QUATRIÈME PARTIE

Construction de lu ligne de séparation d'ombre et de lumière d’une surface hèlicoide générale , en supposant cette surface éclairée par an point lumineux.

Tout ce qui a été dit dans la première partie , au sujet des paraboioides , trouve encore son application , dans le cas où la surface bélicoïde est éclairée par un point lumineux.

Les constructions auxquelles nous serons conduit, pour déterminer les divers points de la projection horizontale de la ligne de séparation d’ombre et de lumière, sont déduites des mêmes principes qui nous ont servi lorsque nous supposions la surface éclairée par un rayon lumineux.

Supposons que le point lumineux / soit projeté en P. (fig. C) cl que nous vou^ lions déterminer la projection x* d’un point x de la ligne de séparation d’ombre et de lumière, ce point x étant situé sur une génératrice droite A de la surface hèlicoide. Il est évident que toutes les considérations géométriques qui ont conduit à la fig. c (deuxième partie), alors que l’on supposait un rayon lumineux, apparaissent de nouveau ici dans le cas il’un point lumineux. Seulement la trace Hr du plan P assujettie à passer par U génératrice droite A , ne sera plus déterminée par la trace horizontale du rat/on lumineux passant par le point m , mais devra être déterminée par la condition de passer par le point lumineux I.

On mènera donc (Jig. C) par le point l une droite parallèle à la génératrice A , laquelle coupera le plan horizontal mené au-dessous du point m à la distance connue: z=R long a, en un point y; et en joignant les points y et * I on aura la trace IIp. El le reste do la construction sera la fig. c (deuxième partie).

Dans le cas où la surface était éclairée par un rayon de lumière, nous avons pu simplifier les constructions graphiques et arriver à l’invention de divers compas propres à tracer d’un mouvement continu la projection horizontale de la >

identiquement la môme que

ligne de séparation d'ombre et de lumière; pourrons-nous obtenir des résultats analogues dans le cas où la surface Iiélicoîdc est éclairée par un point lumineux? c'est ce que nous allons examiner.

Si nous concevons diverses génératrices droites A, A', A u , de la surface hélicoïde, nous aurons une suite de plans P, P', P", passant respectivement par

ces génératrices droites de la surface hélicoïde et lesquels Seront parallèles à une droite fixe L dans le cas d’un rayon lumineux, ou une suite de plans P,, P',, P",,... passant respectivement par les mômes génératrices droites de la surface hélicoïde et par un point fixe t, dans le cas d'un point lumineux.

Or, dans le premier cas , .par le point m nous pourrons mener dans le plan P une droite K parallèle à la droite L; par le point m' nous pourrons mener dans le plan P' une droite K' parallèle à la il roi te -L, ainsi de suite (les divers points m, m,... étant situés sur l'hélice M décrite par le pied de la plus courte distance existant entre l'axe Ü de la surface hélicoïde et sa génératrice droite A).

Mais dans le deuxième cas, si par le poiut m on mène dans le plau P, une droite K, faisant avec le plan horizontal un angle 6 ; si par le point m on mène dans le plan P', une droite K', faisant avec le plan horizontal le même angle 6, et ainsi de suite, on voit sans peine que toutes les droites K, K’,.... seront parallèles entre elles, et que toutes les droites K,, h', ne seront pas parallèles

entre elles.

Or c'est précisément parce que les droites K, K',.... étaient parallèles onlre clics, que nous avons pu (§ X. 3* partie) simplifier la construction graphique donnée par la solution directe du problème, puisque nous avons été conduit à trouver que le point pétait fixe; et comme il est évident partout ce qui a été dit dans la troisième partie que ce point p ne peut être fixe que lorsque

les diverses droites K, K', sont parallèles, on voit de suite que lorsque l’on

aura des droites K t , K',,.... non parallèles entre elles, le point p se mouvra sur un cercle C ayant le point o* pour centre.

Et comme la position du point p sur le cercle C dépendra de la position que prendra chacun des plans P,, P',,;,... il s'en suit que, tout bien considéré, la construction à effectuer serait aussi longue que la construction directe que nous avons exposée ci-dessüs (fig. C).

Nous n’irons pas plus avant sur ce sujet ; peut-être un jour pourra-t-on, par queques considérations nouvelles, construire mécaniquement la projection horizontale dé lu ligne de séparation d’ombre et de lumière d’une surface hélicoïde éclairée par un point lumineux, ainsi que nous avons pu le faire dans le cas où cette surface est éclairée par un rayon lumineux.

PKOBLÈME.

Étant données deux droites A et B, sur la première un point a et sur la seconde un point b , construire un cylindre de révolution tamjent aux droites A et B, et respectivement en les points a et b.

Nous plaçons ce problème après le mémoire n? 4 , l'une de ses solutions nous ramenant à la propriété de la parabole dont il a été question dans la première partie du mémoire n* i précédent ; et quoique ce problème n’ait aucun rapport à <

la théorie des ombres, nous avons cru pouvoir le placer ici , parce qu’il n'est pas sans intérêt en ijéomêtric descriptive. *

Soient données deux droites A et B; menons par la droite A nn plan P parallèle à la droite B, et par la droite B un plan Q parallèle à la droit» A.

» Cela fait , prenons la plus courte distance D existant entre les droites A et B et coupant la droite A au point p et la droite B au point q.

Nous pouvons sur (adroite pq, comme diamèlro, construire une sphère S, qui sera évidemment tangente en p olq aux plans P et y.

Tous les cylindres tangents à la sphère S seront de révolution et seront tangents aux droites A et B en les points p cl q.

Les axes de révolution de ces divers cylindres sont tous situés sur un plan B perpendiculaire à la plus courte distance I), et passant par son milieu d. i Ainsi, lorsque les points a et b ne sont autres que les pieds p et q de Ja plus courte distance existant entre les droites données A et B, le problème a une infinité de solutions.

Si ».

Prenons sur chacune des droites A et B, savoir: un point a sur A et un |>oint b sur B; ces points « cl b n'étant plus les pieds delà plus courte distance D existant entre les droites A et B. 1 •

Par le point o milieu de ab nous pourrons mener un plan K parallèle aux plans P et Q détermipés ainsi qu’il a été dit ci-dessus § I.

Par !c point o nous mènerons une droite K perpendiculaire du plan R et coupant le plan P en un point a' et le plan Q en un point b'.

Les droites an et bb' seront parallèles.

Nous pourrons mener par la droite K un plan perpendiculaire aux droites aa' et bb' et tracer dans ce plan un cercle C ayant a'b' pour diamètre et le point o pour centre.

Le cercle C sera évidemment tangent en a' au plan P et en b' au plan Q.

Dès lors il est évident que le cylindre X, qui aura le cercle C pour courbe directrice et ses génératrices droites parallèles aux droites parallèles aa' et bb', sera de révolution et aura son axe de rotation situé dans le plan R ; cet axe passera par le point o et sera parallèle aux génératrices droites diamétrales aa' et bb’ de ce cylindre ï. El A mesure que l’on fera varier la position des points a et b sur les droites données A et B, le cylindre X changera de position et de rayon; mais son axe de rotation restera toujours dans le plan R. Et pourchaque position particulière des points a et b il n’y aura qu’un cylindre, et ainsi le problème n’aura qu’une solution.

a in.

Étant donnés un point a sur la droite A et un point b sur la droite B, menons par le point o milieu de ab un plan Z perpendiculaire à celte droite ab.

Ce plan Z coupera la droite A au point x et la droite B au point y.

En joignant les points x et y nous aurons une droite L, et de telle sorte que les droites L et A détermineront un plan P, et que les droites L et B détermineront un plan Q,; ces deux plans P, cl tj, se coupant suivant la droite L.

Cela posé ,

Il est évident que chacun des points du plan Z est également distant des points a et b. Par conséquent, si l’on prend sur la droite L un point I, les droites la cl Ib seront égales; dès lors, aussi, si du point a on abaisse une perpendiculaire am sur la droite L, et si du point b on abaisse une perpendiculaire bn sur la même droite L (les points m et n étant sur la droite L les pieds des perpendiculaires abaissées), on aura :

am z= bn.

Et si du point o, milieu de a6, on abaisse une perpendiculaire sur la droite L, son pied i et les points m et n se confondront en un seul et même point.

Cela posé ,

Menons par les points a et b deux droites A' et B' parallèles à la droite L, les

droites A et A' seront dans le plan P, et les droites B et B' seront dans le plan 0,.

Si par le point o nous menons un plan Y perpendiculaire à la droite L, il coupera le plan P, suivant une droite T et le plan Q, suivant une droite 0.

Ce plan Y coupera la droite L précisément au point i, et la droite A' nu point a, et la droite B' au point b.

Et il est évident que les droites T et 0 ne seront autre que les droites ia et ib\ et nous savons que l’on. a : ia = ib.

Nous pourrons donc tracer dans le plan Y un cercle C' tangent en a et b aux. droites T et 0, et le regarder comme la section droite d’un cylindre de révolution A ayant son axe de rotation parallèle à la droite L.

Ce cylindre A sera évidemment tangent en a et 6 aux droites données A et B.

Et l’on voit de suite que, pour le cylindre Z déterminé § 2 , le plan an 'Ob' est un plan diamétral, tandis que pour le cylindre A, que nous venons de déterminer $ 3, le plan a\'bB' est un plan corde.

Ou, en d’autres termes, pour le cylindre Z la droite a'ob' est un diamètre de la section droite et circulaire C, et pour le cylindre A, la droite aob est une cordc de la section droite et circulaire C'.

. §iv.

Étant donné un point fixe a sur la droite A , on peut sc demander de chercher le lieu des axes des cylindres de révolution qui seraient tous tangents en a à la droite A , et respectivement tangents à la droite B en ses divers points b, b,, b,,... Pour résoudre cette question , faisons passer par le point a et la droite B un plan que nous prendrons pour plan horizontal de projection. .

La droite A se projettera sur ce plan suivant A h (fig. M ).

Cela posé : '

Les axes des cylindres de révolution A, A,, A,... cherchés, seront respectivement situés dans les plans Z, Z,, Z,,... menés perpendiculairement aux droites ab, ab,, ab et respectivement par les milieux o, o,, o,... de ces droites.

Or ces plans Z, Z,, Z,,... sont tous verticaux, tous perpendiculaires au plan horizontal de projection.

En sorte que si, par les milieux o, o,, o»,... des divergentes ab, ab,, ab,,.., nous menons des perpendiculaires H', H* 1 , H**,... à ces droites, nous aurons les traces horizontales des divers plans Z , Z, , Z, .... Mais les points o, o,, o, ... sont sur une droite I parallèle à la droite B ; et dès lors, en vertu de ce qui a été dit dans le mémoire n“ A , les droites H‘, ïl*', U*'... sont les tangentes d’une parabole i ayant le point a pour foyer et la droite B pour directrice. Les axes des cylindres

- <lo révolution sont donc distribués sur les divers plans Z, Z,, Z, ... tangents à un cylindre vertical ayant la parabole 3 pour section droite-

Il sera facile de construire les projections de Taxe U, de l’un de ces cylindres de révolution; et, en eflèt :

Prenons pour plan vertical de projection un plan parallèle à la. droite A. Dès lors la ligne de terre (fig. AI) sera parallèle à A*; et projetant le point a en a" sur la ligne de terre LT, et traçant la droite A' faisant avec LT l’angle que la droite A fait avec le plan horizontal (angle qui est connu, qui est donné, puisqu’il est égal à l’angle que font entre elles les droites données A et B), on aura la projection verticale de la droite A.

Cela fait :

Par le milieu o. de la droite né, menant la droite H' 1 perpendiculaire à né,, cette droite H* 1 sera tangente à la parabole 3 et coupera la droite B au point g et la droite A* au point :r* (x’ sera sur A').

La droite L, qui unit les points a: et y sera parallèle à Taxe 0, cherché.

Donc L,* sera parallèle à H* 1 , qui n’est autre que L,* et U* sera parallèle à L,’

(celte droite L, 1 ' est facile à construire, puisque l'on connaît les points x et y qui la déterminent).

Le centre p, de la section droite et circulaire du cylindre A, ( cylindre ayant U, pour axe) sera sur le plan Z,; donc le point posera sur la droite H*-; et comme le cylindre A, doit être tangent en n au plan (L,, A ) , ce point p, s’obtiendra par l'intersection du plan Z, et de la normale R, menée au point a au plan (L, , A).

Désignant ce plan ( L, , A ) par P, , la droite ny ne sera autre que H% et dès lors la droite R,*, menée par le point « perpendiculairement à la trace H’’ 1 sera la projection horizontale du rayon d'un cercle qui sera la section droite du cylindre A,.

Cette droite R* coupera la droite U*' en un point p* qui sera la projection horizontale du centre du cercle-section droite du cylindre A,.

11 sera facile dp déterminer p, r ; et les droites \J,‘ et L, 1 menées par les points p* et p, r respectivement parallèles aux droites L.Vet L," seront les projections de » l'axe U, du cylindre de révolution A, tangent, en a à la droite A et eu é, à la droite B.

§ VI

Mais, en vertu de la construction effectuée pour trouver, sur le plan horizontal de projection , le point p,*, on reconnaît que ce point est situé sur la parabole 3, et qu’il n’est autre que le contact de celte parabole 3 et de sa tangente II*'.

Par conséquent, le lieu (les divers centaes p t , p,, p, ... des sections circulaires des divors cylindres A,, A, i A, ... sera une courbe 6 qui se projettera horizontalement suivant la parabole $.

Mais comme , quel que soit le point b , , b,, b, ... que l'on considère sur la droite B, on aura toujours les traces V’ 1 , \ r -, V 1 ... parallèles à A", il s'eusuil que les points p* f p,', p," ... seront tous situés sur la droite R,' menée par le point «' perpendiculairement à la projection verticale A' de la droite A.

Dès lors on doit en conclure que la courbe êest une courbe plane, et qu elle est la parabole section faite dans le cylindre vertical et parabolique ayant la courbe o pour trace horizontale, par un plan mené par le |>oinl a perpendiculairement à la droite A.

{ aèxoïtE inédit. )

CONSTRUCTION DE LA TANGENTE EN UN POINT 1” DU CONTOUR APPARENT DE LA SURFACE DE LA VIS TRIANGULAIRE; 2* DE LA PROJECTION HORIZONTALE DE LA COURBE DE SÉPARATION d’oMBRI. ET DE LUMIÈRE DE LA SURFACE DE LA VIS TRIANGULAIRE (1).

Si I.

De ta tangente en un point du contour apparent de la surface de la vis par ta méthode

de Roberval.

4 II s'agit de construire :

1’ La tangente à la projection horizontale de la côurlw en question; 2* la tangente à la projection verticale de la iiièiue courbe. ( Cette seconde tangente sc déduit de la première au moyen du plan tangent. )

(f ) Les recherches géométriques consignées dans ce mémoire sont de 11. Poncelet ; la rédaction est de M. Baudin , répétiteur des travaux graphiques à l'École polytechnique.

ün 1SÎ7, M. Poncelet , qui était alors professeur do mécanique à l'École d'application do MeU, communiqua à M. Baudin , qui était à celte époque professeur à l’École régimentaire d'artillerie de ia mémo ville, les notes que je publie ici sous le n° fi, et qui étaient déjà anciennes, puisqu'elles dataient do l'École polytechnique.

MM. Poncelet et GctLutaoK étaient élévea à l’École polytechnique en 4S09 , et ce lut celte année qu'df trouvèrent une construction tres-simplo de la projection horizontale de la ligne de séparation d'ombre et

Rappelons d'abord la construction graphique de la projection horizontale de ta courbe.

AP et AB (flg. 1 ) sont deux droites perpendiculaires entre elles;

P est un point fixe ou pôle (c’est le pied de l’axe de la vis sur le plan horizontal);

PB rayon vecteur tournant autour du point P, en s’appuyant sur la droite AB.

Cela posé:

Si l’on prend PX = AB, le point X appartient à la courbe.

Le point générateur X peut être censé animé de deux mouvements : l’un angulaire autour du pôle P, mouvement qui peut se mesurer sur la perpendiculaire en X au rayon vecteur; l’autre de translation vers le point B, en suivant le rayon vecteur.

Or, d’après le principe de Robekval , la résultante de ces deux mouvements a pour direction la tangente à la courbe au point X.

La solution du problème se réduit donc à la détermination des vitesses composantes.

Lu comparant le mouvement du point X à celui du point B le long de la droite AB , on voit :

l*yue la vitessede translation du premier point (qui est le point X), le long du rayon vecteur PX, est la meme que celle du point B le long de la droite AB, car leurs accroissements sont sans cesse égaux.

Or ce que l’on appelle, ici, vitesses ou fluxions n’est pas autre chose que le rapport des accroissements infiniment petits de deux quantités variables ; c’est-àdire le rapport de leurs différentielles.

Soit donc 1H> {pg. 2 ) la vitesse du point B , celle du point X sera Xx, égale à BA.

de lumière , et du contour apparent de la vis triangulaire. Leur solution était irès-diffiTcnte do colle donnée par* Hachette. A celte époque, la solution de M. Persy n'était point connue à l’École polytechnique, ni celle de M. Français, puisque cette dernière ne fut publiée duos la Correspondance de PÉcolo polytechnique qu’en 4810.

La construction graphiquo do la projection horizontale des deux courbes , que rappelle M. Poncelet dans I s notes que jn publie ici , est précisément celle sur laque! .'e je suis retombé en 4819 , en passant de rbélicéYde générale à une surface plus simple , celle de la vis triangulaire. 1! est évident que MM. Poncei.bt et Gullebon avaient, en 4809 , trouvé, pour la vis triangulaire, précisément la méthode à laquelle je fus conduit , sans connaître leur travail sur la vis à filet triangulaire , et que j’ai appliqué ù l’hélicoïde générale; car on doit le faire remarquer, celle méthode est la seule, entre toutes celles exposées jusqu’à présent , qui conduise à la découverte du point fixe qui sert Ô simplifier d’une manière si élégante la construction , par pdintê , de la courbe cherchée.

La priorité de celte méthode appartient donc à MM. Poncelet et Gullebon. Il esl à regretter que les recherches de MM. Poncelet et Gullebon n’aient point été immédiatement publiées dans la Correspondance de l’École polytechnique. M. Gvillebon était , à l’époque de sa mort arrivée en décembre 4844 , ingénieur en chef et professeur à l'École des ponts et chaussées. T. O.

2* Que les points \ el B , situés sur le uiémc rayon vecteur, ont la même vitesse angulaire; el les arcs circulaires infiniment petits parcourus par chacun d’eux , sont proportionnels à leurs distances PX et PB du centre P.

Donc , la vitesse de rotation de l’un conduira à celle de l'autre.

Or, si l'un décompose la vitesse de translation du point B sur la droite AB, en deux, l’une suivant PB et l'autre suivant B b' perpendiculaire à PB, la dernière sera évidemment la vitesse de rotation du point B autour du point P. En vertu du parallélogramme ÜA.AA', B A' sera la vitesse élémentaire du point B sur B A'. En effet, soit BA infiniment petit , la ligne AA' est sensililement la direction du rayon vec- .

leur correspondant, et IM»’ est un arc circulaire infiniment petit, décrit du point P comme centre. Or, BA étant bien l’accroissement de AB , bb' est l'accroissement du rayon vecteur correspondant, el B b' (arc circulaire infiniment petit décrit par le point B) est l’accroissement élémentaire de l’arc total BC.

Cela dit, reportons-nous au point X ; l’arc qu’il décrit, dans le même mouvement, devant être proportionnel à l’arc bb', sera obtenu en traçant la droite PA, qui coupe la droite Xx' (menée perpendiculairement à la droite PB) au point x.

L'arc Xx' sera la vitesse de rotation du point X.

Connaissant la vitesse de translation Xx, du poiut X et sa vitesse de rotation Xx’, on aura celte de son mouvement réel à l'aide de la diugouaie Xx du parallélogramme Xx'xx,.

Or Xj: est l'élément prolongé de la courbe que décrit le point, X , celte droite Xx est donc la tangente à la courbe décrite par le point X et en cy point X. On peut objecter que les vitesses ou accroissements qu'on considère sont cousés infiniment petits, et que cependant on opère dans le tracé sur des longueurs finies.

Mais il faut remarquer qu’on n'a considéré que les rapports des accroissements des quantités variables, en sorte que la longueur BA, qui représente l'accroisse- ■ ment de AB est tout A fait arbitraire ; car la direction de la droite Xx, qui ne dépend que du rapport existant entre Xx' el Xx t , restera toujours la même; en sorte que si l’accroissement Xx de la courbe change, néanmoins son rapport avec l’accroissement BA n'aura pas changé.

Au surplus, la considération des deux mouvements du point X et des vitesses qui en résultent n’est pas indispensable pour trouver la direction de la tangente en ce point X de la courbe.

Le parallélogramme des vitesses ne sert , dans la construction précédente , qu'à faire trouver l’accroissement de l'arc de la Courbe, au moyen des accroissements des coordonnées (du point X ) qui lui correspondent. Aussi peut-on simplifier la construction précédente en remplaçant les auxiliaires BA, BA’, BA,,... etc., par les données de la figure clic-mémo.

Première simplification. Au lieu de prendre Bé (fig. 2) arbitraire et à droite du point B, on peut prendre AU (fig. 3) lui-mômeel former le parallélogramme AIUHl'. Dès lors, PX égal à AB représentera la vitesse du point X le long du rayon vecteur PB.

La vitesse de rotation XX'du point X autour du point P s’obtiendra en tirant la droite PB' et en élevant XX' perpendiculaire à PB. La diagonale Xx du parallélogramme PXX'x sera la direction de la tangente au point X de In courbe.

Remarquons que le cote xX'-du parallélogramme XX'Px rencontre la droite PA en un point K, et la droite XK. est parallèle à la droite AB, car lus triangles AB'B et KX'X sont semblables et ont leurs côtés parallèles.

Deuxième simplification. La remarque précédente conduit à une construction plus simple de la tangente Xx, et en effet (fig. 4 ) on peut obtenir immédiatement le point K en menant par le point X une parallèle à AB. Cela fait, menons par le point K une droite Kx parallèle au rayon vecteur PX , et par le point P une droite Px perpendiculaire à ce rayon vecteur PX; les droites Kx et Px se couperont en un point x qui appartiendra ;i la tangente Xx à mener à la courbe et au point X.

Troisième simplification. La construction précédente conduit à une construction plus simple encore.

Sur AP comme diamètre (fig. 5), trace/, la demi-circonférence AQP; menez la corde AQ parallèle au rayon vecteur PX; tracez la droite BQ, elle sera une parallèle à la tangente demandée.

Et en effet : d'après ^construction , les ligures PQAB et PxKX sont semblables et semblablement placées ; les diagonales BQ et Xx sont donc parallèles.

Les dernières constructions montrent de suite 1* que la droite AB est une asymptote de la courbe lieu des points X..., et 2” que cette courbe touche la droite AP au point P.

§ II-

De la tangente à la projection horizontale de la courbe de séparatim d'ombre et de lumière sur la surface de la vis , par la méthode de Roberyal.

Rappelons d’abord la génération de la courbe.

On donne 1“ le cercle BDE (fig. 6) ; 2* l’angle droit RCD dont le sommet reste toujours au centre G ; 3' le point P, point fixe ou pôle.

Pour construire les divers points de la courbe, on exécute les opérations graphiques suivantes.

Soit l'angle droit BCD (fig. 6) dans une position quelconque ; le côté Cfe coupe le cercle donné au point B ; tracez la droite PB , le point X en lequel le rayon vecteur TB coupe le second cûté CD prolongé, est un point de la courbe demandée.

Cela posé :

Le point générateur X a deux mouvements de rotation relatifs : l’un autour du centre C, l’autre autour du pôle P. Il ne reste donc qu’à trouver les vitesses qui en résultent.

La vitesse de rotation du point X autour du pôle P et celle du point B autour du même pute , sont proportionnelles aux rayons vecteurs PX et Pli. Mais le point B est animé d’une vitesse dirigée suivant la tangente Bé au cercle BDli, laquelle peut se décomposer en deux, l’une de translation suivant Bé (sur le rayon vecteur PB), et l’autre do rotation autour du pôle P suivant la perpendiculaire lié’ à PB.

Prenant donc à volonté la résultante Bé, on aura le parallélogramme B b'bb,, qui donnera en Bé’ la vitesse de rotation lié' du point B.

Passons du point B au point X , lequel est situé sur le rayon vecteur PB.

Tirons la droite P//, et marquons sa rencontrer' avec la perpendiculaire Xx à PB , nous aurons en Xx' la vitesse de rotation du point X autour du pôle P.

Reste à trouver la vitesse de rotation du point X autour du centre C.

On la déduit du la vitesse de rotation du poitil D autour du centre C, en employant la même méthode que précédemment.

Ainsi : la vitesse de rotation dtt point D autour du centre C étant évidemment • la même que celle du point B autour du même centre, l’on prendra sur la tangente en D au cercle BDK , une longueur Dti = lié , et l’on aura en Dd la vitesse de rotation du point D, et l’on en déduira la vitesse de rotation Xx, du jroint X autour du centre C.

Mais il faut remarquer que les vitesses de rotation Xx' et Xx : , que l’on vient de trouver ne sont pas réellement lc9 vitesses composantes de la vitesse absolue du point générateur X (*).

(*) Le principe posé par Rubsuyal n’a jamais été ambigu poux les géomètres qui en ont bien compris l’esprit.

Ainsi un point générateur d’une courbe plane ne peut se mouvoir sur en plan que de trois manières différentes :

Ou 4* il est sollicité en ligne droite , A chaque instant de son mouvement , par deux forces de direction' constante, dites forces de translation, et alors la tangente est la résultante des vitesses imprimées séparément par chacune des deux forces , suivant la direction de chacune d’elles. Alors la tangente est la diagonale du parallélogramme construit, les droites représentant les vitesses.

Ou î* il est soliictlé , à chaque instant de son mouvement , per deux forces de rotation , chacune d'elles agissant autour d'un centre particulier ; et alors un point de la tangente se détermine par l’intersection des

En effet : en combinant la Tinsse de rotation Xx‘ du point X autour du pôle P, avec ia vitesse de translation Xy de ce même point X sur le rayon vecteur PX,

deux rayons vecteurs transportés , parallèlement à eux-mêmes , à une distance finie du point considéré sur la courbe, les deux distances finies étant entre elles dans le mémo rapport que les arcs infiniment petits décrits dans le même temps par le |>oinl de la courbe, et respectivement autour de chacun dos centres fixes. La tangente est alors la diagonale d’un quadrilatère hi-rccuingle.

Ou 3* il est sollicité, à chaque instant de son mouvement, en ligne droite d’abord * par une force do translation dirigée dans lo sens du rayon vecteur, et ensuite circulairemenl autour d’un centre fixe par une force de rotation , et la tangente s’obtient alors en combinant les deux principes ci-dessus. La tangente est alors la diagonale d’un rectangle.

La solution donnée p ir M. PoHCUtî est conforme (et cela devait être) à ces préceptes, qui n’étaient et ne sont ignorés d'aucun des géomètres qui ont eu et qui ont l’occasion d’appliquer le principe remarquable de Hobeiiv.il.

Tout le mondo savait , et depuis longtemps, qu'un illustre savant avait commis une erreur en construisant la tangente à l’ellipse par la méthode de Rodriival (la direction de la tangente était exacte, quoiqu'il eût mal appliqué la méthode); mais on n’avait pas cru , par respect, devoir relever cette erreur, parce qu’on la regardait, ol je crois avec raison , comme une inadvertance qui ne pouvait tirer à conséquence.

11 néfaut pas cependant croire que le principede / loberval puisse toujours être appliqué immédiatement en géométrie descriptive (en d’autres termes lorsque l'on se sert de la langue graphique); et, en effet, pour pouvoir appliquer graphiquement le principe de Jlobertal , il faut :

Dans 1e premier mode de génération de la courbe, désignant par xot y la direction des deux forces qui

sollicitent son point m , il faut connaître la valeur finio du rapport et cela par la seule construction gra-

dx

phique de la courbe et sans avoir besoin de recourir à Y équation de la courbe qui fera f (x. y )■* 0 ( en coordonnées rectangulaires ou obliques ) , et ainsi &ens avoir besoin de recourir à Vanalyse.

Dans le deuxième mode de génération de la courbe , désignant par r et f les deux rayons vecteurs partant des points ou centres de rotation pour aboutir à un point m do la courbe , il faut connaître , en désignant par m et «' les cercles des rayons r cl r-, la valeur finie du rapport — et cela par la seule construc-

tion graphique de la courbe , et ainsi sans avoir besoin de recourir à {'analyse, et par conséquent sans avoir besoin de recourir à l'équation f [r, r') ■» 0 de la courbe.

Dans le troisième mode de génération de la courbe , désignant par r la direction de lu force rectiligne appliquée au point m de ta courbe, et par » le cercle que ce point rn tend à décrire autour du point fixe (ce

cercle » ayant son rayon égal à r}, U faut connaître la valeur finie du rapport—, par la seule construction

graphique de la courbe et sans avoir besoin de recourir à son équation , qui sera dans ce cas r, » ) = 0.

Car si pour trouver la valeur finio do l’ün de ces rapports il esl nécessaire de recourir à l’équation do la courbe, et dès lors s’il est nécessaire d’exécutor des calculs analytiques , on ne fera autre chose que chercher l’équation de la tangente au point m; car, si l’on y regarde de près, on verra bien vile qu’en calculant par Vanalyse l’un quelconque de ces rapports, on calcule précisémentce qu’il faut pour obtenir IVÿualitm de la tangente.

Si la méthode de floberval s’applique si utilement a la construction de la tangente en un point d’une section conique , c’est précisément parce que l’on voit de suite, par la construction graphique seule de la courbe, et en vertu des propriétés géométriques qui se déduisent tout naturellement de cette construction f

quo le rapport — est égal à la Tunité.

Et en effet :

Soit donnée une ellipse ou utio hyperbole ( fig. 13) ayant les points f et f pour foyers, en supposant que le point m est infiniment voisin du point m, l’arç mn sera d et l’arc mn' sera

— iOl —

on obtiendrait la vitesse réelle Xxilu point X sur la courbe décrite par ce point X ; en sorte que Xx' n’est qu'une des vitesses composantes de Xx par rapport aux

Or en vertu de l'équation rdrr^cde la courbe, on voit que l’on a dr= 2 pdr', et qu'aussi m'n = m'n'. Le quadrilatère bi-rectangle mnm'n 1 est donc inscriptible dans un cercle ayant mm' pour diamètre.

Or l’on sait quo dans un tel quadrilatère , lorsque lescélés m» et mn sont égaux , li s autres cèlés »ir

et mn' sont aussi égaux , et ainsi Ton a : I , tout comme l’on a :$-:*■= 4.

a» dr

L’on peut donc appliquer graphiquement le principe de Roberval , et l’on voit aussi quo pour les sections coniques , peu importe, pour obtenir la tangente, do construire t* un parallélogramme sur mn et mn (ou sortir et dr), ou à' 1 un quadrilatère bi-rcclangle sur mn et mn' (ou sur d» et d»), ou 3* un qjadrilatère bi-rectangle sur dr compté sur te rayon vecteur r à partir du point m, et sur dr' compté sur le rayon vecteur r ot aussi à partir du point m.

Il n'en serait pus de même si la courbe è deux foyers avait pour équation *(r, r*) = 0 ; il faudrait de toute nécessité recourir à l’analyse, car il faudrait différencier l'équation de la courbe, pour obtenir le

Si l'équation do la courbe était r M ±: r' n =* c (t), on aurait en différenciant

± nr'l*“ , Wr / = o.

D'où l’on tire :

• . . fwrC*-!) dr]

il nr ’<• - *> *“ dr '

On porterait donc sur le rayon vecteur r, à partir du point m, la longueur et sur le rayon vec-

teur r\ ù'iMirlir du point m, la longuour wr i "“ , l, et cela do la manière suivante : en sens contraire si Ton prend le signe (+) dans l’équation (4), et dans le mémo sens si l’on prend le signe (—- ) dans l’équation (4). .

Et en construisant un quadrilatère bi-rectangle sur ces longueurs , la diagonale de ce quadrilatère donnera la direction de la tangente au point m de la courbe; et l’on voit de suite que l’on ne peut pas construire un parallélogramme sur dr et dr , car la diagonale de ce parallélogramme ne se confondra avec celle du quadrilalère bi-rectangle que dans le cas tout particulier où l’on a : dr=dr‘.

Mais l’équation : <?(r, r') = 0, do la courbe ne permettra pas toujours, quoique l’on en déduise

dr

dr*

d’avoir séparément otdc suite lo rappqrtdo dr à une quantité finie, et le rapport de dr à une autre quantité finie, ce qui est nécessaire pour pouvoir appliquer graphiquement le principe do Roberval; alors on

attribuera à dr une longueur finio et arbitraire A, cl l’on aura pour dr' une longueur finie B = que l’on sera obligé de construire ou de calculer.

Et l’on opérera graphiquement sur les longueurs A et B , portées, la première sur le rayon vecteur r, et la seconde sur te rayon vecteur r', comme nous l’avons dit ci-dessus , en ayant égard au signe de A et de B ,

et ainsi nous construirons sur A. et B un quadrilatère bi-rectangle dont la diagonale sera la tangente • demandée.

Cette discussion nous fait bien voir que l’emploi du principe de Roberval, en géométrie descriptive . n’est pas toujours immédiatement applicable, son application étant considérée sous le point de vue graphique.

Voyez encore, à ce •Éjet, ce que nous avons dit dans les développements de géométrie descriptive, touchant ta construction de la tangente en un point de l’épicycloWe annulaire. T. O.

directions particulières P»/ et X*'. Même chose a lieu pour la vitesse de rotation Xx,. Donc la résultante des deux vitesses Xx' et Xx, ne donnera pas la vitesse réelle du point X.

Ainsi, dans le cas particulier qui nous occupe en ce moment, la diagonale du parallélogramme construit sur Xx' et Xx, ne donnera pas la tangente au point X de la courbe.

On se rend parfaitement raison de ce qui précède, eu remarquant que les vitesses Xx'et Xx, ne sont que des quantités proportionnelles aux arcs infiniment petits que le point X tend à décrire réciproquement autour des pôles P et C. En sorte que les positions des nouveaux rayons vecteurs sont les droites xx et x,x , parallèles aux rayons vecteurs primitifs I’X. et CX. Dès lors, l’intersection x de ces rayons vecteurs xx et x,x représente la nouvelle position du point X.

Si les quantités Xx'et Xx, étaient réellement infiniment petits , Xx serait aussi inliniment petit cl serait dés lors l’élément de la courbe, décrite par le point X.

Mais comme on a augmente ees quantités proportionnellement, la droite Xx devient une quantité finie prolongement de l’élément de la courbe , et par suite la tangente à la courbe.

Première simplification, bien ii’empéclw de prendre Bé égale à la tangente D d (fit/. 7 ) arrêtée à lu droite lixe PC.

Alors, si l’on prolonge b'b, qui est parallèle au rayon vecteur PB, jusqu'à sa rencontre Q avec l’autre rayon vecteur CX , le quadrilatère CBé’Q aura ses côtés parallèles et sera semblable au quadrilatère ci-dessus ( fig . 6 ) x'Xx.x, dont la diagonale est la tangente demandée. En sorte que la diagonale BQ du quadrilatère CBê’Q sera parallèle à la tangente an point X de la courbe.

La construction à exécuter sera donc la suivante.

Tracer, (fig. 7 ) les tangentes B b et D d au cercle EBD et aux extrémités de ses rayons CB et CD ;

Prenez Bê=Drf;

Tracez bQ parallèle au rayon vecteur PX, et marquez sa rencontre Q avec le rayon vecteur CX ;

BQ sera une parallèle à la tangente an point X de la courbe.

Deuxième simplification. Comme la tangente B b est parallèle au rayon vecteur CX (puisque le triangle XCB est rectangle en C), il s’ensuit (fig. 7) que la figure BêQX est un parallélogramme , et que dès lors on a : QX = Bè = Drf.

Il suffit donc, pour avoir la tangente au point X, d'effectuer la construction suivante : .

Portez Di( sur le rayon vecteur CX , prolongé, de X en Q (fig. 8); la droite iQ sera parallèle à la tangente demandée.

Tta itù-me smpUficalion. On peut sedispewger de construire la droite bQ parallèle à la tangente demandée, par on peut exécuter la construction suivante :

Tracer la tangente BQ' au point B du cercle EBD (fig. 8 ) ;

Portez sur cette tangente , BQ' = Dd ;

Portez sur le rayon vecteur CX prolongé, XQ = Drf.

Le point Q' sera évidemment un point de la tangente à mener au point X de la courbe. *

§ III

Discussion de la courbe projection de la ligne de séparation d'ombre et de lumière de la

vis triangulaire.

Le mode do construction au moyen duquel on détermine les divers points de la courbe, montre qu’elle est composée de deux branches infinies passant, l’une par le point lixe P, et l’une et l’autre par le centre C du cercle (fig. 9).

En cherchant les tangentes pour les points situés à l’infini sur ces branches, on trouvera , par la méthode des tangentes exposées ci-dessus :

1° Que ces asymptotes sont au nombre de deux, se croisant au point fixe P et taDgcnlcs l’une et l'autre au cercle ayant le point C pour centre.

2" Que la tangente eu C aux deux branches est perpendiculaire à la droite fixe PC (ce qui est d’ailleurs évident en vertu de la symétrie des courbes par rapport à celte droite PC).

3* Que les tangentes au point P passent par les extrémités du diamètre BB' perpendiculaire à la droite fixe PC, etc., etc.

CAS PAflTlCCMCRS.

PtiKMiF.R cas . Le point fixe P étant situé sur k cercle ayant le point C pour centre.

La courbe ne conserve plus (fig. 10) que la branche infinie ayant un point multiple au point fixe P.

Celte courbe a pour asymptote une droite FG perpendiculaire à la droite fixe PC et à une distance PR = PC du point fixe P.

Cette courbe jouit de la propriété suivante :

Si l’on mène un rayon vecteur CK quelconque, coupant : l°la tangente PT, menée au point P du corde, en le point K, et 3* la courbe en les deux points X et X', on aura :

KX=KX' = kP.

On peut facilement démontrer cette propriété, et en effet :

Menons l’ le rayon vecteur PX coupant le cercle en B, et 2“ le rayon vecteur PX' coupant le même cercle en B'.

Les triangles XCB et X'CB' sont tous deux rectangles en C , on a donc :

CXB = 100“ — CBX.

XPK = 100” — XPU = 100* — CPB.

Mais le triangle CPB est isocèle, on a donc :

CPB == CBX ;

XPK = 100” — CBX =s CXB.

d'où

Le triangle XKP est donc isocèle, et l’on a :

KX = KP.

Ce’iju'il fallait démontrer.

Deuxième cas. Le point fixe P est situé <i l'infini , alors le rayon de lumière est horizontal , et dans ce cas , la courbe de sc/iaralion d'ombre cl de lumière n'est autre que le contour ap/xirenl de la t'is.

Lu construction de la tangente en un point X de la courbe reste la même que celle que nous avons exposé à la fin du § 2. Voyez la fig. 11.

T noisiÈME cas. Le point fixe P étant dans l'intérieur du cercle.

La courbe est fermée; elle a la forme indiquée (fig. 12 ).

Lite a un point multiple au point fixe P.

Elle a une tangente commune en C, laquelle est perpendiculaire à In droite PC. Elle est tangente au cercle en les points N et N’, en lesquels le cercle est coupé par la droite menée par le poinl fixe P perpendiculairement à la droite PC.

Les tangentes au poinl multiple P passent respectivement par les [joints B et . B', en lesquels le cercle est coupé par son diamètre perpendiculaire à PC.

Pour construire la tangente en un poinl quelconque X de la courbo, on mènera CX coupant le cercle en D ; la tangente en D au cercle coupera la droite PC en d.

On mènera PX coupant le cercle en T ; on mènera en T la tangente au cercle , cl l’on prendra sur cette tangente TQ'=Dd. La droite Q'X sera la tangente demandée. ’

CONSTRUIRE LA LIGNE DE SÉPARATION D'OMBRE ET DE LUMIÈRE SUR UN PARABOLOÎDE HYPERBOLIQUE* *

.-WWhrH. Y

Nous nous proposons de déterminer la ligne de séparation d'ombre et de lumière sur un paraboloîde hyperbolique supposé éclairé par un faisceau de rayons lumineux parallèles entre eux.

Nous savons ce qui suit :

1* La courbe de contact d’un paraboloîde hyperbolique et d'un cylindre est une parabole (*).

2* Tout cylindre qui a pour directrice une parabole est coupé par un plan, et quelle que soit sa direction , suivant une parabole.

Cela posé :

Si l’on a un toit dont les divers chevrons soient les génératrices droites du premier système d’un paraboloîde hyperbolique , et que l’on cherche sur ce toit (supposé recouvert en zinc, par exemple, auquel cas on a une surface unie), la ligne de séparation d’ombre et de lumière, en supposant que le système est éclairé par un rayon lumineux , nous saurons d’avance que cette courbe sera une papabole , et que I ombre portée sur le plan horizontal , ou sur le plan vertical de projection , ou sur tout autre plan, sera limitée par une parabole.

Cherchons maintenant les divers points 1* de la parabole ligne de séparation d'ombre et de lumière; 2" de la parabole ombre portée, en simpliliant autant que possible les constructions graphiques à employer.

Supposons que l’on ail un paraboloîde hyperbolique rectangulaire ayant pour plans directeurs, les plans horizontal et vertical de projection, et que ce paç%boloide soit engendré (fig. A) par une droite G se mouvant horizontalement en s'appuyant sur deux droites A et A' : l'une A perpendiculaire au plan horizontal et l'autre A’ située dans le plan vertical de projection.

(•) Voyez le Court de Géométrie descriptive, S* partie, chap. XII , p. 336.

Cela posé :

On se donne la direction L du rayon de lumière ; pour construire la parabole contact du cylindre lumineux A cl du paralioloïde 2, nous ferons passer par chacune des génératrices droites horizontales G , G, , G,,... de la surface 2 des plans T, T,, T, .... parallèles à la droite L, et nous chercherons les pointe de contact x, x,,x,... de chacun de ces plans avec cet te même surface 2. Le lieu des points x, x,, x, .... sera une parabole S, qui sera la ligne de séparation d'ombre et de lumière sur la surface 2.

Pour exécuter cette construction le plus simplement et de plus promptement possible, il faudra procéder ainsi qu’il suit :

On divisera la droite verticale A en parties égales , à partir de sa trace horizontale a 4 ; on aura donc des points a\ a\a% a', a,... également espacés entre eux. Par chacun de ces points on mènera des parallèles au rayon de lumière L , lesquelles viendront percer Je plan horizontal en des points a’„ a,, et,, a ... également espacés entre eux et tous situés sur L*.

Par les points^, a\ a’, a', a,... on mènera les génératrices horizontales G 1 , G’, G’, G', G... du paraboloïde 2.

Et cela fait :

Si l’on mène par le (joint a,' une droite H T ‘ parallèle à G’,*, on aura la trace hori* zontale du plan T, parallèle au rayon L et passant par la génératrice G, de la face 2.

On construira de la môme manière les droites il 1 ’, H T ', H*,... la trace horizontale G* de la surface 2 coupera les diverses traces horizontales des plans T,, T,, T., T... en les points », , <„ I... ; et 6i par ces points on mène des parallèles à la ligne

de terre, elles viendront couper les droites G*, G*, G*, G*,... et respectivement en les points x,*, x*,x*,x*... qui, étant unis par une courbe, nous -donneront la parabole S*, projection horizontale de la parabole S, ligne de séparation d’ombre et de lumière.

Si ensuite nous menons par les divers points x\.. des perpendiculaires à la ligne de terre, elles viendront couper les droites G,', G,', G,', G’.,, en les points x,°, x", x.", x",... qui détermineront la parabole S’, projection verticale de la parabole 6.

•-* § III

Les divers plans tangents T,, T,.... sont les enveloppée» <lu cyliadrc lumineux A ; par conséquent les traces horizontales H T< , H 1 ’... de ces divers plans seront les enveloppées de la parabole 3, trace horizontal du cylindre A. La courbe i , ombre

portée parla surface paraboloïde 2, sera donc facilement déterminée, puisqu’elle ï pour tangentes les diverses droites H T< , H T| .... Mais il sera facile de construire le pont de contact de cette parabole 3 avec chacune de ses tangentes H*.... Et en efiel: si l'on considère un point x, de lo parabole 5 (ligne de séparation d'ombre etdn lumière ), en menant par ce point x, une droite L, parallèle à la direction L du rayon de lumière, on aura la génératrioe droite du cylindre A suivant laquelle oe cylindre est touché par le plan T, ; si donc on> mène par le point x,*une droite h? parallèle à L*, elle viendra couper la droite H** en un {joint y, qui sera le point de contact de la parabole d avec sa tangente U’'.

S iv.

,l ‘>V' *' Lckno'Tj

De ce qui précède on peut déduire les théorèmes suivants (fig. A) :

Si I on prend une droite L* et sur cette droite des points équidistants a,, a,', a‘, a', a',... ; si l’on trace une ligne LT non parallèle à la droite L‘, et si l’on divise celle droite LT en. parties égales par les points b t ,b,, b., b,, b,... et que d'un point a‘ de la droite L* on mène des divergentes G‘ ( G,*, G*,;., aux divers {•oints b , b,, b,,... -, puis que, par les divers points a*, a,', a,',... on mène des parallèles H’ 4 , 11’’, H’’,... et respectivement aux droites divergentes G 4 ‘, G,\ ces droites H'... envelopperont une parabole 3-

Si l’on trace une parabole à et une droite L* de position arbitraire par rapport à la courbe , si l’on divise la droite L* en parties égales par les points a', a', et que par ces points on mène les tangentes H'*, H’’, H’*,... à la parabole 3 ; si ensuite, par un des points de division, a,, par exemple, de la droite L* on mène des divergentes G,*, G,*,... respectivement parallèles aux tangentes H’ 1 , H’*, U' 1 ,... ces divergentes couperont en parties égales une certaine droite dont la construction s'effectuera de la manière suivante.

Par le point y, contact de la parabole 3 donnée avec une de scs tangentes H’ 1 (par exemple ) , on mènera une droite L,* parallèle à' L‘ et coupant la divergente G? parallèle à H'- en un point x,*, on unira le point x* avec le point t, en lequel la tangente H’- coupe la tangente G 4 à la parabole 3, et l’on remarquera que G 4 n’est autre que H T *, n’est autre que la tangente à la parabole 3, qui coupe la droite L* en le point a 4 , d'où l'on a fait diverger les droites G,',» . et l'on aura en x,‘<. la direction de la droite cherchée.

Si le rayon L de lumière était parallèle au plan vertical de projection et faisait , avec le plan horizontal , un angle « , il arriverait que sur la surface paraboloïde 2, il existerait une certaine génératrice droite K (du second système étayant pour plan directeur le plan vertical do projection) qui serait parallèle au rayon L, car 1 on sait que les génératrices du second système font chacune un angle différent avec le plan horizontal , et que cet angle varie depuis l’angle droit jusqu’à l'angle nul.

Dés lors la génératrice K, parallèle au rayon de lumière L, serait la ligne de séparation d’ombre et de lumière sur la surface 2.

Cela est évident.

On peut d’ailleurs le démontrer d’une manière simple et nouvelle.

Supposons (/ty. B) que la droite K so trouve parallèle au rayon L, en effectuant les constructions de la fig. A, il arrivera que les points a, a,‘, a', a,',... seront équidis lants sur la droite L‘, laquelle sera parallèle à la ligne de terre LT et aussi à K*.

Or les divergentes G, G*, G G*,... menées du point a couperont la droite K* en les points p, q,, q %l q,,... qui seront équidistants, et l’on aura évidemment : <///, = a, 'a,’....

Dès lors, les quadrilatères (qjioja) et (qya'a) et (q,pa,'a)... seront des parallélogrammes ; dès lors les droites pa,', pa', pa'... ne seront autres que les traces horizontales des plans T,, T,, T, ... menées parallèlement à la droite L ou K, et respectivement par les génératrices droites du premier Système (de la surface 2), savoir : G., G,, G,.... Ces divers plans T,, T,, T, ... seront donc tangents à la surface 2 suivant les divers points de la droite K , donc , etc.

§ VI

Cette propriété, savoir , que lorsque le rayon L de lumière est parallèle à une génératrice droite D d’un paraboloïde hyperbolique, la ligne de séparation d’ombre et de lumière n’est autre que cette droite D , n’appartient pas seulement au paraboloïde hyperbolique; elle existe pour toute surface gauche, quelle que soit sa forme , quel que soit son mode de génération (*).

(*) Jo donne t dans ta fig. 3 , l'épure de l'ombre d'un toit paraboloïde , en supposant que le rayon de lumière est parallèle A l'une des génératrices droites de la surface.

Dans l’atlas je donne au,-si l'épure du problèmo d’ombre qui fut proposé en 4843 aux élèves ( de pre-

8 vii.

D’après ce qui précède, il est évident que, lorsque l’on aura un paraboloïde hyperbolique, rectangulaire ou oblique, la ligne de séparation d'ombre et de lumière ne sera une parabole qu'autant que le rayon L de lumière ne sera pas parallèle à l’un ou à l'autre des deux plans directeurs de la surface ; et lorsque ce rayon L sera parallèle à l’un ou à l’autre des deux plans directeurs de la surface, la ligne de séparation d’ombre et de lumière sera toujours une droite, qui sera une génératrice droite de la surface , laquelle devra être cherchée parmi celles qui ont pour plan directeur celui qui est parallèle au rayon L de lumière.

§ VIII

La fig. A nous donne la parabole 3 située à gauche de la trace horizontale du paraboloïde 2; cela nous apprend que la partie externe de la surface (celle qui est vue d'un point situé à l'infini et au-dessus du plan horizontal) sera tout entière dans l'ombre.

Si cette parabole 3 était à droite de la trace horizontale du paraboloïde, alors (a surface externe serait en partie éclairée et en partie dans l'ombre.

Mais si l’on remarque que lorsque le rayon L de lumière est parallèle à la génératrice droite K (fig. B ) do la surface paraboloïde , alors la parabole 3 se réduit à un point qui n'est antre que la trace horizontale p de cette droite K, laquelle.

mière année) do l'École polytechnique; on donna un toit paraboloïde et une cheminée cylindrique. Je n'ai fait que décalquer l'épure que j'ai exécutée à cette époque , d'après lu solution que j'avais donnée à ma salle , alors que j'étais élève à l'École polytechnique.

A ce sujet je crois devoir entrer dans quelques détails.

Depuis la fondation do l'École polytechnique, jusqu'à sa réorganisation effectuée parla restauration après le licenciement de t SI 6 , les élèves de première année d’étodes avaient à résoudre , pendant la durée du cours de géométrie descriptive , trois problèmes. Le premier problème était une question théorique ; le second problème était une question d’ombre ; le troisième problème était uno question de coupe des pierres.

Chacun de ces problèmes était résolu par les élèves à la Gn de chaque partie de cours y relatif.

Le problème était le même pour tous les élèves ; on leur donnait six heures pour chercher la solution et eaéculer l'épure. *

On comprend que , dans chaque salle , il arrivait qu’un élève parvenait plus vite que ses camarades à la solution demandée. Alors il passait au tableau et expliquait sa solution ; après discussion , elle était adoptée et quelquefois modifiée. Tous les élèves de la même salle se mettaient alors à l'ouvrage et exécutaient l'épure.

Souvent il arrivait que la solution d’une salle passait de salle en salle et était généralement adoptée.

Souvent aussi il y avait plusieurs solutions en présence.

Ces travaux étaient très- utiles ; ils furent supj rimés depuis 1816. Pourquoi f

dans ce cas , est la ligne de séparation d’ombre et de lumière , on doit de suite en conclure que si la projection L*, étant inclinée du bas du dessin vers la gauche pour aller couper vers la droite la ligne de terre LT, nous donne une parabole 3 située à gauche de la trace horizontale de la surface £, en inclinant celle droite L* en sens contraire (le rayon L faisant toujours le même augle avec le plan horizontal), on obtiendra une parabole 3' située à droite de la même trace horizontale de la surface X.

On voit donc comment l’on peut reconnaître si une surface paraboloîde étant projetée sur le plan horizontal , La surface externe de celte surface (ou une partie limitée de cette surface) sera éclairée ou non, et sera ainsi, ou toute dans l'ombre, ou toute dans la lumière , ou si elle sera en partie dans l’ombre et en partie éclairée.

IV 0

CONSTRUCTION UC LA LICNE DK SEPARATION d’oMRRE KT RF. LUMIÈRE It’uNE SUR»

FACE DÉVELOPPABLE ÉCLAIRÉE PAR UN HAYON LUMINEUX ET DE l’oMBRE PORTÉE