PAH UN THONÇON DE CETTE SURFACE SUR LE PLAN HORIZONTAL

Ce que nous avons dit ci-avant (mémoire n* 7), sur la ligne de séparation d'ombre et de lumière d’un paraboloîde hyperbolique, nous montre la marche que Ton doit suivre lorsque l’on aura une surface gauche quelconque.

Mais si la surface réglée, au lieu d’être une surface gauche, était une surface développable, éclairée par un rayon de lumière , le mode de solution changerait du tout au tout. El en effet : si l’on a une surface développable D ayant une courbe 3 pour arête de rebroussement, et que celte surface soit éclairée par un rayon de lumière L, la ligne de séparation d'ombre cl de lumière, si elle existe, ne pourra être qu'une génératrice droite G de cette surface D, cl le plan T tangent à la surface D suivant la génératrice G et parallèle au rayon lumineux L sera un plan osculaleur de la courbe 3 et il sera osculaieur au point g eu lequel la génératrice G louche celte courbe S.

Le mode de recherche doit donc évidemment changer lorsque l’on a une surface réglée développable et non uuo surface réglée gauche. .

— Ht —

Pour uae surface développable , -on devra employer le mode de solution suivant :

On coupera la surface développable D par uu plan P (le plan horizontal de projection par exemple), ou aura une courbe C ( fig . 1).

Ou considérera la courbe C comme la base d’un cylindre A dont les généra> triées droites seront parallèles au rayon lumineux L. ,

Cela fait:

On considérera l'aréte de rebroussement 5 de la surface développable D, comme la directrice d’un secoud cylindre i ayant ses génératrices droites parallèles au rayon lumineux L, et l’on cherchera sa trace S sur le plan P.

On aura donc deux cylindres A et 2. parallèles entre eux et au rayon de lumière L et leurs traces C et S sur un môme plan P(ieplau horizontal par exemple); dés lors, un plau T tangent à b fois aux deux cylindres A et A sera parallèle à la droite L cl sa trace 11' sur le pba P sera une tangente commune aux deux courbes C et S.

Ce plan T touchera la courbe C en un point c et 1a courbe S en un point * , et l'on mènera, par ce point s, une parallèle à la droite L, laquelle ira couper la courbe} en un point d; b droite (c, d) sera une géuéralrice droite de b surface développable D ; elle sera la génétalricc droite suivant laquelle le plan T touche cette surface P ; celle droite cd sera donc b ligne de séparation d’ombre et de lumière cherchée.

On voit de suite que si b surface développable D était éclairée par un point lumineux l, il faudrait considérer ce point / comme le sommet commun à deux cônes ayant pour directrices l’un la courbe C et l'autre la courbe 3 (fig- 2).

Le cône (1 , 3) serait coupé par le plan P suivant une courbe D et le plan T aurait pour trace sur le plan I' b tangente commune aux deux courbes C et B.

Celte tangente commune toucherait b courbe C en un point c et 1a courbe B en un point b; b droite Ib couperait b courbe 3 en un {joint d et b droite cd serait 1a génératrice de contact de la surface dévploppable D et du plan T passant par le point lumineux I; celle droite cd serait donc b ligne de séparation d’ombre et de lumière demandée.