THÉORIE DES CHANGEMENTS OPTIQUES DE L'ŒIL

PENDANT L*ACC01I1IODATION Par M. T8CHERNIN0

Ce mémoire contient la théorie des phénomènes que j'ai décrits dans un mémoire précédent [Recherches sur les changements optiques de l'œil pendant l'accommodation (Arcb.de pbysioL^ p. 158)]. Il donne la théorie de la réflexion et de la réfraction sur des surfaces de révolution de second degré, tout en admettant que Fœil observateur ou, dans le dernier cas, l'objet se trouve sur l'axe de la surface. Dans ces conditions la réflexion ou la réfraction sur une zone donnée de la surface se font comme elles se feraient sur une sphère ayant la normale de la surface à cet endroit pour rayon et l'endroit d'intersection de la normale avec l'axe pour centre. Dans le cas de réflexion j'admets en outre que l'œil observateur se trouve suffisamment éloigné pour que les rayons réfléchis qui le rencontrent puissent être considérés comme parallèles à l'axe, une condition qui, comme la précédente, en général se trouve remplie dans les cas de mensurations oculaires.

I. — Images de réQexion sur une surface convexe de révolution j de second degré ^

(a) Lokjet est une droite perpendiculaire sur Taxe, — Soient GDH {fig. 1) une section de la surface, BQ Taxe, AB=:0 Tobjet, AD un rayon lumineux qui après avoir rencontré la surface est réfléchi suivant DE,

* Je considère Timage comme plane quoique, en général, eUe ne le soil pas. Les considérations suivantes s'appliquent donc plutôt à la projection de Timage sur un plan perpendiculaire à l'axe. Je n'ai pas besoin de faire remarquer que c'est ainsi que l'image apparaît à l'œil observateur, au moins si on la regarde à travers une lunette.

TSGHBRNING.

parallèlement à Taxe, et finit par entrer dans Fœil observaienr. Gomme rimage du point A doit se trouver sur le prolongement de ce rayon, et rimage de B doit se trouver sur Taxe, Timage I de Tobjet 0 doit avoir

Fig. 1. — Réflexion sur une surface de second degré.

la grandeur DF. En désignant la normale au point d*ineidenoe, DQ, par n^ Tangle d*incidence par «, et la distance de Tobjet jusqu*à la surface par /, on a :

I = o sin a

et, en négligeant la partie EBqui est très petite en comparaison avec O,

0 = /tang2«.

En identifiant les sinus et les tangentes avec leurs angles on obtient ainsi la relation

noL

On voit que la formule est la même que celle qui sert pour les miroirs sphériques

La réflexion en D se fait donc, comme j*ai dit, absolument comme si elle avait lieu sur une sphère, tracée autour de Q avec d comme rayon. Tant qu*il s*agit d'une zone assez étroite pour que la longueur de la normale puisse être considérée comme constante, on peut donc employer toutes les formules catoptriques des miroirs sphériques, en remplaçant le rayon par la normale.

En introduisant dans notre formule la valeur de la normale

v/I3(a2zb/>^) + ^^

nous obtenons pour Timage Texpression

±Ll)^)

THÉORIE DES CHANGEMENTS Di^ l'œIL PENDANT l'aCCOMIIODATION. 183

Le signe -|- dans le dernier terme s*applique à un hyperboloîde, le Signe — à un ellipsoïde. Pour un paraboloîde la formule devient

(b) Construction de f image dun objet quelconque^. — Au moyen de la formule que nous venons de trouver on peut construire Timage d*un objet quelconque. On se le figure divisé en zones équidistantes, concentriques autour de Taxe, et Ton construit au moyen de la formule que nous venons de trouver les images de ces zones, qui, la surface étant de révolution, doivent également être circulaires, mais dont la largeur varie avec la grandeur de I. Four trouver Timage d*un point quelconque A, on trace : 1^ le cercle qui est Timage de celui sur lequel se trouve le point A ; 2* la droite qui forme avec Thorizon le même angle qu^une perpendiculaire abaissée du point A sur . Taxe. I^ point d*intersection de cette droite avec le cercle est Fimage du point A.

(e) Image dune droite qui ne passe pas par Taxe. — La construction nous donne entre autres une idée de la forme de Fimage d*une droite qui ne passe pas par Taxe. Si Tirnage de nos cercles équidistants est formée

Fig. 2. — Réflexion sur une surface de second degré. La courbe b />, est Timage d'une droite verticale.

par des cercles également équidistants Fimage d*une droite est une droite ; mais il est facile, en faisant la construction que nous venons d*indiquer, de se persuader que, si la largeur des zones de Fimage diminue vers la périphérie, Fimage d'une droite est une courbe tournant sa convexité vers la périphérie ; dans le cas contraire elle tourne sa convexité vers Faxe.

* Je suppose que l'objet se trouve dans un plan perpendiculaire à l'axe; autrement il faut se le figurer projeté sur un tel plan, mais Fimage devient en ce cas une reproduction moins exacte de Fobjet, parce que l a une valeur différente pour les différentes parties de Fobjet.

184 TSGHERNINO.

Or, on voit d'après la formule I=/2 —. que la largeur des zones est proportionnelle à la longueur de la normale au point d*incidence. L'image est donc droite si la surface est sphérique i, elle est concave vers Taxe si la longueur de la normale diminue vers la périphérie, ce qui est le cas d'un ellipsoïde de révolution autour du petit axe. Elle est convexe vers Taxe si la surface est un ellipsoïde de révolution autour du grand axe, un parabololde ou un hyperboloïde.

Elssayons maintenant de déterminer par le calcul la forme de cette image. Soit b {6g. 2) un point de l'image ; le plan du papier est celui d'un plan perpendiculaire à l'axe passant par le point b. Le point a correspond à l'axe, />a=I est la distance de /> jusqu'à l'axe, x et ^ les coordonnées du point b. Je désigne les points et distances correspondants de l'objet par les grandes lettres correspondantes. 0 est la droite, dont I est l'image.

D'après ce qui précède on doit avoir :

02""4Pa2-.02(a2±jb2)- En combinant cette équation avec la suivante

on obtient pour l'image de la droite l'expression

ji.-.

La courbe est donc de second degré. On remarque que le petit axe est constant, tandis que le grand ainsi que l'excentricité augmentent avec X, la distance de la droite qui forme l'objet jusqu'à l'axe du miroir. L'image est donc d'autant plus courbe que la droite est éloignée de l'axe. Le signe 4- s'applique aux hyperboloîdes, le signe — aux ellipsoïdes. Dans le cas d'un paraboloïde les axes deviennent

' Il en est autrement lorsque l'objet se trouve loin de l'axe, de façon qu'on ne puisse pas identifier les sinus et les tangentes avec les angles. La formule exacte éUnt

I __ Il sin a

ÔTtângiï'

on voit que les zones doivent diminuer de largeur vers la périphérie, puisque tangua augmente plus vite que sin a. L'image que forme une sphère d'une droite placée très périphériquement, est donc concave vers l'axe.

THÉORS DES CHANGEMENTS DE L*<EIL PENDANT L*AGCOMllODATIOàI. 185

La discussion de ces formules montre que la courbe est toujours hyperbolique, excepté dans le cas d*un ellipsoïde de révolution autour du petit axe («•<i&*), cas dans lequel elle devient elliptique. On ne peut pas éloigner la droite de Taxe en dehors d'une certaine

limite | ^, = — ===. | sans que l'image disparaisse, le grand axe de la courbe devenant imaginaire.

(d) Application, — Poar les raisonnements qui vont suivre, je prends pour base les chiflfres que j*ai trouvés pour mon propre œil (page 161).

Fig. 3. — Changement de Vimage réfléchie pendant raccommodation.

Les cercles pleins 1, 2, 8, etc., se changent pendant Taccommodation en les cercles pointillés 1', 2^, 3', etc. — Les cercles 1, 2, 3 se rapprochent du centre, le cercle 4 (premier cercle limite) reste à pea près à sa place, le cercle 5 s*éloigne et le cercle 6 (deuxième Cercle limite) s*en va à Tinfini. Une image qui se trouve en dedans du cercle 4 subit un déplacement centripète, une image, située entre les cercles 4 et 6, subit un déplacement centrifuge, et une image, située en dehors du cercle 6, disparaîtrait pendant raccommodation. — La droite AB se change pendant l'accommodation en la courbe A^B,. La partie pleine de cette courbe est celle qui est visible, l'ouverture pupillaire étant de 6 millimètres.

En état de repos la surface antérieure du cristallin est à considérer comme sphérique et son rayon (r) est de iO millimètres. Je suppose que Tobjet est divisé en zones de largeur égale et qu*il se trouve à une distance telle que la largeur des zones de Tirnage est de 1 millimètre. I^es

186 TSCHERNING.

rayons (/) des différents cercles qui séparent les zones sont de 1,2,3 miQimètres, etc. Une droite tangente à l*un des cercles se dessine comme une droite. Si la pupille était suffisamment large on verrait donc une image pareille à la partie de la figure 3 qui est dessinée avec des traits pleins (grossissement 10 diamètres).

Pendant 1* accommodation la surface prend la forme d*un hyperboloTde de révolution aux axes a=4"",3, i>=:5"",l. Au lieu des cercles aux rayons i nous en aurons d*autres dont nous pouvons exprimer les rayons par :

AP

en remplaçant, dans la formule que nous avons trouvée ci-dessus, j^

Au moyen de cette formule on trouve que le même objet qui pendant le repos donne des images circulaires aux rayons de

donne pendant Taccommodation des cercles aux rayons de

I = 0»«,T7, 1— ,60, 2««,62. 4— ,04, 6««,18, 52-«,TO, coiTespondants à des longueurs de la normale égales à

Les cercles correspondants aux rayons I sont dessinés sur la figure 3 (en pointillé).On voit que les trois cercles internes 1, 2, 3 se rapprochent du centre pendant Taccommodation (!', 2', 3'); le quatrième garde à peu près sa place, le cinquième s*éloigne (5^) et le sixième est déjà si loin que je n*ai pas pu le dessiner sur la figure.

Parmi tous les cercles concentriques qu'on peut se figurer tracés sur notre image en état de repos, il y en a deux qui se distinguent des autres. L'un, que j'appelle le premier cercle limite garde sa place pendant le changement ; c*est celui dont la normale est égale au rayon en état de repos. On trouve le rayon de ce cercle en mettant i= I; il est de 3""' ,94.

Le deuxième cercle limite est celui qui pendant Taccommodation s'en va à Tinfini ; son rayon est de 6"" ,02.

Pour examiner la surface en question on se sert en général d'une flamme ou d'une lampe à incandescence, dont l'image est plus ou moins ponctiforme. Une telle image montrera pendant l'accommodation un mouvement centripète, si elle se trouve en dedans du premier cercle limite ; si elle se trouve entre les deux cercles limites elle montrera un mouvement centrifuge, et si elle se trouve en dehors du deuxième cercle limite, elle disparaît pendant l'accommodation. Mais les deux derniers cas ne se présenteront probablement jamais, car le premier cercle limite se trouve, au moins dans un œil semblable au mien, à une distance de l'axe

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telle qu'elle n'est jamais atteinte par le rayon pupillaire, et je ne Tai jamais observé. Si du reste on devait pouvoir robserver, ce serait lorsque Toeil observé fait un effort d'accommodation très faible.

Voici en effet la position des cercles limites dans trois cas d'accommodation différents.

AarurroB.