LIVRE H

Avant que Monge ne publiât son Traite de géométrie descriptive, il existait divers traités de perspective dont plusieurs sont très-anciens. La méthode employée était celle dite : des points de concours.

Les anciens géomètres, au moyen de celte méthode, exécutaient la perspective des lignes droites ou courbes, et des points intersection de ces lignes; mais ils ne savaient pas déterminer la perspective d une surface, car ils ne connaissaient pas la propriété remarquable dont jouit le plan tangent en nn point d'une surlace, savoir : de contenir les tangentes aux diverses courbes qui, tracées sur la surface, secrôisenl au point considéré comme point de contact.

He plus, lorsque plus tard cette propriété du plan tangent fut démontrée pour la première fois, et cela par V analyse , les méthodes, graphiques que connaissaient, alors, les géomètres, n'étaient pas assez perfectionnées pour leur permettre de construire le contour apparent d’une surface, et par suite la perspective de celle surface. On peut donc dire, avec raison , que la perspective doit son développement le plus essentiel à la géométrie descriptive ; et l’on doit ajouter, que l'on croit être dans le vrai, en disant que la géométrie descriptive elle-même n a été féconde, qu en vertu de la propriété dont jouit le plan tangent en un point d'une surlace , et parce qu'elle a su déterminer, construire et écrire graphiquement ce plan tangent (*). a

Ce second livre ne se compose que de deux mémoires, l'un de Monge, qui était inédilel que je donne textuellement, car il est des ouvrages que l'on doit respecter,

(') Moptoe, lorsqu'il o écrit son ouvrage sur In géométrie descriptive , ouvrage qu’il n’a point intitulé : / roité , mais roulement Programme de géométrie descriptive , composé de 468 |vdgos qu'on ne peut se l is or de lire, car » chaque page un trouve des germes à féconder, Mongk n*a pas songé a démontrer que : l* plan qui pou ait par été deux langentesen un point m où ee croisaient deux courbes C et C tracées sur une surface , contenait les tangentes à toutes les courbes qui, tracées sur la même surface , passaient par ee point m. Monge u admis , en un mut « iALprupriéié dont jouit le plan langent en un poinl d’une surface , propriété qui n ‘était encore démontrée que par l 'analyse , et tl s'en est servi pour ses re-

<1 d’ailleurs on doit être heureux de pouvoir connaître d'une manière précise non-seulement les idées, mais encore la manière de les présenter, du fondateur d'une science.

La méthode exposée par Monge était inconnue des anciens géomètres, et on comprendra sans peine que cela doit être, puisque cette méthode permet de construire graphiquement le contour apparent d’une surface.

On n’a pas, je crois , bien compris tout ce qu’il y avait d'ingénieux dans celte

méthode, et surtout on n’a pas compris combien cette méthode était générale, et surtout qu'elle était d'une exécution aussi facile que celle des points de concours, pour mettre en perspective des lignes et des points ; et je suis porté, à exprimer l'opinion que je viens d'émettre, en regardant l'épure de la perspective du pié- . louche qui fait partie de la collection des épures gravées de l’École polytechnique, *‘tle épure est disposée de telle manière que la méthode donnée par Monge n’y apparaît pas d’une manière nette, j’oserai dire qu’on ne peut guère l’y retrouver.'

Ge que je dis ici sera évident, je crois, lorsque l’on aura lu ce que j’ai écrit à ce sujet dans le second mémoire qui termine ce second livre.

Hachette a publié quelques pages dans la Correspondance de l'École (*) polytechnique, sur la méthode des points de concours, pour montrer, il le dit luimême, comment la perspective est une application de la géométrie descriptive.

Ce que ce savant, ami de Monge , n écrit sur ce sujet est loin d’être complet ; j’ai donc cru qu'il ne serait pas sans utilité de reprendre le même sujet et de le traiter à ma manière; c’est ce que j’ai fait dans le second mémoire, qui a pour litre: De la perspective considérée comme une îles applications de la géométrie descriptive.

cherches graphiques ultérieures. Mais une science ne peut en effet être considérée comme science, qu 'autant que scs bases sont établies d’une manière rigoureuse , et en vertu do princqics , eu axiomes , qui découlent de l'essence de cette scionco elle-même , et sans avoir besoin de s’oppuyer sur des bases qui lui sent étrangères. La science des projections, ou , en d’autres termes , la géométrie descriptive ne doit rien emprunter à l'analyse, ni à la géométrie des anciens quand il s'agit de ses bases fondamentales: elle doit dès lors tout demander uu principe des projections. Frappé de cette idée, que je crois exacte et vraie, j'ai cherché à démontrer la propriété dont jouit le plan tangent , et cela directement , en ne m’appuyant que sur la génération des surfaces, telle qu'elle doit être entenduq en géométrie descriptive. C’est alors que j'ai donné la démonstration publiée dana les Développements de géométrie descriptive , cliap. Vil , page 396. le crois ne point me tromper, en disant que celte démonstration est rigoureuse ot tout à fait dans l'esprit de la géométrie descriptive.

M y allée, auteur d'un Traité de géométrie descriptive estimé , a reculé devant la difficulté ; il a admis peur les sut faces le polyèdre infinitésimal , Gomme on admet le polygone infinitésimal pour les courbes. Pourquoi deux axiomes, quand un seul , celui du polygone infinitésimal, peut suffire?

(*) Voyox la Correspondance de f École polytechnique , rédigés par Haciuttx, terne I, p. 31 ï ( année 1807).

(«ÉMoini méwr.J'O DE LA PERSPECTIVE EN GÉNÉRAL.

I* La perspective est l’art de représenter, sur une surface donnée, des objets donnés tels qu’ils paraissent étant vus suivant des conditions données, c’est-àdire que comme la lumière peut venir des objets à votre œil de trois manières différentes, ou directement, ou après avoir été réfléchie par des miroirs, eu enfin réfractée’ par les surfaces des différents milieux au travers desquels elle peut avoir été obligée de passer ; la perspective doit renfermer trois parties , dont chacune donne la méthode de représenter les objets suivant l’une de ces conditions. La première peut s’appeler perspective directe; la seconde, perspective par réflexion; et la troisième, perspective par réfraction. Nous tâcherons de satisfaire à la généralité de cette définition. Commençons par le premier cas (**).

Perspective directe.

2* On sait que, dans un milieu libre ou uniformément dense, la lumière se propage toujours en ligne droite; que nous ne nous apercevons de la présence et de

(•) Ce mémoire e-l de G. Monge, il provient de la bibliothèque de l'École de Mézières. Dans la collection des manuscrite do l'École d’application do Metz , il est coté : carton n" t, pièce n“ tO.

Ce mémoire, que nous publions ici textuellement pour la première fois, fut écrit à Mézières en 1785.

(*•) Extrait do la Perspective iè RoKault ( Œuvres posthumes, (68Î ) :

La perspective est un art qui nous apprend A représenter les objets visibles comme ils nous paraissent ; c’esl-iÉdire un art qui nous apprend à tracer certains linéaments qui paraissent A nos yeux comme les objets mémos nous paraissent.

Ces objets peuvent être vêtis en trois différentes manières , savoir : ou par une velio directe, ou par réflexion , ou par réfraction ; par une veiie directe , comme sont veus communément tous les objets qtte l’en regarde -, par réflexion, comme le sont ceux que l’on voit par lo moyen d’un miroir ; et par réfraction, comme le sont ceux que l’on voit ou travers de quelque corps transparent, comme au travers do l’eau ou du verre.

Et de IA naissent trois parties de la perspective prise en général, sçavoir : la perspective, la cateplrique, et la dioptrique. .

La premièro , qui retient le nom de perspective , nous apprend A représenter lea objete qui sont veud'une veiie directe , et rend raison do leurs apparences.

La catopirique nous enseigne de quelle manière les objets peuvent être veus par réflexion , et noos en

explique les causes.

Et la dioplrique nous montre comment le sont ceux qui sont veus par réfraction. C'est de la première • dont j’entreprends icy de traiter. T. O.

SI

— Ki2 —

la figure des objets que par des faisceaux de lumière envoyés ou réfléchis par chacun des points de leur surface visible , et qui , en entrant dans l’œil , subissent des lois qui les mettent en état d’agir distinctement sur l'organe de la vision, cl de donner à l’Ame l’idée de la couleur, de la grandeur, de la distance, etc., des objets d’où ils sont partis; que chacun de ces faisceaux est un cône de lumière dont le sommet est au point d’émission et dont la base est appuyée sur la prunelle de l’œil ; qu’enfin, lorsque les objets ne sont pas bien proches, les rayons qui composent un faisceau peuvent être regardés comme sensiblement parallèles entre eux, et même (eu égard à la petitesse de la prunelle de l’œil ) comme confondus avec leur axe et ne faisant plus qu’une ligne droite avec lui : dans ce sens, il part de chaque point visible d'un objet un rayon de lumière qui arrive en ligne droite à l’œil, et l’assemblage de tous ces rayons forme une pyramide de lumière, dont le sommet est au centre de la prunelle et dont la base est appuyée sur les objets exposés à la vue.

îl'Cela posé : soit (fig. 1) ABCD le plan ou la projection horizontale d’un parallélipipède quelconque qui puisse ètro vu sans obstacle par un œil placé dans un point donné projeté, par exemple, au point E. Soient AE, BE, CE, etc., les projections des rayons qui, partis chacun des angles du parallélipipéde , aboutissent au centre de la prunelle et forment la pyramide de lumière dont nous venons de parler; j’imagine ensuite que cette pyramide soit obligée, pour arriver à l’œil , de traverser une surface quelconque diaphane que, pour plus de simplicité, je supposerai d’abord plane, verticale et représentée au plan par FG ; et concevons que chaque rayon qui la compose, en se tamisant au travers de cette surface, teigne le point par lequel il passe de la couleur du point de l'objet d’où il est parti.

Il est clair que l'assemblage de tous ces petits points colorés formera un tableau que l'œil placé au point E ne distinguera pas de l'objet même , cl qui sera par conséquent sa perspective vue du point E.

A’ La perspective d’un objet donné peut donc être considérée comme la coupe ou la secliou d'une pyramide donnée par une surface quelconque aussi donnée de nature et de position : et celte surface est celle du tableau sur lequel se doit dessiner la perspective.

5’ Il suit encore de là que la perspective du corps AIK.U sera renfermée dans les limites fg, et que les différents points /, n , b, g seront la projection des points du tableau , sous lesquels sont mis du point Iv les points correspondants de l'objet.

O’ Soit menée sur KG In perpendiculaire EU qui , mesurant la distance de l’œil au tableau, s'appellera rayon principal; et concevons que le point !!• soit la projection d’une verticale tracée sur le tableau , qui , étant par conséquent connue de»

position , soil un terme de comparaison auquel nous rapportions les difTdtanfS points/, n, 6, g, etc., et serre à distinguer, parmi les dimensions horizontales de la perspective, celles qui sont ù droite et celles qui sont à gauche ; il est clair que chacun des points de la perspective se trouvera sur le tableau éloigné de la verticale que nous venons d'imaginer , d’une quantité égale à la distance de sa projection au point H. I*ar exemple, le point B mis en perspective sera à droite de la verticale et éloigné d’elle d’une quantité égale à f H ; il en est de même de tous les autres points. Cependant cela ne su Hit pas pour les déterminer , il faudrait connaître la position de chacun d'eux à nne attire ligne connue de position; c’està-dire que nous avons toutes les dimensions horizontales de l'objet, en les rapportant à une verticale dont on connaît la situation; cherchons donc toutes les dimensions verticales et rapportons-lcs à une horizontale connue, et il sera facile, par la eoin|varaison des unes avec les autres , de les mettre en perspective ; pour cela, faisons une élévation ou une projuction verticale de tout ce que nous avons projeté au plan.

V Parmi l'infinité d'élévations qu'on pourrait faire, choisissons, pour la plus grande ceuunodilé cl pour due raisons que nous verrons dans la suite, celle dans laquelle le tableau est représenté par une sculo ligne de terre et (Kir conséquent perpendiculaire à FG.

Soit donc 1KI.M l'élévation du paralléli|Mpcdc, NO celle du tableau, et P celle de l'ucil. De tous les points visibles de l’objet, menons au point P tles droites IP, K.P, etc., i qui représentent en élévation les mêmes rayons de lumière que les droites A.E, UK, etc. représentent au plan. Cela posé, faisons encore le même raisonnement que nous venons de faire, et considérons que les points I, K, /, m, etc. d'intersection de ces droites avec la ligne NO sont, en élévation , les points du tableau sous lesquels l'oeil placé en P voit les points correspondants de l'objet, et que la perspective du corps IKLM se trouve renfermée entre les limites lin; si donc nous menons, de même qu'au plan, le rayon principal PQ perpendiculaire à NO, cl si nous concevons sur lo tableau une horizontale passant par le point Q, celle ligne connue de position sera un nouveau terme de comparaison auquel nous rapporterons les différents points i, k, l,m, etc., et servira à distinguer, parmi les dimensions verticales . celles qui sont supérieures d’avec les inférieures, de manière que la distance de chaque point de la perspective à la ligne horizontale que nous venons d'imaginer sera égale. à l'intervalle compris entre le point Q et la projection de oe point a l’élévation; par exemple, le point K mis en perspective sera au-dessous de l'horizontale et éloigné d’elle de la quantité KQ.

8* Ceci bien entendu, connaissant les distances de tous. les points de lu perspective à deux droites donuées sur le tableau , l'une verticale et l'autre homon-

talc, il sera bien facile de les rapporter ; et voici comment. Soit n ofg le tableau vu en face , TV et RS les lignes verticale et horizontale, l’une représentée au plan par le point H , et l'autre dans l'élévation par le point Q; et supposons qu’il faille mettre le point B en perspective, nous savons qu’il doit être à droite de la verticale de la quantité fl\ ; portous donc / H de W en X, et menons par le point X une parallèle à TV qui renfermera nécessairement le point que nous demandons. Mais comme le point B est la projection horizontale do deux centres représentés en élévation par les points K, M , supposons qu’il ne s'agisse encore que du point K qui doit être (article 7") au-dessous de l’horizontale de iâ quantité KO; portons donc KQ au-dessous de RS et de X en Z, et le point Z sera la perspective demandée du point B.

On mettra de celle manière tant de points que l’on voudra de l'objet en perspective cl par conséquent tout l’objet.

9" On pourrait, sans mener de parallèles, porter avec un compas l’intervalle /H de W en X , et avec un autre intervalle QK de W en M , et de suite : des points X et M comme centres , et avec les ouvertures de compas, décrire deux arcs qui , par leur intersection, donneront plus commodément le point demandé Z.

10" Le point W d'intersection de l'horizontale du tableau avec la verticale, s’appelle le point de vue de la perspective et est eclui vis-à vis duquel doit être l’œil du spectateur, à 1a distance du rayon principal, pour que le tableau fasse l’clfet que l’on désire.

Il” 11 n’est personne qui ne se soit aperçu que des lignes parallèles exposées à la vue, et prolongées à une certaine distance, paraissent concourir en un même point et former un angle par les extrémités, parce que, lorsque les objets sont hors de la portée ordinaire de la vue, nous jugeons de leurs dimensions ( toutes choses d’ailleurs égales ) par l'angle sous lequel arrivent à l’œil les rayons de lumière qui partent de leurs extrémités. Leur intervalle, en effet, qui est toujours le même dans tous les points ( Jig ■ 2), doit, à mesure qu’il s'éloigne de l’œil, être vu sous un angle moindre, jusqu’à ce qu’enlin , si on suppose le* lignes poussées à lin lin i , cet intervalle, qui est une quantité finie, devienne infiniment petit ou nul , par rapport à leur longueur.

12 L’œil voit donc les lignes parallèles concourir en un seul point; mais, pour juger de ce concours , il imagine une autre ligne parallèle aux premières, qu’il fait passer par le centre de la prunclje et à laquelle il compare les autres qui lui paraissent se jeter sur celle-là. Qu'on se place, par exemple, dans une avenue d’arbres et presque sur une des rangées , les autres paraissent se porter sur celle auprès de laquelle on sera ; de là nous allons tirer des conséquences avantageuses pour la perspective.

13° En effet : soit, pour exemple, AFDCJG (fig. 3) le plan de l’angle d’un entablement d'architecture composé de lignes parallèles horizontales. Soit QR le tableau , L le point de l'œil , et Lk le rayon principal : suivant ce que nous venons de dire, c'est dans une ligue LM parallèle à CD, BE, AE, etc. que l'œil voit leur point de concours. LM peut donc être considéré comme la projection d’un rayon de lumière envoyé à l'œil du point de concours des parallèles cl doit donner, avec son intersection avec le tableau, le concours des parallèles mises en perspective ; mais comme ces lignes sont horizontales, LM le sera aussi , et le point N , où elle rencontre le tableau, sera nécessairement dans l'horizontale du tableau ; si donc on porte sur la perspective l’intervalle KN de K en n , le point n sera la perspective du concours des parallèles dont il s’agit.

14" En conséquence, si on met les points A, B, C en perspective par la méthode indiquée (art. 7, 8 et 0) , on aura les points a, b, c, par lesquels on mènera des lignes au point n , qu’on terminera suivant les conditions. Si les points D, E,

F, par exemple, sont au plan les projections des extrémités des parallèles, on mènera les lignes I) L, EL, etc., indiquant la position horizontale de ces extrémités; c’est-à-dire que celle de la ligne DC se trouvera en perspective à gauche de la verticale, de la quantité Ka; par conséquent si , sur le tableau, on prend sur aa un point éloigné de la verticale de la quantité K d, ce qu’on fera en menant à même distance la parallèle TS , on aura le point demandé. On fera la inéme opération pour les autres points E , F. On conçoit que ce que nous venons de dire pour un des eûtes de l'entablement peut aisément s'appliquer à l'autre.

15° Si les parallèles , au lieu d’étre horizontales , étaient inclinées, le point de concours ne se trouverait plus sur l'horizontale, mais au-dessus ou au-dessous, suivant leur position. Soit ( fig . 4) DEC J le plan de l'entablement d’un fronton dont le sommet suit ABC ; que KN représente le tableau , et LK le rayon principal ; il est clair que , comme au plan , les deux cûlés du fronton et le reste de l'entablement sont dans les prolongements les uns des autres, si on mène LN parallèle à DG, le point N sera la projection des trois différents points de concours qui appartiennent aux trois cspèecs de lignes qui composent l'objet, c’csl-àedire que ces trois points sc trouveront dans une même verticale, éloignée du celle du tableau de la quantité KN. Soit maintenant d/gi l’élévation du fronton, nK le tableau, et * iK lu rayon principal ; soient menées par le point t, les lignes Im , In parallèle*, l’une au cèle ad du fronton, et l’autre au côté ai; les intersections m et n de ces deux lignes , avec le tableau prolongé s’il est nécessaire, nous indiqueront de combien les deux points de concours qui conviennent aux deux eûtes du fronton doivent sc trouver au-dessus ou au-dessous de l’horizontale, comme on le voit sur le tableau MNOP.

IV 5 2

MÉMOIRE SUR LA PERSPECTIVE CONSIDÉRÉE COMME UNE DES APPLICATIONS DE LA GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE.

J'ai divisé ce mémoire en trois parties.

Dans la première, je montre comment, en effet, les méthodes graphiques de la géométrie descriptive s’appliquent à la perspective, en faisant voir que ce n’est qu’un cas particulier d’un problème plus général , savoir : Couper fuir un plan un sijstème de droites divergeant iCun point unique , et que, dans ce cas particulier, on suppose que le plan sécant , qui en perspective prend le nom de tableau , se trouve parallèle au plan vertical de projection.

Dans la seconde partie, j’applique les méthodes graphiques, exposées dans la première partie comme une conséquence des principes fondamentaux de la géométrie descriptive, à la perspective proprement dite.

Dans la troisième partie, je fais voir comment les principes de la perspective, considérés sous un point de vue plus général , peuvent être employés utilement à la recherche et à la découverte de certaines vérités géométriques, et cela en se guidant sur l'exemple de plusieurs géomètres anciens qui ont fait de la jærspeclive un fréquent emploi dans leurs recherches géométriques.