G. J. MICHAËLIS
Lorsqu’un fluide n’est soumis qu’à l’action de forces pouvant être représentées comme les coefficients différentiels d’une fonction potentielle, et que les composantes w, v et de la vitesse d’une molécule, suivant trois axes, satisfont à un certain moment aux conditions
d cp ^ 0 (p
dx' dy
elles continueront indéfiniment à satisfaire à ces conditions. Cette propriété a été trouvée par Lagrange. La fonction <p est appelée potentiel de la vitesse. M. Helmholtz a le premier étudié dans les fluides des mouvements dus à des forces qui ne
•) Journal von Qrelle , t. LV, 1858.
Archives Néerlandaises, T. XVII. - 1
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peuvent pas être dérivées d’une fonction potentielle. Il nous a fait connaître les formes de mouvement qui sont produites par de pareilles forces , auxquelles appartient , entre autres , le frottement. Dans la supposition qu’un fluide, où ces mouvements dits gtjraioires ont une fois pris naissance, reste ultérieurement sous la seule influence de forces ayant un potentiel, il a démontré les lois suivantes: P. Les molécules qui à un certain moment donné ne tournent pas autour d’un axe n’acquièrent jamais une vitesse angulaire, propriété qui exprime la même chose que le théorème de Lagrange; 2®. la ligne qui à un instant donné coïncide avec l’axe de rotation des molécules qu’elle coupe {ligne gyratoire) coïncide indéfiniment avec ce même axe. Si l’on imagine que de semblables lignes gyratoires soient tracées par tous les points du contour d’un élément de surface, il en résulte un filet gyratoire. 3°. Le produit de la vitesse angulaire et de la section {intensité) d’un filet gyratoire est constant sur toute la longueur du filet et conserve toujours la même valeur. Un filet gyratoire, dans une masse fluide illimitée, ne peut donc pas avoir de fin.
M. W. Thomson a notablement étendu ces lois et montré, par exemple, qu’elles s’appliquent aussi aux fluides compressibles, §i l’on y regarde la pression comme une fonction arbitraire de la densité.
M. Bobylew a examiné quelle modification les susdites lois éprouvent lorsque le fluide reste soumis à l’action des forces qui donnent naissance aux mouvements gyratoires; il a recherché en particulier l’influence du frottement interne, et a trouvé que la loi, suivant laquelle l’intensité est à chaque instant constante sur toute la longueur d’un filet gyratoire, persiste même en pareil cas. Les autres lois perdraient leur validité dans cette hypothèse.
M. Bresse ^), au contraire , a exprimé l’opinion que le théo-
*) EcUnburg Transactions., Vol. 25. 1869.
*) Malhernatische Annalen, Band VI.
•) Comptes rendus^ 1880, p. 501.
Vq T*:.' ;
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rèrae de Lagrange, soit la première loi de Helmholtz, reste vrai même quand on tient compte du frottement interne. Plus tard , il a ajouté que M. Saint Venant était déjà arrivé à ce résultat en 1869.
M. Boussinesq *) a objecté que l’action retardatrice du frottement contre les parois qui limitent le fluide se propage à travers la masse entière ; que par conséquent les molécules , qui à un certain moment n’ont aucune vitesse angulaire , peuvent, à un autre moment, prendre un mouvement de rotation.
Dans les pages suivantes je traiterai spécialement de l’influence du frottement. Les autres forces qui agissent sur le fluide seront supposées avoir un potentiel.
Si le fluide est homogène, incompressible et indéfini, et qu’à un moment donné il y ait absence complète de mouvements de rotation, ceux-ci ne pourront jamais prendre naissance. S’il existe des filets gyratoires, ils ne peuvent se terminer au sein du fluide ; toutefois , ils ne coïncident pas toujours avec les mêmes molécules, mais se propagent, très lentement il est vrai; en même temps, la force vive de leur mouvement diminue, suivant une formule qui sera déduite au § 1. Les filets rectilignes , ainsi que les filets circulaires , conservent leur forme , mais se meuvent tout autrement que cela n’est le cas dans l’hypothèse de Helmholtz.
Lorsque le fluide est limité, des mouvements gyratoires peuvent prendre naissance à la surface, par exemple si le fluide y est en contact avec un autre, et que les vitesses normales se détruisent, tandis que les vitesses tangentielles diffèrent. Supposons, pour prendre un exemple simple, que le fluide s’étende d’un côté d’un plan jusqu’à l’infini , et que la surface consiste en filets gyratoires rectilignes, qui soient parallèles, aient des intensités égales et remplissent uniformément la surface. Le mouvement se propagera, au sein du fluide, de molécule en molécule; la vitesse angulaire en un point déterminé dépendra
*) Comptes rendus^ 1880., p. 736.
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uniquement du temps et de la distance du point à la surface, si à l’origine il n’existait pas de mouvements de rotation à l’intérieur de la masse fluide. On peut démontrer que les temps, nécessaires pour que des points différents acquièrent la même vitesse angulaire , sont entre eux comme les carrés des distances de ces points à la surface limite.
Pour des surfaces oii le fluide est en contact avec des corps solides, différentes conditions peuvent exister.
Souvent il est permis d’admettre que, dans la surface de contact , les molécules ne se meuvent pas l’une par rapport à l’autre. M. Helmholtz et M. Piotrowski * *) ont établi expérimentalement que ce phénomène se présente pour les surfaces métalliques lisses, dans l’alcool et l’éther. Dans l’eau et beaucoup d’autres liquides , toutefois , ils ont trouvé un mouvement relatif par rapport au corps solide. On peut alors admettre que la composante de la pression dans la direction du plan de contact est partout proportionnelle et de direction opposée à la vitesse de ce mouvement relatif. La quantité constante qui s’introduit alors comme facteur est appelée coefficient de glissement. Elle a été déterminée pour quelques substances.
Pour le cas d’une des conditions limites qui viennent d’être indiquées, on peut déterminer le mouvement d’un liquide compris entre deux plans , qui sont l’un et l’autre fixes , ou dont l’un possède à chaque instant un mouvement partout égal et parallèle.
Dans le mémoire que nous avons cité en premier lieu , M. Helmholtz a montré que si, à un moment donné, les composantes de la vitesse angulaire sont connues en chaque point d’un fluide incompressible , l’état dynamique à ce moment , produit par les mouvements gyratoires, peut être calculé. Il en est encore de même quand on tient compte du frottement , parce que le mouvement est considéré dans un seul élément de temps.
*) Wiener Sitzungsber., Band 40, 1860.
*) Voir, sur cette théorie, Kirchhoff, Varies, über Math, Physik , p. 372.
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Si l’on admet en outre que le mouvement est infiniment petit , on . obtient , pour déterminer la vitesse angulaire , des équations qui dans certains cas peuvent être intégrées. Et si de plus on connaît le potentiel de la vitesse , tel qu’il serait en négligeant le frottement , le mouvement du fluide est complètement déterminé dans un pareil cas.
A titre d’exemple, je traiterai, au § 3, du mouvement stationnaire d’un ellipsoïde de révolution qui se déplace dans la direction de l’axe de révolution.
Les équations du mouvement d’un fluide, lorsqu’il est tenu compte du frottement interne, sont
U dp
dt d X d X
. d V ,0F h - = h — dt
^dw J dV
dt d Z
dp dy dp d Z
su
fA P,
/ H- fAw, d Z
ih.+h u=Q.
dt
Le signe A est mis en place de
rr i. 1 . d U d V d lV
U est la notation pour
tandis que u, v et iv désignent les composantes de la vitesse, suivant trois axes fixes, au point considéré; enfin, Jt représente la densité , p la partie de la pression qui en chaque point est indépendante de la direction, et F la fonction potentielle des forces extérieures.
Les équations (1) s’appliquent à tous les points qui sont situés à l’intérieur du fluide; à la surface, où il est en contact avec d’autres fluides ou avec des corps solides , interviennent ,
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suivant les circonstances, des conditions différentes; provisoirement, nous supposons le fluide illimité dans tous les sens. Les composantes de la vitesse angulaire d’une molécule sont déterminées par les équations
^ ^ dW d -V\
2 du 0 tvl
^ d Z d xi
Des trois premières équations (1) on peut éliminer les fonctions V et p. A cet effet , différentions la troisième par rapport à la seconde par rapport à z^ puis retranchons-les l’une de l’autre : on trouve .
clt \dy dz/ dy dz \dydz dzdy/
^d Z dy .^dy d Z h
— A w — — Av , dy dz
Dans un fluide homogène incompressible, h peut être regardé comme constant; dans un fluide compressible, nous supposons que la quantité p est une fonction arbitraire de la densité. Pour
^ dp dp^h
1 une et 1 autre hypothèse , le terme — disparaîtra
’ dy dz dzdy ^
de l’équation (3). On a en outre les relations
Av=
OJ dü 2:^4- — , dy dx
dU
üz dy
dy dU
dx dz
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de sorte que l’équation (3) devient
’d V dw\ + - \
du ^Zu 2 0U^h 2dU^h
+ Cr- H-
Z y ' Zz)~^ ^ Zy ' "Zz ' 3ZzZy SZyZz
Vy 3a”
)sy
ZzJ
De même on trouvera
di] g dv
dt dx
/du ^ dv 2dU h
^ \dx^ d z) ^ dz S d X d Z
2djj"'h
3d Z dx
-hy +
^dw dw I— +^r~
'Ll-
\Zz
Zij/
hz \
ZxJ Zx
fZu
2dU
2ZU h
Pi)
Sdy dx
