GÉOMÉTRIQUES SIMPLES DU THÉORÈME D’ABEL

jApA’+jA'qA=jApA'—jAqA',

OU l’intégrale étendue à la courbe entière, parcourue dans une direction déterminée, est évidemment une quantité finie, que nous appellerons K. A cause de ces deux manières différentes d’aller d’un point initial à un point final , il peut se faire que la somme d’un certain nombre d’intégrales ne soit pas m 0 , mais égale à un nombre entier de fois K. Lorsque nous voudrons laisser ce point indécis, nous emploierons, au lieu du signe = , le signe ~ .

La réciproque du théorème d’Abel nous apprend une propriété géométrique. Si la somme de trois intégrales abéliennes de la l® espèce sur une courbe du 3e ordre est égale (=) à 0, et que les points initiaux des trajets soient situés en ligne droite, les points terminaux de ces trajets sont également en ligne droite. En effet, si la droite passait par deux points terminaux sans passer par le troisième , iï ne serait pas satisfait au théorème d’Abel.

Dans le cas particulier où l’un des points d’intersection ne change pas de place, l’une des trois intégrales disparaît de la somme, et c’est donc la somme des deux intégrales restantes qui est — 0. De là résulte, par inversion, cette propriété géométrique : Si la somme de deux intégrales abéliennes de la 1® espèce est égale (HE) à 0 sur une courbe du 3® ordre, les droites qui unissent les points initiaux et terminaux des trajets parcourus par les intégrales se coupent sur la courbe.

3. A l’aide de ces propriétés, une foule de propositions connues, concernant les courbes du 3® ordre, se laissent démontrer facilement. J’en donnerai quelques exemples.

a. Deux droites coupent une courbe du 3® ordre ; les 6 points d’intersection ainsi formés sont joints 2 à 2 par des lignes droites, dont chacune détermine sur la courbe un troisième point; les trois points obtenus de cette manière sont situés en ligne droite.

H. J. RINK. SUR QUELQUES APPLICATIONS

A B C et DEF étant les droites sécantes ^ A D et B E déterminent sur la courbe les points P et Ç, et il faut, d’après la proposition , que P Q et CF se coupent sur la courbe. Pour

cela, il suffit de l’égalité j F C j QFeîzO.

Or, nous avons: J