TROISIÈME PARTIE

Tracé DkâBiqfla dé I* projection boriiooteU de te ligne de tdperetion d’ombre et de tnmiére , de ht »rfeoe bttioolde gèaérele rupporée éoleirée per nn rayon Inminenx.

Lorsque nous avons cherché les divers points**, x, k ,... de la projection horizontale de la ligne de séparation d’ombre et de lumière, nous avons, pour faciliter les constructions graphiques et les abréger, supposé que la droite A étant passée en une position A', on ramenait la droite A' sur la droite A, au moyen de deux mouvements, l’un de rotation autour de l’axe O cl l’autre de translation et parallèlement à cet axe O. '• '

Pour les recherches subséquentes, il est préférable de construire le point*,, situé sur la droite A', en opérant un changement de pian vertical de projection, ainsi : quand on considérait la droite A, on prenait un plan vertical de projection, passant par l’axe O et parallèle à cette droite A , lorsque nous considérerons une nouvelle position A' de la droite A, nous prendrons un nouveau plan vertical de projection , passant toujours par l’axe O, mais alors parallèle à la droite A'.

Le plan horizontal de projection était situé au-dessous du point m (contact de la droite A et du cylindre A ayant pour axe la droite O), d’une quantité égale à : s=R tang. a; lorsque nous considérerons la nouvelle position A' de la droite A,’ nous emploierons un nouveau plan horizontal de projection, toujours perpendiculaire à l’axe O-, mais situé au-dessous du point m' (contact de la droite A' et du cylindre A) d’une quantité qui sera encore égale à • s=R tang. a.

Cela posé, effectuons les constructions graphiques qui doivent nous conduire à la détermination des divers points ag*,... de la projection horizontale de la ligne de téparalion d’nmbre cl de lumière. «.

Reprenons la fig, c, elsur lafig. I construisons le point x h , situé sur A*. Cela fait , concevons la droite A en la position A'; pour trouver le point *,\ il faudra:

■1* prendre i n’ k q'=m'‘q, et l'on aura le point q', homologue du point q; 2“ prendre m'V = in*r, et l’on aura le point r, homologue du point r; 3” mener par m'* une droite parallèle à la projection horizontale du rayon de lumière, et prendre m'V=m‘a et l’on aura le point a', homologue du pointa; 4* mener par q' la droite II", perpendiculaire à A'*, et l’on aura la droite homologue de la droite H*; 5” mener par le point q' la droite B'*, perpendiculaire à la divergente o h q', et l’on aura l 'homologue de la droite B*; 6" unir les points r' et a, et l’on aura la droite H", homologue de la droite H'; T les droites U" et H" se couperont en un point b‘ qui sera l’homologue du point b; 8“ mener par le point b’ une droite A " k parallèle à la droite A’*, et l’on aura V homologue de la droite A”*; 9* les droites A,'* et B'* se couperont en un point d'*qui sera l'homologue du point d*; 10* enlin, en construisant sur comme hypoténuse , un triangle rectangle dont le sommet soit situé sur la droite A'*, on aura en ce sommet x* le point demandé.

Avant d’aller plus loin, rappelons-nous bien les diverses relations déposition qui existent entre les lignes qui servent à construire le point x* (fig. 1). t

1* Le triangle o*m\/ est rectangle en m‘; il est isocèle; ainsi l’on a o‘m‘=m*q et l’angle o‘qm* = 45* ;

2» La droite B* est perpendiculaire sur o*q, parce qu’elle est la projection de l’une des génératrices du second système du paraboloïde tangent, lequel est formé par les tangentes aux hélices de même pas décrites par les divers points de la droite A ; parce qu’elle est la projection de la tangente à l’hélice décrite par le point q de la droite A ; parce qu’elle est tangente à la parabole enveloppe des projections des tangentes aux hélices, parabole qui a le point o‘ pour foyer-,

3 Le triangle gbit est rectangle en bel il est isocèle; on a :

bq = bit et l’angle bqtt = 45“,

4° Le triangle o*rfV est rectangle en x* et il est isocèle; on a donc :

d*x*=o*x* et l’angle dVx* = 45".

De ce qui précède , on en conclut que :

o*q = o*m*. = qnt . j/2

qit = bq . |/2 = bit . l/2

7ûT‘ 1/2 = dV . |/2

S ni.

D'après ce qui rient d’être rappelé , on peut en conclure que si l’on avait ( h ■ 1 ) ramené les points d, ct k ... en les points d,\ d* ... en faisant faire un mouvement de rotation de 45° autour du point d à la courbe lieu des points d ...; ces divers points <f ,‘ ... seraient venus se placer respectivement sur les rayons vecteurs de la courbe lieu des points a?,... et que les deux courbes , l’une

lieu des points or*,... et l'autre lieu des points d k ,... seraient deux courbes polaires semblables et semblablement placées et ayant le point o* pour pôle commun.

Si donc on calcule l'équation polaire de la courbe lieu des points d, on aura une équation de la forme /(p, «) — 0, et en remplaçant dans celle équation w

par (u -h 45°) et p par — ^-=,on aura en : / F (n>-M5°) , -: ■ * *] =0, l'équation de f 1/2 L p*/ 2 J

la courbe, projection horixontalo de la ligne de séparation domine et de lumière.

§ iv.

Ce qui précède nous montre donc que si l'on connaît la courbe lieu des points d ... ou connaîtra de suitc'la courbe lieu des points d ... Voyons donc si l'on ne pourrait pas parvenir , par une construction plus simple que celle que nous avons employée jusqu'ici, à la détermination des points d,

Les trois points r, b et a sont en ligne droite. Si donc nous faisons tourner autour du point q la droite H’ qui les contient , et cela d'un angle égal à un demidroit, le point r viendra en r, sur la droite dq , le point b viendra en b, sur la droite B*, et cela parce que la droite o k q fait un angle demi-droit avec la droite A* , et que la droite B* fait un angle demi-droit avec la droite H* (fig. II).

Enfin le point m*. viendra en m, sur la droite o k q.

Cela posé, si l'on unit les deux points r, été,, on aura la position que la droite H’ doit prendre après le mouvement de rotation ; elsi par le point m , on mène une droite m,a, faisant avec la droite o k q le même angle que la projection horizontale m k a du rayon de lumière fait avec (adroite A*, cette droite m.o, viendra couper en a, la droite r,b, , et ce point a, sera la position que le point a viendra prendre après le mouvement de rotation d'un demi-cadran autour du point q ; et comme les droites o k q et K k font entre elles un angle égal à un demi-droit , il est évident

tu

— Ti-

que les droites m*n et m,a, font aussi entre elles un angle égal à un demi-droit.

Cela posé :

Comme qb,—qb, et que qif — qb.[/'i , il s’ensuit que si par le point d*on mène une droite parallèle à la droite r.b.a,, celte nouvelle droite viendra couper la droite o*q en un point r* et l’on aura r'q =: r,q. \/'2 ; il suffira donc d’élever par le point r une perpendiculaire à la droite A*, et de la prolonger jusqu’en r.sur la droite o k q pour avoir un point de la parallèle menée par le point <f.

Cela posé ,

Si l'on joint les points q et a, par une droite, elle ira conper la droite r,d* en un point a, ; unissons les points o* et a, ; je dis que cette droite o\ est parallèle à la droite m,a,.

Et en effet :

Dans les deux triangles qm.a, et qo\, on a : o\j = qm, . i^'ï et <^i, t= qa, . \/% ; ces deux triangles sont donc semblables ; donc, les deux droites m,a, et o*a, sont parallèles, et de plus on a : o\ = m,o, . \/2.

Lu construction que nous venons d’effectuer sera la même que nous considérions la droite A* ou la droite A'* ( fig . I). Par conséquent le point a È est un point fixe , puisqu’il est l'extrémité d’une droite, d’une longueur constante, menée par un point fixe cl dans une direction invariable, attendu que celte droite o\ fait un angle égal à un demi-droit avec la projection horizontale du rayon lumineux.

Or, si l’on se rappelle qu’en faisant tourner le point d* d’un angle demi-droit on l’amène en d,‘ sur le rayon vecteur de la courbe lieu des points x', alors le point a, viendra en a, (fig. III ), cl dés lors lu droite o‘a, sera perpendiculaire à ia projection horizontale du rayon de lumière.

Ce point a, étant un point fixe, on aura à exécuter la construction suivante pour construire lu point d, k , en lequel vient se placer le point d'après la révolution d'un demi-cadran autour du point o k .

1* Du point o* , comme centre et avec u"q pour rayon (fig. III ) , on décrira un cercle Q ;

2” Du point o* comme centre et avec oV, pour rayon , on décrira un cercle R ;

3® Par le point on mènera une droite o h a, perpendiculaire à la direction m*a de la projection horizontale du rayon lumineux ; et le point a étant la trace horizontale du rayon de lumière passant par le point m , le plan horizontal de projection étant mené an-dessous du point m d’une quantité * = R tanga (a étant l'angle que la droite A fait avec le plan horizontal et U le rayon du cercle H , projection de l’hélice décrite par le point m), on prendra o\i, = m l a . p^2, et l'on aura le point fixe a, ;

4° On mènera par le point o 4 une droite quelconque coupant le oercle Q en un point q et le cercle R en un point r t , on unira le point variable r, avec le point fixe a,;

5* Au point q on mènera une tangente au cercle Q;

6° La tangente au cercle Q coupera la droite a / , en un point d, k qui sera le peint demandé ; et en prenant sur le rayon vecteur tfid} une longueur telle

que 77= o k d, K . , on aura en x 4 un point de la projection horizontale de

la ligne de séparation d'ombre et de lumière.

Voyons s’il ne serait pas possible de déterminer le point x* sans avoir besoin de passer par le point «/,*.

Il est d'abord évident qu’en menant au point s (Jig. III), en lequel le cercle M est coupé par la droitco*q, une tangente à ce cercle M, elle viendra couper la droi te o‘d,*ea le point x 4 demandé; car l’on a : o k q =o‘* . I /l ; ensuite, si nous menons par le point x 4 une parallèle à la droite rj^, elle coupera la droite o 4 a,en un point p, et l'on aura évidemment o 4 o,= o*p . |/2 , par conséquent le point psera un point tse, et de plus o 4 p se trouve précisément égal à u» 4 a (Jig. III).

De plus , la droite px 4 coupera la droite o K q en un point v, et l’on aura :

Par conséquent tfiv m 4 r.

D’après ce qui précède pour construire directement les divers points x* dé la projection horizontale de la ligne de séparation d'ombre et de lumière, on devra exécuter la construction suivante (Jig. IV) :

ï* Du point o 4 comme centre on décrira un Cercle M ayant pour rayon la plot Courte distance R existant entre l'axe O et ta génératrice droite A de la surface hélieoMe générale ;

2° On mènera par le centre o 4 une droite perpendiculaire à la projection horizontale du rayon lumineux , et l’on prendra une ouverture de compas o*p égale & la sous-tangcnle de l'inclinaison du rayon de lumière passant par !:u peint m dé l’hélice H (décrite par le pied de la plus courte distance qui existe eniiv les droites A et O) sur un plan horizontal X situé au-dessous de ce point m deiS quantité connue, s a= R tang *.

5“ On décrira un cercle D du point o 4 comme centre et avec un rayon égal

à m*r, qui est la sous-tangente de l'inclinaison de la génératrice K, par rapport au même plan horizontal

4* On mènera du point (ixe p une série do divergentes pl', ... coupant le cercle P, en les points t',...

5* On unira le centre o‘ avec les divers points t,... par des divergentes qui couperont le cercle M en des points «...

6* On mènera en les divers point « , ... des tangentes au cercle M , lesquelles couperont respectivement les divergentes pl', ... en des points ar*, ... , qui détermineront la projection horizontale de la ligne de séparation d’ombre et de lumière sur la surface hélicoïde générale.

§ VI

D'après ce qui précède l'on voit que l'on peut construire la projection horizontale de la ligne de séparation d'ombre et de lumière, en la considérant comme une courbe géométrique plane et sans s'inquiéter de la courbe à double courbure de l’espace dont elle est la projection; sans s'inquiéter dès lors du problème d'ombre qui conduit à celte courbe plane.

Examinons maintenant en détail cette courbe et voyons quelle forme elle doit affecter.

Si l’on joint le point fixe p(fig. V ) avec le centre o k des cercles M et D, on voit de suite que la courbe doit être symétrique par rapport à celte droite po\

La droite po* coupe le cercle M en deux points s et z, qui appartiendront à la courbe; et comme tous les points de la courbe sont situés hors du cercle M excepté ces deux points x et s,, on voit de suite que la courbe sera tangente au cercle M en chacun de ces points x cl s,.

Pour construire un point courant de la courbe , nous menons d'abord la divergente pl, coupant le cercle D en les deux points l et t , et nous aurons deux rayons o*/ elô*/, coupant le cercle M respectivement en les points « et «,; nous mènerons ensuite en « et s, des tangentes au cercle M lesquelles couperont la divcrgeule pl en les points x et x,\ nous obtenons donc deux points de la courbe cherchée pour çhaque divergente telle que pl.

Cela doit déjà nous faire penser que la courbe est composée de deux branches. Voyons si la courbe passe par le point fixe p ; cl pour reconnaître, si cela a lieu, menons par le point p une tangente au cercle M, nous aurons le point de coniaol «, ; ipcnoas o*«, coupant le cercle D au point joignons les points t, et p, nous aurons ta divergente pl, qui coupera le cerclé D en un second point t‘ et si pour ce point t’ nous faisons la construction nécessaire, nous aurons le point x‘, en sorte que

les points pet x,' appartiennent à la courbe et sont conjugués entre eux, comme l'étaient les points x et x,.

La courbe sera donc composée de deux branches, l'une 3 tangente en x au cercle M et venant passer par le point p; l'autre 3. tangente en x, au cercle M et venant passer par le point x,'.

Si au lieu de mener une divergente coupant le cercle D, on mène uno tangente pl, à ce cercle, le point de la branche 3, qui est situé à l’infini, sera sur cette tangente, et même chose aura lieu pour le point de la branche 3,. Car ce point sera donné par l'intersection de la droite pl, tangente en /, au cercle D et de la tangente en s, au cercle M ; or il est évident par la construction que ces deux tangentes sont parallèles.

La droite pl, sera donc une asymptote commune aux deux branches 3 et 3,.

Par suite l'on voit que la courlic sera composée de deux branches 3 et 3, ayant la forme indiquée par la (ig. V ; ces branches ont pour asymptotes les deux tangentes menées du point p au cercle D; la branche 3, n’ollrc aucun point remarquable; la branche 3 offre un nœud au point fixe p et de plus chacun de ses arcs infinis offre un point d'inflexion, car tournant sa concavité après le point p par rapport à l'asymptote, il faut de toute nécessité , que cet arc vienne à tourner, en cheminant, sa convexité vers son asymptote.

On voit aussi que ce seront les divers points de l’arc /,/, du cercle D qui donneront les points de l'arc infini de la branche 3 (et cela à partir du point p) et que ce sont les points de l'arc //,' du même cercle D qui donneront les points de l’arc infini de la branche 3, (et cela à. partir du point x.'}.

S vu.

Construction d'un compas propre à tracer les branches 3 et 3,.

Concevons une règle A portant à l'une de ses extrémités une pointe que l'on fixera au point o‘ centre des cercles M et D,et portant à son autre extrémité un axe, dont le centre sera en un point l du cercle D, et sur lequel sera montée une règle E à rainure. Fixons perpendiculairement sur la règle A, une seconde règle à rainure B, tangente au cercle M en le point s, fig. VI.

Plaçons au point fixe p un pivot isolé, dans lequel s'engagera la rainure de la règle E et enfin plaçons un crayon ou une pointe à tracer en le point x, c'est-àdire entre les rainures des régies B et E. En faisant mouvoir la règle A autour du point o k , le point I décrivant le cercle D, la règle E glissera le long du pivot pet le crayou x décrira la branche 3 de la courbe tracée dans la fig. V.

On conçoit sans peine que l'on peut disposer la règle A de telle manière . qu’elle puisse s'allonger ou se raccourcir, et qu'ainsi , l’on puisse placer le point l à telle distance que l'on voudra du point </ ; l’on voit aussi que comme le pivot p est une pointe isolée, on pourra la piquer dans le papier à telle distance que l'on voudra du point o\ On conçoit sans peine aussi que l'on peut monter la règle B sur la règle A, de telle manière que tout en lui restaul perpendiculaire, elle puisse glisser sur elle, de manière à ce que le point t s’approche ou s'éloigne du centre o\

Ainsi, ce compas satisfera aux divers tracés de la branche de courbe 3, suivant les variations de grandeur, des rayons des cercles M et D et de la distance existant entre le centre o* et le point fixe p.

Avec ce compas on pourra tracer d'un mouvement continu, tout le nœud paz de la branche 3.

Le même compas peut servir à tracer la branche 3,, mais il faut lui faire subir une légère inodilicalion.

Le point /, au lieu d’èlre placé , comme lig. VI , au delà des points p et x, devra Aire placé , comme Gg. VU , entre ces points p et x.

§ vin.

Nous devons faire remarquer que lorsquo l'on construit la projection de h» ligne de séparation d’ombre et de lumière, comme étant une courbe géométrique plane, on est conduit aux deux brandies 3 et 5, (fi]. V), et que cependant il n’y a que la branche 3 qui soit réellement la projection horizontale de la ligne de séparation d’ombre et de lumière sur la surface hélicoïde.

C'est qu'iei il sc présente une chose analogue à celle qui se présente dans plu sieurs problèmes do l’espace.

Ainsi, par exemple, lorsque l’on suppose une sphère éclairée par un point lumineux, le cène de lumière tangent à la sphère peut être coupé par te plan horizontal suivant une hyperbole, et il n’y a cependant qu’une des branche* de cette courbe qui détermine l’ombre portée.

De même, lorsquo l’on cherche l’intersection de doux surfaces, la courbé d’intersection peut être une courbe à double courbure fermée, et se projetant horizontalement suivant un are seulement de courbe plane fermée ou infinie, comme lorsque l’on considère deux surfaces rte révolution du second ordre dont tes axes sc coupent, et que l’on projette la courbe à double courbure sur un plan parallèle à celui des deux axes de rotation.

Dès lors, si I on peut considérer la projection comme une courbe plane.ee qui

est permis, si l'on est conduit par la solution du problème de l'espace à l'emploi d’une certaine méthode graphique qui permette de construire les divers |toints de cette courbe, en la considérant comme courbe géométrique plane et non comme projection d’une courbe à double courbure située dans l’espace, on voit bien que l’on doit nécessairement pouvoir, par cette méthode graphique, construire la courbe plane complète, et non pas seulement une de ses branches, ou seulement les points d’un arc de celte courbe.

Si nous considérons une surface hélicoïde générale dont la génératrice droite A soit oblique au plan horizontal, les cercles D ut M existeront toujours, mais le point iixe p pourra varier de position par rapport aux cercles D et M, suivant l'inclinaison élu rayon de lumière , et ainsi le point p pourra être :

1* Situé hors du cercle O comme dans la lig. Y, et nous avons examiné ce cas dans tousses détails;

2* Situé sur le cercle D;

3* Situe dans l’intérieur du cercle D, mais hors du cercle M ; ,

4* Situé sur le cercle M ;

5* Situé dans l'intérieur du cercle M, et danscc cas on aura;

0’ Comme cas particulier, celui où le rayon de lumière étant vertical, le point •

p sera précisément le centre o* commun aux cercles concentriques M et D;

Enfin T le pdint p pourra être situé à l’inilui, auquel cas le rayon de lumièreserait horizontal.

Nous allons examiner successivement la forme que doit affecter, dans chacun de ces cas particuliers , la projection horizontale de la ligne de séparation d’ombre et de lumière; mais nous ne devons pas oublier que la ligne o*p est toujours, dans nos constructions graphiques, perpendiculaire à la projection horizontale du rayon de lumière, quelle que soit d'ailleurs l’inclinaison sur le plan horizontal de ce rayon de lumière.

Des divertes forme» que peut affecter, suivant f inclinaison du rayon de lumière, la projection horizontale de ta ligne de séparation d'ombre et de lumière d’une surface Itélicoide générale dont la génératrice droite est inclinée à I horizon.

. La surface bélicoide peut être considérée comme composée de deux nappes.

Car si l’on examine la génératrice droite A, son point m pied de la plus courte

distance R avec l'axe O, décrit une hélice H ayant le cercle M pour projeclioa horizontale, et cette droite A est divisée en deux parties, l’une supérieure, l'autre inferieure par l’hélice II en ce point m.

La nappe supérieure de la surface hélicoïde sera formée par les parties supérieures de toutes les génératrices droites A, A', A'',... et la nappe inférieure de cette surface sera formée par les parties inférieures de toutes les mêmes génératrices droites A , A', A"....

Les deux nap|>cs sont réunies l'une à l'autre par l’hélice H qui est une ligne de gorge sur la surface hélicoïde; cette hélice ne donnant une arête de rebroussement que dans le cas où la surface hélicoïde serait une surface développable.

Cela dit, examinons les diverses formes que peut présenter la projection horizontale de la ligne de séparation d’ombre et de lumière, suivant l'inclinaison du rayon lumineux. •

PncMiEn cas. Le point fixe p étant situé hors du cercle D.

La forme que l’on obtient dans ce cas, est celle représentée lig. V, mais en la seule branche 9 (ainsi qu’il a été remarqué au § 8).

Si la surface hélicoïde rampe de gauche à droite, comme cela a lieu dans l'épure, alors c’est l’arc zxp de la courbe 9 qui appartient à la ligne de séparation d'ombre cl de lumière située sur la nappe supérieure de la surface hélicoïde.

L’autre arc, situé à gauche de la droite po*, appartient à la ligne de séparation d’ombre et de lumière située sur la nappe inférieure de la surface hélicoïde.

Ce serait l'inverse si la surface hélicoïde rampait do droite à gauche.

Deuxième cas. Le point fixe p étant situé sur le cercle D.

La forme de la courbe est colle indiquée lig. VIII. Elle offre un nœud au point fixe p; elle est infinie, mais scs deux arcs infinis n’ont pas pour asymptote commune la tangente au cercle fi en le point p; l'asymptote est parallèle à cette tangente (*).

Cette courbe est unique; aucune autre branche, parasite , quant au problème d’ombre, n'existe dans ce cas.

Troisième cas. Le point fixe p étant situé dans l'intérieur du cercle D et en dehors du cercle M .

La forme de la courbe offre un nœud (fig. IX) au point fixe p ; elle est fermée et ses deux boucles sont tangentes respectivement aux points znl s, , en lesquels le cercle M est coupée par la droite po*.

(*) C’est ce dont il est facile de s'assurer en employant la méthode de Koitavai. Voyez le mémoire n* S, ai-apre».

Quatrième cas. Le point fixe p c ‘tant situé sur le cercle M.

La courbe est fermée ( fig . X ) , et elle offre un point de rebroussement au point fixe p.

Cinquième cas. Le point fixe p étant situé dans l’intérieur du cercle M.

La courbe offre la forme indiquée lig. XI; elle est composée d’une seule branche fermée, laquelle est tangente en les points s et s, , suivant lesquels le cercle M est coupé par la droite po*.

Sixième cas. Le point fixe p étant situé au centre du cercle M.

Dans ce cas, la ligne de séparation d’ombre de lumière n'est autre que l’hélice H , cl la projection horizontale est dès lors (fig. XII ) le cercle M luimême.

Remarque. Dans le premier cas , le rayon do lumière est moins incliné à l’horizon que la génératrice droite de l’hélicoïde ; ainsi , désignant par a l’angle d'inclinaison de la génératrice sur le plan horizontal, et par S l’angle d’inclinaison du rayon lumineux sur le même plan horizontal, on a: 6 <.%.

Dans les 2", 3', 4% 5* cas , le rayon de lumière est plus incliné que la généraratrice , et l’on a : 6 > a.

Dans le sixième cas, le rayon de lumière est vertical; il est perpendiculaire au plan horizontal de projection.

Septième cas. Le point fixe p étant situé à ( infini.

Dans ce cas , le rayon de lumière est horizontal , et le point fixe p est situé à l’infini sur la droite menée par le centre o perpendiculairement à la projection horizontale du rayon lumineux.

Les diverses divergentes émanant du point p seront donc, dans ce cas, parallèles entre elles et perpendiculaires à la projection horizontale du rayon lumineux.

La fig. XIII donne la forme de la courbe, mais dans ce septième cas, comme dans le premier cas, la courbe est composéo de deux branches infinies 3 et 3, , symétriques par rapport à la droite ©*p , et identiques ou superposables.

Toutefois, ces deux branches n'existent ensemble qu’autant que l’on considère la courbe comme courbe géométrique plane ; la branche 3 existe seule comme projection horizontale de la ligno de séparation d’ombre et de lumière sur l’héticoïde; si cette surface rampe : I* de gauche à droite, ou 2" en sens contraire et ainsi de droite à gauche, ce sera toujours la branche J qui sera la projection horizontale delà ligne de séparation d’ombre eide lumière ; mais il faut bien observer que l’arc zx de la branche 3 sera la projection de la ligne do séparation d’ombre et de lumière, située sur la nappe supérieure de l'hélicoïde dans le premier cas, et située sur la nappe inférieure de l’hélicoïde dans le deuxième cas.

11 csl évident, par la construction mémo des deux branches Jet J, , qu’elles ont pour asymptotes communes deux tangentes au cercle D, qui sont celles perpendiculaires à la projection horizontale du rayon de lumière.