TT^O
R cos A I
R cosA'
R cos A cos A^
En posant maintenant A^^z=. A'^^4- A = A® 4- f, on obtient, à l’aide de (27), (84) et (86) :
cos{A'+^) cos A^ cosA(l~tgAtgA' ) cosA P—LtgA'
cosA'^ cos(Al+t) cost [\~tg itg Al) -P 1— (^,-^2)8»»“^“
cosA 5(1+7?,
R cos A
P 1— 7/,)smî Al
l-h ly, sin’^ + y 2
164 CH. M. SCHOLS. LE CALCUL DE LA DISTANCE ET DE l’aZIMüT
Pour s'^ on tire ensuite de (3) en (4), en prenant la somme des carrés:
L’introduction de ces valeurs dans l’expression obtenue cidessus pour S' donne :
et , en substituant cette expression dans (82), on trouve pour l’arc iS, si l’on tient compte aussi de (83):
Si cette valeur, ainsi que les valeurs de t;, et tirées de (84), sont transportées dans (87), on retombe sur la formule (34) de la section A pour l’erreur — 5 dans
§ 23. Pour tenir compte des termes de l’ordre e'^ , de la
manière dont cela a eu lieu au § 7, nous pouvons écrire, en ayant égard à (39) et (85) :
s'^ = P + À* COS^
et de même pour de (83) :
R cos A
De (69) il suit encore :
s' sin A = s' sin A' cos ^ œ cos A ,
OU , à l’aide de (3) :
ccj
AU MOYEN DE LA LONGITUDE ET DE LA LATITUDE
S sin A^ = 2q sin 1 cos (1 + |
S cos = 2q sin {- {i cos -1 ü (1 + i/j), ^ ‘ '
OÙ est un facteur encore à déterminer. De ces équations (88), combinée avec (3), il résulte pour S:
S -=z2 g N sin | s'
in ^
{1+ Tj,) =
2qN^sinls'{l+ ,,) COS A (1 4- tgA ctg A'^^j
ou , en substituant pour tg A sa valeur tirée de (58) et en ayant égard à (84) :
2PqN,^^sin{s'{l + 7j^) P
S = ; = 2 g sin | s'.
cos A (F -h L ctg A cos A
Cette expression étant égalée à la valeur de S suivant (82), on trouve immédiatement pour q :
q= 'S'^SW’-A),
Sin \ s
ce qui transforme les formules (88) en:
S sin A z=z2N sin^Xcoscp -A (1 + ^, — -^s'^sm^A
sin I s
S cos A :=z2 R sin J- S cos J- 1 -J--— (1 + ^2 — i ^ ^
sin i s'
Pour adapter ces formules aux courtes distances , nous posons :
sm i À =: I A (1 — X^)
sin i I? “ i (1 yL ^2^
-r^-7-, = 1 + tV = 1 + TT + tV (^os^ 7
sin {s'
en négligeant des termes de l’ordre (5^ et ; au § 8, nous avons déjà examiné en détail quel est l’effet de l’omission de ces termes et entre quelles limites les formules peuvent , par suite, être employées. Par la substitution des valeurs que nous Archives Néerlandaises, T. XVII. 11
166 CH. M. SCHOLS. LE CALCUL DE LA DISTANCE ET DEL’aZIMüT
venons de poser , les formules précédentes deviennent : ScosA,^=fl^(îco4X(l + JjJ,2tfosV,„+»/2— îS'’“s*«’A) ) ■
Pour nous pouvons écrire, en négligeant un terme de l’ordre (5^ e® (voir form. (71) ):
=- — i cp^^+ I P wcos2<p^^+ |î^ sin^ 2
tandis que est égal à:
cos'^ q> -h w cos 2 cfj
3 J (52 2 qp
En ne tenant compte que des termes de Torde (5^ e‘^ , on peut dans le terme (5^ w cos 2 remplacer w par la con-
stante , ce qui revient à négliger :
cos^ (f^^cos 2
(1 — ^2)(1 — e^sin'^cp )’
le terme suivant ,
-fj (52 w‘^ sin‘^ 2 cp ,
ainsi que le terme
-1- s'2 sin^ A = ^2 ^ cos^ cp cos’^ ,
sont du même ordre et peuvent donc être également négligés. Ces trois termes influent seulement sur la distance, non sur leur influence maximum sur la distance, pour 5 z=: 100000 mètres, est respectivement de 0,139, 0,173 et 0,046 millimètre; leur influence collective s’élève tout au plus à 0,178 millimètre. Pour une distance de 5 =: 200000 mètres , leur influence devient 8 fois plus grande, donc égale à 1,15, 1,39 et 0,35 millimètres; leur influence collective atteint alors, tout au plus, 1,46 milli-
AU MOYEN DE LA LONGITUDE ET DE LA LATITUDE
mètres. On peut donc négliger ces termes sans qu’il en résulte , sur une distance de 200000 mètres, une erreur de plus de 2 millimètres. Or, par leür suppression, les formules (90) sont transformées en :
s sin 4,^ = iV^ A cos 1 — jV ^ ’ <)?,„, + j's ( 1 — 6 sin <)p,„) ^
ScosA^=RJcosiX 1^1 -t- ( 1 Vos2(ip
Il n’y a plus qu’à exprimer À et (5 en secondes, et à prendre les logarithmes, pour retrouver les formules (38) et (39) de la section A.
Delft, Janvier 1882.
