PI

\dx

Zz,

/ Zx '

^dz

ZyJ Z y

Si, à un moment donné, aucun mouvement gyratoire n’existe dans un fluide illimité , il suit de ces équations

/dU^h

dU'^h

d t 'S \d Z dy dy d Z

et deux formules analogues pour — - et

Comme U =: — ^ ^ . la formule précédente , si le coefficient hdt ^

de frottement est supposé constant , peut être écrite

8 G. J. MICHAËLIS. SUR LES MOUVEMENTS DES

On voit que, sous l’influence du frottement, des mouvements gyratoires naissent d’un changement dans la densité ; toutes circonstances égales d’ailleurs , cette influence est d’autant plus grande que la densité est moindre. Si l’on néglige le frottement, une molécule, qui à un moment donné ne tourbillonne pas, ne tourbillonnera jamais , pas plus dans un gaz que dans un liquide. En tenant compte du frottement interne , il ne se produira , dans un fluide incompressible homogène , aucune vitesse angulaire, s’il n’en existe nulle part à un moment antérieur et que les limites du fluide soient supposées à une distance infinie. Mais s’il y a des filets gyratoires, on trouve dans ce cas

dt d X ^ ^ y

ï— + A|, etc.,

et, comme il résulte du dernier terme, ces filets se propageront d’une molécule à l’autre. En général , toutes les propriétés du mouvement que M. Helmholtz a démontrées pour un instant unique, subsisteront aussi quand on tiendra compte du frottement. C’est ainsi que l’intensité d’un filet gyratoire sera constante sur toute sa longueur, et ce filet ne pourra donc se terminer nulle part au sein du fluide. La démonstration de cette proposition résulte de la condition

Ensuite , lorsque le fluide est incompressible , il est satisfait à la dernière équation (1) et aux équations (2) par quatre fonctions (f , L , M et N ^ si l’on a

dM \

0 Cp d L

dN 1

dx (

dL \

Oz d X

FLUIDES SOUS l’iNFLUENCE DU FROTTEMENT.

et que les fonctions satisfassent aux équations

AL = — 2?, Al/= — 2t/, AiV^z=— 2Ç; t)Z/ dM dN rv A n

On peut voir, à ce sujet, le mémoire déjà cité de M, Helmholtz sur les mouvements gyratoires. Si donc , à un moment donné , on connaît les composantes de la vitesse angulaire et le potentiel de la vitesse tel qu’il serait en l’absence du frottement , les équations (6) détermineront l’état du mouvement à cet instant. Mais l’intensité d’un filet gyratoire n’est plus constante durant le mouvement. La diminution que la force vive des mouvements gyratoires subit à raison du frottement interne peut facilement être déduite des équations du mouvement.' Si l’on considère un élément fixe c? r de l’espace , l’expression de la force vive contenue dans cet élément est i à -h -f- en

prenant la variation par rapport au temps, et en intégrant sur toute l’étendue de la masse fluide , on obtient

d t dt dt T est la force vive du fluide entier; z=z -\- v'^ 10"^ .

Si l’on multiplie les équations (1) successivement par i\ w, et qu’on additionne , il vient

hl U

\ dx dy d z) 2\ l

dx dy

dV d U d U-

dx dy d

)zj

f{^u Au + V A V + w Aw).

G. J. MICHAËLIS. SUR LES MOUVEMENTS DES

Au lieu de cette équation on peut écrire , en vertu de la réduction précédente ,

Intégrons cette équation sur la masse entière; désignons par a , et / les angles que la normale à un élément de surface fait avec les axes , par 6 l’angle compris entre cette normale et la direction de la vitesse , enfin par d s l’élément de surface ; on trouvera , après réduction ,

= j ds \ {p — y + f V) ^ •+*

+ 2f[^{v Cosy — w (fos^)+7]{w Cosa — U Cosy) -t- Cosp —v Cosa)] I —

+ 1;^ P U-V^^^dr (9)

Lorsque le fluide est limité par une paroi solide , ou lorsqu’il s’étend à l’infini, tandis que les filets gyratoires sont situés à des distances finies du système de coordonnées, on peut écrire

- Jj 4 + I U^)-pU - Vfj^dr.

L’influence du frottement interne consiste donc à diminuer la force vive , et cette diminution , pour un fluide incompressible , est exprimée au temps t par l’équation

si f est considéré comme une quantité constante.

FLUIDES SOUS l’iNFLUENCE DU FROTTEMENT.

En supposant que dans un fluide incompressible illimité , à un moment donné, tous les mouvements ont lieu dans des plans perpendiculaires à l’axe des 2; , que par conséquent tous les filets gyratoires sont rectilignes , on a les conditions

^ c)^^ d V dV dp ^

Ces valeurs , transportées dans (4), donnent dt dt dt h

Il suit de là que tous les filets gyratoires restent rectilignes; de la dernière de ces équations on déduit qu’ils se propagent de point en point , ainsi qu’il sera exposé plus en détail au § suivant.

Si dans un pareil fluide il n’existe , à un moment donné , que des filets gyratoires circulaires, situés dans des plans perpendiculaires à l’axe des ^ , de telle sorte que les centres des cercles se trouvent tous sur cet axe , on peut poser

x=z Q Cos 6 ^ I = — 0 Sin 6 ^ uz=z s Cos O ,

Sin d ^ 7]-=. 0 Cos 6 ^ vz= s Sin 6 ,

z = Z ^ ^ ? = 0 , ivzzzio ;

où s et (T sont indépendants de l’angle 6. Introduisant ces valeurs dans les équations (4), on trouve

■ dip Sin 6) d t

d{(i Cos 6) d t

~ Sin ^ - Sin Ô. ( 0 — —

Co s ^ -h ^ Co s ô.

G. J MICHAËLIS SUR LES MOUVEMENTS DES

Des deux premières de ces relations on déduit d (T

C’est l’équation du mouvement des ‘filets circulaires.

Quand on admet que le mouvement dans un fluide incompressible est infiniment petit , les équations du mouvement peuvent être mises sous la forme simple

dt h

et , si le mouvement est en outre stationnaire , A| = 0, A^ = 0, AC = 0, équations sur lesquelles nous reviendrons au § 3.

(Il)

Dans tout ce qui va suivre , le fluide sera supposé incompressible. Figurons-nous d’abord qu’il s’étende jusqu’à l’infini à l’un des côtés d’un plan. Faisons tomber dans ce plan deux des axes des coordonnées, et prenons la normale pour axe des 0. Dans le plan limite naissent à un moment donné [t m 0) des mouvements gyratoires , ce qui est le cas lorsque deux fluides en mouvement s’y rencontrent de telle sorte que les vitesses normales se détruisent et que les vitesses tangentielles soient différentes. Supposons que tous les filets gyratoires tombent dans la direction de l’axe des et que la vitesse angulaire à un moment donné ait partout la même valeur. Si le frottement est négligé, on trouvera que le mouvement gyratoire reste toujours confiné dans le plan limite; mais s’il est tenu compte du frottement , ce mouvement se propagera dans toute la masse fluide.

La vitesse angulaire en un point quelconque dépendra du temps et de la distance de ce point au plan limite. Les équations

FLUIDES SOUS l’INFLUENCE DU FROTTEMENT.

du mouvement deviennent ici, conformément aux formules (10),

dt dt dt h

Ainsi que l’a remarqué M. Helmholtz , la composante de la vitesse dont la direction touche une surface gyratoire et est perpendiculaire aux lignes gyratoires (ainsi la composante v dans le cas actuel) est différente aux deux côtés de la surface. Soit aux deux côtés w =: 0, l’équation du mouvement devient

St hds^

Cette équation subsiste aussi lorsque iv n’est pas nul , mais que le mouvement est infiniment petit , de sorte que w —

puisse être négligé.

L’équation différentielle partielle est connue par la théorie de la chaleur. Elle peut être intégrée en ayant égard aux conditions limites

| = pour 2;=z0,

I zz: 0 pour ^ HZ 0 ,

où lo est considéré comme une quantité constante par rapport au temps.

L’intégrale est

Il résulte de là, comme on le trouvera démontré dans l’ouvrage ci-dessus cité , que les temps nécessaires pour que des points différents du fluide acquièrent une même vitesse angulaire sont

’) Partielle Differentialgl.von^\e^m2t.nxï ^ bearZ). von Hattendorff, 2eAnfl., p. 129.

G. J. MICHAËLIS. SUR LES MOUVEMENTS DES

entre eux comme les carrés de leurs distances au plan limite. Les temps après lesquels, dans des fluides différents, des vitesses angulaires égales ont pénétré à des distances égales , si les mouvements à leurs plans limites sont égaux , sont en raison directe des densités et en raison inverse des coefficients de frottement.

M. Zôppritz ^ ) a traité le problème particulier d’un liquide , soumis à la pesanteur, qui s’étend à l’infini entre deux plans horizontaux. A l’une des surfaces est donnée une vitesse partout parallèle , l’autre surface est fixe. Lorsque cette dernière est supposée à une distance infinie , M. Zôppritz trouve , pour la vitesse qui après un temps donné a pénétré à une profondeur déterminée , la même intégrale que nous venons d’obtenir. De la même manière qu’il a calculé , au moyen de cette intégrale , après combien de temps un point situé à une distance de 100 mètres de la surface aura acquis la moitié de la vitesse de cette surface , on peut trouver aussi au bout de quel temps on aura, pour un pareil point, D’après le calcul de

M. Zôppritz, ce temps serait, pour l’eau, d’environ 239 ans. Les mouvements gyratoires se propagent donc très lentement. Après un temps infini, on a

comme il était à prévoir. En prenant, comme conditions limites, J = (jp (0) pour ^ — 0 ,

,co

^ =z F (t) pour 2;= 0

on trouvera l’intégrale

{z-iy (z+xy

*) Annalen der Physik und Chemie , Band III , p. 582.

FLUIDES SOUS l’iNFLUENCE DU FROTTEMENT.

Mais si la surface limite est une paroi solide , où le fluide est en repos , tandis qu’au sein de la masse on a pour ^ = 0 , J = , il vient

{z-iY . {z+xy

ce qui donne après réduction

? = — =r I e '■ dl.

La vitesse angulaire, ainsi qu’il résulte de cette valeur, décroîtra de nouveau très lentement. On trouve , en effet ,

lorsque = 0,4769.

Pour l’eau, on a /’== 0,013, de sorte que 0,1087 \/

si est exprimé en centimètres et t en secondes. Après 1 seconde , la vitesse angulaire , à un peu plus de 1 millimètre de distance de la paroi solide , est donc réduite à la moitié de ce qu’elle était primitivement ; au bout de 10000 secondes , cet état existe à une distance d’un peu plus de 1 mètre.

Si le fluide est compris entre deux surfaces parallèles , dont l’une est fixe , et au contact de laquelle nous supposons que les molécules fluides ne se déplacent pas, tandis qu’â l’autre surface la vitesse angulaires | | j reste constante , l’intégrale

de l’équation du mouvement doit être cherchée avec les conditions limites

I z= 0 pour ^ = 0,

5 = 0 pour 2: = 0,

5 = 1, pour

Elle est (voir Riemann , loc, cit.^ p. 146):

G. J. MICHAËLIS. SUR LES MOUVEMENTS DES

n oo I

Après un temps infini, on a | = |,

Représentons-nous un fluide incompressible illimité , dans lequel se trouve un ellipsoïde de révolution.

Faisons coïncider le centre de l’ellipsoïde avec l’origine des coordonnées , et donnons à son axe inégal la direction de l’axe des 0. L’ellipsoïde étant en repos , le fluide est supposé se mouvoir partout, jusqu’à l’infini, avec la vitesse dans

la direction de l’axe des 2; , et ce mouvement est pris infiniment petit. Désignons les demi-axes égaux par a , le demi-axe inégal par c. Lorsque le frottement est négligé , il y a un potentiel de la vitesse

(p=: Kz I ^ — =r + ’).... (14)

où K représente une constante, qui doit être déterminée à l’aide des conditions limites , et où /i est la plus grande racine de l’équation

De (14) on déduit les composantes de la vitesse

Kz^Jt

Kz^-^

, dz r* dX

WZ=Z — rzrzrr’hK -f- .

+ ^/c^-hX

') Kirchhofî, Mechcmik , p. 218.

FLUIDES SOUS l’iNFLUENCE DU FROTTEMENT.

Si l’on tient compte aussi du frottement , il faut trouver les composantes de la vitesse angulaire en chaque point du fluide. De la symétrie du corps on peut conclure que toutes les molécules se meuvent dans des plans passant par l’axe des 0 et qu’on peut poser

DP 0 y

Or il est satisfait aux équations (12) si l’on admet que -

APz=0 (17)

Supposons, en outre, que P soit fonction de y seul; l’équation qui sert à déterminer cette fonction se change alors en „ P dPdP .

si , pour abréger, on pose R H- y)-

Par l’intégration on trouve

dP C

OÙ C représente une constante , à déterminer ultérieurement. Une nouvelle intégration donnera

Les composantes de la vitesse angulaire prennent , en vertu de (16), les valeurs

Les fonctions L et M [voir équations (6) et (7)] sont déterminées par Jes équations différentielles

AL = 2g, AM=z — 2y.

Archi’ves Néerlandaises, T. XYII.

G. J. MICHAËLIS. SUR LES MOUVEMENTS DES

Mais , d’après la supposition faite au sujet de la fonction P, on a

A(y P) = yAP-^2

ou, en vertu de (16) et (17),

A(yP) = -2^;

de sorte que, dans ce cas, on trouve d’une manière très simple , pour les fonctions cherchées ,

L =zy P, Mz=z — X P.

Il en résulte, d’après l’équation (6), pour les composantes de la vitesse

'=—2Cf

dx dy

La vitesse totale est maintenant connue. On a

w = w' + v=iv' +v", W-Z^ÎV' -i- w\

Les constantes K qï C peuvent être déterminées de telle sorte qu’à la surface du corps soient remplies les conditions

wi=0, î?=zO, (19)

A la surface de l’ellipsoïde, on a et Rz=za^ 0“^,

'De la première équation (19) se déduit la relation

Oz=— K —

FLUIDES SOUS l’iNFLUENCE DU FROTTEMENT.

La seconde équation [v 0) donne le même résultat. La, troisième équation (19) devient

iOO

0 (a^ + ly + l

On a, de plus , 1 + I (^J^) + = 2. -

a‘^\dxjQ a-\d^J Q c^\^z/q

L’indice 0 signifie qu’il s’agit des valeurs des coefficients différentiels à la surface du corps. En substituant la valeur de C de (20), on trouve ^

■iü^

2 Kc

(a‘^-[.iy ^yc^-\-l ^

0 il) \y -\-i

Au moyen de (20) et de (21) on peut calculer les constantes K et C. Les intégrales sont très faciles à réduire.

Si c’est une sphère qui se meut de la manière prescrite , les formules de la vitesse prennent une forme simple et connue ; on a alors — ry-, r désignant la distance d’une molé-

cule fluide à l’origine des coordonnées, et r, le rayon de la sphère. Cela résulte immédiatement de (15). Les composantes de la vitesse deviennent , dans ce cas ,

ir'

^ La condition qu’à la surface de la sphère la vitesse soit nulle, I donne

I K=z — ^r,^w,, C=lr,w, (23)

G. J. MICHAËLIS. SUR LES MOUVEMENTS DES

Si le fluide glisse le long de la surface du corps , et que le coefficient de glissement g soit connu , on peut aussi , dans ce cas , calculer les quantités iT et en substituant les vitesses trouvées dans les formules pour les pressions,

^ ^ ‘ dx’ ^ y '\Zz^Zy)'

Suivant l’hypothèse indiquée dans l’introduction, on peut écrire —[X^ Cos{nx)+ Cos{mj)+Z^ Cos{nz)] Cos(nx)= —gu,

Cos{nx) + Y^ Cos{ny)+Z^ Cos{nz)]Cos{ny)= —gv, Cos{nx)+ Cos{ny)+Z^ Cos{nz)]Cos(m)=g{zo, —tv)-,

OÙ n est la normale dans un élément de la surface limite entre le fluide et le corps solide. Or on a encore

Cos {n x) + Cos [n y) + X^ Cos (n z), etc.

et à la surface , Cos (n x)'=: — , Cos [n y) z=. -- , Cos (n z) =— .

Après quelques réductions , on trouvera

cz=—Æ-(^l. + iV

Xz=Z

En posant ici ^ = oo , on retrouve les formules (23). Si l’on prend au contraire /*== 0 et ^ = 0, c’est-à-dire, si l’on ne tient aucun compte du frottement, et qu’on remarque qu’ alors C = 0, on trouvera ce qui est conforme à la théorie

ordinaire.

La résistance que la sphère éprouve , devient TF— —

îi\

') Voir Kirchhoff, Mechanik ^ p. 370.

‘) Voir KirchliofT, Mechanik ,, p. 372.

FLUIDES SOUS l’iNFLUENCE DU FROTTEMENT.

Ces mêmes formules subsistent naturellement aussi lorsque le corps se meut avec la vitesse — iv^ dans la direction de Taxe des -S et que le fluide est en repos à l’infini.

A l’aide des équations (22) on peut encore calculer les trajectoires des molécules fluides’; comparons le résultat avec celui qu’on trouve en négligeant le frottement. Si l’on pose les équations (22) deviennent

^}îz= — 2K^-—2C^, dt r-'

dt V 3rV

Soit en outre KzizK^ Wj , C =z Ci

et introduisons de nouvelles variables , en substituant

2! 1= r Cos (f ,

()= r Sin cp ;

nous aurons , après quelques réductions ,

r(r^ — 4C,r^—iK,) '

On peut intégrer cette équation , ce qui donnera

l Cos (pz=zl\J

constante.

2r3— 8 Cl

L’équation des trajectoires peut donc être mise sous la forme

2r^— 8 Cl r^—\Ki

constante.

Quand g zz. œ , cette équation devient /2 — 3 r’^ r. + r.

i 1 L \ = constante . . . .(26)

22 G. J. MICHAËLIS. SUR LES MOUVEMENTS DES FLUIDES , ETC

Lorsqu’on pose au contraire ^ = 0 et f l’équation des trajectoires prend la forme

2 ^ ^ ~ constante, (27)

qui toutefois reste applicable aussi au cas de mouvements finis. L’équation des trajectoires montre que , pour z zz: 0 , on a

^ zz 0 , et que q est alors un maximum. Si l’on prend pour dz

une pareille courbe la constante zz 4 Tj on trouve, dans les points où Z zz 0 ,

pour^zzoo, Çq 2,281 r,,

pour /“zz 0 et^ zz 0, zz 1,618 r, .

Lorsque le fluide glisse le long de la surface de la sphère , , la valeur de Çq dépend, en vertu des formules trouvées ci-dessus pour ir et C, du rapport des coefficients f et g.

D’une manière analogue , le mouvement d’un corps pourrait aussi être déduit des équations (11), où ce mouvement est supposé infiniment petit, mais non stationnaire. Si le corps est un ellipsoïde de révolution , on obtient une équation différentielle compliquée , qui sera certainement très difficile à intégrer. Si le corps est une sphère, le problème peut, moyennant quelques hypothèses particulières sur la nature du mouvement , être résolu. On trouve à ce sujet, dans l’ouvrage déjà itérativement cité de M. Kirchhoff (p. 381), une exposition succincte, empruntée aux mémoires originaux de M. Stokes et de M. O. E. Meyer. Dans l’hypothèse que les vitesses ont des valeurs finies, la solution des problèmes en question , si l’on tient compte du frottement , est jusqu’ici inabordable.