PREMIÈRE PARTIE
Théorie générale.
i* Soit donnée la ligne de terre LT ( fig . a) et par conséquent les deux plans vertical et horizontal do projection.
2* Soit donné un point o (ayant pour projections o" et o‘) situé en avant du plan vertical de projection, mais étant, ou au-dessus, ou au-dessous du plan horizontal de projection.
3“ Soit donnée une droite D (ayant pour projections D" et D*).
4* Soit donné un plan T parallèle au plan vertical de projection, mais situé entre ce plan et le point o.
Cela posé :
On demande de construire la droite D, intersection du plan T et du plan I* déterminé par la droite D et le point o.
— un —
Or, pour résoudre ce problème de géométrie descriptive, nous savons qu’il suffît de mener par le point o une droite D' parallèle à la droite D , et de chercher les points d et d ' en lesquels les droites IJ et D' sont respectivement coupées par le plan T.
Dès lors, D," passera par les points <F et d'% et D* ne sera autre que la droite H’ trace horizontale du plan T, puisque ce plan T est vertical (ou en d’autres termes , puisque le plan T est perpendiculaire au plan horizontal de projection).
ü II.
Si la droite D, au lieu d'avoir une position quelconque par rapport au plan T, lui était perpendiculaire, la construction de la projection D,’ serait plus prompte; et en effet , la fig. (b) nous fait voir de suite qu’il suffit de construire le point <f, car la droite D,’ passe par le point o ", qui est donné, qui est dès lors un point fixé d’avance par les conditions du problème.
§ III
Si la droite D était horizontale, la fig. (c) nous montre que, pour obtenir la solution , il faudrait effectuer toutes les constructions exigées dans le cas où la droite D a une position arbitraire dans l'espace par rapport au plan T. Toutefois il faut remarquer que , dans ce cas , la droite D’" est horizontale.
i IV.
Si la droite D, tout en étant horizontale, ne fait pas avec le plan T un angle quelconque , mais un anglo particulier, et ainsi , par exemple, un angle égal à un angle demi-droit, il est évident {fig. d ) que dans ce cas on aura : o‘d'"=zpd‘ k =p<f. Ainsi , le triangle opd' de l’espace sera rectangle et isocèle. Pour déterminer la droite D.", il suffira donc de construire le point d 1 ’ et de porter, sur la parallèle à LT menée par le point o”, une distance o’d '* égale à o"p ou égale à la distance du point o K à la trace H’ du plan T ; et en unissant les deux points «f et <f’, on aura la ligne D,'.
Remarquons que la droite D étant supposée horizontale et faire un angle de ■45” avec le plan T, peut avoir deux directions ; car elle peut faire eet angle de 45* en étant dirigée vers la droite, ou en étant dirigée vers la gauche par rapport au point o; si elle est dirigée vers la gauche du point o , comme l'indique la fig. ( d ),
Si
du devra porter o'tf*=o‘p à gauche du point o *, et le contraire aura lieu dan» Vautre cas.
t" Soit donnée la ligne de terre LT, et par conséquent les deux plans vertical et horizontal de projection (fig. e).
2” Soit donné un point o (ayant o* et o* pour projections), ce point o étant en avant du plan vertical de projection, mais pouvant être situé au-dessus ou audessous du plan horizontal de projection.
3* Soit donné un plan T, vertical et parallèle au plan vertical de projection, et nilué entre ce plan et le point o.
4“ Soit donné un point m (ayant m* et m‘ pour projections), mais situé entr» le plan T et le plan vertical de projection.
Cela posé :
Ou demande de trouver le point de rencontre du plan T et de la droite unissant les points m et o.
Ce problème peut se résoudre de diverses manières , que nous allons successivement exposer et examiner en vue des applications de la géométrie descriptive i la perspective.
Si 1* par le point m on mène trois droites horizontales, l’une G perpendiculaire au plan T, et les deux autres D et B Taisant avec le plan T des angles de 45* (la droite B étant inclinée à gauche, et la droite D étant inclinée â droite).
Si 2* par le point o on mène trois droites G', B', D' parallèles aux droites G, B elD, l'on aura six droites qui couperont le plan T ; et l’on aura dès lors six point* qui, unis deux à deux, donneront trois droites G,, B,, D. se coupant au point m, demandé.
Or, puisque les droites R, D, B' et D' sont horizontales et inclinées à 45* sur le plan T, il est évident (fig. e), d’après ce qui a été dit ci-dessus , que l’on aura :
m k tf — tfb k — rj'it = m’b r es m*<f
. et
On voit donc de suite que, pour construire le point m.*, il suffira (fig. fi) de mener par les points o* et m' deux droites parallèles à la ligne de terre LT, savoir, Y et X, et de porter :
1" A droite et à gauche du point m*, sur l'horizontale X,
jt * V
m'é* = j m'F = la distance de la projection horizontale du point m à la trace m'<f = j horizontale H T du plan T ;
2* à droite et à gauche du point o* sur l’horizontale Y ,
o’d ,, = jo‘j’*= la distance de la projection horizontale du point o & la trace o , é' , =| horizontale H' du plan T ;
ensuite d'unir les points b’ et b'', <f et d", ni’ et o*, par des droites B.', D,', G,\ qui devront se croiser en un mime point m,’ qui sera le point demandé.
Si l’on remarque attentivement la lig. (/), et qu'on la compare à lafig.(e),ondoil voir de suite que l'on no s'est point donné le point o*, et que l’on opère d’après ce principe fondamental en géométrie descriptive, savoir : Qu'un point est connu de position dans C espace, lorsque f on commit l’une de ses projections et sa distance au plan sur lequel la projection est donnée.
Or, dans la lig. (/) , la projection verticale o’ du point o est donnée graphiquement, et la distance du point o au plan T nous est donnée en o’d "* ou o’b’’.
§ VI
Nul doute que si l’on voulait trouver de la manière la plus simple le point m, , en lequel la droite A qui unit le point o au point m coupe le plan T, il ne fallût employer la construction indiquée par la lig. (g ).
Mais celle construction ne peut être employée qu'autanl que le point o* existe, qu'autant dès lors que la grandeur du papier permet de fixer ce point o*.
Or, dans les applications de la géométrie descriptive à la perspective, la droite H' est toujours à l’extrémité inférieure de la feuille de papier, et l’on se trouve dès lors contraint de donner à part la distance du point o au plan T ; c’est ce qui oblige forcément à employer la construction indiquée par la fig. (/). D’ailleurs nous allons exposer ci-après les conditions imposées en perspective, et l'on reconnaîtra la nécessité do la construction donnée fig. (/).
Toutefois les questions préliminaires que nous venons de résoudre nous seront d'un grand secours pour démontrer que les méthodes graphiques de la perspective, ne sont autres que celles que l’on emploie en géométrie descriptive lorsqu'il s’agit de résoudre un problème au moyen des projections orthogonales.
5 vu.
Imaginons une série de droites parallèles entre elles D, D', D''..., mais obliques au plan T, lequel sera toujours parallèle au plan vertical de projection (Jig, h).
— tx> —
(*ar chacune de ces droites D, D', D’’... et le point o, faisons passer un plan et cherchons l’interséctîon de chacun d'eux avec le plan T.
Désignons par D, D/, D,".... I intersection du plan T et de chacun des plans respectifs ( o , D), (o, D-') , (o, D 1 ').... Pour résoudre le problème proposé, il faudra 1‘ mener par le point o une droite h parallèle au faisceau des droites parallèles données D, D', D"... ; 2* construire le point k en lequel la droite K perce le plau T ; et 3° construire les points d, d', d."... de rencontre de chacune des droites données D, D', D"... avec le plan T.
Cela fait :
En unissant le point If avec chacun des |>oints d", <t’, d"’ ..., on aura les droites D”, D/’, D,"'..., qui seront les projections verticales des droites demandées D,, D,', D,"..., leurs projections horizontales n'étant autres que la droite H T , trace horizontale du plan T, puisque ce plan T est vertical.
Ainsi l’on voit, qu’ayant construit le point k’, point de concours de toutes lès droites D, 0 , D/% D*'..., il suffira, pour les déterminer, de construire pour chacune d’elles un seul point ; et ainsi :
le point d" pour la droite D." ;
— etc. — — etc.
8 VIII
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• Jlr. -Site*) naV-
Imaginons que le faisceau des droites parallèles données soit parallèle au plan T (n’ayant d’ailleurs rien changé aux conditions établies ci-dessus), ( fig . i).
La droite K sera parallèle au plan T. Le point de concours k" sera dès lors situé à l’infini ; dès lors aussi les droites D/, D,'*, D,"*... seront parallèles entre elles et aux droites D r , D’”, D' 1 ”... ; car il est évident que les droites D, D’, D”... et D. , D/, D,"... seront parallèles entre elles.
Cela posé :
Il suffira de construire un point de chacune des droites D,’, D,”, 6, ... pour que l’on puisse tracer ces droites. Or ce qu’il y a de plus simple est de construire les traces horizontales b , b', b"... des droites D, D’, D"..., ainsi que la trace horizontale k de la droite K ; et les droites kb, kb', kb" ... seront les traces
horizontales des.plans(o, D), (o, D ), ( o , D"); on aura donc en les points b , , b'., b, '... les traces horizontales des droites cherchées D, , D,', D,".... Donc , etc.
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s IX.
Si l’on suppose que les droites données D, D', D"... sont verticales (fig. k), alors les droites cherchées D, , D,', D,".... seront aussi verticales, et , pour déterminer les droites D,', D.^.D,"' il sullira de construire un point de chacune de
ces dernières droites pour qu’elles soient .complètement déterminées, car leur point de concours sera situé à l’infini.
Or, il est évident que la solution sera la même que celle donnée § VIO, mais la construction sera plus simple, parce que le point k et le point e* se confondent dans le cas particulier qui nous occupe.
Si l’on suppose que les droites parallèles et données D, D\ D’’,... sont parallèles à la ligne de terre LT, les droites D, , D,', D.'',... seront aussi parallèles à la même ligne de terre LT. Il suffira donc de déterminer un point de chacune des droites D.’, D,'*, D, pour qu’elles soient complètement connues de position. Mais on ne peut déterminer un point de chacune d’elles et d’une manière simple, qu’au moyen d’un changement de plan vertical de projection, et qui s’effectuer# de la manière suivante :
On prendra (Jig . /) unnouveau plan vertical de projection L' T'; perpendiculaire au plan T ; dès lors, la nouvelle ligne de terre L' T' sera perpendiculaire i l’ancienne LT : on déterminera les traces D’’, D'"', D"*',... des droites données sur le nouveau plan de projection , ainsi que la projection o r ' du point o;
Cela fait :
On unira le point o'' 1 avec chacun des points D”, D' 1 ', D” 1 '',... par des droites qui seront sur le nouveau plan vertical L' T', les traces des plans (o, D), (o, D'), (o , D"),... puisq ue ces plans sont parallèles à l’ancienne ligne de terre LT.
Cela posé :
La droite H’, étant prolongée au-dessus de la ligne de terre L'-T', nous donnera V' 1 , trace verticale du plan T sur le nouveau plan de projection.
Dès lors la droite V' T coupera les droites o r 'D r ', o r 'D' r ', o^D'"'... en les points D,", D.'*', D,"”'... qui seront, sur le nouveau plan de projection, les traces des droites cherchées D,, D.’, D,”. Il sera , par suite, facile de construire les droites D,% D.'*, D/’’,... qui seront parallèles entre elles et à l’ancienne ligne de terre LT (*).
(•) Il Ml facile de recon naître dans ce qui vient d'être nyoté $ IX el X , le principe fondamental de la méthode de perspective donnée per Mon^t dans le mémoire inédit de <785.
- ns
$ xi.
Si le faisceau donné est composé de droites qui, parallèles entre elles, se trou* vent perpendiculaires au plan T, alors ( fig . m) les droites D,', D/*, D,"*. .. ont pour point de concours le point o*.
8 xn.
Si le faisceau est composé do droites parallèles entre elles , horizontales et inclinées à 45* sur le plan T, la fig. (n) nous montre que le point de concours de ces droites est situé sur la droite X , menée par le point o ’ parallèlement à la ligne de terre LT, et qu’il est situé en k* à une distance o*A* du point o" égale à la distance du point o au plan T.
Les droites inclinées à 45*, en sens inverse, auraient le point k‘‘ pour point de concours.
§ XIII
De ce qui précède on peut conclure , en se résumant, que les droites D,*, D,", D/",... projections verticales des droites D,, D,', D,",... intersections du plan T et des divers plans passant tout par le point o et respectivement par les droites D, D', D",... formant un faisceau de droites parallèles entre elles , ont un point de concours situé : 1* hors de la droite X, si le faisceau est incliné par rapport au plan horizontal et au plan T ; 2* sur la droite X , si le faisceau est horizontal ; et 3* à l’infini , si le faisceau est parallèle au plan T, et que dans ce dernier cas les droites D,*, D/”, D,"*... coupent la droite X , si le faisceau est incliné au plan horizontal sous un angle égal à celui que le faisceau fait avec le plan horizontal ; en sorte qu’elles coupent la droite X sous l'angle droit, si le faisceau est vertical , et qu’elles sont parallèles à cette droite X, si le faisceau est parallèle à la ligne de terre; 4* si le faisceau est perpendiculaire au plan T, le point de concours est le point o’; et 5" si le faisceau étant horizontal se trouve incliné de 45* sur le plan T, le point de concours sera le point k * ou le point k'* (*) , et ce point est situé sur la droite X à une distance du point o* égale à la distance du point o au plan T.
§ XIV
Étant donné un point m sur le plan horizontal et un plan T parallèle au plan vertical de projection, et un point o par ses deux projections o* et o*, construire
(*) Suivant que le faisceau est incliné ou à droite , ou i gauche , par rapport au plan T.
le point m,, intersection du plan Tel de la droite G qui unit les deux pointa met*.
Pour résoudre ce problème, on peut employer trois méthodes distinctes : "
La première, dite : méthode directe;
La deuxième , dite : méthode des points de concours ;
Et la troisième, dite : méthode des coordonnées.
Nous allons exposer successivement ces trois méthodes et les constructions graphiques que chacune d’elles exige pour déterminer le point «,\
5 xv.
Méthode directe.
Soit donné un point m Situé sur le plan horizontal ( fig . o); on construira les projections G*, G* de la droite G qui unit les points o et m.
Le point m,* sera donné immédiatement , puisque le plan T est vertical , et l’on en conclura le point m,'.
Pour employer la méthode directe , il faut évidemment connaître les deux projections o* et ah du point o, ou pouvoir, en vertu des données, construire (au préalable ) ces deux projections.
