PROBLÈME D’OMBRE

Énoncé. Construire t' intersection de deux ellipsoïdes de révolution dont le t axes ne se coupent pas. Déterminer la ligne de séparation d'ombre et de lumière sur t une et l’autre de res deux surfaces. Déterminer l'ombre portée de l'un îles ellipsoïdes sur t autre, et l’ombre portée de chacun d'eux , soit sur le plan horizontal, soit sur le plan vertical de projection {*) .

( Le système est supposé éclairé, par un rayon de lumière.)

Solution. La solution complète du problème proposé exige la recherche de diverses courbes. Nous allons indiquer successivement les méthodes qui nous paraissent préférables pour la recherche des unes cl des autres.

(*) En entrant à i'fVole d'application de Metz, les élèves sous-lieutenants d'artillerie et du génie avaient, pour premier travail , à exécuter f épure au trait et le lavis d’un problème d 'ombre. Ce travail avait été prescrit par la commission mixto qui avait été chargée de rédiger le programme des études de l'Ecole d'application , lorsque les écoles d'artillerie et dn génio lurent réonies.

Par ce premier travail ,on s'assurait que chaque élève savait la géométrie descriptive ,el pouvait sans embarrasse servir des méthodes graphiques qui lui avaient été enseignées à lÉcotè polytechnique. Chaque élève avait un problème différent à résoudre, de sorte que pendant ce premier travail , chaque élève poovait , en suivant les travaux do ses camarades , repasser tout son cours do géométrie descriptive. En 444» ou 4820 , on fut obligé de supprimer ce premier travail , les motifs de cette suppression sont consignés dans les registres des dû libérations du conseil des études de l'École d'application do MeU. L'épure au trait et le lavis, que je donne ici, ont été décalqués sur les dessins que j’ai exécutés en 4846 comme élève sous-lieuleoant d'artillerie.

Construction de la courbe if intersection de deux ellipsoïdes de révolution dont tes axes ne sont pas situés dans un même plan.

Nous supposerons que le plan vertical de projection est parallèle aux axes des deux surfaces données , et que l’axe d’un des ellipsoïdes est vertical.

Cela posé :

Il faut toujours, lorsqu’il s’agit d'un problème à résoudre graphiquement, pour une surface particulière, employer la méthode la plus courte et qui soit fondée sur les propriétés géométriques reconnues exister pour cette surface. Ainsi, pour une classe ou famille de surfaces, il existe des propriétés qui appartiennent à chacune d’elles, mais certaines d'entre elles peuvent jouir de propriétés qui leur soient propres, et qui, dès lors, n’appartiennent qu'à elles, entre toutes les surfaces de la même famille.

Ainsi , par exemple , toutes les surfaces du second ordre, sans exception, sont coupées par des plans parallèles suivant des sections coniques semblables, mais toutes ne |X>ssédenl pas des sections circulaires, puisque le paraboloïde hyperbolique doit être excepté.

Le mode de solution pour un problème posé , doit donc varier suivant In nature de la surface proposée.

Pour la solution du problème qui nous est proposé, il existe trois méthodes :

La première méthode consiste à couper les deux surfaces par une série de plans horizontaux; chaque plan coupera le premier ellipsoïde (celui dont l’axe est vertical) suivant un cercle , et coupera le second ellipsoïde suivant une ellipse, dont il est facile de déterminer le centre et les axes.

Le problème est donc ramené, pour la construction d’un point de la courbe intersection des deux ellipsoïdes de révolution, à celle des points intersection d’un cercle et d’une ellipse dont on connaît le centre et la direction des axes, et leur longueur.

On voit donc de suite que pour que la solution soit expéditive , il faut employer un compas ordinaire pour tracer le cercle, cl un compas à ellipse pour tracer l'ellipse.

Ainsi cette méthode exige deux compas différents, l’un pour 'le cercle, l’autre pour l 'ellipse.

La seconde méthode consiste à déterminer deux plans P et Q perpendiculaires au plan vertical de projection, et tels que les sections elliptiques faites par le plan P dans les deux ellipsoïdes se piojetlcnl l’une et l'autre suivant un cercle

sur le plan Q. Alors chaque point de la courbe intersection des deux ellipsoïdes est déterminé par l’intersection de deux cercles; cette méthode n'exige qu’un seul compas ordinaire, celui qui sert à tracer des cercles.

Cette solution , qui est on ne peut plus ingénieuse et très-simple , cl facile dans •l’exécution graphique, est due, comme on le sait, à M. Chapuis, ancien ingénieur des constructions navales, qui l’a trouvée alors qu'il était élève à l’École polytechnique (*).

C’est- par l’emploi de cette méthode que j’ai déterminé les projections de la courbe intersection des deux surfaces ellipsoïdes de révolution, sur l'épure de l’atlas ci-joint.

La troisième méthode consiste à transformer cylindriquement , d'abord le premier ellipsoïde de révolution (celui dont l’axe est vertical) en une sphère ayant même centre et ayant pour rayon celui du cercle méridien de cet ellipsoïde, et de transformer ensuite, par le môme mode cylindrique , le second ellipsoïde de révolution en un ellipsoïde à trois axes inégaux.

Cola fait :

On détermine les plans des sections circulaires de l’ellipsoïde transformé; et coupant la sphère et cet ellipsoïde transformé par une suite de plans parallèles entre eux et à l'un des deux plans diamétraux donnant des sections circulaires sur l'ellipsoïde, on peut facilement, par l’intersection de deux cercles, déterminer chacun des points de la courbe intersection de la sphère et de l'ellipsoïde, surfaces transformées.

Cela fait on regardera cette courbe comme la directrice d’un cylindre dont les génératrices droites seront parallèles à l’axe de rotation du premier ellipsoïde, et ce cylindre coupera celle surface suivant une courbe qui sera précisément celle cherchée, c’est-à-dire la courbe intersection des deux ellipsoïdes de révolution donnés (**).

Il est, je crois, nécessaire pour être bien compris, d'entrer à ce sujet dans quelq ues détails.

Désignons par 2 l’ellipsoïde de révolution dont l'axe de rotation est vertical, pâtit le rayon de son rercfe équateur C , et par A son demi-axe vertical. Désignons par 2, le second ellipsoïde de révolution dont l’axe est oblique. Menons par le centre de l’ellipsoïde 2 un plan horizontal P, ce plan coupera la surface 2 suivant l’équateur C , et la surface 2, suivant une ellipse 6.

(*) Voyez dans la Correspondance de l'Ecole polytechnique , publiée par Hachette, le n 3* du 2* vol. . p. 236.

(•*) Voyexce que j'ai dit, nu sujet des transformations cylindriques , dans lo Court de géométrie descriptive, 2" partie, chapitre VI, page H 4 et suivantes; et ? partie, chapitre XII.

Cela posé :

Prenons un point tu sur la surface 2, et abaissons de ce point une perpendiculaire sur le plan P et le coupant en un point p. Il est démontré (*) que si l’on

prend sur la verticale pm un point n , tel que l'on ait

pu R pm ^

le point n sera sur uuc sphère S ayant l’équateur C pour grand cercle.

Cela posé :

Prenons un point quelconque m, sur le second ellipsoïde 2, , et abaissons de ce point une perpendiculaire sur le plan P cl ic coupant en un point p,.

Si l'on prend sur la verticale p.m, un point n,, tel que l'on ait

le point n, sera sur un ellipsoïde 2/ à trois axes inégaux passant par l’ellipse 6.

Les deux surfaces 2 et 2, seront , par ce moyen, transformées ememblc , l’une en la sphère S et l’autre en l’ellipsoïde 2,’.

En sorte que la courbe X intersection des deux ellipsoïdes de révolution et donnés 2 et 2,, sera transformée cyiindriquement en la eourbe X' intersection de la sphère S et de l'ellipsoïde à trois axes inégaux 2/.

Si donc l’on construit la courbe X', il suilira de faire passer par cette courbe un cylindre A ayant ses génératrices droites parallèles à l’axe de rotation de l’ellipsoïde 2, et de chercher l'intersection de ce cylindre A et do l’ellipsoïde 2 pour avoir la eourbe X.

Cela dit :

Comme il faut pouvoir déterminer les sections circulaires de l'ellipsoïde transformé 2/, il faut que nous puissions déterminer les trois axes de celle surface, puisque les deux plans diamétraux donnant Tes sections circulaires passent par l'axe moyen.

Or, si nous menons par l’axe de rotation de l’ellipsoïde 2,, un plan Q parallèle au plan vertical de projection , nous obtiendrons la courbe méridienne i de la surface 2..

(*) Voyez ce que nous avons dit , au sujet des transformation* cylindriques , dan- le Cours it Géomifrit descriptive , t" partie, p. lit, et î* partie, p. dlO cl suivantes.

Ce plan Q coupera l'ellipse S suivant un de ses axes D, lequel sera une corde de l’ellipse S.

Nous prendrons cette corde pour axe de transformation cylindrique, ol prenant dès lors un point x sur l'ellipse méridienne o, et abaissant de ce point une perpendiculaire sur la corde D et la coupant en un point d, on prendra sur dx un point y, tel que l’on ait

dy R

le point y sera sur une ellipse ÿ ayant même corde D que l’ellipse S. Il sera facile de construira le diamètre conjoguédc la corde D, soit pour l'ellipse 3, soit pour l’ellipse Ü. •

Or, connaissant un système do diamètre conjugué d’une ellipse ) on peut facilement construire la direction de scs axes et leur longueur ('). Les axes dé l’ellipse i' seront deux axes de l'ellipsoïde 2,', le troisième s’obtiendra en menant par le centre de l’ellipse 3' une perpendiculaire au plan Q et cherchant son intersection avec la surface 2,'.

Toutes ces constructions sont exécutables graphiquement et sans difficultés aucunes ; nous n’avons pas besoin d’entrer dans de plus longs détails à ce sujet , tous ceux qui savent ce qui a été enseigné dans notre Cours de géométrie descriptive , .suppléeront avec facilité à tous les petits détails de construction.

Ce mode de solution s’applique sans peine au cas où la seconde surface 2, n’est pas de révolution, pourvu qu’elle ne soit pas un paraboloïdc hyperbolique, qui est la seule surface du second ordre qui ne jouisse pas de la propriété d’avoir des sections circulaires.

Ainsi l'on pourra trouver la courbe d’intersection d’un ellipsoïde de révolution avec un ellipsoïde non de révolution, ou avec uu paraboloïdc elliptique, ou avec l'uu ou l'autre des deux hyperboloides à 3 axes inégaux.

Si nous examinons plus attentivement celte méthode de solution, nous voyons do suite, qu’elle peut nous permettre de construire lu courbe intersection d’un ellipsoïde à 3 axes inégaux , avec l'une quelconque dessurfaces du second ordre, le paraboloïde hyperbolique excepté; et en cITet, il sullira d’effectuer deux transformations cylindriques à la suite l’une de l’autre.

Ainsi étant donnés un ellipsoïde à trois axes inégaux 2 et ayant l’un de ses axes vertical, et une surf'aco dit second ordre 2, possédant des sections circulaires,

(*) Voyez ce que nouj avons dil, û ce sujet, dans le Cqjir* de Géométrie descriptive, î’ partie, p. 198.

on fera passer par le centre de l'ellipsoïde 2 un plan P horizontal lequel coupera celle surface 2 suivant une ellipse a.

On déformera cette ellipse * (et dans le plan P) en un cercle C par des droites jierpendiculaircs à l'axe a de cette courbe a qui se trouve situé dans le plan P.

Et par des droites perpendiculaires au plan vertical X, qui passe aussi par l'axe n, on déformera (par rapport au plan X pris pour base de la transformation cylindrique) l'ellipsoïde 2 en un ellipsoïde de révolution 2' et la surface du second * ordre 2, en une autre surface du second ordre et du mémo genre 2,'.

Puis l'on transformera l'ellipsoïde 2* en une sphère S et la surface 2,’ en une . autre surface du second ordre et du même genre 2," et cela en prenant le plan P pour base de la nouvelle transformation cylindrique et au moyen de droites perpendiculaires â ce plan P.

On cherchera la courbe intersection de la sphère S et de la surface 2/', puis on mènera par X" un cylindre A’ perpendiculaire au plan P et l'on déterminera son intersection avec l'ellipsoïde de révolution ï, enfin l'on mènera par la courbe >.' un nouveau cylindre A perpendiculaire au plan X et l’on cherchera son intersection X avec l'ellipsoïde donné et à 3 axes inégaux 2; et I ou aura en celle courbe X, l’intersection des deux surfaces données 2 et 2,.

Construction de la ligne de séparation d'ombre et de lumière.

Lorsque l’on a à déterminer la ligne de séparation d ombre et de lumière sur une surface, soit qu elle soit éclairée par un rayon de lumière, toit qu’elle soit éclairée par un point lumineux, il faut toujours chercher la construction la plus simple, en s'appuyant sur les propriétés géométriques reconnues exister pour la surface toute particulière qui est donnée.

Si donc on donne une surface du second ordre, évidemment I on devra se rappeler de suite que la courbe de conlaet d une telle surface avec un cylindre ou un cône est toujours une courbe plane.

La marche la plus prompte à suivre, consistera donc à déterminer le plan de celle courbe et à chercher son intersection avec la surface proposée.

El comme de plus, on sait que la courbe de contact est non-seulement plane, mais qu’elle est une section conique, il sullira de trouver les axes et le centre, ou le centre et un système de diamètres conjugués de chacune des projections de celle courbe, pour construire directement chacune de ces projections et connaître dés lors la ligne de séparation d’ombre et de lumière demandée.

C’est cette méthode que nous avons suivie dans la construction de l’épure au. trait.

î Hl.

Construction de l'ombre portée par fuit des ellipsoïdes sur f autre.

D’après les données de notre épure au trait , c’est l'ellipsoïde de révolution dont l’axe est vertical qui porte ombre sur l’ellipsoïde de révolution dont l'axe est incliné.

Celte ombre portée ne sera autre que la courbe intersection du second cllip— soïde-avec le cylindre lumineux tangent ailfiremier ellipsoïde.

On prendra donc un nouveau plan horizontal de projection perpendiculaire k Taxe oblique du second ellipsoïde, et l'on construira sur ce plan la section faite par lui dans le cylindre lumineux.

El l'on construira la courbe d’intersection du second ellipsoïde et du cylindre lumineux par la méthode connue, en employant des cylindres auxiliaires de révolution et ayant leurs génératrices droites parallèles au rayon de lumière (*).

§ IV

Ombre portée par l’un et l'autre ellipsoïde sur les plans de projection.

On aura ù chercher l'intersection de deux eylindres par les plans de projection. Ces cylindres auront l’un cl l’autre leurs génératrices droites parallèles au rayon de lumière, et auront pour directrice, l'un l’ellipse ligne de séparation d'ombre et de lumière sur le premier ellipsoïde, l’autre l’ellipse ligne de séparation d ombre et de lumière sur le second ellipsoïde.

U sera facile de construire le centre et un système de diamètres conjugués de chacune des quatre ellipses-ombres portées , dont deux seront sur le plan horizontal, et dont deux seront sur le plan vertical de projection.

On pourra construire ensuite directement les quatre ellipses, au moyen du système de diamètres conjugués que l’on aura déterminé pour chacune d’elles (**).

{*) Voyez ce que nous atone dit, à co sujet , dans le Cours de géométrie descriptive ( î* partie ) , p. 141 , et dans les Compléments de Géométrie descriptive , p, 349.

(**) Voyez , à ce sujet , ce que nous avons dit dans le Cours de géométrie descriptive ( X* partie ) , p. 498.

N" il.