LIVRE PREMIER

APPLICATION DE LA GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE AUX OMBRES. / ~'jv.

Le problème des ombres à déterminer sur une surface donnée, se trouve complètement résolu dans le Cours de géométrie descriptive, puisque nous avons montré que la ligne de séparation d'ombre et de lumière sur une surface donnée n’était autre que la courbe de contact de celte surface avec un cylindre, si l’on supposait un rayon lumineux, ou avec un cène , si l’on supposait un point lumineux; et que l'ombre portée par la même surface sur une autre surface n’était autre que la courbe d’intersection de cette seconde surface avec le cylindre ou le cône lumineux.

D’après-ce qui précède, on doit comprendre que sous le point de vue théorique il ne reste plus rien à faire ; et dès lors on doit être porte à penser qu'un livre , dans lequel on traite des applications de la géométrie descriptive aux ombres, est à peu près inutile.

Mais dans le Cours de géométrie descriptive, on a considéré les surfaces, en les divisant par groupes suivant leurs divers modes de génération , cl l’on a exposé des méthodes générales, et dépendant chacune seulement du mode particulier de génération de la surface considérée.

Or, lorsque l’on veut appliquer ces méthodes générales à des surfaces spéciales appartenant à un même mode de génération , il arrive fréquemment que ces méthodes générales peuvent être simplifiées en vertu de certaines propriétés géométriques dont jouit telle ou telle de ces surfaces spéciales, à l’exclusion de certaines autres appartenant au même mode de génération.

Ainsi, si l’on propose de déterminer la ligne de séparation d’ombre et de lumière sur un ellipsoïde à trois axes inégaux, il ne faudra pas employer la méthode générale qui appartient aux surfaces engendrées par une courbe plane mobile et variable de forme, se mouvant parallèlement à elle-même en restant

toujours semblable à elle même. Il faudra profiler de la propriété géométrique dont juuii l’ellipsoïde à trois axes inégaux , savoir : que la courbe de contact avec un ejlindre ou un cône est toujours une courbe plane, et dés lors la solution du problème d'ombre se trouve ramené à celui-ci : Intersection il un plan donné par deux droites qui se coupent cl tl'un ellipsoïde ét trois turcs inégaux. Kl aussitôt l'on doit remarquer que pour résoudre ce nouveau problème, en n’employant que la ligne droite et le cercle , il faut clfcctuer un changement des plans du projection et prendre pour nouveaux plans de projection, savoir : pour plan horizontal le plan diamétral donnant une section circulaire dans l'ellipsoïde, et pour plan vertical un plan perpendiculaire à ce plan de section circulaire.

D’après ce qui vicntd’ètrcdil, on doit voir qu'il n’csl plus sans intérêt d’écrire, non pas un traité sur les ombres, mais un ouvrage dans lequel on réunirait à la suite les unes des autres les solutions de divers problèmes d’ombres, ces solutions étant exécutées d’après les principes que nous venons d’exposer ci-dessus.

Un pareil ouvrage pourrait être très-volumineux , aussi n’ai-je donné qu’un petit nombre de problèmes d'ombres, ce qui m'a paru suffisant pour bien faire comprendre la marche que l’on doit suivre dans la solution de chacun des problèmes qui pourraient être proposés; età la fin do ce premier livre, j’ai donné un très-grand nombre de programmes de problèmes d’ombre que chacan pourra s’exercer à résoudre. 4

En terminant ces réflexions, nous devons faire remarquer qu’il est très-utile, après avoir exposé lu théorie des méthodes générales, de faire des applications spéciales, car presque toujours les surfaces spéciales que l'on a à examiner, nonseulement nous permet lent , comme nous l'avons dit ci-dessus, de modifier d'une manière élégante la solution générale, en vertu des propriétés géométriques propres à chacune de ces surfaces particulières, mais encore chaque surface spéciale peut nous faire découvrir des propriétés auxquelles on n’aurait pas songé, si l’on s'était contenté des aperçus généraux.

C’est ainsi qu’en déterminant la ligne de séparation d'ombre et de lumière sur le piédouche (surface dont le modo de génération est identique à celui de l'ellipsoïde de révolution), on a reconnu qu'il pouvait exister une génératrice du cylindre lumineux ou du cône lumineux, telle qu’elle fût tangente à cette courbe de séparation; et l'on a reconnu que ce fait t.e pouvait avoir lieu que pour une surface dont les rayons de courbure étaient dirigés en sens oppose.

Ce fut alors que Hachette pensa à l’emploi d'un bypcrboloïde osculaleur pour déterminer ce point remarquable sur le piédouche , et que plus tard je fus conduit à employer les surfaces osculatriccs du second ordre pour construire les tangentes au point multiple de la courbe intersection de deux surfaces quelconques, et

aussi pour construire la tangente en un point quelconque de la courbe de contact de deux surfaces quelconques.

Lors donc que l’on se proposera la solution d’un problème d’ombre sur des surfaces particulières, il faudra non-seulement chercher les simplifications que les propriétés géométriques de la surface particulière considérée peuvent apporter à la méthode générale de solution , mais encore examiner avec soin si l'on ne pourrait pas découvrir quelques propriétés nouvelles, que l’on cherche» ensuite à généraliser ; procédant ainsi du simple au composé.

( MÉMO! RC INÉDIT.)