XII

Dans tout ce qui précède, nous avons supposé que la génératrice droite A de l’hélicoide était inclinée à l'horizon et dans le même sens que l’hélice II décrite par le point m.

Mais il est nécessaire d’examiner le cas où la génératrice A serait inclinée en sens inverse.

Supposons que l'hélice rampe de gauche à droite comme l’indique la fig. XV , la droite génératrice de l’hélicoïde pourra avoir la position A ou la position A,.

Dans le premier cas , la géuératricc droite A est inclinée dans le même sens que l’hélice H ;

Dans le deuxième cas, la génératrice droite A, est inclinée en sens inverse par rapport à l'hélice II.

Dans le deuxième cas, la ligne de séparation d’omhre et de lumière aura pour projection horizontale, dans le premier et le septième cas examinés ci-dessus, § X, les branches 3, des fig. V et XIII. Ainsi, la courbe en projection horizontale doit être complète, car rien n’indique lorsqu’on la construit sur son plan (sans s’inquiéter du problème d’ombre), si la génératrice droite del'hélicoïdeost dirigée dans le sens du' rampant de l'hélice II ou en sens contraire ; la constrnction graphique sur le plan doit donc satisfaire à toutes les relations de position de t’espace que le- problème d’ombre peut offrir.

El c’cst ce qui a lieu en effet.

En résumé :

L’hélice H, ligne de gorge de la surface hélicoïde, peut ramper de gauche & droite ou de droila à gauche sur la partie antérieure du cylindre A sur lequel cette hélice H est tracée , et dans l’un et l’autre cas, la génératrice droite A de cette surface hélicoïde peut être inclinée à l'horizon , dans le même sens ou en sens contraire , par rapport àcelte hélice 11.

Si l’inclinaison de la génératrice droite A est dans le même sens que le rampant de l’hélice H, que cette hélice rampe de droite û gauche ou de gauche à droite, la branche 3 (fig. V et XIII) sera la projection horizontale de la ligne de séparation d’ombre et de lumière.

Si, au contraire, l'inclinaison de la génératrice droite A est en sons contraire au rampant de l’hélice U, que ccttc hélice rampe de droite à gauche ou de gauche à droite, la branche 3, [fig. V cl XIII ) sera la projection horizontale de la ligne de séparation d’ombre et de lumière.

§ XIII

Des diverses J ormes que peut affecter la projection horizontale de la ligne de séparation d'ombre et de lumière d'une surface hélicoïde générale , dont la génératrice droite

est horizontale , suivant f inclinaison du rayon lumineux.

Lorsque la génératrice droite A de la surface hélicoïde est horizontale , le cercle D n’ existe pas , ou mieux son rayon est infini.

Dès lors, le point fixe pest toujours dans l’intérieur du cercle D; par conséquent , tant que ce point fixe p sera situé à une distance finie du centre o‘, c'est à-dirc tant que le rayon de lumière ne sera pas horizontal , la projection de la séparation d’ombre et de lumière sera une courbe fermée.

Premier cas. Le point fixe p étant situé hors du cercle M.

La courbe offrira un nœud au point p, ainsi que l'indique la fig. XVI.

Deuxième cas. Le point fixe p étant situé sur le cercle M.

La courbe offrira un point de rebroussement au point p, ainsi que l’indique la fig. XVII.

Troisième cas. Le point fixe p étant situé dans C intérieur du cercle M.

La courbe ne passera pas par le poinlp ; elle sera tangente en les points s et s, au cercle M , et elle offrira la forme indiquée par la ûg. XVIII. ,

Quatrième cas. Le point fixe p étant situé au centre du cercle M.

La courbe ne sera autre que le cercle M lui-même.

Remarque. Dans les i", 2* et 3’ cas, le rayon lumineux est plus ou moins incliné

i l'horizon, il fait un angle plus ou moins aigu avec le plÿn horizontal ; niais dans le quatrième cas, le rayon lumineux est vertical, il fait un angle droit avec le plan horizontal.

Cinquième cas. Le point fixe p étant situé à f infini.

Dans ce cas , la divergente pl est toujours perpendiculaire à la projection du rayon lumineux; le point l est situé à l’infini ; dès lors , le rayon o"l est parallèle i pt; la ligne de séparation d’ombre et de lumière est donc tout entière située à l’infini.

§ XIV

Construction (C un compas propre à tracer d’un mouvement continu la courbe i , suivant les formes qu’elle affecte dans les fig. XVI , XVII et XVIII.

Pendant que la branche A , dont une des extrémités peut tourner librement autour du centre fixe o k , fig. XIX , se meut autour du centre, il faut que la brandie E, dont la rainure glisse sur le pivot fixé d'une manière invariable en p, reste toujours parallèle à A.

On obtiendra ce résultat en fixant la branche à rainure E à la règle A, au moyen d'un parallélogramme ayant trois de scs articulations cno‘, en p et en* (point situé sur le cercle M); la règle B portant une rainure sera fixée en s et perpendiculairement à la règle A. •

Le crayon x, en glissant entre les rainures des branches E et B, décrira 1^ courbe 3.

S xv.

Dans le cas où l’on considère une surface hélicoïdc dont la génératrice droite est horizontale , on remarque que la projection de la ligne de séparation d’ombre et de lumière affecte des formes analogues à celles que l’on obtient pour la surface hélicoïdc dont la génératrice droite est inclinée à l'horizon. Il suffit pour s'en convaincre de jeter les yeux sur les fig. IX et XVI , X et XVII, XI et XYIII.

Mais il est bien évident que ces courbes , analogues de forme , n’ont pas la même équation, puisque la construction de leurs divers points est différente pour les unes et pour les autres.

Dans le cas où la génératrice droite A est horizontale, la projection horizontale de la ligne de séparation d'ombre et de lumière est une épicycloïde.

Ainsi , on a :

1* Une épicycloïde parfaite (fig. XVII), lorsque le point fixe p est sur le cercle M;

2* Une épicycioïde rallongée ( fig . XV!), lorsque le point fixe p est hors du cercle M ;

Et 3° enfin une épicycioïde raccourcie {fig. XVIII), lorsque le point fixep est dans l’intérieur du cercle M.

Il est Ibcile de reconnaître que cela a lieu en effet : . ,

i" Rappelons-nous que pour construire un point x de la courbe 3, , lorsque le point p est situé sur le cercle M , on exécute la construction suivante (fig. XX).

On mène par le point p une divergente ; par le centre o k , on mène un rayon parallèle à cette divergente et coupant le cercle M au point *; par le point s , on mène une perpendiculaire au rayon o**, laquelle coupe la divergente en un point x , jqui appartient à la courbe 3.

Pour obtenir le point x, on peut exécuter une autre construction.

En effet :

Sur o"p comme diamètre décrivons un cercle C ; menons par le point i , milieu de o‘p et centre du cercle C, une droite parallèle aux droites parallèles entre elles o‘s et px , celle droite coupera le cercle C au point n; prenons ni' = ni , et du point i' comme centre décrivons le cercle C' ; les deux cercles. C et C' seront tangents en n, puisque leurs centres i et «' et le point n sont en ligne droite ; de plus ces deux cercles auront même rayon , puisquo l’on a pris ni'=ni.

Cela posé :

Je dis que le cercle C passe par le point x. Cela est évident sur la figure.

Maintenant les arcs de cercle nk'x et nkp sont égaux ; par conséquent si je fais rouler le cercle C' sur le cercle C , le point x engendrera la courbe 3. Donc la courbe 3 est une épicycioïde parfaite à une seule involution. »

2" Lorsque le point p est hors du cercle M, on construira sur o‘p comme diamètre un cercle C; le point i , milieu de «"p, sera le centre de ce cercle (fig. XXI).

En menant par le point i une parallèle iï aux droites parallèles entre elles px et ’o**", elle sera équidistante de ces deux droites.

Menons par le point s une parallèle à o*p, elle coupera la droite li'cn un point

et si de ce point i', comme centre et avec un rayon égal à o‘i, on décrit un cercle C', ce cercle passera par le point x, et de plus les deux cercles C et C' auront par construction des rayons égaux.

Cela fait :

Partageons la distance i i' en deux parties égales par le point g, et décrivons des points i et P comme centres et avec un rayon égal à la moitié de ii', deux

cercles C, et C/, ces deux cercles seront tangents en y, et k point» sera extérieur au cercle C,'.

Or il est évident, par la figure elle-même, que si le cercle C,' roule sur le cercle C,, le point x engendrera la courbe 3.

La courbe 3 est donc dans ce cas une cpicycloïdc rallongée cl à une seulo involution.

3" Lorsque le point p est dans l’intérieur du cercle M, on peut faire les mêmes constructions ( fig . XXII) cl les mêmes raisonnements que ci-dessus, et ou voit que la courbe 3 est dans ce cas une épicyclo'ide raccourcie et à une seule involution(*).

§ xvr.

Ligne de séparation d ambre et de lumière sur la surface du filet de vis.

Il est évident que pour passer de la surface hélicoïdc générale à la surface de 1* «•/», soit qu'elle soit à filet triangulaire, soit qu’elle soit à filet carré, il suffit de supposer, dans co qui précède, que le rayon du cercle M se réduise à zéro , et de supposer ainsi, dans toutes les constructions graphiques précédentes, que les points»,/,... se confondent en un seul point, en se superposant sur le centre o\