de frottement : en supposant que l'un des cônes restant lixe , l'autre prenne un mouvement de rotation, les deux sommets restant toujours confondus en un seul point.

2" Frottement de glissement direct et sans pivotement.

Je suppose deux cônes droits, en contact suivaut une génératrice droite-, mais n’ayant pas même sommet.

Deux cercles correspondants glisseront l'un sur l’autre, pendant que l’un des cônes restant lixe, I autre cône aura un mouvement de rotation tel, que son sommet parcourra un cercle tracé sur le premier cône; les deux cônes étant par conséquent, à chaque instant du mouvement, en contact suivant une génératrice droite.

3* Frottement de roulement direct, avec pivotement.

Je suppose un cône di oit C, ayant pour axe une ligne droite A.

Sur ce cône C je prends un cercle-base c.

Par l’axe A , je mène un plan P, sur lequel ou trace un cercle a, ayant un rayon r, étayant son centre au point d’intersection du cercle-base cet du plan P.

Le plan P, en tournant autour de l’axe A, entraînera le cercle a , qui dans son mouvement engendrera une surface annulaire y.

Je suppose, ensuite, qu'il existe dans l'espacé une surface quelconque à ( une sphère, par exemple), dont le centre ne sera pas situé sur l'axe A.

Je suppose, enfin, un second côncC’, ayant pour axe une ligne droite A' coupant l'axe A; sur ce cône je trace un cercle-base d, ayant un rayon r égal à celui du cercle a, et cordant, sur le cône C', à la même longueur d'apothème que le cercle c situé sur le cône C.

Je mets les deux cônes C et C'en contact suivant une génératrice droite. leurs sommets se confondant.

Dans celte position , tes deux courbes c et c' seront en contact par un point , et aurout, en ce point, même tangente t.

Je fais tourner le cône C' autour de la tangente (, comme axe de rotation, jusqu'à ce que, I axe A' s'appuyant toujours sur l'axe A, ce cône C’ soit tangent à la fois aux deux surfaces y et 3.

Puis supposant que le cône C reste lixe, et que le cône C se meuve de manière à cc que son axe A’ s'appuyant toujours sur l'axe A, il reste, à chaque instant du

mouvement tangent, à la fois aux deux surfaces y et ) i , les deux cercles cet e rouleront en pivoiant l’un sur l'autre.

** Frottement de glissement direct, avec pivotement.

Ce frottement aurait lieu entre deux cercles c et c qui , se trouvant d’ailleurs dans les mûmes circonstances que celles énoncées n* 3 , ne correspondraient pas à une même longueur d’apothème.

5* Frottement de roulement angulaire, sans pivotement.

Deux hyperboloides à une nappe, de révolution et égaux, peuvent toujours être mis en contact suivant une génératrice droite G, en sorte qu’en chaque poiul de cette génératrice G, les deux surfaces auront même plan tangent.

Deux cercles traces respectivement sur chacune de ces surfaces gauches, et ayant un point commun situé sur la génératrice de contact G, rouleront angulairemcnl l’un sur l’autre, en supposant que l’un des hyperboloides reste en repos, et que I autre se meuve, en se mettant en contact suivant les génératrices successives et du mémo système que G.

® Frottement de glissement angulaire, et sans pivotement.

Je suppose un paraboloide lujtej.bjjhqu e droit f ayant pa r conséquent ses deux plans directeurs perpendiculaires l’un àlaïïtreT "

Je prends sur cette surface deux génératrices droites G' et G", quelconques, mais appartenant au même système.

Je suppose ensuite que la génératrice G, du même système que G' et G”, et coupant à angle droit toutes les génératrices de l’autre système, tourne respectivement autour de G' et de G", ces deux droites étant considérées chacune comme un axe de révolution.

Cette génératrice engendrera deux hyperboloides à une nappe et du révolution, qui seront en contact suivant cette droite G.

Mais l’on doit observer, qu’en disant que G' et G" sont deux génératrices quelconques, je suppose qu elles ne sout jvas également distantes de la droiloG.

Si, maintenant , je considère deux cercles ayant un point commun situé sur *

la génératrice G, ils glisseront angulaircment l’un sur l’autre, en supposant toujours que l’un des hyperboloides restant fixe, l’autre se meuve en se mettant eu contact suivant les génératrices successives.

7* Frottement de roulement angulaire et de pivotement.

Les deux hyperboloides du n* 5 étant donnés, je suppose que les courbes dont on veut examiner le frottement , soient les deux cercles de gorge.

Dès lors, l’un des hyperboloides restant fixe, je suppose que l’autre hyperbo- Imde prenant un mouvement de rotation, son axe, au lieu de décrire un troisième hyperboloide à une nappe et de révolution autour de l’axe de la surface fixe.

w BM, r ™ Àt

pvenneim mouvement de balancement, dont la loi sera déterminée par la condition suivante :

Supposant un conoïdc engendré par une droite s’appuyant sur Taxe de l’Bypertwloide lhe et sur son cercle de gorge , Taxe de Hiyperboloide en mouvement *ra, pour chaîne positron de contact angulaire des deux cercles de gorge , perpendiculaire à la génératrice du conoide, passant par le point commun i ces deux cercles.

8* Frottement de glissement angulaire, avec pivotement.

O» suppose <|ue les deux hyperboloides du n* 8 sont donnés, et que les cerclés de gorge de ces deux surfaces ont un mouvement de rotation assujetti à la loi énoncée «*7, dés Tors ces deux cercles jouiront du frottement énoncé.

Exemples des diverses espèces de frottements qui peuvent exister entre deux surface*.

t* Frottement de roulement direct.

Deux cônes droits ayant môme sommet et étant en contact suivant une génératrice droite, roulent directement l’un sur l'autre.

2* Frottement de glissement direct.

Beux cônes droits n’ayant pas leurs sommets au môme point, et étant d'aüleurs en contact suivant une génératrice droite, glissent directement l’un sur l’autre.

3° Frottement de roulement angulaire.

Les deux hyperboloides à une nappe et de révolution, décrits n* 5, roulent angulairemenl l'un sur l’autre.

4* Frottement de glissement angulaire.

Les deux hyperboloides à une nappe et de révolution , décrits n* 6, glissent angulairemenl l'un sur l’autre.

Ta\ donné l’examen détaillé de ces diverses espèces de frottements, d'abord dans deux mémoires présentés à l'Académie royale des sciences du Stockholm, le premier ayant pour titre : Nouvelles recherches sur les engrenages , qui fut présenté au mois de septembre 1822, elapprouvé par MM. Lagcrhjclm et Svanberg^ commissaires nommés par P Académie ;

Le second ayant pour titre : Des relations qui doivent exister entre deux surfaces en contact suivant une ligne courbe ou droite, pour que le frottement soit de roulement ou . de glissement , qui fut présenté dans l'année 1823, approuvé par les mômes commissaires, traduit en suédois, et imprimé dans les Actes de l’Académie pour l’année 1824 ;

Ensuite, dans deux mémoires présentés à l'Institut de France, l'un au mois > (te décembre 1825, ayant pour titre : Recherches sur les engrenages cylindriques de

— aw — .

Wkite ; et l'autre, au mois de février i8S6 , ayant pour titre : Construction d'un engrenage hgperboloïdique , au moyen duquel ron peut transmettre le mouvement de rotation entre deux axes qui ne sont pas situés dans un même plan.

Je me bornerai , dans cette note, à donner ce qui est relatif au frottement de roulement direct entre deux surfaces (*).

Je suppose que l’on fasse mouvoir un plan tangent à une surface courbe quelconque M, de manière qoe les points de contact se trouvent sur une ligne de courbure minimum d de cette surface.

Ou formera alors une surface développable D, dont je désigne l’arête de rebroussement par 3.

Si j’opère de la même manière, par rapport à toutes les lignes de courburo’ minimum d , d', d", etc . , de la surface M , la série des arêtes de rebroussement 3 , “3*, 3", etc. , formera une surfic" courbe , dont les lignes de courbure seront les développées des lignes de courbure minimum , et les développantes îles lignes de courbure rtucirhituni 3ê*Tn sh rTTii-é*nr : m retre- un , par P, sera

telle , que scs plans tangents seront normaux par rapport à la surface M , et que tes plans tangents de la surface M seront normaux par rapport à la surface Pj les deux surfaces M et P pourront être dites : surfâtes réciproques.

Si, au lien de considérer les lignes de courbure minimum de la surface M, j’avais employé ses lignes de courbure maximum, j’aurais formé une surface Q, dont l& lignes de courbure auraient été, les unes développantes des lignes de -emtrbure minimum de M, cl les autres développées des lignes de courbure maximum de la même surface.

Et tes plans tangents des surfhces Q et M auraient été réciproquement plans normaux de M et Q. ‘

« l’on opère ensuite par rapport à la surface P comme nous l’avons fait par rapport A la surface M , l’on obtiendra une nouvelle surface P'.

Et les surfaces P 1 ' et M seront , par rapport à P, ce que les surfaces P et 0 sont par rapport n M.

Delà surface Q l’on pourra déduire une surface tj', et ainsi de suite; de sorte queTon formera la série de surfaces, etc. ... P", P', P, M, Q, Q‘, (J", etc., les surfaces P cl Q seront dites : surfaces des centres de rotation de la surface M, et l’on verra plus loin pourquoi je leur donne ce nom. .

’ (*! Ce qui soit (M extrait do mémoire publié on tSÎI dan.# les Actes do l'Académie royale des science# de Stockholm. 4 ' ■ T. 0.

Soit donnée une surface développable D, ayant pour arête de rebroussement une ligne à double courbure i.

Je suppose un plan tangent T à la surface D, et passant par une génératrice g de la surface D, cl la tangente i menée au point m de 3, point m en lequel cette couibc 3 est coupée par la droite g.

Ce plan T contiendra le cercle oscillateur de la courbe î, ail point m.

Je désigne par r le rayon de ce cercle au point m. Tous les rayons de courbure r forment une surface gauche. Perpendiculairement au pluu T, cl par le point m, je mène une droite h. Si en chaque point de la courbe i je fais la même construction, la sério des droites li formera une surface développable, dont l'arête de rebroussement Ç aura pour développante la courbe 3. La portion de la

• droite li comprise entre les doux courbes 3 et Ç sera le rayon de llcxion de la courbe 3 pour le point m. Je désigne ce rayon par R.

Si je déroule la surface développable D sur le plan T, la courbe 3 se transformera en une courbe y, dont les rayons do courbure formeront la série des rayons r.

Cette courbure y est dite : ligne de courbure timple do l'arête de rebroussement 3.

On peut replier la surface D, planifiée , de manière à varier la loi des rayons de flexion R. Par conséquent, l'on peut former une série de surfaces développables D', D", D"’, etc., ayant pour arêtes de rebroussement des lignes 3t, é",

3"', etc. , qui auront toutes pour rayons de courbure la série des rayons r, mais qui auront chacune des rayons de flexion différents et formant des séries R'.

R", etc. Il est évident , maintenant , que si l’on prend deux de ces surfaces développables D et D', qu’on les mette en contact suivant une génératrice droite, passant par un point m de la courbe 3 et un point m' de la courbe é', points tels que les rayons de courbure qui y correspondent soient égaux, supposant que la ’ «

surface D reste flxectque la surface D' prenne un mouvement do rotation, cette surface U' roulera sur D en se mettant en contact suivant les génératrices droites successives, et les deux arêtes de rcbroussemonl 3 et 3 1 auront toujours en leur point de contact, une tangente commune. On peut donc dire que deux surfaces développables, dont les arêtes de rebroussement ont même ligne de courbure simple y, étant mises en contact convenablement , rouleront l’une sur l'autre , et le frottement sera celui que j'ai désigné par le nom dvfruUement de roulement direct.

§ III

Sur la surface développable D, je suppose une dos développées d do l’arête de . «

rebroussement é, et une génératrice droite G coupant la courbe d au pointa,

• et tangente à la courbe 3 au point m.

Je suppose on cône do révolution C , ayant son sommet au point m, et ayant pour base un cercle dont le rayon sera celui de courbure maximum de la surface D , lequel correspond au point n; lo cône C et la surface développable D étant d'ailleurs en contact par la génératrice droite G.

ün sait que d et G seront, I une la ligne de courbure maximum, et l'autre la ligne de courbure minimum de la surface I).

Le cône C sera tangent à la surface D, suivant tous les points de la génératrice G , et en chaque point le contact sera du même ordre qu'en le point n , par conséquent tous les centres de courbure maximum correspondant à la droite G, seront sur la ligne qui joint : 1* le centre de la sphère osculatrice en le point n, et 2“ le sommet m.

Si je mets en contact les surfaces développables D et D* par la génératrice droite G, cl de manière à ce que le roulement ail lieu , l'on voit que les deux surfaces Dell) auront leurs rayons de courbure maximum,' correspondants a u même point de la génératrice de contact, dans un rapport constant.

De sorte que si le rayon de courbure maximum de la surface D est , au point n , représenté par v , et par u pour la s urface D'; et q ue , |rour un point quelconque n' de la génératrice droite G , le rayon de courbure meUimtm Oc h surface U soit

v', cl u' pour la surface D', l'on aura toujours = ^. El celte équation aura toujours lieu pour un point quelconque de deux génératrices droites se mettant en contact pendant le mouvement de rotation.

Les ileux cônes qui auront même sommet m, et pour base, l’un le cercle osculateur de la surface D en n, cl 1 autre celui de la surface D' au même point , pourront être considérés comme pouvant rouler l'un sur l'autre dans lu premier instant du mouvement, le sommet commun m pouvant être regardé comme centre de rotation. -

C est pourquoi je donne à l'arête de rebroussement d’une surface développable le nom de ïxjne des centres de rotation de cette surface ; et c'est aussi par la même raison que j'ai désigné la surface Q et la surlace P par celui de surface* des centres de rotation de la surface M .

§ iv.

* Revenons à la surface M.

D'après ce qui précède, il sera facile de construire une surface courbe N, et l’on pourra en construire une inlinilé, telle quelle ait même ligue de courbure maximum que la surface M, ses lignes dé courbure minimum étant ccquc deviennent les lignes de courbure minimum de M, lorsque l'on transforme les surfaces déve-

— arn

Jpppublcs D , on. d'autres, surfaces aussi développables ft' ; -cette -transformatir-u étant soumise à celle loi , savoir : que les rayons «le courbure minimum «hrs ntir- Xaces N et M, qui corrcspoudent à.un même point «le la ligne «le contact, ioqueHtscra une ligne de courbure maximum des surfaces M et N, sont dans un rapport constant, quel, que .soit ce |ioii)l.

Ainsi les lignes de courbure maximum de la surrace U étant désignées par i-,

Xr -Z »- e l c i i

.El ses Ijgnes de courbure niiniiuiun, par <i, «f, tT , etc. ;

.Les lignas.de courbure maximum ou minimum de 4a surface N seront aussi

Ci l", etc,;

Et ses lignes de courbure minimum ou maximum seront désignées par*, a’, n", etc.

.Les surfaces M et A étant dans le premier instant en contact suivant In courbe i a par exemple;

Les rayons de courbure des courbes r , , a', etc. , correspondant aux points où ces lignes «mupcul la courbe £, étant désignés par r, etc. ;

Les courbes net d, »' cl «f, etc., seront chacune en contact par un point, et .lerout nommées lignes homologues.

Et les rayons «.* courbure «les courbes d , d', d", correspondant aux mémos points, étant désignés par r, r, r", etc., on devra avoir la proportion suivante i

w rr ra» 1 : r", etc. ;

Et cette -proportion devra subsister par rapport k tous les points des autres .courbes -etc. ;

- De sorte que , lorsifue la proportion précédente subsistera , les deux surfaces ■M cl N auront mêmes lignes de eourlmre dans un sens ;

El lorsque ces deux surfaces auront mêmes lignes de courbure dans un sens, «Otlc proportion subsistera, excepté «l»ns deux cas , où cette proportion pourra exister ou -non ; -savoir i lorsque les fletix surfaces auront pour mêmes lignes do 'oourburo dans un sens des lignes droites , ou des lignes égales entre elles.

Ainsi , lorsque les deux surfaces seront développables oo seront de révolution, si l'on suppose que les surfaces M et IN étant en contact suivant la courbe £, par exemple, M restant lise, N prenoemn mouv-ment de rotation, cette surface tendra à rouler sur M , en se mettant en contact suivaul les lignes de courbure .successives 4' , etc.; et l'on peut énoncer ce théorème général :

Si deux .surhccs courbes ont mêmes lignes de courbure minimum ou maximum, lorsqu'on les mettra en contact suivant ,uho de ces lignes, elles auront une tendance k su rouler par leurs lignes de courbure maximum ou minimum.

— arjüf —

Et «lent 1 lf*9 doux cas particuliers 1 énoncés ci-dcssus , si la proportion entre lès rayons de courbure subsiste, les deux surfaces tendront à rouler l'une sur I autre ; si client- subsiste pas, ces surfaces tendront à glisser l'une sur l’àirtre, et le frotieroBni de roulement , on de glissement qui aura lieu , c»t celui que j'ài désigne par ko nom de frottement , de roulement ou île glissement, direct.

Les deux surfaces M et M étant dans les conditions établies ci-dessus , on pourra construire, par rapport à la surface N, deux surfaces X et Y" qui seront les analogues des sorfac.es P et Q.

Lorsque les doux surfaces M et N se mettront on contact par leurs lignes drf courbure du même genre, les surfaces I* cl X , Q et Y se mettront aussi eu contant par des ligues de courbure d'un même genre;

Ainsi ( par exemple ), les surfaces M et N se roulant par fours lignes de seconde courbure, les surfaces P et X, Qel Y, se rouleront aussi par leurs lignes de seconde <*mrlmrp.

Mais dans les deux cas particuliers énoncés ci-dessus , lorsque les surfaces M et’ N glissent l’une sur l’autre, les surfaces P et X , Q et Y, ne sont point en contact; de sorte que l'on peut énoncer co iUéorcfflC :

Si deux surfaces M et N étant mises en contact suivant unclîgne dé courbure, les surfaces des centres de rotation sont en contact, lés déux surfaces M cl N tendront à rouler l’une sur l’autre;

Si les surfaces des centres de rotation ne sont point en contact, alors les deux surfcoos If el N tendront à glisser Fune sur l'autre (*J.

Je suppose que sur la surface M, on trace une courbe arbitraire q , la surface

(*) On doit faire remarquer. que lorsque l'on dit que tes deux surfaces IL ut N Uni* mt.â renier Ou Si gloser l’une sur l'autre , ou n 'entend pus dire quVn effet , la surface M rc-tant lire , et la surface N prenant an mouvement , elle roulera on gll-srra effectivement sur la surface K 'en se mettant en euutacl arec elle par sas ligna» do courbure successives.

On entend dire : si certaines conditions , quo nous n’avons point examisiées lorsqu'il s'agit de surfka**. gdttirales ( et non particulière-) M et N, subUstrnl , les surfaces satisfaisant à ce» conditions rouleront ou glisseront effectivement l'une sur l'autre, et le frottement sera direct ; si ces conditions ne subsistent pas, In surfaces H et N auront uuUmtui une tendance neealer «« n gtrsmo direcianmibt'iiimrser feutre . quoique la surface N ne pui.-se effectivement changer de place une fuis qp'ede caLaa omtaclaerc la «ao» face M. Cesl ainsi que pour les surfaces particulière» M et N , savoir : deux surfaces développables quelconques, ou demi cènes, ou tau rylmdree; item évident quo lemouvemenl'dè'lS smfttce Wsur la lurleie Upeuteÿtcftoemral avoir liea, quoiqu» noua nodédaioan». pat estât g»» MKâ d» mo*r m»n%. de l'existence do certaines cood rirons générales , qqi subsistent nécessairement dans cascat ^giUcmiaxa».

N, en roulant ou glissant sur M , recevra de 9 une empreinte 9', telle que 9 et 9' auront une tangente commune en chaque point de contact successif.

II est évident que, pour chaque contact de ces courbes, les plans contenant leurs cercles osculatenrs se confondront; de sorte que les courbes 9 et 9' auront, pendant le mouvement de rotation des deux surfaces M et M ■ un frottement, de roulement ou de glissement , direct et sans pivotement.

Deux courbes telles que 9 cl 9', peuvent être nommées lignes homologues.

Ainsi , deux surfaces en contact suivant une ligne courbe ou droite ne peuvent pivoter l'une sur l'autre en prenant un mouvement de rotation, parce que leurs lignes homologues ne pivotent pas pendant la rotation.

Je suppose maintenant que perpendiculairement à la tangente commune aux courbes 9 et 9', je fasse passer un plan B, dans lequel je trace deux courbes arbitraires * et mais tangentes l’une à l’autre et précisément au point de contact des courbes 9 et 9', et ayant en ce point pour normale commune , l’intersection du plan tangent commun aux surfaces M et Pi , avec le plan B.

Faisant ensuite mou voir les deux courbes a et la première sur la courbe 9 , la

deuxième sur la courbe 9', de manière <jue dans toutes les positions de contact de 9 et 9', tout le système suit dans les conditions que je vieus d’énoncer, j’obtiendrai deux surfaces-canal qui , pendant le mouvement de rotation de la surface N sur M, rouleront ou glisseront l’une sur l’autre, suivant que N roulera ou glissera sur M. t > ' >t . ■ .. .

Je puis multiplier sur les surfaces N et M, le nombre des courbes telles que 9 et 9', et former dés lors un engrenage composé d’autant de dents qu’il y aura de surfaces- canal.

§ VI

Ce sont les considérations précédentes qui m’ont amené à envisager la théorie des engrenages, sous un point de vue tout nouveau.

Dans les arts mécaniques, il est important que l’on puisse engrener et désengrener avec promptitude et facilité. L’uniformité de mouvement est indispensable-, et, pour la solidité, il est nécessaire que les surfaces dentées tournent autour d’axes fixes.

Ces diverses conditions seront remplies si l’on prend pour surfaces M et N des surfaces de révolution.

Et comme dans les surlaces de révolution, les lignes de première courbure sont les méridiens , et les lignes de deuxième courbure sont les cercles dont les plans sont perpendiculaires 1 l’axe, les deux surfaces U et N, pour pouvoir se

mettre en contact suivant une ligne de courbure, devront avoir leurs axes de révolution dans un môme plan.

Si les axes se coupent , on pourra prendre pour les surfaces M et ÏV deux cônes avant leurs sommets au point d’intersection de ces axes;

Si les axes sont parallèles, on pourra prendre deux cylindres.

En opérant , par rapport à ces deux surfaces particulières , comme je l’ai fait ci-dessus pour les surfaces générales M et N , on obtiendra un engrenage à la White; et comme pour un cône, la surface des centres de rotation se réduit au sommet , et que pour un cylindre ce sommet est situé à l’infini , on pourra affirmer (jue le frottement des dents sera de roulement direct, et sans pivotement.

Et les lignes de courbure par lesquelles les deux cônes ou les deux cylindres se roulent, étant des cercles, il s'ensuit quo les vitesses angulaires sont constantes.

On parvient donc, au moyen des considérations développées dans cette note, à démontrer rigoureusement que les engrenages coniques et cylindriques que le mécanicien White présenta à l’Institut pour le concours décennal de 1810, jouissent en effet de la propriété qu’il Jeur^attribua , savoir : celle de satisfaire à la fois aux deux conditions : 1° de frottement de roulement ; de vitesse angulaire constante; conditions qui avaient été, jusqu’à lui, regardées comme ne pouvant avoir lieu, en même temps, dans un engrenage (*). Mais White, qui sentait bien que la matière agissait, ainsi qu'il l’annonçait, ne put le démontrer mathématiquement ; et le mémoire qu’il publia en 1811 , bien loin de présenter la question sous son véritable point de vue géométrique, ne servit qu’à confirmer les géomètres dans l’ancienne idée de I incompatibilité des deux conditions.

Si, an lieu de prendre pour courbe méridienne des surfaces de révolution M et N une ligne droite , on trace sur le plan des axes une courbe arbitraires; par son mouvement de rotation autour de chacun des axes, cette courbe s engendrera deux surfaces de révolution, sur lesquelles on pourra opérer comme sur les surfaces générales M et N.

Mais alors l’engrenage obtenu aura un frottement de glissement direct ot sans pivotement, et les vitesses angulaires seront encore constantes. Le frottement sera de glissement, parce que la surface des centres de rotation pour une surface de révolution , n’est autre que l’axe du révolution , et que dans le cas que nous examinons, les deux surfaces des centres de rotation ne seront point en contact.

Les vitesses angulaires seront constantes, par la même raison qui fait que cette condition est remplie pour deux cônes ou deux cylindres.

(*) Voyez le mémoire publié per Eclk.

La différence entre les engrenages dont je viens de donner une idée, et ceux ordinairement en lisage, consiste en ce que, dans ceux-ci : 1* les dents sont en contact par une portion de surface cylindrique ou conique, suivant qne l’engrenage est cylindrique ou conique, puisque l’on est obligé de donner aux dents une certaine épaisseur, pour quelles résistent ; 2“ le pojnt de contact des épycicloïdes planes ou sphériques qui terminent les dents, ne sort pas du plan qui contient ces courbes, pour l’engrenage cylindrique ou de la sphère sur laquelle ces courbes sont tracées pour l'engrenage conique , tandis que dans les engrenages à la While , les dents ne sont en contact que par un point, et ce point, pendant que l’engrenage fonctionne , se meut sur la courbe z tracée sur le plan des axes; et il y a autant de dents en contact, en même temps , qu’il y a de surfaces-canal coupant la courbe méridienne.

DU TRACÉ ET DE L EXÉCUTION DE l’ENGRENAGE DIT VIS-SANS-FIN (*).

Dans la quatrième et dernière édition de son Traité des machines, Hachette dit au sujet de la vis-sans-fin :

« La vis-sans-fin est une roue dentée engrenée dans les pas d’une autre vis, à

• laquelle elle imprime un mouvement de rotation (*’).Si la vis est enveloppée au-

» tour d’un cylindre, il n’y a qu’une seule dent de la roue dentée qui soit en- » gagée mais on peut en engager plusieurs on traçant la vis sur une sur-

» Tace de révolution nui serait tangente à la circonférence du cercle passant par

* le premier point de contact de chaque dent (***’).

» La figure du filet de la vis-sans-fin et celle de la rone menée par celle vis

(*) Extrait du journal du génie civil , 3' vol., année ISÎ9.

(••) Otto riétinilion n'esl pas très-claire; la roue dcotéo par la vis no peut être comparée i une vis.

(•••) Ceci est inexact. Quand oo taille une roue au moyen d’une vis cylindrique , plusieurs dents de la roue peuvent être en coulact avec les blets do la vis ; lo nombre des déni* on contact dépend du rayo* de la roue, de l'épaisseur et du rampant du ülcldc vis. T. O.

(**“) tUcuarra désigne ici les engrenages clepsyiret , dont il n'a pas parlé dans sot^ouvrage.

i pourraient donner lieu à «ne multitude de recherches analogues à celles qui » concernent les roues dentées en général.

* La meilleure manière de tailler la roue dentée d’une vis-sans-(in consiste à »' faire la vis en acier, à la tremper, à donner à ses arêtes un bon tranchant, et à » la faire agir sur la circonférence de la roue dentée (*).

» A mesure que le tranchant de la vis entraîne la circonférence de la roue, on » les rapproche l’une de l’autre jusqu’à ce qu elles se pénètrent de toute la pro- » fondeur de la vis, et on continue à les faire mouvoir ainsi l’une sur l’autre, • jusqu’à ce que la vis n’ait plus d’action sur les dents qu’elle a taillées (**).

D’après cet article , extrait en son entier de l’excellent ouvrage de Hachette , l’on voit que tout reste à faire au sujet de la vis-sans-Iin , que l’on ne connaît point encore la nature géométrique de la surface des dents de la roue dentée; que l’on ignore comment s'opère le contact entre uuc dent de celte roue et le lilet de la vis; quel est le lieu géométrique des contacts, et que l'on n'a point encore cherché quelle devait être la courbe génératrice et de la dent de la roue et du lilet de la vis pour que les vitesses angulaires soient dans un rapport constant, condition qui doit- nécessatretncili êtré remp l ie p o u r q u « las m a nh i m ig aIo précision dans lesquelles on emploie la vis-sans-lin, comme les machines à diviser, etc. , soient exactes.

Je me propose dans ce mémoire de remplir la lacuno qui existe encore dans le tracé des engrenages à frottement de glissement, en recherchant quelle doit être la construction géométrique de l’engrenage nommé vis-sant-fin, pour que le rapport des vitesses angulaires y soit constant , comme cela a lieu dans les autres en-

enages cylindriques et coniques, dont les dents sont taillées suivant les formes géométriques décrites par Hxciiette dans son Traité des machines.

Daim le mémoire suivant (n° 10), j’examinerai l'engrenage dit engrenage clepsydre.

Trace de la vis-sans jin.

Pour que l’engrenage dit vis-sans-fin satisfasse à la condition du rapport constant entre les vitesses angulaires de la roue demie et de la vis, il faut (en n’oubliant

C) La vis ainsi préparée ne pour rail entamer la matière de la roue à denter. Il faut transformer la via, en taraud , en pratiquant îles tncoclics , un sillons équidistants sur la surface du lilet , de manière S so procurer des rabots qui puissent entailler la roue a denter. T. 0.

I* * ) Ceci est inexact. A mesure que l’on enfance la vis-taraud , elle mort toujours; par un travail coutinu , on finirait par ronger toutes le» dents formées , et en poursuivant lo travail on reformerait la roue deméo . mois elle aurait une dent de moins que celle que l'on avait obtenue d'abord et dont on a sucoe -»i veinent rongé toutes les dents par suite du taraudage soutenu. T. 0.

point que dans cet engrenage l'axe de la vis et l'axe de la roue dentée sont rectangulaires entre eux) que la section faite par un plan passant par l'axe de la vis est perpendiculaire à l'axe de la roue dentée, offre le tracé qui convient à une crémaillère.

Pour pouvoir démontrer qu’en effet tel doit être la construction de la vis-sanslin, et que l'idée, qui , je crois, n'a été présentée avant moi par aucun mécanicien, </<• comparer la vis-sanf-fin à un engrenage à crémaillère, est exacte, je rappellerai d'abord le tracé : V des cames et 2* de la crémaillère, en répétant, textuellement et en son entier, ce que Hachette a dit dans son Traité des machines au sujet de ces deux engrenages.

S Ml.

1" des cames et pilons. (Extrait du Traité des machines de II acüette , \' édition.)

« Les dents d’une roue cylindrique prennent le nom de came» lorsque cette » roue conduit le manche (’) d’un pilon ou d’un marteau, et lui imprime un > mouvement rectiligne ou circulaire, alternatif.

» La fig. t représente un pilon et son manche ; ce manche est composé de deux » pièces de bois CDEE , ABGll, réunies jiar deux autres pièces (P cl Q), qui lais- » sent entre elles un espace vide ABCD.

* Étant donné un pilon de cette forme, il s’agit de lui imprimer un mouvement » rectiligne dans le sens de la droite RS , en le faisant glisser sur les faces verti- » cales des pièces de bois horizontales LM , L'M'; soient (fig. 1) ce même pilon et » son manche vus de profil; un arbre abctlef porte les rame» A, B, C, D, E, F.

• Lorsqu’il tourne, chacune de ces cames s’engage successivement dans l’inler- » valle ABCD (fig. 1) du manche du pilon, et le soulève en pressant la face hori- « zonlale AB delà partie du manche ABGH. Chaque came est un solide terminé » par une surface cylindrique, qui a pour base la ligne ixyz (fig. t). RS étant . la projection de la ligne milieu du manche du pilon, et T le centre de l’axe de u rotation de l’arbre abedef, on abaisse du point T une perpendiculaire ’lt sur » RS. On décrit do ce même point T, comme centre, un cercle du rayon T<; en- > lin, on développe une portion a6y de ce cercle, ce qui s’exécute en déroulant » une corde ou un fil aô appliqué sur la circonférence a6y, et l’extrémité a de o celte corde décrit la portion de développante amp.

» Chaque came telle que A est terminée par une courbe égale à la portion de

(•; On devrait dire le mentonnrl d'un pilon , ou lo manche d’un marteau.

développante «ny, dont la grandeur dépend de la hauteur à laquelle on doit élever lo pilon. Pour la hauteur (x dont le pilon est soulevé, on développé l’arc de cercle iv égal en longueur à la droite tx; la courbe ex est la seule partie du contour de la came dont la forme soit déterminée. Le cercle décrit cfû point T comme centre, avec Tx pour rayon, coupe la développante indéfinie airoaii point y, et lu portion s<y est la développante de l’arc de cercle «S, égal en longueur à l’arc tv. •

• Connaissant, par l’expérience, l’épaisseur qu’il conviênl de donnera la came, on la termine par une droite gi qui concourt au |>oinl T, et l’on raccorde la courbe ox et cette droite ijz par une courbe quelconque xy, qui soulève encore le pilon d’une petite hauteur, avant que la came soit dégagée du manche du pilon; alors le pilon tombe par son propre poids. Lorsqu'il est arrivé nu point le plus bas de sa course ; il est important que la ca^ne suivante F, déjà engagée dans l'espace vide ABCP (fig. i ),‘se trouve près' de l’extrémité de la pièce de bois ABCII , afin d’éviter le choc de la came contre cette pièce de bois, tf [fig. 1 ) est la longueur de l’arc parcouru par le point t autour du point T, tandis que le pilon desueiul de toute j'i hauteur ve rticale dont il a été élevé par la came A.

> Les hauteurs dont le 'point t de In ligne milieu, du pilon s'élève sur la verticale tx, seront de même longueur que les arcs décrits par le même point / autour du centre de rotation T, cl l'arète de contact de la came et de la face AB (fig. i ) du manche du pilon sera constamment perpendiculaire à la droite ** U>9- *) (*)• *

2* DE L’ENGRENAGE d’une ROUF. ET D'UNE C-RÉMAILLÈRE COMPRISES ENTRE DEUX

plans parallèles ( extraif du Traité dés machines de Hachette, 4’ édit.).

« La roue tourne Autour d'un axe passant par son centre A (fig. 2); un plan • perpendiculaire à cet axe contient le cercle du rayon primitif AC de la roi^i;

(•) Lu manche- du marteau doit être terminé par une-courbe particulière. Hachette a oublié d'en parler; il ne s'est occupé que des pilons.

Lo marteau peut êtru soulevé de deux manières diitércnles : I ■ la came frappe le manche du marient) et l'ahaissc, comme dans les anciens orient, ou 2’ la came soulève un mentonncl placé à la télé du marteau comme dans l’ofdon anglais. Dans l'un et l'autre cas le manche et le menlonnet doivent être terminés par une développante du corde décrit de l’axe de rotation du marteau comme cenlre , et avec un rayon égal à la distance existant entre l'axe du marteau et l’axe de la roue A cames, diminuée d’une qtran- Jité plus grande que lo rayon de cotte dernière roue. On a dans ce cas un véritable engrenage cylindrique, composé de deux roues dentées, et dont les dents sont terminé. s perdes développantes de cercle. T. O.

• ta droite TCDLD', qui se meut en même temps que la crémaillère dont elle

• est la ligne milieu, touche constamment le cercle du rayon AC au point C,

• eu sorte que la vitesse absolue du point C est la même, soit qu'on regarde ce

> point comme lixé à la roue, ou comme fixé à la crémaillère. Cette droite

> TCDED' pouvant être considérée comme un cercle d’une roue dont le rayon

• primitif est infini, l'engrenage d'une roue et d’une crémaillère est un cas

> particulier du cas plus général un les deftx roues ont des rayons primitifs de

• dimensions linies".

• Faisant tourner le cercle du diamètre AC sur la droite TCLD', le point C du

> cercle engendre, non |>as un épicycloide, comme dans le cas général des deux

• roues, mais unccycloîde CM. Ou prend pour la demi-épaisseur d'une dent de » la crémaillère, une droite CM contenue on nombre entier de fois dans le cercle

• du rayon AC ; une perpendiculaire MM à la droite CT détermine la grandeur

• de l’arc CM de la cycloidc. La perpendiculaire Mi au rayon AC rencontre la ■ circonférence du diamètre AC au point x, faisant AQ = Aj , ÇQ est la grandeur *• du liane de la roue qui correspond à l’are de cycluïile CM. Le creux de la dent

• ,de celte roue est terminé par la courbe MZRO que décrit le point M de la

• crémaillère sur le plan*Ju cercle dont le rayon est AC. On suit, pour construire » .celle courbe,; la méthode qui a été décrite (art. 54 du traité cité); ou prend

• l'arc CM' du rayon AC, égal en longueur à la droite C.N , épaisseur d’une demi- » dent de la crémaillère, et l’on tire le rayon AZM'. Les deux arcs M'Y et CM'

étant égaux, on mèue le .rayon AY, et yi’.ZX est le creux de la dent de la » roue ; CQXY sont les lianes des deux dents adjacontes à ce creux.

• Oette ligure CQRZMXY a été transitée en DVGKL. l’uur compléter la

• dent de la roue, on considérera la ligne milieu L>'T du lu crémaillère comme

• l’axe du pilon RS danî la figure précédente [fiy . 1). La courbe l)d (Jig . 2),

• développante du cercle du rayon AC, conduira la crémaillère de la même » manière que la came rx (fg. f [(conduit Te pilon. Le point 2) est l’intcr- » section de la développante Dd et d’un rayon AJD, tel que l’arc D3 est de même «longueur que la droite CN.

• La crémaillère porte des dents, cl deux dents consécutives sont séparées par » un creux ; tnais elle n’a point de flancs, ou autrement le flanc se réduit à une

• ligue droite, comme on l’a déjà vu à l’article des cames et pilons. On aura

• donc tout ce qui est relatif à l’engrenage d’une crémaillère cl d’une roue,

• lorsqu’on connaîtra la forme du creux qui sépare deux dents consécutives de la » crémaillère ; ce creux est terminé par deux branches de cuui bes égales à L'U'. » Cette branche de courbe est égale à celle qui est décrite d’un mouvement » relatif par l’i xtrémité M de la dent de la roue sur la crémaillère. On construit

» cette courbe d’après ce qui a été dit (art. 54 du traité déjà cité), et il suit de > l’article (55) que le rayon AC louche à la fois la développante du cercle CM et » la cycloïde rallongée CR’Z'. » r

Par ce qui suit je vais compléter ce que Hacoette a dit sur l’engrenage à crémaillère. . • * „

§ IV

Lorsque le pignon doit conduire la créitfaillère , les mécanicieus donnent , ordinairement aux dents de la crémaillère la forme d’un rectangle, et il», négligent la construction de la courbe du creux qui devrait séparer ses dents entre elles, ou mieux qui devrait exister entre deux dents conééculivcÿ.

L’engrenage à crémaillère s’exécute donc ordinairement ainsi qu’il est indiqué

t fr.3). • . .

Le pignon tournant autour de son centre S, de*' en y', la crémaillère se meut en ligne droite de x en y.

Le lieu des points des contacts successifs do la dent RSM'Q" de la crémaillère avec la dent m'Bm" dupignop, est la droite ’L'L (*).

1 . De la manière dont le pignon el la crémaillère se conduise >U.

On doit rei la droite ZZ'j qui est la droit Q'M’ m'B qui termine

|3) que le’ point de contact sc mouvant de * en y sur 5 au cercle (o, C) (désignant le cercle par son. rayon)» courbes qui terminent les dents du pignon, le côté ’Q' de la crémaillère, conduira la développante de cercle gauche la dent du pignon qui suit immédiatement la dent de la

crémaillère, jusqu’à ce que le point de contact M' soit arrivé en C.

Ensuite à partir de ce point, le mouvement continuant, le côté Q’M’ cessera d’élre en contact avec la courbe m’B. De sorte que les points des contacts successifs de Q'M' et de ih’B seront distribués sur ZC et s’arrêteront en C.

Si l’on considère le côté gauche QU d’une dent de la crémaillère, il ne sera en contact avec la courbe m"B qui termine à droite la dent du pignon précédant immédiatement là dent de la crémaillère, que lorsqu’il sera arrivé en C; à partir

(*) Dans la pratique , on doit distinguer trois cas : 4* celui où le pignon conduit la crémaillère, et l'on emploie la construction que je viens d’indiquer; V celui où la crémaillère conduit le pignon ; alors je» dents de la crémaillère sont terminées par do» arcs de cycloïde et le» dente du pignon sont terminée» par de» Lignes droites qui tendent vers le centre do ce pignon ; et 3* celui où l’on veut que le pignon puisse alternativement conduire la crémaillère el être conduite par elle , alors on superpose les deux tracés précédente, et l'on a celui qui est indiqué par Hachsttr dan» son Traité des machine». T. O.

de celte position la courbe m"B conduira le côté QR, et les points des contacts successifs de QR et de m"B seront distribués sur Cl' et à partir du point C.

Ainsi chaque dent QKMP de la crémaillère, cesse d’étre en contact avec les deux dents B et b du pignon , entre lesquelles elle est engagée , pendant le temps

que son extrémité AIR emploie à passer sur le point C.