AVANT- PROPOS

Dès le premier établissement de l’École du génie h Mézières , on s’est attaché à donner aux jeunes officiers les principes du dessin, et à le faire avec méthode. La factirté de i’ expiration «rretHe-emyott et l iulelligence du dessin donnent celle

(*) Ce mémoire fait partie do la collection des manuscrits do la bibliothèque de l'École d’application de l'artillerie et du génie à Metz.

Il est coté pièce n* 42 , carton n* I , et provient du fonds de l’ancienne École du génie qui fut transférée de Mézières à Metz en 4793.

On ignore le nom do l'auteur do ce petit traité , ainsi que sa date précise. Cependant, on a lieu de croire qu’il a été écrit à lÉcole de Mézières pour l’instruction des jeunes officiers du génie, vers l’an 4775 à 4780.

Les dessins qui accompagnent ce petit traité sont évidemment de In même main que deux dessins qui existent encore dans les collections de l’École d'application do Metz , et qui portent le millésime 4774.

On sait que ce fut en 4775 1 que Monge écrivit un mémoire sur les ombres , ol dans lequel il employa Yanalyte. Dix ans plus lard, il écrivit quelques pages (que nous donnons ci-après) sur les ombres, mais alors il employa la mélhodo des projections , lu géométrie descriptive.

C'est d'après le petit traité que nous publions ici pour la première fois que fut exécutée l'épure do l’ombre des cheminées qui existe dans la collection des épures gravées de l’École polytechnique , épures gravées qui dotent preiqiie toutes de la fondation de l'École polytechnique en 4796. T. O.

1 Voyez ce que Hachette dit au sujet de ce mémoire de Monge dan» la Correspondance sur l'École po>y technique, vol. 1”, pag. 295. T. O.

— fl —

de la bonne construction des ouvrages des places , du tracé et relief de la fortification et en général de tout ce qui y a rapport, celle des ouvrages relatifs à la guerre de campagne et de siège, forme le coup d'œil pour la reconnaissance des places; c'est le dessin, eu un mot, entendu et appliqué à tous les objets, qui caractérise en partie les ingénieurs.

On n’a rien trouvé de plus propre pour leur procurer cette connaissance parlaite du dessin, que de leur faire suivre desVours découpé des pierres et des bois, et on a pris soin à cet effet de développer la partie de la coupe des bois, qui ne l’avait point été jusqu’à présent, lndépcndammentdes avantages qui résultent de cette étude, relativement aux constructions dont les officiers du génie ont la direction, on conçoit facilement que quand on fait développer toutes les faces et connaître tous les angles, plans ou solides, d’une pierre quelconque employée dans uno voûte, une trompe, etc., ou d'une pièce de charpente employée dans un comble, un dôme , un escalier, etc. , qu'on a bien de la facilité à développer un ' bastion, une demi-lune, un cavalier de tranchée, une batterie, etc. ; que quand on sait bien former la représentation de toutes ces choses pour les faire entendre aux autres , on est en état de se les représenter comme si elles étaient déjà exécutées, et d’en combiner les différentes constructions pour les rendre autant parfaites qu’elles peuvent l’ôlrc.

Mais jusquC-là l’étude du dessin a été bornée aux simples traits ; l’art du lavis , les dégradations des teintes et des ombres sont nécessaires pour lui donner l'effet du relief convenable ; et souvent sans ces secours, le dessin ne pourrait être que difficilement entendu. L'art du lavisVaoquicrt par l'exercice, les dégradations des teintes doivent être tirées des lois de la nature, et l'étendue des ombres portées par les corps devant être proportionnelle aux distances, doit être traitée avec le secours de la géométrie.

C'est de l’harmonie de ees différentes parties bien entendues que dépendent la correction et l'expression du dessin. La partie de la fixation proportionnelle des ombres n’ayant point etc traitée jusqu’à présent relativement au dessin géométral dont les ingénieurs font usage, nous avons cherché des pratiques puisées dans la géométrie , commodes et expéditives pour les déterminer, en n’employant néanmoins sur les dessins que le moins de lignes possibles, parce qu’elles ne pourraient qu’altérer la propreté qui leur est nécessaire. Mais ces pratiques et les principes sur lesquels clics sont loudces n ayant pas été mis en ordre jusqu'à présent, et n’ayant été enseignées que par intervalles, suivant le besoin de différents cas, ne pouvaient rester, ni s’arranger dans la tète; ce qui a engagé à les rassembler et expliquer dans ce petit traité, que l'on donne ici en forme de leçon pour l’usage de l’école.

Apfès avoir établi des notions générales 'suj les dessins, nous; indiquerons la manière de disposer ceux des ingenicure. • < •

Nous donnerons ensuite la méthode' pour déterminer les ombres sur toutes sortes do surfaces, en l’appliquant à des exemples ; et nous finirons par détailler les principes suivant lesquels les ombres et les teintes se dégradent et s'affaiblissent, en mettant aussi sous les yeux les exemples nécessaires pour en faciliter l’intelligence.

Notions générales sur le dessin.

Le dessin est l’art de représenter les objets sur des surfaces quelconques; ces surfaces sont ordinairement planes. Les peintres se servent de toiles, et donnent à leurs ouvrages le nom de tableau. Nous ne nous servirons que du papier, auquel on donnera le nom en général de dessin; celui de la figure, de Corn ement, du paysage ne s’acquiert que par les leçons d'un bon maître et par un exercice suivi pendant un certain temps. Le dessin de l'architecture civile et militaire, de la fortification, etc., prend scs principes dans les arts et dans la géométrie, et s’exécute avec la règle et le compas.

2. On distingue deux espèces principales et primitives de ce genre de dessin; l’un est le dessin en perspective, et l’autre est le dessin géométral.

3. Le dessin en perspective représente les objets tels qu'ils paraissent d’un point fixe pris à volonté parmi tous ceux d’où ils peuvent être vus, c'est-à-dire qu’on suppose que de l’eett du «peototeur partent autant de rayons qu'il y a de points dans l’objet qu’on représente, lesquels, par leur intersection avec le tableau ou la feuille de papier qu’on suppose placée entre l’œil et l’objet, y représentent les mêmes points qui, étant joints par des lignes correspondantes à celles de l'objet, les rendent en perspective. Celte manière de dçssincr est l’imitation de la nature, et peut être très-utile en plusieurs occasions, surtout lorsqu’on doit rendre compte d'un objet et de la position respective de ses parties pour un même point de vue; mais elle a l’inconvénient qlTe les dimensions de l’objet y sont pour l’ordinaire tellement défigurées qu’il est difficile d’en connaître avec exactitude les proportions d’après la seule représentation en perspective.

Quoiqu’on ne soit pas dans l'usage de se servir de ce genre de dessin dans les projets de construction, néanmoins il est très-utile qu'un ingénieur en ait connaissance pour se former le coup d'œil si nécessaire dans la guerre en général, et particulièrement dans la reconnaissance des plaças, qui souvent peuvent être vues de quelques éminences ou clochers; il ne lui servira pas moins pour le lever des plans et des caries où il est obligé de représenter géomctralerocnt

O que e’est que le desaln.

Espèces primitives du dessin.

Notions du dessin en perspective.

Notloni du âmm géomrtnil.

fl « . * *

les objets qu’il ne voit qu’en perspective, car il a acquis l’usage de mettre avec facilite un plan géométral en perspective, réciproquement il ïui sera facile de ramener la perspective au gëométral ; mais différents auteurs ayant écrit sur ce genre de dessin, il ne fera point partie de ce traité.

4 . Le dessin géométral diffère principalement du dessin en perspective en ce qu’au lieu de supposer que les rayons qui parlent de tous les points de l'objet concourent à un même point (qui est l’oeil du spectateur) placé à une distance finie, on imagine que tous ces rayons concourent à une distance infinie, et sont par conséquent parallèles entre eux ; de sorte que, pour que le spectateur puisse les voir d’une distance finie comme ils sont représentés par un œil infiniment éloigné, il est nécessaire que le spectateur change de lieu à chaque instant, et se place successivement sur les directions de chaque rayon en particulier. On sent bien que ce dernier genre de dessin n’altère point les dimensions des objets qui se trouvent dans une situation parallèle au plan du papier, mais aussi qu'il ne peut en représenter qu’une seule face à la fois, et qu'il 11e serait pas possible de prendre une idée complète du tout, si le spectateur était censé considérer toujours la même face. On a donc pris le parti d'imaginer différents plans qui traversent l'objet ou qui lui sont extérieurs , et l’on suppose que sur ces plans se peignent , comme on l'a dit , les parties des objets qui leur sont. directement opposées ; c'est de cet art, que l'élude de la coupe des pierres et des bois donne l’intelligence la plus exacte et qui ne laisse rien à désirer, si l’on en excepte les ombres et les teintes.

D« la projection 5 . Sur un plan horizontal mené a travers, au-dessus, ou au-dessous de l'objet, oa°4u°|üàn* t on con î nlt que de tous tes points do l’objet parlent des droites verticales qui forât ». u»am. ment par leurs extrémités sur un plan une ligure qu'on nomme la projection Pt- 1 . <• horizontale de l'objet ou simplement son plan. Soit, par exemple, la droite AU inclinée d’une manière quelconque à l’horizon. Si sur le plan horizontal DE on abaisse de tous les points de AB des perpendiculaires NM , OP, BC , la droite AG que ces perpendiculaires formeront |ir leur rencontre avec le plan horizontal, sera la projection horizontale ou le [dan de AB, et par conséquent aussi sa représentation sur le plan horizontal proposé.

Les perpendiculaires NM, OP, BC sont les rayons suivant lesquels l’œil regarde successivement tous les points de AB. Souvent, dans le discours ordinaire, on dit que AC est la grandeur de AB au plan (*).

(*) Lorsqu'il s’agit do ta perspectivo , les auteurs disent : au gèomilral , au lieu do dire : au plan.

Ü. De même, si sur un plan vertical FE mené par un point de l’objet ou hors de l’objet, on lire (le tous les points de ce même objet des per|>endiculaires au plan vertical, leur rencontre avec lui y forme une ligure qu’on nomme profil lorsque le plan de repésenlalion coupe l'objet, et élévation lorsqu'il lui est externe, et cette figure en est la représcnlaliorï'Sur le plan vertical; si, par exemple, de tous les points A , N et O de la droite AB on mène au plan vertical FE des perpendiculaires AC, NQ, OR dont les extrémités forment sur ce plan \crlical la droite BC, cette droite BC est le profil ou élévation du AB, cl sa représentation sur le plan vertical dont il s’agit. C’est un usage assez ordinaire de dire que BC est la grandeur de AB au profil ou à l’élévation.

7 Les plans de représentations dont nous avons parlé (art. 4) ne sont limités dans la théorie, ni quant à l’espèce, ni quant au nombre; mais dans la pratique, on n’en emploie que deux es|>èces, savoir : les plans horizontaux cl les plans n&wiulrei pour verticaux; mais, pour faire connaître l’objet, le nombre des uns et des autres “ nn,,lrr

. , , . , . . l’objut k fond.

n est pas toujours le même; souvcul, sur un même plan, s elèvent plusieurs profils et élévations.

Ou sent assez qu’il y a de l'art dans le choix et la disposition des plans, pro- choix et fils et élévations qu’on veut employer afin de représenter l’objet le plus parfaitemenl qu'il est possible, avec des figures les moins nombreuses et les moins « aération, chargées; mais cet art ne peut être soumis à des régies générales : de bons modèles et la pratique sont les meilleurs maîtres qu'on puisse consulter.

8. Ces principes établis, il est aisé de concevoir qu'en combinant ensemble les La comNnai-on plans, profils et élévations, on connaîtra toutes les dimensions des parties de d pT, 4 iu 7 t’ l’objet au moyen des échelles en toises, pieds- et pouces ou autres' mesures, car «««nom bit Ips plans donnant toutes les mesures horizontales , les profils cl élévations donnent toutes les mesures verticales, même les mesures inclinées à l’horizon et parallèles au plan vertical du papier; en sorte que la difficulté se réduit tout au plus pour celles non comprises au plan vertical parallèle au papier, à trouver l’hypoténuse d’un triangle rectangle dont on a les deux côtés, l’un au plan et l’autre au profil. Ainsi, dans l'exemple (PI. I ,fig. i) allégué ci-dessus, il est visible qu’ayant AB au plan et au profil , on a cette ligne elle-même en nature. Il en sera de même dans tous les cas; c’est de celle espèce de dessin qu'on se sert dans les projets des ouvrages proposés à la cour et pour leur construction.

9. Nous avons insinué (art. 2) qu'il y a d'autres genres de dessin que celui en perspective et celui géométral , mais ils sont tous divisés ou composés de l’une ou de l'autre de ces deux espèces primitives; celui d’entre eux dont on fait le plus

‘ d’usage s'appelle perspective cavalière (comme qui dirait perspective où les règles de l'art ne sont pas scrupuleusement observées); par exemple, on s’en est

comMuir'

I r% véritable* dimensions de l'objcL

Espèce mixte de dessin en perspective.

De la projection vert ire le, ou des profil* et élévation*, Cl de leurs usage*.

Du nombre des profils et

êlrtallnnl

ffêrcfisilé d'ombrer les dessins.

Ijc§ rayons du soleil parallèles entre eux.

Les plans vertlctai du soleil aussi parallèles.

servi pour représenter ( fig . 1) les solives auxquelles appartiennent le plan horizontal DE et le vertical FE. On l'a aussi employé avec succès pour expliquer les assemblages de charpente , dans le supplément qni en a été fait et donné à l’école du génie pour l'intelligence des coupes pour les bois (*). Dans celte espèce de dessin on peut toujours conserver à une des surfaces planes qui enveloppe un corps et a sa parallèle (lorsqu’elle en a une) leur figure, sans altération , ni dans leurs angles, ni dans la longueur des lignes qui le forment.

A l’égard des autres surfaces qui enveloppent le corps, les ouvertures des angles seront nécessairement altérées, mais les lignes conserveront leurs véritables longueurs , ce qui rend cette sorte de dessin susceptible de dimensions qu'on peut connaître au moyen de l’échelle. Ce dernier genre de dessin est si facile à entendre d’après ce qu’on en voit (fig. \) et ce qu'on en a vu dans le supplément à l’art de la charpenterie, que nous n’entrerons pas à ce sujet dans un plus grand détail.

10. Si l’on n'avait qu’à mettre aux simples traits les plans, profils, et élévations des différents objets que l'on veut représenter, on n’aurait besoin que des projections liori7xintales et verticales expliquées ci-dessus (art. 5 et 6), cl ce sont les seules dont on s’est'scrvi dans la coupe des pierres et des bois; mais, pour donner de la grâce au dessin et faire apercevoir du premier coup d'œil les différents reliefs de toutes les parties de l’objet qu'il représente, il est nécessaire d’observer les dégradations des teintes et d’y marquer les ombres portées par le soleil, en suivant à cet égard ce qui se passe dans la nature

Nous parlerons à la suite (de ce traité) de la dégradation des teintes; nous attons expliquer la manière de déterminer la figure, l'étendue des ombres relativement aux différentes surfaces qui les reçoivent, lesquelles surfaces sont toujours projetées sur la feuille horizontale et verticale du dessin.

H. Nous admettrons pour principe fondamental que différents rayons du soleil sont parallèles. Si en mécanique on a supposé les directions de la pesanteur parallèles, à plus forte raison admettra-t-on la même hypothèse pour les rayons du soleil, qui est plus éloigne de nous que le centre de la terre.

12. Si par un rayon du soleil on fait passer un plan vertical, l’intersection de ce plan avec la feuille horizontale du dessin y déterminera (art. 5) la projection de la direction du rayon du soleil au plan; cette direction sera ensuite projetée sur les profils et élévations, ainsi qu’il est expliqué (art. 6).

Si l’on fait passer des plans verticaux par plusieurs rayons du soleil, il suit de

(*; l.'nulenr en teint parler de l'application du trait sur une piico de charpente.

l'article précédent, qu'ils seront parallèles entre eux, et on les nomme plans verticaux du soleil.

13. Cela posé, si du tous les points d'un objet on imagine des parallèles (au rayon du soleil) tirées jusqu'à In rencontre d’une surface quelconque, elles y peindront une figure qui sera la projection de l'ombre portée de l’objet sur celle surface ; sur quoi on observera que, pour trouver l'ombre d'un corps quelconque, il sullira de projeter les lignes de son contour, qui sont rasées par les rayons du soleil.

14. Mais pour déterminer cette projection, il faudra premièrement établir la direction ou l'élévation d'un rayon du soleil. Soit, par exemple, SI. la direction d'un rayon du soleil, et l'angle ALS celui de son élévation; soient aussi les lignes DE, EF, DF, qui doivent se projeter sur un pjau quelconque horizontal , vertical ou incliné, représenté par AL, CL ou MN. Si pour les points D, E,F on tire parallèlement à SL les lignes IM, Ee, F / jusqu’à la rencontre d’un plan sur lequel on veut projeter les lignes DE, EF, DF, on aura la projection de ces ligues déterminées par leurs correspondantes de, ef , df.

Il est aisé de voir que celte projection ne diffère de celles expliquées (art. 5 etC) qu'en ce que les ligues qui les produisent sont inclinées à l'horizon; par cetto raison on peut l'appeler projection oblique ; elle suit d’ailleurs les mêmes lois, c'est-à-dire que toutes les lignes parallèles aux plans sur lesquels elles sont projetées, conserveront sur ces plans leurs longueurs saus altération; ce qui est évident, puisque, dans tous les cas, elles seront les eûtes opposés d'un parallélogramme. — s — . , , ' . -r . .

Avant d'entrer dans un plus grand détail sur ce sujet , il est bon de faire connaître les différentes dispositions les plus convenables aux plans, proiils et élévations (ce qu’on peut appeler un système de dessin) et les différentes hypothèses qu'on peut suivre pour les ombres, et aussi examiner celles qui paraissent mériter la préférence, relativement aux usages auxquels les dessins des ingénieurs sont destinés.

15. Les architectes observent, lorsque leurs dessins peuvent être contenus dans une même feuille, de placer en bas de la feuille le plan des caves et souterrains , celui du rez-de-chaussée au-dessus , puis celui du premier étage, etc. ; et d'arranger, dans les places du papier que ces plans laissent vides, les différents proiils et élévations, sans avoir égard à leur position relativement aux plans auxquels ils appartiennent; ils ne sont pas dans l'usage ordinaire du faire porter ombre sur les aires des cours, jardins, escaliers et place d'intérieur, par les différents murs qui forment les plans, se conteutani de marquer les ombres par des gros traits sur les arrêtes opposées au jour qu’il font venir du coin à

Ombre projetée.

Projection oblique servant à déterminer l'étendue des ombres.

Dispositions et arrangement* des devins aaaex ordinaires aux architecte*.

Dispositions et arraniM'menU qui conviennent ■ux dessins des ingénieurs.

gauche de la feuille qui contieiH le dessin; il est vraisemblable qu'ils ne sont détournés d’ombrer les plans que parce que les ombres se confondraient avec les teintes d'encre de la Chine qui expriment les maçonneries Coupées par leurs plans qu’ils représentent, d'autant qu’ils ne manquent pas d'ombrer les arbres et même les athuslrs des jardins qui se trouvent dans leurs dessins, et qu'on ne peut disconvenir que les ombres contribuent beaucoup à faire entendre du premier coup d'œil les différents reliefs dans les plans, lorsque toutes leurs parties ne sont pas assujetties à un même niveau.

Les architectes observent d’ailleurs d’ombrer les prolils et élévations qui ont un indispensable besoin de ce secours pour être entendus; ils supposent, comme font ordinairement les peintres, que le jour vient de derrière. leur épaule gauche, c'est-à-dire du coin à gauche du haut de la feuille qui contient le dessin; et ils suivent les mêmes lois, lorsque les plans, profds et élévations, se trouvent sur des feuilles séparées. Pour que les ombres, dans les prolils, ne se confondent pas avec les teintes à l'encre de la Chine des maçonneries coupées, ils laissent les maçonneries en blanc, ou se contentent de les pointiller, ce qui dans le même dessin fait une contradiction qui n'est pas raisonnable; les maçonneries doivent être traitées de même dans les plans et dans les profds. Mais ce n'est pas la seule contradiction que leurs plans et prolils représentent; le jour venant aux uns comme aux autres, du coin à gauche en haut de la feuille du dessin, suppose aux plans et aux profds une situation verticale qui à l'égard des premiers est contre leur nature. Les architectes sont trop éclairés pour admettre celte supposition. On doit croire qu'ils regardent les dessins comme étant copiés d’après un relief évluiré par un même soleil , où les plans, profils et élévations sont appliqués sur la même table verticale , ce qui d ailleurs s'accorde avec l'usage ordinaire qu'on fait du leurs dessins. Quelqu'un qui fait bâtir une maison orne assis volontiers son cabinet des dessins qui lui ont été fournis.

16. Il n'en est pas de même des dessins des ingénieurs; tout ce qui concerne 1rs places de guerre et qui pourrait donner aux ennemis des éclaircissements doit être caché au public. Destinés à paraître sous les yeux du roi et des ministres, il convient de les disposer de manière qu'ils puissent commodément les examiner; et l’arrangement le plus propre à remplir cet objet est de placer autour des plans , les profds et élévations parallèlement aux lignes sur lesquelles on les suppose relevés. Ces dessins ainsi disposés et arrangés sur une table, les plans se trouvent avoir leur situation horizontale et naturelle, et les parties de la feuille qui représentent les profils et élévations, sont relevés de la main par celui qui les présente pour faire sentir plus aisément leur situation verticale; c’est cette disposition et ces arrangements des profils et élévations autour des plant

qui facilitent l'examen de la relation des mêmes parties sur les plans et prolils, les font entendre avec moins de tcntion d'esprit; cl le premier prolil ou élévation étant examiné, on tournera le dessin pour en présenter un autre qui relevé de la main comme le premier se trouve également accompagné du plan, et ainsi de tous les autres. Cet usage fait, ces dessins sont repliés dans les porte-feuilles des bureaux pour y avoir recours au besoin.

17. Les ingénieurs ne doivent pas perdre de vue, dans l'arrangement de leurs dessins, le principal usage auquel ils sont destinés; d'ailleurs, les teintes de maçonneries coupées pour les ouvrages faits étant lavées en rouge, et celles des ouvrages proposés l'étant en jaune, tant aux profils et élévations qu'aux [dans , rien n'empêche d’ombrer les uns et les autres pour en faire sentir les reliefs cl en faciliter l’intelligence. Il est nécessaire, à cet effet, de marquer sur les plans , les lignes par lesquelles passent les profils et élévations; ces lignes sont appelées lignes de profilou d'élévation; on indiquera aussi par des horizontales, menées à travers les profils et élévations, les hauteurs auxquelles on fait passer les plans ; ces lignes se nommeront les lignes (tes plans.

18. On conçoit aisément que l'arrangement et l'usage des [dans, prolils et élévations dont nous venons de parler (art. 17) nécessitent la disposition (Hune même incidence et direction des rayons du soleil qui éclaire tout le système, afin que dans la«oompa raison des parties d'un prolil ou d'une élévation avec celles du plan auxquelles elles répondent, on y remarque par différentes direcÿons et hauteurs du soleil, cet arrangement placé dans l'ombre, des élévations et proGIs entiers qui ne reçoivent de lumière que par réflexion ( comme on le verra dans les exemples suivants que nous apporterons).

Une même direction et hauteur du soleil sera également nécessaire quand les prolils, plans et élévations se trouvent placés sur des leuilles différentes; cette manière d'ombrer les dessins, qui est l'imitation de la nature, cl qui les rend plus faciles à entendre, est également gracieuse, exige plus d'art et de combinaison que pour le faire par la méthode que suivent Jes architectes, qui ne supposent également qu'un même soleil, mais porté sur un seul et même plan vertical, et d’autant que leur système d'ombre se trouve renfermé dans celui que l’on propose et dont il fait partie, on n’aura point d'instruction particulière à en donner.

19. La nécessité d'éclairer un système par un même soleil étant reconnue , on sera maître de donner au rayon solaire telles directions et telles élévations que l'on jugera les plusconvenablespour faire du dessin un tableau gracieux. L’expérience a fait voir qu'en général les direction et élévation d'un rayon solaire à 45" remplissaient mieux ce but que tout autre; c'est en effet la supposition la plus ordinaire des peintres et dessinateurs; c'est-à-dire qu'ils imaginent que le plan

Le* lian«» de»

piollU

et élévation»

doivent Mro marquée* eur les plan» , et le»

lignes de» plans doivent Poire sur les prolil»

et elévattorw.

Nécessité do (aire éclairer par un même aolell tout un §j blême de deMin».

Direction et élévation du rayon aolaire pour un ftystéme de desain.

Nécesalié d'ombrer les plan» de* plates de gaents cl leur disposition.

Direction et élévation du soleil pour les plans de guerre.

vertical du soleil Tait avec le plan du tableau ou de la feuille du dessin un angle de 45 °, tandis que le rayon solaire venant du derrière de leur épaule gauche est élevé au-dessus de l’horizon de 45 ".

On fera bien d'admettre la même supposition , à moins qu'on n'ait des raison* particulières pour s’en écarter.

20. Ce qui a été dit précédemment sur la uécessité d’ombrer les plans en général , pour en faire couuattru les différents reliefs, doit s'appliquer aux plans des places de guerre, à l'égard desquels nous observerons qu'ils doivent toujours être supposés vus de l’intérieur du royaume, ce qui détermine leur position sur la feuille de papier. On ne doit pas omettre d'y marquer les ombres produites par les revêtements des remparts, églises, bâtiments militaires et civils, etc. , même par les maisons des bourgeois; et, comme on est dans l'usage de marquer les combles des églises, bâtiments militaires et civils , et de supposer toutes les maisons des bourgeois coupées â 4 ou 0 pieds de haut, il en résulte des cascades d’ombres qui, bien ménagées et entendues, contribuent à donner aux plat» l'apparence du relief qu'ont dans la nature les objets qu’ils représentent. Mais, pour fairo avec quelque précision , il est nécessaire d'avoir un plan de niveau qui fasse connaître les hauteurs des différents points qui portent ombre au-dessus des surfaces exposées à les recevoir.

21. Le plus souvent on se bornait à faire porter des ombres aux aebreset haies des jardins, et on n’avait aucun égard à la situation du soleil sur le plan de la place, on en faisait venir le jour du coin à gauche du haut du dessin. Ce soleil, placé au hasard, éclairaitjouv ont des c ùtés de montagnes, fonds de fosses, etc., qui ne voient jamais le soleil à midi; le paysage d’une place, éclairé avec sa lumière naturelle, eu est plus reconnaissable. Ainsi, coque l’on peut pratiquer de mieux est de faire venir la lumière du soleil de midi, en choisissant son élévation au-dessus du plan horizontal, sous un angle qui convienne à la place que l’on dessine. Si, par des raisons particulières, on trouvait plus d’avantages à faire veuir la lumière d'un autre point qüedu midi, on serait maître de le faire, pourvu que néanmoins l'on choisisse une direction et élévatiou du soleil qui soit dans la nature et convenable au lieu. Par exemple à Mézières^ située à 50 degrés environ de latitude, on a choisi (Pl. II) une direction du soleil faisant avec la ligne du midi uu angle de 40 degrés du sud à l'est, qui répond à peu près à celle de 9 heures du matin , heure à laquelle le soleil se trouve élevé de 45 degrés ver* le solstice d’été. Si les fossés se trouvaient élevés et étroits , on pourrait choisir uue plus grande élévation du soleil, de même une moindre s'ils étaient plus larges et moins profonds, et de manière à ce que d'ailleurs la grande étendue d'ombre ne se trouvât pas occuper l’espace entier des rues.

Sans nous étendre davantage sur celte matière, nous allons passer ù 1 appli- ’cation des principes établis à différents cas et qui sont les plus ordinaires.

Méthode de projeter sur les feuilles de dessins les ombres produites par les corps sur

toutes sortes de surfaces.

LEMIIE.

22. Projeter sur les profils et élévations quelconques un rayon du soleil dont n.j. on a la direction au plan et dont l'élévation est connue.

Soit (fig . 3) un plan liont les iig. 4, 5, 6 représentent les profils ou élévations, soit aussi sur le plan la projection de la direction d'un rayon solaire exprimé par SL dont l'angle TLX (fig. 0) représente l’élévation au-dessus de l’ horizon.

On prendra sur la ligne SL (fig. 3) une partie à volonté telle que TL que l’on projettera (art. 6) aux élévations ou profils sur les lignes Y Z prolongées s'il est nécessaire, et ayant sur ces profils et élévations tiré par le point T les verticales TX égales chacune à celle TX (fig. 0) toutes correspondantes au point T du plan. Par les points X on mènera (fig. 5 et 7) les lignes SL qui seront sur les profils ou élévations, la projection du rayon solaire représenté au plan par SL.

23. Projeter sur une feuille de dessin lès ombres portées sur une surface horizontale par des lignes quelconques droites ou courbes.

Soit (fig. 8) le plan d’un mur d’appui au-dessus d'un mur de terrasse, au devant duquel est une lanterne suspendue et une barrière avec tourniquet.

Que les fig. 9 et 10 en soient les profils et élévations , on mènera ( d’après *

l’art. 24 ci-aprcs) sur les plans, profils et élévations les lignes SL projection d’un rayon solaire.

Par les extrémités A d’une ligno telle que AA qui porte ombre (Jig. 8) on tirera les lignes Au parallèles à SL, l’ombre des points A sera nécessairement dans ces lignes. Pour les points A du profil (Jig. 9) correspondant à ceux du plan , on tirera pareillement une parallèle à SL jusqu'à ce qu’elle rencontre au point a la ligne YZ qui représente le plan horizontal , sur lequel les ombres seront portées.

(•) U» planches U , 111, IV, V, X ol XI manquent dans le manuscrit. Os six planches sont perdues. Nous donnons dans l'atlas, .o! fidélaïuut , lus planchas I, VI, VU, VIU, IX, XII al XIII qui sont les seules , que rÊcolo d'application de Metz possède. T. O.

Le point A y détermine en n et a l’ombre des extrémités A de la ligne AA et par conséquent si l'dn tire tu i elle sera l'ombre de la ligne AA.

On projettera de la même façon l'ombre de toute autre ligne droite sur un plan horizontal, etc’esl parcelle méthode qu'on a marqué celle de la barrière et de son tourniquet, et de la lanterne sup|>osée abaissée. S’il est question de trouver l'ombre d’une courbe, telle que le dessus du bahut couronnant le mur d'appui, on cherchera l'ombre de plusieurs points appartenant à celle courbe, et par ces points projetés on tracera l’ombre de la courbe. #

Comme ou ne doit marquer sur les dessins que les lignes nécessaires pour la connaissance des objets qu'ils représentent, on se contentera de marquer légèrement au crayon les lignes SL qu’ici l'on a tirées en rouge pour les rendre plus sensibles, on se dispensera même de mener (fig. 9), les parallèles à SL telles que A a. Il suffira de prendre , avec le compas, l'intervalle du point A à la ligne SL. Puis sans changer l’ouverture on cherchera par tâtonnement sur l'horizontale YZ un point a duquel pour centre on puisse décrire un arc langent à SL et ou projettera ce point a au plan par la méthode des tâtonnements ordinaires, pour éviter les lignes inutiles.

24. Remarque. S’il se trouve quelque élévation ou enfoncement tel que le fossé ponctué au plan [fig . 8) et à l’élévation [fig. 10), les verticales qui ne sont représentées au plan horizontal que par des points donneraient des ombres sans aucuns ressauts, il n'y en aurait qu'à celles des horizontales ou inclinées qu’on s’est contenté démarquer en lignes ponctuées, sans en donner l’explication qui ne pourrait être qu'une répétition de ce qui a été dit ci-devant.

25. Projeter sur une feuille de dessin les ombres portées sur une surface verticale par une ligne quelconque.

Soit (fig. 10) l'élévation d'un mur qui reçoit l'ombre d'une lanterne suspendue au devant d’une potence qui soutient cette lanterne. Nous allons déterminer sur ce mur l'ombre d’une verticale, d'une horizontale et d’une inclinée.

Ce problème peut se résoudre par le moyen du plan (fig. 8) ou du profil (fig. 9).

1" Solution, en se servant du plan. Par les points B et C [fig. 8), qui sont les arêtes du poteau vertical représenté (fig. 10) par les verticales BB,CC, on tirera jusqu'à la ligne QR, projection i!e la face du mur, les parallèles B b. Ce, à la ligne solaire SL du plau. Par les points B et C , extrémités supérieures , des verticales BB, CC (fig. 10), on mènera parallèlement des parallèles au rayon

solaire SL, sur lesquelles on projettera, parle moyen des distances horizontales, les points belc du plan, et par leurs correspondantes horizontales b et c(fig. 10), on tirera les verticales bb, cc du poteau sur ce mur vertical.

Si l’on veut avoir l'ombre du bras horizontal de la potence que les rectangles DE représentent (fig. 8 et 10); par les points DctE (fig. 8) des arêtes qui portent ombre et par leurs correspondants au plan, on tirera Dd, Ee, paiallèles à la projection SL du rayon solaire. Les points d et e, où ces parallèles rencontrent la ligne QU, étant ensuite projetés sur les lignes D</, Ed delà fig. 10, on y déterminera les points d, d et e, e, entre lesquels sera renfermée la projection ou l'otnbrc des arêtes représentées par les points DelE; après quoi il sera facile d’achever la projection totale, en tirant par tes points d et e des parallèles aux arêtes horizontales et verticales des bouts de ce bras.

Enfin , s’il est question de trouver l’ombre du lien incliné qui soutient le bras de la potence, on marquera au plan (fig. 8), en lignes ponctuées, la projection de la chambrée II H de ce lien sous la face horizontale du bras, et celte chambrée étant représentée (fig. 10) en FF, qui déliniront en même temps les extrémités des arêtes supérieures du lien , on tirera (fig. 8) les lignes HA parallèles à SL et {fig. 10), les lignes Vf parallèles à SL, qui s'entrecouperont en ff avec les verticales hf menées correspondantes du plan (fig. 8), à l’élévation (fig. 10); on marquera pareillement (fig. 10) en lignes ponctuées la chambrée GG de l’extrémité inférieure du lien sur la face verticale du poteau montant; puis des points G et G on mènera parallèlement à SL, les lignes G g, dont les intersections en g et g avec les verticales gg correspondantes du plan à l'élévation , donneront les extrémités des deux parallèles gj, qui termineront la largeur de l'ombre cherchée que le lien porte sur le mur (fig. 10).

2* Solution-, en le servant du profil. Pour éviter les répétitions, nous nous contenterons d'appliquer cette solution au lien incliné qui soutient le .bras de la potence.

On marquera, comme on l’a fait dans la solution précédente, la chambrée du lien sur la face verticale du poteau montant (fig. 10), afin d’avoir les points GG extrémités des arêtes qui portent ombre par ces points et par ceux FF extrémités supérieures des mêmes arêtes. On tirera des parallèles à SL; pur les points FF, GG (fig. 9), on tirera aussi, parallèlement à la projection du rayon solaire, des parallèles Vf, G g, lesquelles jusqu’à la rencontre du plan « vertical, sur lequel les ombres doivent se peindre ; on prendra ensuite les hauteurs des points / et g au-dessus de l'horizontale QR, qu’on portera par ordre . (fig. 10) sur les parallèles Vf, G g ; elles y détermineront les points f, f et g, g que l’un cherche.

On aurait fixé |*ar |es mômes méthodes l'ombre d'une eourbe quelconque cq cherchant celle de plusieurs de scs points.

Par les procédés détaillés ci-dessus, on a projeté (Jig. 10) les ombres de différents ubjets qui eu juirlept sur le plan vertical. Si l’on avait à projeter l’ombre, d’une seule ligne , portée sur plusieurs plans verticaux, on y réussirait par les mêmes pratiques, çn reconnaissant les différents points de cette ligne qui porte ombre sur chaque plan vertical, pu en imaginant quelques-uns de ces plans vertjeaux prolongés assez pour recevoir l'ombre de la ligne entière, laquelle étant trouvée,* on se contentera de marquer sur ehaque plan vertical la partie de celte ombre qu’il doit recevoir. *

Pi. iv, fÿ . », o; 2fi. i ” remarque. On remarquera que les lignes horizontales du bras de la po- ’ tenec perpendiculaires à l'élévation de la figure 10, et qui y sont représentées par des points donnant des ombres dirigées parallèlement à SL, sans aucuns ressauts, (sur la plinthe couronnant le mur de terrasse au-dessous du mur d’appui en briques , au lieu que les arêtes verticales des poteaux forment des ressauts sur lesclites plinthes; il en serait de même de toutes autres lignes non perpendiculaires à l’élévation , ce qui prouve qu’elles n'y seraient pas représentées par des points.

2". 2* remarque (Pl. 111, Jig. 10). On a sup|>osé que le mur sur lequel les ombres vont se peindre était parallèle à la ligne !UN du plan sur laquelle f élévation a été prise. Mais s; le mur n'était point parallèle, comme on le voit ’fig. 8, a PI. IV), après avoir marqué la direction SL du soleil au plan, et l'avoir relevé aux profils {Jig. 8 ,a et 9, b) et à l'élévation (Jig. 10, a), on y marquera les ombres en se servant du plan ou des profils, comme il a été dit (arl. 2Ô), et d'autant que les lira^ de ja potence ppritetulkulaiAve» au mur, ne le sont point à la ligne AB, sur laquelle ^élévation {fig. 10, a) a été prise, ils n'ont pu y être représentés que par des lignes, des extrémités desquelles il a été nécessaire de mener des parallèles à SL pour en déterminer les ombres. Pour abréger l’opération, on pourrait prolonger au plan le! arêtes horizontales des bras d s potences, et les ayant relevées à l’élévation , ils y auraient donné des points par lesquels et ceux des extrémités marqués comme il vient d'ètrc dit, on aurait tiré des lignes qui auraient déterminé les timbres. Remarquant qpe de quelque manière que se fasse l’opération il se fera des ressauts, dans la partie à droite de l’élévation, occasionnés par le renfoncement de la porte masquée; on les déterminera comme il a été dit (art. 24). y Pour éviter les petites opérations nécessaires pour trouver les ombres des horizontales perpendiculaires aux mqrs sur lesquels ellcstloivcnt se peindre, ou peut se procurer «les directrices auxquelles leurs ombres doivent être parallèles. Pour pq point quelconque de la direction SI. du soleil au plan, on tirera les lignes 8-, 7, ‘8-9 parallèles aux ligues de biais des deux murs, et d’un point quelconque S

— iode ta niante direction du soleil au plan , on abaissera sur ces parallèles des perpendiculaires S- 10, S-l I, et ayant porté ces deux perpendiculaires horizontales à leurs prolils correspondants (fi g- 9, a et 9, b) en S-l 1 cl S-15. On les représentera de même à l'élévation (fig. 10, a) de S en 12, et de S en 13, et on tirera des lignes L-12 et L-13, qui seront les directrices auxquelles les ombres de chacune des horizontales perpendiculaires aux deux élévations du mur de la ligure (10, a) seront parallèles.

fenfin , généralement, quels que soient les points pris Sur la direction solaire au plan, ainsi que les ligues menées, de l’un desdils points, parti Hèles aux faces du ntur biaisé à AB et les lignes menées, de l'autre point, pcrpéndiculaircs sur les parallèles respectives, ccs deux points quelconques, pris sur la direction solaire au plan, trouveront toujours leurs positions aux prolils et aux élévations, fuit dans le rawn solaire y faisant l’extrémité d'une ligne horizontale qui déterminera la représentation de l’autre point; et cette horizontale, dans chacun des profils ou élévations , représentera les deux perpendiculaires ci-dessus tellesqu’ici S-10 cl S-l I (fig. 8-n), ou toutes les deux ensemble, suivant leurs correspondantes à ces élévations ou profils.

28. 3" ntMAROLE. La partie & droite de l’élévation de la [fig. lO-o) représenté l’ombre d'une horizontale perpendiculaire à un plan vertical: telle est lafète O-P d’une couverte de porte sur le pied-droit de la |H>rte. On peut la déterminer rigoureusement et directement en prenant au profil (fig- 9 -b) la distance 1-2, et la portant verticalement à l’élévation de 3 en -i, en tirant la ligne P-l , qui déterminera sur le pied-droit de la porte l'ombre de la couverte O-P; mais comine cela pourrait devenir embarrassant dans les élévations dont les pieds-droits des portes et croisées n'auraicul pas la même largeur , on trouverait plus commode de sc procurer, pour une opération plus en grand, une directrice 5-G, à laquelle ligne, P-i serait une ligne menée parallèlement.

29. Déterminer f ombre tf une ligne droite on courbe sttr i me surface inrHnce quel- w. v, /t». n

cOntfne projetée sur une feuille de dessin supposée horizontale ou vcrticabe. **• 13 ’ '* IS -

Soit (fig. 1 I ) la projection horizontale d’un comble composé de deux pans et.de déux eroupes, dont les figures 12 et 13, 14 et 15 représentent les profils et élévations. U s’agit de tracer sur lotîtes ces surfaces les ombres portées par des souches de cheminées , par des lucarnes et houles d'amortissement.

Ayant (art. *22) projeté sur toutes les figurés un rayon solaire SL par les

extrémités des lignes dont on veut trouver l’ombre, on lui tirera des parallèles, jusqu'à la rencontre des surfaces qui reçoivent l'ombre, imaginées être prolongées s’il est nécessaire. Les points où ces surfaces seront rencontrées par ces parallèles étant ensuite portés sur les lignes correspondantes au plan et aux élévations, y détermineront les ombres que l’on cherche.

Nous ferons seulement remarquer que les ombres étant une fois marquées au plan, peuvent se projeter aux élévations parle moyen des distances horizontales; mais que si l'on ne veut pas se servir du plan pour cet usage, on peut les projeter directement par le moyen des hauteurs verticales prises au profil et aux élévations sur les parallèles correspondantes à la projection du rayon solaire.

On ne pourrait entrer dans le détail de l’application de ce problème à la projection des lignes droites, sans répéter ce qui a été dit (art. 24). Nous nous contenterons d’expliquer les procédés à tenir, pour déterminer l'ombre d'une sphère sur une surface inclinée vue en plan ou en élévation.

On remarquera facilement (art. 22) que l'ombre d’une sphère n’est autre chose que celle de son grand cercle perpendiculaire au rayon solaire; ainsi il suihra de projeter un cercle au plan, au profil et élévation, afin d'avoir sur ces trois figures les points les plus correspondants, desquels on puisse tirer des parallèles à la projection du rayon solaire.

Pour cet effet, on mènera (Jig. 44) à travers la sphère deux diamètres AB, DE, l’un parallèle, l’autre perpendiculaire à SL. Ce dernier sera le diamètre horizontal du grand cercle qui porte ombre; on tirera ensuite un troisième diamètre FG, qui fasse avec AB un angle GCB de 45 degrés, égal au complément de l’angle de l’élévation du soleil, et enfin un quatrième diamètre HJ perpendiculaire à FG. Cela fait, on partagera le quart du cercle I1EG en tant de parties que l’on voudra. Par les points de division tels que E, on abaissera sur EG la perpendiculaire Et; après quoi, parles points G, e etc., on tirera sur AB les perpendiculaires eK, etc. qui donneront les points N cl K, que l'on portera sur CA de C en M et de C en Q. Par les points K et Q, on mènera de part et d’autre de AB des ordonnées que l’on fera égales à eE. On aura les points O, R , P, V, par lesquels, et ceux E, N, D, M, on fera passer une ellipse qui sera au plan la projection quel’on cherche du grand cercle de la sphère.

Celle ellipse sera ensuite projetée au profil [fig. 43) et à l'élévation (Jig . 15) , ainsi que les points cotés des mêmes lettres l’indiquent.

Pour le faire, on projettera, comme à l'ordinaire, au profil et à l’élévation (fig. 13 et 45), les verticales élevées des points D, P, O, E, V, M et R du plnn(/îÿ. 14), dans lesquelles doivent se trouver lesdils points ; ceux D et E se trouveront aux extrémités du diamètre horizontal D/, des figures 43 et 15. A l’égard des autres

pjints P, N , O, V, M cl B, on en reconnaîtra la hauteur par la réflexion suivante. Le rayon solaire étant élevé de 45 degrés au-dessus de l'horizon, et le grand cercle de la sphère qui porte ombre lui étant perpendiculaire, fera aussi avec l'horizon un anglede 45 degrés; cl aussi les points P, N, O (fig. 13 et 15), qui sont 4 la circonférence supérieure du grand cercle, seront autant élevés au-dessus du plan horizontal passant par le diamètre DE; et les points V, M, qui sont à la circonférence inférieure du même grand cercle .seront autant abaissésau-dessous dudit plan horizontal, qu'ils sont les uns et les autres distants d'un plan vertical passant par le même diamètre DE. On pourra donc, sans le secours des profils et élévations des 11g. 13-a, et 15-a, prendre au plan (fig. Il) les distances perpendiculaires des points P, N et O, ou V, M et H à la ligue Dit (eu la considérant comme la projection du plan vertical), et les porter de suite par ordre aux profds (fig. 13 et 15) sur les verticales correspondantes, tant au-dessus qu'en dessous de la ligne DE, qui représente le plan horizontal.

Ces préparations faites pour les points E, O, N, P, D, II, M, V, on tirera ( fig . 1 1 , 13 et 15) les parallèles à SL, le rampant du comble (fig, 13); étant ensuite projetées comme à l'ordinaire (fig. 11 et 15), les parallèles ci-dessus y détermineront les points e,o, n, p, d, m,v , par lesquels on fera passer des ellipses qui renfermeront l'ombre cherchée de la $phère.

30. 1” remarque. On remarquera, comme on la fuit précédemment, que les ombres des verticales représentées par un seul point sur la feuille horizontale (ou plan) y portent des ombres en ligues droites parallèles 4 la direction du soleil, sans aucun angle ni ressaut, encore qu'elles soient projetées sur différents plans horizontaux ou inclinés; que semblablement, les horizontales marquées par un seul point aux élévations où elles seront par conséquent perpendiculaires, donneront des ombres parallèles à la direction du soleil sur les mêmes élévations.

31. 2* remarque. Les lignes horizontales qui portent ombre sur les pans des couvertures au plan sont ordinairement ou parallèles ou perpendiculaires aux lignes d’about ou do couronnement , c’est-à-dire à la section commune du pian horizontal avec un plan incliné, celles qui leur sont parallèles donnent des ombres parallèles aux lignes qui les produisent.

A l'égard des ombres portées au plan par des lignes horizontales perpendiculaires aux ligues d'about ou de couronnement , on les trouvera par les méthodes ordinaires, ci-devant indiquées, mais s'il y a une trop grande quantité de ces lignes, il sera mieux de se procurer une directrice à laquelle elles seront parallèles et qu'on trouvera sur chaque pan de la manière qui suit. Bar le point X, soit imaginée une horizontale XZ perpendiculairement au couronnement XC, laquelle étant projetée à lelévatiou (fig. 14) y sera représentée par le point x, et

Pl. vi , fa. Il, U, U et 1 5-o.

Pl. VU, fa. 16 Il et 18 .

son ombre par la ligne xy parallèle à SL; le point ;/ étant renvoyé au plan y donnera le point Y, duquel ayant tiré la ligne XY, elle sera sur les deux grands pans du comble, l’ombre; l'horizontale XZ est par conséquent la directrice de toutes les horizontales de moindre étendue qui se trouveront sur ce pan de couverture et également perpendiculaires à la ligne d’about ou de couronnement.

On en fera de même pour les autres pans sur lesquels ces lignes, et les opérations qu’on a faites pour les trouver, sont également ponctuées.

32. 3" remarque. On pourra aussi sc procurer de la manière suivante des directrices pour trouver plus commodément les ombres des verticales sur les élévations ( fig . 11 et 12) qui se présentent au soleil. Soit (fuj. 1 1 ), élevée verticalement sur l’about du comble la ligne TS dont il s'agit de déterminer l’ombre , la projection de celte ligne TS, au plan ( fig . 11 ), sera le point J par lequel ayant mené la ligne J -2 parallèle à SL, elle déterminera sur le plan du pan de la couverture l’ombre de ladite verticale; de manière qu’ayant rap|»orté le point 2 au point 3 de l’élévation (fig. I l ), on continuera la ligne T-3 qui sera l’ombre de la verticale TS à ladite élévation. On en fera de même à l’élévation de la croupe (fig. 12).

Quant aux élévations (fig. 13 et 15) qui suivent le soleil, on imaginera (fig. 15), une verticale TS, placée sur le couronnement, qui sera représentée au ptanQfy. 11) par le point 4 , dont l'ombre sera dirigée au plan suivant la ligne 4-5, [larallelc à la direction du soleil SL, de maniéré qu’ayant rapporté le point 5 au point L de l’élévation (fig. 15), on tirera la même ligne TL qui sera l’ombre de la verticale TS. -On en fera de même à l’élévation de la croupe (fig. 13).

33. 4“ remarque. Si les élévations des combles étaient vues de biais, c’ést-àdire si elles u'éwieut point qvmeï sut des lignes du plah parallèles â celles de leurs abouts ou couronnement, telles que les ligures 13, 14 et 15â, autour duplan (fig. 9,1 U), on aurait à chaque élévatiort la représentation d’un pan et d’une ctoupé sur chacun desquels on relèverait le soleil (art. 22), et l’on chercherait l’ombre d’une verticale comme il a été dit jiar l'article 32, ci cOmme les* opérations ponctuées, marquées des mêmes lettres et chiffres, l’indiquent. Si l’on voulait les déterminer il serait indispensable dé foire des profils droits de chaque pan et de chaque croupe.

34. Corollaire. On déduira du problème précédent la méthode de projeter les ombres à l’élévation, les ombres portées sur une surface inclinée vue par-dessous, tel que serait le rompant intérieur du comble, s’il se trouvait avoir assez d’élévation pour être éclairé du soleil; comme par exemple celui dont les figures 10, 17 et 18 représentent le plan , le profil et l'élévation.

On s’est contenté de marquer l’ombre d'une verticale AB et d’une horizontale BC perpendiculaire à la ligne sur laquelle l’élévation a été prise, laquelle,

par conséquent, sera représentée par un point; il serait inutile d'en donner le détail. ,

35. Projeter l'ombre d'une ligne quelconque sur la surface d un cône vu en plan et pi. VIH , fa. i», en élévation. 11 et **•

Soit (fig. 19 ) le plan d'un cône dont les figures 20, 21 et 22 sont les profils et élévations.

Soient aussi menées sur ces figures (horizontales et verticales) les lignes dont il est question de déterminer |es ombres , qu’elles portent sur la surface du cône, pour les projeter ensuite sur le plan et élévations.

On remarquera que l'ombre d’une ligne droite projetée sur une surface courbe y sera toujours représentée par une courbe ,• à moins que tous les points de la ligne qui la produit ne se trouvent dans la projection d’un même rayon solaire.

Ainsi, pour trouver l’ombre, par exemple, de l'horizontale AB, on y remarquera plusieurs points, tels queD, par lesquels on tirera ainsi que pour le point A, et sur toutes les figures, des parallèles Aa, D d à la projection du rayon solaire; l’ombre des points A, D sera nécessairement dans ces lignes et précisément aux points où elles rencontrent la surface du cône. Il est donc question de déterminer cette rencontre.

Pour cet cflet, on regardera les lignes A a, Dd (fig. 19), comme la rencontre des plans verticaux du soleil fixés (art. 12), avec la surface du cône; et ces lignes considéré)'' sous ce point de vue sont projetées au profil (fig. 20). Elles y produiront des hyperboles qui rencontreront aux points a et d les lignes Aa et Dd.

On rapportera ensuite sur ces ligues correspondantes aux plans cl aux élévations les points a et d par les méthodes expliquées ci-devant ; ces points seront (fig. 19, 21 et 22) l’ombre des points A et D.

On trouvera, par le même, procédé, l’ombre de tout autre point de la même horizontale AB; et par tous ces points déterminés, on r ;ra passer une ligne qui sera l’ombre de AB.

On se servira aussi des mômes moyens pour projeter tant au plan (fig. 19) qu’aux élévations (fig. 21 et 22) , l’ombre d’une verticale AC et de toutes lignes • *

quelconques.

Nous ne dirons rien de la manière de tracer les hyperboles (fig. 20), non plus que de celle de trouver les courbes paraboliques ou elliptiques qui pourraient être formées sur la surface d’un cône par la rencontre de différents plans; on suppose qu’on en soit instruit dans le Traité de la Stéréotomie.

Définitions des clairs et bruns.

Différence dans les clairs et les bruns.

CUlr-obseur.

Reflet.

O qw c’est que le fuyant.

Principe général tiré de la nature en différents effets des clairs et des bruns relativement aux differents éloignements d'où ils sont vus.

Remarque. A l’égard des ombres sur les dûmes sphériques, elles se détermineront avec autant de facilité; les prolils droits donneront des courbes circulaires qui, dans les projections, donneront des ellipses.

Si l’on a bien compris ce qui vient d’étre enseigné, on ne se trouvera point embarrassé pour la projection d'aucune ombre.

De la déjrnilation des ombres et des feinte*.

36. On distingue dans la nature des clairs et des bruns : par le terme clair on entend les parties d’un corps qui étant exposées à la lumière du soleil, ou d’autres objets lumineux, en reçoivent l’impression.

Par le terme brun , on entend les parties d’un corps qui étant opposées à la lumière sont dans l'ombre; et le terme brun convient d'autant mieux à ce que l'on appelle l'ombre que jamais la lumière n’est totalement interceptée.

37. Les surfaces d’un corps les plus directement exposées à la lumière paraissent les plus éclairées cl les plus brillantes; celles qui lui sont moins exposées paraissent plus ou moins foncées et brunes relativement à l'opposition plus ou moins grande avec les parties éclairées environnantes.

38. Indépendamment de la lumière directe, il en est une autre de réflexion

qui suit les mêmes lois, à l'exception que les clairs en sont moins brillants et tes ombres moins brunes relativement. Ce sont ces clairs occasionnés j>ar la réflexion de la lumière, que les peintres appellent clairs-obscurs, et dans lesquels les ombres se perdent et sc noient, de manière qu’on ne peut en distinguer la figure et le contour.

30. La réflexion de la lumière agissant sur tous les objets environnants, les corps environnants occasionnent nécessairement sur les parties des corps qui sont ombrées, des clairs cl des obscurs, c’est ce que les peintres appellent le reflet.

40. On dit que les corps fuient l'œil du spectateur, lorsqu'ils en sont plus éloignés que d'autres corps cousidérés du même point de vue.

Ce qu'on dit ici de différents corps, doit s'entendre aussi des différentes parties du même corps.

41. De plusieurs corps, placés à différents éloignements, les parties éclairées de celui qui est le plus prés de l'œil du spectateur paraissent plus brillautes, et respectivement les parties ombrées paraissent plus brunes et plus foncées. Car c’est un principe généralement reçu par tous les peintres et dessinateurs, et par eux copiés dans la nature, que les clairs fuient en brun et les bruns en clair ; on tic doit jamais oublier ce principe, c'est-à-dire que le brun et le clair, ensuite la ligure et le contour des parties éclairées et ombrées des corps, et enfin les

corps eux-mêmes , se confondent dans un éloignement hors de la portée de la vue du spectateur, à quoi sc joint la partie de l'atmosphère interposée à son œil et aux objets pour achever cette confusion.

42. Il suit de ce qui a été dit ci-devant que les.clairs en s'éloignant s’assourdissent, sc dégradent et deviennent moins brillants; les ombres s'adai hlisscnt au point que les clairs et les bruns se confondent dans un certain éloignement et paraissent de la même teinte, et que les objets eux-mémes disparaissent cl semblent s'anéantir à la vue; il règne à cet égard une harmonie et une proportion qu'on doit imiter.

43. Ce qui vient d’ôtre dit (art. précédent) ne peut s’appliquer qu'aux surfaces extérieures des corps qui reçoivent librement la lumière ou à sa réflexion. Il n’en est pas de même des surfaces intérieures et des corps qui paraissent dans l'enfoncement, elles sont plus ou moins brunes suivant qu'elles sont plus ou moins privées de la lumière rélléchic.

44. On a dit (art. 13), que les corps portaient ombre sur les surfaces qui les environnent, maison doit remarquer que celte ombre projetée se peint plus ou moins brune suivant que la surface qui la reçoit est plus ou moins prés de l'objet qui la porte.

45. On peut, pour se fixer l’imagination et sc donner des modèles des teintes en clairs et en bruns qui conviennent à chaque partie suivant les differentes circonstances ci-devant énoncées, imaginer un ruban replié dont l'un des bouts soit coloré de quelque teinte ou couleur que ce soit, laquelle se dégrade uniformément et se trouve à l'autre extrémité du ruban , aussi claire ou brillante que possible. Le brun est le plus foncé de la même teinté. Ce modèle, au moyen des divisions I, 2, 3, 4, 5, (>, 7, etc., qu'on y fera, mettra sous les yeux les justes rapports des clairs cl tles bruns, qui se font en raison des quartes des distances, parce que la lumière étant divergente diminue dans celte proportion; si ce ruban est imaginé fuit sur sa longueur, il pourra servir d'échelle proporlionnrllc aux distances, cl faire connaître, au moyen des divisions I, 2, 3, etc., les clairs et les bruns qui conviendront à chaque partie; c'est-à-dire , par exemple, que (yîÿ. 24) l'ombre qui conviendra au clnir le plus brillant coté 4 se trouvera vis-à-vis la même division, de même l'ombre cotée 2 sc trouvera vis à-vis sa division, etc.

4ü. Il ne nous reste plus qu'à donner quelques exemples de dégradations d'ombres et de teintes , ou les trouvera sur les planches X et XI qui représentent les plans d'un bâtiment autour duquel on a relevé dix-buil prolils ou élévations, le tout éclairé par un même soleil élevé de 45*, cl dont la direction fait avec la principale façade du bâtiment un angle aussi de 45*.

On a marqué en lignes ponctuées rouges, sur le plan (Jùj. 4) cl les élévations

Dégradations des clairs et des bruns.

Méthode pour . fixer les dégradations des clairs et di s bruns.

PI. IX, fig. 23, 24, 2S et 2G.

PI. X et XJ,

(Jig. 1 , M. X), ainsi que sur le plan de la PI. XI et les élévations des figures H et 12, les directrices des ombres portées par les couvertes des croisées et sur les pieds-droits, par des opérations semblables à celles qui ont été faites (PI. VI et enseignées art. 28).

Pareillement on a aussi marqué en lignes ponctuées en rouge sur le plan du comble (Jig. 6, PI. X) les directrices des ombres portées par des horizontales perpendiculaires aux lignes do couronnement ou d'almut et sur les élévations des mêmes combles { fig . 9 et 9-a) de la même planche et (Jig 1 1 et 14-o, de la PI. XI) par des opérations semblables à celles des PI. V et VI expliquées art. 31, 32 et 33. II sera facile, par ces mêmes moyens, de tracer de pareilles directrices sur les autres élévations éclairées , du soleil, qui en ont besoin.

Enfin, on a ajouté les deux autres PI. XII et XIII, contenant les dessins du même bâtiment éclairé par un soleil perpendiculaire ou parallèle à ses façades aussi élevé é 45°; on ne les a mis sous les yeux que pour faire sentir le peu d’agrément que cette direction du soleil donne au dessin, et que l’on doit par conséquent, lorsque rien ne s’y oppose, préférer la direction oblique ainsi que nous en avons prévenu art. 19.

. DES OHBBES (*). ’

On sait que tous les points d’un objet lumineux doivent être regardés chacun comme le centre d une sphère immense composée d’une infinité de rayons qui $ écartent du centre avec une vitesse qui échappe à nos sens ; que, dans un milieu homogène et uniformément dense, ces rayons se propagent toujours en ligne droite, de manière qu’un rayon de lumière émané d'un point quelconque ne peut arriver à un autre point déterminé , tant qu’il se trouve un obstacle sur la

O mémoire est de Gaspard Monge qui l’a écrit en (783 à l’École do genie do Méiières pour l'inllruction des jeunes officiers.

Ce mémoire fait partie de lu collection des manuscrits do l’Écolo d'applicaliua de Metz. Il est colé n’ I, carlon n t ; il provient du fond de la bibliothèque de l'ancienne école de Mczières , et d porte lu timbre de celle écolo.

Ce mémoire n'a pas encore été publié texhullcment. t. O.

droite menée par ces deux points; par conséquent lorsqu'un corps Q, impénétrableàla lumière (Jig.i)sc trouve dansun milieu éclaire parun point lumineux S, il doit interrompre la roule des rayons de lumière, soit en les interceptant, soit en les réllécliissant , et parla priver totalement de lumière l'espace OMBR placé de l'autre côté de ce corps par rapport au point S, et terminé par les prolongements des tangentes SOM et SBU. C’est cette partie infinie de l'espace absolu, qu’un corps opaque prive de lumière par son interposition dans un miliet* éclairé, que fou nomme ombre de ce corps.

Si l'on place au delà du corps par rapport au point S un plan PL , de manière qu’il se présente en face vers le point lumineux , ses parties Pa, 4L seront éclairées comme elles le seraient si le corps Q était anéanti ; mais la partie éaabsolument privée de lumière sera parfaitement obscure, et le passage do celle obscurité à la clarté des parties voisines éclairées , se fera subitement et sans ménagements. Par exemple, Q est une sphère , et supposons que le plan PL soit placé perpendiculairement à une droite menée du point S par le centre Q ; l’espace ab sera circulaire, comme on le voit (fij. 2), et toutes scs parties seront également obscures. C’est cet espace que l’on appelle projection du l’ombre, et que le vulgaire confond communément avec f ombre proprement dite.

La projection de l'ombre d’un corps sur une surface quelconque est donc la figu re que terminent sur celte surface les prolongements des rayons de lumière tangents à la surface du corps.

Quelque autre part qu'on eût placé le plan PL, cependant toujours au delà du corps Q, par rapport ail point S : , Vespace obscur ab eût été plus ou moins grand , niais son obscurité absolue eût toujours été la même, puisqu’elle eût toujours été une privation totale de lumière. L’intensité réelle de l’ombre est donc une quantité constante qui peut être prise pour’lcrme de comparaison. 11 n'en est pas de même de sa quantité relative ou de son intensité apparente, car elle n’est que le contraste qu’elle fait avec les parties éclairées qui l’avoisinent. Or ce contraste étant d’autant plus sensible et plus frappant que la lumière l’est davantage, doit varier comme elle, c’est-à-dire augmenter et s’all'aiblir en même raison. Donc, toutes choses égales d'ailleurs, l’intensité apparente de l’ombre d’un corps reçu sur une surface quelconque doit croître et décroître en raison inverse du quarré de la distance de cette surfaco au point lumineux, car il est démontré en physique que la lumière suit cette loi. Mais comme dans la nature nous ne voyons les objets qu'à travers un milieu dont la densité s'oppose en partie au passage de la lumière et diminue par conséquent son intensité; celle ombre doit encore nous paraître d’autant plus forte qu'elle est moins éloignée de notre œil , c’est-à dire que nous sommes plus proches de la surface qui la reçoit. On doit avoir égard à ces deux

principes lorsqu'on peint desobjets éclairés pnr un flambeau peu éloigné du champ du tableau. Mais lorsque l'on suppose que lu lumière vient du soleil, comme la distance de cet astre est sensiblement la même pour toute la surface de la terre, la première considération n'a pas lieu. Tout ce que nous venons de dire ne suppose aucune dimension au corps lumineux; soit 0 [ftg. 3) un globe opaque et sphérique éclairé par un autre globe sphérique S dont le diamètre ait un rapport sensiblement fini avre In distance des deux centres. Soient menées les quatre lignes EK, EM, FM et FD tangentes aux surfaces des deux globes, cl concevons que le système de ce* quatre droites fasse une demi-révolution autour de S y comme axe. Il engendrera quatre surfaces coniques opposées deux à deux par le sommet et qui seront précisément les mêmes que celles qu’on aurait eues en menant ces quatre tangentes danslous les sens possibles. Cela posé, il est clair : 1* que l'espace OMB ( fini si S est plus grand que Q, infini s’il est plus petit) doit être absolument obscur, puisqu il ne reçoit aucun rayon de lumière; 2* l'obscurité des espaces RC MY, VMBD doit diminuer en s’éloignant de l'axe SV. Les points de cb sont en effet trèsob't'urs, puisqu'ils ne sont découverts chacun que par un seul point E ou F de la surface lumineuse. Les points e , t le sont moins parce qu’ils découvrent chacun une grande partie du g'obcS. Enfin les points a et d sont trés-éclairés, et autant qu'ils Ib peuvent être, puisqu'ils rcçoivcntdes rayons de toute la surface du corps lumineux. Donc, si on présente en PL un plan perpendiculaire à l’axe SQ , la projection de l'ombre sur ce plan sera composée de deux parties (fig. 4) : 1* d*un noyau circulaire ad de même obscurité que l’ombre de la figure 2 ; 2* d’une couronne "Nombre aebd , dont l'intensité dimiuuo en s’éloignant du centre jusqu’à devenir lêrtL'fluX'pnTnls a éTcff

Les dime nS&ttas, ou la grandeur de celte ombre imparfaite qu'on nomme pénombre (du latin peut- umbra), doit varier suivant que les dimensions de* corps Set Q, leur distance et celle du plan PL, deviennent plus ou moins grandes. L'angle cbd (fig. 3), par exemple, restant le même, la droite cd sera d'autant plus grande que la distance Bc du point B au plan PL sera plus considérable. 2* Cette distance restant la même, la droite cd pourra être considérée comme composée des deux parties ce et ed, dont la première sera proportionnelle à la tangente de l'angle cBe, la deuxième à celle de l’angle cIW. Donc quel-. que soient et l'anglo li et la distance Bc, la grandeur cd de la pénombre sera proportionnelle à : Bc (tangcBc-f tang dtrf). Mais si le diamètre du corps lumineux est considérablement plus grand que celui du corps opaque , l’angle en B est égal à l’angle sous lequel le diamètre du corps S est vu d’un point quelconque du corps y, cl les segments ce et cd sont sensiblement égaux; d'où il suit que l’angle cBe égale sensiblement l’angle cBd et qu'il peut , dès lors, être

comme égal à (;cBd). Soit donc p l’angle sons lequel est tu le diamètre du soleil ; q la distance Be de l'objet qui porte ombre à la surface sur laquelle elle est reçue; la grandeur de la pénombre sera : 2 q tang [p. Il suit de là sans entrer dans une si grande précision, que les ombres portées sur la surface de notre globe par des corps éclairés par le soleil, ne doivent pas être terminées vivement, comme dans la lig. 2; mais qu’elles doivent se mêler par masses insensibles avec la clarté qui les avoisine. Ajoutez à cela que les rayons de lumière, lorsqu'ils rasent quelque corps dans leur route, se plient et se rapprochent de l'axe, et diminuent par là la grandeur do l’ombre pure. Par conséquent dans les dessins, les teintes des ombres ne doivent pas être uniformes, mais s’adoucir insensiblement, à moins qu'elles no soient 1res- proche de l’œil qui doit les voir et de l'objet qui les cause. Dans les opérations suivantes nous ne déterminerons géométriquement que les projections des contours des ombres pures, ce sont les seules qu’il soit nécessaire d'avoir exactement dans les dessins; c'est l’affaire du lavis de dégrader les teintes, et de les placer de manière à faire illusion. Nous allons d'abord supposer les rayons du soleil parallèles, c'est-à-dire émanés d’un foyer infiniment éloigne, ou qui relativement à nos sens puissent être regardés comme tels. Nous verrons ensuite quel changement on apporterait à nos méthodes, si l’objet lumineux se trouvait à une distance sensiblement finie.