AB C „ C R
d’où • +
fcB+j
AC+f
CP +J A Q + JbRJEIO,
mais
fcB +
j A (7=^0 , donc
I CP + f A Q + f BE = 0;
de sorte que les points P^ Q et R sont situés sur une même droite.
GÉOMÉTRIQUES SIMPLES DU THÉORÈME d’aBEL.
4. La proposition de Steiner, dont M. Clebsch s’est occupé dans l’un des Mémoires ci-dessus cités, peut également etre démontrée, de cette manière. Yoici l’énoncé de cette proposition: Si l’on choisit sur une courbe du 3^ ordre deux points P et Ç, et que par un point quelconque A de la courbe on mène la droite P A , celle-ci détermine sur la courbe un nouveau point P; de même, la droite QB détermine un point Ct la droite P (7 un point P, etc. Le polygone ainsi inscrit, A B C D E . . . se fermera, ou non. S’il se ferme, cela a lieu indépendamment de la situation du point A et le polygone a un nombre pair de côtés.
Pour que le polygone se ferme, il faut qu’une droite menée par P conduise à un point Z, qui soit situé en ligne droite avec les points Q et A. Z A est alors le dernier côté du polygone et passe par Q , tandis que le premier côté passe par P, et les suivants alternativement par Q et par P; le nombre des côtés est donc nécessairement pair, égal à 2n. Nous pouvons alors écrire les équations suivantes:
J F Q -h J A (7=0 (passage de P B A à Q B C)
fpÇ + fcE^Oi „ „PDC„QDE)
|p(?+|fA = 0( „ „PZY„QZA)
Par addition, et en remarquant que J A C -h j C E -t -i-
J Y Az=z0, on obtient
n jpQ=:p.K,
P est évidemment un nombre entier < n et n’ayant avec n aucun diviseur commun; s’il y avait un pareil diviseur, le polygone se serait déjà fermé plus tôt.
H. J. RINK. SUR QUELQUES APPLICATIONS
La condition à laquelle il doit être satisfait pour que le polygone se ferme est donc qu’on ait j P Q =z , et cette condition est indépendante de la situation du point A. Ainsi se trouve démontrée la proposition de Steiner. — M. Clebsch traite , avec assez de détails , les cas de n — 2 et n ~ 3 ; je me bornerai à une remarque concernant le cas n — 2.
Si deux droites, tangentes aux points P et Q y se coupent sur la courbe en un point R y il suit du passage de la droite
PR à Q R:
jpQ+jpQ~K = 0 oufpQ = j.
Les points P et Q déterminent donc un nombre infini de tétragones, dont les sommets se trouvent sur la courbe et dont les côtés opposés se coupent aux points P et Q. Ce sont donc des quadrilatères inscrits complets, et 'nous rencontrons la proposition que les tangentes, menées à la courbe aux sommets des angles opposés, se coupent sur la courbe.
5. Ainsi que l’a déjà fait observer M. Clebsch, la proposition de Steiner, dont il a été question au § précédent, est le cas le plus particulier d’un problème général, qu’on peut appliquer aux courbes de tous les degrés, tant planes qu’à double courbure. Nous allons considérer maintenant un cas déterminé de ce problème général, cas dont la proposition de Steiner se laisse aisément déduire comme cas plus particulier. Notre proposition peut être énoncée de cette manière :
Il y a un nombre infini de polygones à 2n angles , dont les sommets sont situés sur une courbe du troisième degré et dont les côtés passent successivement par 2n points fixes situés sur la courbe. On peut toujours prendre arbitrairement 2n — 1 de ces points.
Lorsque les points par lesquels passent les côtés impairs se confondent en un seul , et qu’il en est de même des points par
GÉOMIÊTRIQUES SIMPLES DU THÉORÈME d’aBEL.
lesquels passent les côtés pairs , cette proposition se transforme évidemment en celle de Steiner.
Soient Aq, ^2n—i sommets successifs de 2n
angles de notre polygone, et désignons par «oi)«i2»“23
les points où les côtés Aq A A^ A^y A^ A ^ coupent
la courbe pour la troisième fois; on a alors
J ^0 ^2 “Ol ^J2 ~ ^4 J^23 “34“^
/ \ + f «2» -2, 2«-l «2«-i ,0 = 0; d’où il suit par addition :
J “ni “l2 +J“23 “34 J“2k-2, 2k-1 “2x~l , 0 —
C’est à cette relation que les points d’intersection des côtés doivent satisfaire pour que le polygone se ferme ; comme elle est indépendante de la situation des points A , la proposition est démontrée, et en même temps on voit que, lorsque 2n—\ points a sont donnés, le point est entièrement déterminé
par cette relation.
Dans beaucoup de cas, on peut constater une liaison géométrique simple entre les points a, ainsi que nous allons le faire voir pour quelques valeurs de n.
' nz=. 2.
Les droites «oi«2s «12 9^^ joignent les Brèmes points
d’intersection appartenant aux côtés opposés du quadrilatère , se coupent sur la courbe; ce théorème concorde évidemment avec celui mentionné au § 3, en a. Pour passer à la proposition de Steiner, il est nécessaire que les points «qj, «23 et «,2, «3 0 coïncident, ce qui transforme les droites de jonction en tangentes. On retrouve donc la condition pour la paire de points de Steiner correspondant au quadrilatère, à savoir, que leurs points tangentiels doivent se confondre.
H. J. RINK. SUR QUELQUES APPLICATIONS
La relation géométrique entre ces 6 points est la suivante: Si l’on déterminq les 3'èmes points d’intersection ^ et des droites «0 1^2 3 «1 2 ^3 ^ droites «5 q et /5' «4 j; doivent se couper
sur la courbe. Car on a alors
J«o 1 «1 2 + J«2 3 «34 *+■ 1^' = 0 etj(î'(5+ =
d’où résulte la relation énoncée.
D’une manière moins générale , il y est satisfait lorsque les points «on ^2 3î ^i2’ ^3 4» “ r, 0 situés en ligne
droite. Or, ces trois points uoïacidant en un point d’inflexion, il s’ensuit qu’une paire de points d’inflexion forme une paire de points de Steiner pour l’hexagone.
La relation géométrique entre les 8 points « se laisse formuler ainsi: Si les droites «oi«2 3 rencontrent la
courbe pour la troisième fois aux points /5 et et de même les droites «^r, «67 ®^«56«7o points / et /, les droites / et (5' / doivent se couper sur la courbe. A l’aide de cette relation , lorsque 7 points « sont donnés , le 8^ peut être construit.
Ces 8 points peuvent maintenant se transformer, de la manière suivante, dans la paire de points de Steiner. Faisons d’abord coïncider «o, avec «45, «,2 avec a-Q, «23 avec «37 et «34 avec «70, ce qui change les droites /?/ et p' / en tangentes. Si alors «0,54-; se confond encore avec «2 3, 67? et «127 5 6 avec «3 4, 7 0, c’cst-à-dirc , si les droites qui joignent ces points deviennent aussi des tangentes, on a la paire de points de Steiner pour l’octogone et, pour déterminer leur situation, la condition que leurs seconds points tangentiels doivent coïncider.
GÉOMÉTRIQUES SIMPLES DU THÉORÈME d’aBEL.
Si l’on fait passer une conique par les 5 troisièmes points d’intersection des cotés pairs, et de même par ceux des côtés impairs, la relation géométrique entre les 10 points consiste en ce qu’il y a coïncidence des deux points où les coniques coupent la courbe pour la G^ème fois.
Evidemment, on pourrait continuer de cette manière et trouver, pour des valeurs plus élevées de w, les relations géométriques entre les points a.
6. On peut traiter d’une manière tout à fait analogue l’intersection par une courbe du second ordre.
Nous supposerons de nouveau que la courbe donnée du 3^ ordre forme un tout continu et que ses 6 points d’intersection avec la conique, dans l’état initial et dans l’état final, soient tous réels. La conique peut alors être toujours déplacée de telle sorte que les trajets parcourus par les points d’intersection restent tous réels. En effet, en laissant d’abord fixes 4 des points d’intersection, le 5® peut être amené, le long de la courbe, de la situation de départ à celle d’arrivée: le 6^ point d’intersection a alors parcouru un trajet réel. Si l’on répète cette opération 5 fois, en laissant <îhaque fois immobiles 4 points , parmi lesquels seront toujours compris les points déjà amenés dans leur situation finale, le 6e point d’intersection aura également atteint sa position définitive et tous auront parcouru des trajets réels. — Ici encore , il faut observer qu’on peut parvenir d’un point à l’autre par deux voies différentes, ce qui sera de nouveau indiqué par l’emploi du signe HF. De même encore que pour la ligne droite, on peut prendre indifféremment l’un ou l’autre des points d’intersection de la conique à l’état final pour le faire correspondre à une intersection déterminée de l’état initial.
Le théorème d’Abel dit ici que la somme des intégrales de la 1ère espèce , prises sur les 6 trajets parcourus par les points d’intersection , est =r 0 ; par inversion , on obtient cette propriété géométrique , que , si la somme de 6 intégrales de la lèie espèce, sur une courbe du 3e ordre, est 0, et que les
Archives Néerlandaises, T. XVII. 31
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points d’origine des trajets soient situés sur une section conique , les points terminaux de ces trajets sont également sur une conique. Comme conséquence de cette propriété, on peut conclure que, lorsque la somme de 5 pareilles intégrales est =z: 0, les sections coniques déterminées par les 5 points initiaux et par les 5 points terminaux des trajets parcourus par ces intégrales se coupent sur la courbe.
7. Plusieurs propriétés connues des courbes du 3e ordre, relatives à leur intersection avec une conique , peuvent être facilement démontrées à l’aide de cette inversion du théorème d’Abel. J’en donnerai une couple d’exemples.
a. Soit une courbe du 3® ordre coupée aux points A, Bj C, D, E, F par une conique, et soient Q et R les points où cette même courbe est encore rencontrée par les droites A B , C D et E F. Si on mène alors par P^ R des droites quel-
conques , coupant la courbe en A', B' ; C\ D' et E', F\ ces derniers points sont situés sur une section conique.
Pour le prouver, il suffit de faire voir que
jAA’+jBB’+jcC'+jDD’+lEE'+lFFESO.
Or, cela résulte immédiatement de:
j A A' -\-j B B' =: 0 (passage de P AB à P A' B')
. jCC'+jDD' = 0 „ „QCD„QC'D')
jEE'+jFF^O „ „BEF„REF').
On peut regarder comme un cas particulier de cette proposition celui où les points P, Q et R sont situés en ligne droite; en prenant alors , au lieu de P A' B' et Q C' Z)', les droites P Q et Q P^ \sL conique se réduit à une droite double.
b. Une autre propriété dit que, si des 6 points où une courbe du 3® ordre est coupée par un faisceau de coniques, il y en a
GÉOMÉTRIQUES SIMPLES DU THÉORÈME d’ABEL. 473
4 de fixes, les droites qui joignent les deux autres points d’intersection se coupent en un même point de la courbe.
Dans le passage d’une des coniques à une autre, 4 des 6 intégrales disparaissent donc de la somme, à cause de la constance de 4 points d’intersection ; les deux intersections variables étant représentées par P, Q’ ; P\ Q\ on a
jpP' + jQQ'^.0,
équation qui prouve que les droites P Q et P' Q' se coupent sur la courbe.
c. Lorsque les points d’intersection A et P, C et D, E, et F coïncident , et que la conique est par conséquent tangente à la courbe aux points A, C et P, on peut faire passer par ces points une nouvelle conique, qui coupe en outre la courbe aux points A', C et E'. Il s’agit de démontrer qu’on peut construire alors une conique qui soit tangente à la courbe en ces points A', C et E.
Du passage de la première conique à la seconde, il suit:
Jaa' +Jcc +J EE=a,
EE'+j EE^ 0.
Or, dans cette équation est impliquée la preuve que les points A', A'; CyC; E' E' sont également sur une conique, en d’autres termes , que la conique est tangente à la courbe.
De ce qui précède, on peut conclure aussi à la propriété suivante: Si une conique a en deux points P et Ç un contact du second ordre avec une courbe du 3® ordre, et que la droite P Q coupe la courbe en E (point d’inflexion), une droite menée par R déterminera sur la courbe deux points P' et Q\ dans lesquels une nouvelle conique peut avoir avec la courbe un contact du second ordre.
ou
jAA'+jAA'+jcC'+jcC'+l
474 H. J. RINK. SUR QUELQUES APPLICATIONS
8. De cette même manière se laissent démontrer aussi les propriétés dans lesquelles il ne s’agit que d’une seule conique» combinée avec une droite. Cette dernière, en effet, peut être comptée double et considérée alors comme une conique. Lorsqu’une droite coupe une courbe du 3^ ordre aux points P, Ç et P, et une conique aux points A, P, C, Z), P, F, on a donc encore :
jPA+jPB+jQC-hjçD + jBE + jBF
Cette équation peut servir de nouveau à déduire des propriétés géométriques, soit directement, soit par inversion. En voici quelques exemples.
a. La droite ABC coupant la courbe, menons en un des points d’intersection, par exemple en C, la tangente, qui coupera encore la courbe en D; menons, en outre, par D une droite rencontrant la courbe en E et en F. Il y a alors une section conique qui est tangente en A et en B et passe par E et F.
Du passage de D C à D E F^ il résulte
ou
j CE + j CF
jAA + jAA+jBB-i-jBB + jCE-hjCF
Les points A, A, P, B, P, F sont donc situés sur une conique, laquelle est tangente en A et en B.
h. Lorsque la droite ABC est sécante et qu’on fait passer par A^ B et C d’autres droites coupant la courbe respectivement aux points P, Q ; R , S ; P, ceux-ci sont situés sur une conique. On a, en effet:
j P B -h j Q C Z- 0 (passage de A P Q k-A B C)
|R4 + JsC=0
,, BBS „ ABC)
GÉOMÉTRIQUES SIMPLES DU THÉORÈME d’ABEL.
donc
J T A -h J U B lirO (passage de T U C k A B C)^ fRA+jTA+jPB + jUB-hjQC + fSC^
d’où résulte la proposition énoncée.
9. Nous allons tâcher maintenant de donner à ces propriétés un peu plus d’extension. Cela peut d’abord se faire pour la propriété dont il a été question au § 7, d. Au lieu d’attribuer aux deux coniques 4 points fixes, on peut réduire ce nombre à 3 , 2 , 1 , et trouver pour chacun de ces cas une propriété nouvelle.
Lorsque deux coniques , qni coupent la courbe en 6 points , ont trois de ces points, Z), F, communs, il en résulte, A, B, C et A\ B\ C étant les autres points d’intersection:
Jaa' + Jbb' + J cc'=:o.
Si l’on mène maintenant les droites B C et B' C\ qui rencontrent encore la courbe en D et D\ on a / BB' + jcC — et
par conséquent
J D'Z) + JCC' = 0,
relation qui montre que D C et D' C se coupent sur la courbe. De même , on pourrait en tirer la conséquence que deux coniques, qui passent par A, B, C et A\ B\ C\ et en outre par deux points pris arbitrairement, se couperont encore une fois sur la courbe.
Lorsque deux coniques ont 2 points d’intersection communs, on a
j A A' + I B B' -h j c a JdD'=0-,
mais, si « et a désignent les troisièmes points d’intersection
H. J. RINK. SUR QUELQUES APPLICATIONS
des droites A B et A' B\ ^ et les troisièmes points d’intersection des droites C D et C D\ on a aussi
Ja A' + j BB' — !««' et jCC + jDD' = j B B',
et par conséquent J a a -j- J ^ = 0 ,
d’où il suit que les droites « et a' se coupent sur la courbe.
On pourrait aussi mener des coniques par les points A, B^ C, D, P et A', B\ C\ D\ P (P étant un point arbitrairement choisi) ; ces coniques auront alors encore un second point commun sur la courbe.
D’autres voies encore conduisent à trouver, au moyen de 4 coniques sécantes, des -lignes qui se coupent sur la courbe. On y parvient en déterminant de différentes manières, à l’aide de sections coniques, la somme de 5 intégrales abéliennes. J’indiquerai succinctement les deux propriétés qu’on met ainsi facilement en évidence.
Menez deux coniques sécantes arbitraires, dont A, B, (7, D, E, F et A', B^ C\ Z>', E\ F' seront les points d’intersection avec la courbe; puis deux coniques déterminées par les points A, B, C, D\ E' et A\ B\ C D, E, qui fourniront respectivement, pour 6e intersection, les points G et G'] les droites F F' et G G' se couperont sur la courbe.
Menez de nouveau les deux coniques arbitraires sécantes en A, B^ C, Dj E^ F et en A', B\ D\ E\ F\ puis les coniques déterminées par A, 5, C, Z>, E' et A', B\ C, D\ E, qui fournissent respectivement, pour 6« intersection, les points G et G'. Les droites FF' et G G' se couperont encore sur la courbe.
De ces propriétés, on en déduirait évidemment un grand nombre d’autres , en faisant coïncider différents points d’intersection, ou en supposant qu’une conique se transforme en une ligne droite comptée double.
GÉOMÉTRIQUES SIMPLES DU THÉORÈME d’aBEL. 477
Il me semble superflu de montrer comment, en exécutant de différentes manières la sommation de 6, 7 ou un plus grand nombre d’intégrales abéliennes , on verra apparaître chaque fois des propriétés nouvelles.
Je me contenterai d’attirer encore l’attention sur une extension du théorème de Steiner, que ce géomètre avait lui-même déjà indiquée d’un mot. En prenant, outre les points P et trois points fixes X, Y et Z, une première conique, menée par X, F, Z, P et un point arbitraire A, déterminera une 6® intersection B; une seconde conique, passant par X, Y, Z, Q, B, fournira une 6^ intersection C; et, en continuant de cette manière, on obtiendra une figure curviligne, formée par les arcs de coniques AB, B C, etc.; Or, à cette figure s’appliquera le même théorème qu’à la figure rectiligne dont il a été question ci-dessus. — En effet, puisque les 1®, 3®, 5® . . . coniques passent toutes par les points X, 7, Z , P, les mêmes équations qui valaient alors vaudront encore dans le cas actuel, et par conséquent on pourra en tirer les mêmes conséquences.
10. Je signalerai encore quelques propriétés qui se présentent en cas d’intersection d’une courbe du 3® degré par une courbe arbitraire du degré m.
Lorsqu’on fait passer un nombre quelconque de courbes du degré m par 3 m— 1 points d’une courbe du 3^ degré, toutes ces courbes ont encore un point commun sur la courbe du 3^ degré.
Lorsqu’on fait passer un nombre quelconque de courbes du degré m par 3 m — 2 points d’une courbe du 3^ degré, les droites qui sont déterminées chaque fois par les deux intersections restantes se coupent toutes en un même point de la courbe du 3« degré.
Lorsqu’on fait passer un nombre quelconque de courbes du degré m par 3 m— 5 points d’une courbe du 3® degré, les coniques qui sont déterminées chaque fois par les 5 intersections restantes se coupent toutes en un même point de la courbe du 3® degré.
478 H. J. RINK. SUR QUELQUES APPLICATIONS, ETC
En général, lorsqu’on fait passer un nombre quelconque de courbes du degré m par 3 m — (3 p — 1) points d’une courbe du 3e degré, les courbes du degré p qui passent par les Sp — 1 intersections restantes se coupent toutes en un même point de la courbe du 3^ degré.
Pour terminer, je montrerai comment par la deuxième de ces propositions on peut démontrer très facilement un théorème de M. Wiener {Math. Ann. III, 32). Ce théorème peut être exprimé , beaucoup plus simplement que ne le fait M. Wiener, ainsi: Prenez 6 points 5,, A3, ^4, J?-, Bq sur une conique et
un 7e point A sur la droite qui joint 2 de ces points p. e. Br^ et Bq. Quand on fait passer des courbes du troisième degré par ces 7 points , ces courbes ont encore deux à deux 2 intersections Dj, Les droites Z),, passent par le point A et les points 2^,, B^, B^, D,, sont sur une conique.
La démonstration de ce théorème se fait en considérant une des courbes du 3« degré comme courbe fondamentale. Cette courbe est coupée pour la première fois par une autre courbe du 3e degré dans les 7 points fixes et dans les points Z),, D.^. La seconde fois , elle est coupée par une courbe du 3® degré , qui se forme en combinant la conique avec la droite B^ Bq A. Cette fois , les points d’intersection sont les 7 points fixes et encore B^, Bq. Les droites B^ Bq et D^ se coupent alors sur la courbe fondamentale: mais, comme B^ Bq passe par le point A, aussi Z), passe par ce point et le théorème de M. Wiener est démontré.
Groningue, octobre 1882.
PL.vnr.
ARC H, NEÉKL. T. XVII.
P. >T. ÎI- Tr ap impr .
A J.YTeadel lifct.
ARCH. NEERL.T. XVII.
