FRACTIONS

Nous avons peu de chose à dire sur le calcul mental des fractions ; il est la conséquence de celui des nombres entiers, puisqu'elles sont l'expression d'opérations à effectuer sur des nombres entiers. Ainsi , quand il faudra réunir plusieurs fractions qui auront le même dénominateur , l'addition des numérateurs se fera aisément de mémoire.

Tr^.^^1 ** I * f 55 , 72 . . , ..13x4155x72 ,. ,

Exemple: - +- + ^-{.- équivalent à -^ ou bi,o,du,cesji.

en faisant abstraction, pour sinyplifier, de la lettre I ou du signe +• La réunion de o à bi donne le mot bcducesji; celle de du & bt doone (vui) jecesji; celle de ce à je donne enfin (agee) agosji,

c'est-à-dire ^

Les autres opérations sont également commodes toutes les fois que les fractions n'offrent pas de nombres trop élevés ; voici quelques exemples :

Addition : ^+:t <ie U8<l&>sbe, nous formons d'abord urbescLrcsbe

que donnent les fractions quand on a multiplié les numérateurs de chacune par le dénominateur de l'autre ; en effectuant le produit 7 X 42 ou <rbe, le résultat devient urbeLrcScrbe : effectuant successivement les produits indiqués, nous obtenons p8l.>r<S(rbe, p8lpis<rbe, p^lpisto; enfin , l'addition indiquée au numérateur fournit le total (ag8i)agi8toQ(i).

Soustraction : ^ - 7^ ; réduisant au même dénominateur , nous

obtenons ctmgosty, et en effectuant la soustraction indiquée jisty

OQ '

McLTiPUCATiON : ^Xjjou en indiquant les produits yreSwrbe; effectuant les produits indiqués il vient d'abord jocSoirbe et ensuite jotsahyou^^.

Division : ^ : ^ les produits indiqués sont ar&iscry : eflectuant les produits , il vient d'abord jos«ry et enfin josja ou ^

(1) Nous aTons supposé, pour en offrir un modèle, que les chiffres ne fussent pas sous nos yeux; s*il en était autrement, le calcul serait bien plus simple: sX12»p8; 7 X © =» pi ; pblpi = (ag8i) agi , qui est le numérateur; le dénominateur est 7X12 ou to.

GARBéS, CUBES.

L*élévation des nombres k leurs diverses puissances doit aussi s'effectuer de mémoire bien plus facilement qu'avec l'autre nomenclature. Les carrés^ en commençant par la gauche, se formeront, comme cela a lieu.en algèbre , en formant les trois parties du carré. Exemple : 54 élevé au carré se compose des trois parties B^-j-^. 5 x4+-4* = gu-[-ob-|-b« ou guohba; en effectuant les confraclions indiquées, il vient gwbba et enfin g&iba ou 2916.

Le carré du nombre 6835 se formera d'une manière analogue : celui de 68 sera dowppo (vuppo) vago ; pour avoir celui de 683 , il faut ajouter les doubles produits des chiffres 6 et 8 par '3 et le carré de 3. Ainsi 2.6x3 ou da joints à vago, donnent (vocgdoco, vajao) Vap8; 2.8x3 OU ot, forment (vap8ot) vapot; et le carré de 3 donne enfin vapotco. En raisonnant et opérant de même avec ce nouveau carré , nous dirons :

>apot6>; 2.5x6»=60 ou ah; d'où (VapOahtu, VaC^ht») VaC8ta>. VttCStw; 2.8 X =80 ou t»; d'où (vac8lt««, vacap8«) vacap«. Yacapo); 2.3 X 5=30 ou ih ; d'où (vacap<uih) vacaceh. Ycecaceh ; 5 x 5«=25 ou gu; d'où (v«cacehgu) vacacegu (467i7225), qui est le carré demandé.

Les autres puissances des nombres qui sont inférieurs à dix , s'obtiennent facilement de mémoire, par la multiplication; ainsi la deuxième puissance de 9 étant ta, la troisième sera (8i x 9) sg»; la quatrième sera 729 x9 piatta et par contraction (potta) pupa; la cinquième sera (6561x9) uvvu^SV6>, et par contraction (utuuvo)) ufHvw; etc.

Le cube d'un nombre de deux chiffres s'obtient encore par le calcul mental : le carré de 67 est dayvvu ou votu. Ce nombre doit être multiplié par 67 ou p<; en multipliant d'abord vot par p , on a goevvy (gavvy) gaty; en ajoutant les* autres produits partiels, on irouve :

Gotly ; vXt = el; d'où (gaelly, gylly) gwpy. Gwpy ; oXs = gy ; d'où (g^pgyy, gtolyy) gwfa. CuFa ; tX( = up; d'où (gwfaup) dtfhap. D8hap; flaX«='pi; d'où (d»happi) dSbegi.

D8hegi (300223) est donc le cube cherché.

Poor cette forroatioD des puissances, comme pour TextractioD des racines, les limites du calcul mental sont déterminées par les aptitudes de la mémoire, mais dépassent de beaucoup celles qui résultent de l'ancienne nomenclature.