THÉORÈME D’ABEL
PAR
H. J. RINK.
Les tomes 63 et 64 du Journal’ de Crelle renferment différents Mémoires de M. Clebsch, relatifs à un même sujet. Le premier traite de l’application des fonctions abéliennes à la Géométrie en général, et, en particulier, à quelques problèmes concernant les courbes du 4® ordre, tandis que, dans les 2^ et 3^ Mémoires, les fonctions abéliennes sont appliquées à des
courbes du n degré possédant ^ 2 points
doubles et points de rebroussement, c’est-à-dire, à des courbes des genres 0 et 1. Enfin, on trouve encore un Mémoire donnant, toujours à l’aide de fonctions abéliennes, une solution d’un problème posé par Steiner sur des courbes du 3® degré.
La haute importance de cette introduction des fonctions abéliennes dans la Géométrie n’a pas besoin d’être démontrée; mais je pense qu’il ne sera pas tout à fait sans utilité d’indiquer quelques cas simples dans lesquels on peut, sans aucun autre calcul , déduire du théorème d’Abel , tel que M. Clebsch le présente, des propriétés géométriques.
H. J. RINK. SUR QUELQUES APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES, ETC. 461
1. On sait que les intégrales abéliennes se laissent ramener à trois espèces. Celles de la première espèce ont, lorsque l’équation F {x ^ t/) =: 0 indique la relation existant entre x et y, la forme :
dy
où F{x^ y) et 0{x^y) sont des polynômes entiers et rationnels en a; et y, mais où le degré de F{x^ y) est de 3 unités plus élevé que celui de 6{x, y). Cette intégrale jouit de la propriété de conserver toujours des valeurs finies.
Or, le nombre de ces intégrales de la première espèce est égal à ce que M. Clebsch nomme le genre de la courbe F (x, y) — 0,
et il peut donc être représenté par pziz — d, si
n désigne le degré de la courbe et d le nombre de ses points doubles et de ses points de rebroussement.
Le théorème d’Abel peut maintenant, en tant qu’il a rapport à ces intégrales, être exprimé ainsi: Si la courbe F{x^y)~0 est coupée par une courbe 9 (a?, ?/) — 0, qui par la variation continue de ses paramètres se transforme dans la courbe ip {x^ y)— 0, la somme des variations qu’une intégrale abélienne de la première espèce subit sur les trajets parcourus par chacun des points d’intersection, est ~ 0.
Comme éclaircissement, je développerai le cas simple (auquel se rapportent aussi en premier lieu nos applications géométriques) où une courbe du 3^ ordre est coupée par une ligne droite. Lorsque la courbe du 3« ordre
F{x^y)=:y^ -\-{ax-\-b)y^ -\-{cx^ -\-dx^e)y-[-{fx^ -hyx"^ -\-hx-hk) = 0
n’a ni point double ni point de rebroussement, il y a une seule
intégrale de la première espèce de la forme
dF(x,y) d y
La
H. J. RINK. SUR QUELQUES APPLICATIONS
ligne droite variable a pour équation y — ôx-\-d^^ tandis que \ « et «J , et représentent respectivement les valeurs initiales et finales* de ô et
Les points d’intersection de la droite avec la courbe ;
^2 5 l/s) soiit déterminés par l’équation:
F(x^,d-j-d, x)=z(P(x)=:{d-j-Ô, xy-^ (ax-hb) (5 + 5, x^ +
Les valeurs initiales de ic, , x^^ x^\ qui correspondent à a et a,, sont a,, «2» ^3 7 Igs valeurs finales sont 5,, h^,
Ur, on a:
d fif(x) d X
(f?5 + irc?5,)=:0
et par conséquent
dx d X dô xd
d F {x, y) d<P{x) d<P {x) d fp (x) ’
d y d{ô x) dx dx
d’où
1 dx^ rK dx^ rK dx^ f ^
àF{x^ y,) I dF{x.^ y^) dF{x^ y%)~~ I f d0{x^)'^ , dy^ J dy^ «3 dy^ J ,t \ dx^
d fp{x2) dfp{xy I ( d0 (Xj) d0(xy^ dfP(x^)
dx^ dx^ / J (t^ \ dx^ dx^ dx^
Evidemment, chacune des deux fonctions qui se trouvent sous le signe d’intégration dans le second membre de la dernière équation est identiquement =:0, et il en est par conséquent de même de la somme des intégrales qui entrent dans le premier membre; par là, le théorème est démontré pour ce cas.
Mais ce théorème d’Abel peut aussi être très facilement établi d’une manière générale, à l’aide d’une proposition de Jacobi. Soit F{x^ = 0 l’équation d’une courbe du degré n,
GÉOMÉTRIQUES SIMPLES DU THÉORÈME d’abEL.
et cp{x, 0 celle de la courbe sécante du degré m, courbe dont les paramètres sont de nouveau censés variables; on a alors:
dF cl F
j-^dx+j^^d,j = 0 et
dcp dcp
j-Jx+j;^dy+Sç = 0,
OU d cp représente la somme des termes provenant de la variation des paramètres. De cette équation , il suit :
d X ô cp
d F {x, y) d F dcp dF dcp"
dy d y d X d x dy
Par conséquent :
i=mn ^â{x., y. )dx. i=>nn 6 (*■ , ÿ • ) c)' ()p.
2 I dF[x^, y — I ^ dF^ dq>. d F. dq,.'
dy. ^ i—\ dy. dx. dx. d y.
où X;^ , désignent les coordonnées d’un des
tersection des courbes F =z0 et (]p zn 0.
Or, d’après un théorème de Jacobi (voir
n points d’in-
ret, Alg. Sup. I, 630), ^ ^ ^
dy' d X
entre autres, Serzz: 0, lorsque
dF dcp dx' d y
la somme s’étend aux solutions communes aux équations F{x, y) — 0 et cp{x^y) — Q et qu’en outre le degré du numérateur est plus bas que celui du dénominateur. Comme F est du degré w, cp du’ degré m et ^ du degré (n — 3), le dénomi-
â(x,y).Sq
nateur , dans la forme
est du degré
dF d cp dF dcp ' d y d X d X dy
m n — 2 et le numérateur du degré m n — 3: • le théorème de Jacobi est donc applicable et l’expression sous le signe d’intégration est identiquement 0, d’où résulte la démonstration du théorème d’Abel.
H. J. RINK. SUR QUELQUES APPLICATIONS
2. Dans les considérations suivantes, je me bornerai au cas où les trajets parcourus par les différents points d’intersection sont tous réels. Pour cela, — ^ à moins que le mouvement de la courbe sécante ne soit renfermé entre certaines limites, de sorte que le nombre des intersections situées sur différentes parties reste le même dans l’état initial et dans l’état final , — il est nécessaire que les points réels de la courbe forment une suite continue et que la courbe ne se compose donc pas de 2 ou plusieurs branches.
Examinons, en premier lieu, le cas où une courbe du troisième ordre, sans point double ni point de rebroussement, est coupée par une ligne droite. On peut se figurer que le passage continu de la droite sécante, de la position initiale à la position finale, s’effectue de la manière suivante. Les points d’intersection initiaux étant A, B ^ C, et les points d’intersection terminaux A\ B\ C\ laissons d’abord A en place et portons B le long de le courbe en B': puisque deux des points d’intersection étaient situés sur la courbe, le troisième point d’intersection aura également parcouru un trajet réel. Ensuite, par un second déplacement , A peut être amené en A\ la droite tournant autour de B\ et en même temps C viendra se placer en C. Dans un pareil mouvement , chacune des trois intersections a parcouru un trajet réel. Or, d’après le théorème d’Abel, la somme des intégrales de la première espèce , prises sur les trajets parcourus par les points A, B, C\ est = 0; c’est ce que
nous exprimerons dans la suite par J A A' -\-J B B' -hj C C' = 0,
La première lettre du trajet auquel l’intégrale se rapporte appartient à la 'position initiale de la droite, la seconde lettre, à
la position finale; on a donc: J A A'-h j A' A z=z 0.
Comme les points réels de la courbe sont supposés former une suite continue, on peut parvenir par deux chemins diffé" rents — en passant par l’infini ou sans passer par l’infini — d’un point A de la courbe à un autre point A'. Si l’on désigne ces deux chemins par Ap A' et Aÿ A\ l’expression
